matriks [compatibility mode]

Download MATRIKS [Compatibility Mode]

Post on 12-Jul-2016

33 views

Category:

Documents

9 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Bahan Kuliah Matematika Ekonomi

TRANSCRIPT

  • MATRIKS

    Ol hOleh:Imam Awaluddin

    1

  • Pengertian MatriksPengertian MatriksMatriks adalah kumpulan bilangan yang p g y g

    disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi y g p gpanjang yang termuat dalam sepasang tanda kurung ( ) atau [ ].g ( ) [ ]Bilangan yang terkandung dalam suatu

    matriks dinamakan unsur matriksmatriks dinamakan unsur matriks.Jajaran horisontal unsur-unsur matriks

    dinamakan baris dan jajaran vertikal unsurdinamakan baris, dan jajaran vertikal unsur-unsur matriks dinamakan kolom. 2

  • Pen lisan MatriksPenulisan Matriks

    11 12 13 1... na a a aa a a a 21 22 23 2

    31 32 33 3

    ...

    ...n

    n

    a a a aa a a a = A ... ... ... ... ...a a a a

    1 2 3 ...m m m mna a a a

    3

  • Pen lisan MatriksPenulisan Matriks

    11 12 13 1... na a a a 21 22 23 2

    31 32 33 3

    ...

    ...n

    n

    a a a aa a a a

    = A 31 32 33 3... ... ... ... ...n 1 2 3 ...m m m mna a a a

    4

  • Uns r MatriksUnsur Matriks

    Unsur-unsur suatu matriks secara umum dilambangkan notasi aij. i menunjukkan baris, sedangkan j menunjukkan kolom.Unsur a23 berarti unsur pada baris kedua dan 23

    kolom ketiga.

    5

  • Orde (Dimensi) MatriksOrde (Dimensi) MatriksMatriks yang terdiri atas m baris dan nMatriks yang terdiri atas m baris dan n

    kolom dinamakan matriks berukuran m x natau matriks berorde m x natau matriks berorde m x n.Matriks yang jumlah baris sama dengan

    j l h k l ( ) di k t ikjumlah kolom (m = n) dinamakan matriks bujursangkar (square matrix)Matriks tidak mempunyai nilai numerik,

    meski mrp sekumpulan bilangan tapi ia sendiri bukan suatu bilangan.

    6

  • Contoh ordo matriksContoh ordo matriks

    6 4 71 12 5

    = B2 5 10 4 6

    = A 0 4 8 0 4 6 9 1 6 07 5 0 5 = C 7 5 0 52 2 4 7

    = C

    7

  • VektorVektorVektor mrp matriks khusus yang hanyaVektor mrp matriks khusus yang hanya

    mempunyai satu baris atau satu kolom.Vektor baris adalah matriks yang hanyaVektor baris adalah matriks yang hanya

    terdiri dari satu baris (dengan ordo 1 x n). C t h [ 2 3 4]Contoh : v = [ 2 3 4]Vektor kolom adalah vektor yang hanya

    terdiri dari satu kolom (dengan ordo m x 1)Contoh: 3 85u =

  • Operasi MatriksOperasi MatriksPenjumlahan dan Pengurangan MatriksPenjumlahan dan Pengurangan Matriks syarat: dimensi matriks harus samaPerkalian Matriks dengan Skalar menghasilkan matriks berdimensi yang g y gsama dengan matriks tsb.Perkalian antar MatriksPerkalian antar Matriks syarat: jika jumlah kolom matriks pertama (lead matrix sama dengan jumlahpertama (lead matrix sama dengan jumlah baris matriks kedua (lag matrix). 9

  • Contoh Penambahan MatriksContoh Penambahan Matriks

    2 5 10 4 6

    = A5 4 01 2 3 = B0 4 6 1 2 3

    7 1 11 6 9

    + = A B 1 6 9 10

  • Perkalian Matriks dengan SkalarPerkalian Matriks dengan Skalar

    6 3 6 6 3 63 12 9

    = B13

    k =3 12 9 3

    2 1 2 2 1 21 4 3

    k = B

    11

  • Contoh Perkalian Antar MatriksContoh Perkalian Antar Matriks4 6 1 3 2

    (2 2)

    4 63 7 = A (2 3)

    1 3 20 4 3 = B

    (2 3)

    4( 1) 6(0) 4(3) 6(4) 4(2) 6( 3)3( 1) 7(0) 3(3) 7(4) 3(2) 7( 3) + + + = AB(2 3) 3( 1) 7(0) 3(3) 7(4) 3(2) 7( 3) + + +

    4 36 10 (2 3)

    4 36 103 37 15

    = AB12

  • 4 6 1 3 2 (2 2)

    4 63 7 = A (2 3)

    1 3 20 4 3 = B

    13

  • Perkalian Vektor dg VektorPerkalian Vektor dg Vektor2

    (2 1)

    23

    u = [ ](1 3)' 4 1 5v =

    (2 3)

    2(4) 2(1) 2(5) 8 2 10'

    3(4) 3(1) 3(5) 12 3 15uv

    = = ( ) ( ) ( )

    [ ]' 1 3 8 [ ](1 2)' 1 3u = (2 1) 6v = [ ] [ ]' 1(8) 3(6) 26+

    14[ ] [ ](1 1)' 1(8) 3(6) 26u v = + =

  • Matriks IdentitasMatriks Identitas IA = AI = A IA = AI = A

    4 6 = A 1 0 = I(2 2) 3 7 = A (2 2) 0 1 = I1 0 4 6 4 6

    (2 2)

    1 0 4 6 4 60 1 3 7 3 7 = = IA

    (2 2)

    4 6 1 0 4 6 = = AI15

    (2 2) 3 7 0 1 3 7 AI

  • Transpose MatriksTranspose Matriks

    (2 3)

    2 5 10 4 6

    = A( ) 0 4 6 2 0

    (3 2)

    2 0' 5 4

    = A (3 2)1 6

    16

  • Sifat sifat TransposeSifat-sifat Transpose

    [A] = A[A + B] = A + B[AB] = BA atau [ABC] = CBA

    17

  • Determinan MatriksDeterminan Matriks

    a a 11 12(2 2)

    21 22

    a aa a =

    A21 22

    11 22 12 21a a a a= A4 6 A

    11 22 12 21

    3 7 = A4(7) 6(3) 28 18 10A

    184(7) 6(3) 28 18 10= = =A

  • Determinan Orde Lebih TinggiDeterminan Orde Lebih Tinggi

    A =

    11 12 13

    21 22 23

    a a aa a a

    32 31 33a a a

    |A| = 21 23 21 2212 1331 33 31 3

    22 2311

    32 3 23

    ( 1)a a a a

    aa a

    a aa a a aa a

    + +

    |A| = a11(a22a33 a32a23) a12(a21a33 a31a23)+ a (a a a a ) = sebuah skalar+ a13(a21a32 a31a22) = sebuah skalar

    19

  • Determinan Orde Lebih TinggiDeterminan Orde Lebih Tinggi

    A = 21 23

    11 12 13

    22a aa

    aa a

    31 332 3a a a

    |A| =22 23 21 23

    121 22

    1331 3

    1 1232 33 31 33 2

    ( 1)a a a a

    a aa a a

    a aa

    a aa++

    |A| = a11(a22a33 a32a23) a12(a21a33 a31a23)+ a (a a a a ) = sebuah skalar+ a13(a21a32 a31a22) = sebuah skalar

    20

  • Determinan Orde Lebih TinggiDeterminan Orde Lebih Tinggi

    A = 21 22

    11 12 13

    23a aa a a

    a

    31 3332a a a

    |A| = 22 23 21 23 21 2211 12 1332 33 31 33 31 32

    ( 1)a a a a a a

    a a aa a a a a a

    + +

    |A| = a11(a22a33 a32a23) a12(a21a33 a31a23)+ a (a a a a ) = sebuah skalar+ a13(a21a32 a31a22) = sebuah skalar

    21

  • Determinan Orde Lebih TinggiDeterminan Orde Lebih Tinggi

    A =

    11 12 13

    21 22 23

    a a aa a a

    31 32 33a a a

    |A| = 22 23 21 23 21 2211 12 1332 33 31 33 31 32

    ( 1)a a a a a a

    a a aa a a a a a

    + +

    |A| = a11(a22a33 a32a23) a12(a21a33 a31a23)+ a (a a a a ) = sebuah skalar+ a13(a21a32 a31a22) = sebuah skalar

    22

  • MinorMinor

    11 12 1321 22 23

    a a aA a a a

    = 31 32 33a a a

    22 23

    1132 33

    a aM

    a a= 21 2312

    31 33

    a aM

    a a= 21 2213

    31 32

    a aM

    a a=

    |A| = a11|M11| + a12 (1)|M12| + a13|M13| 11 11 12 12 13 1323

  • KofaktorKofaktori j|Cij| = (1)i+j|Mij|

    |C11| = (1)1+1|M11| = 22 2311a a

    M =| 11| ( ) | 11|

    |C | ( 1)1+2|M |

    1132 33a a

    21 23a a|C12| = (1)1+2|M12| = 21 231231 33

    Ma a

    = a a|C13| = (1)1+3|M13| = 21 2213

    31 32

    a aM

    a a=

    24

  • Ekspansi LaplaceEkspansi Laplace

    Ekspansi Laplace untuk determinan orde ketiga|A| = a11|C11| + a12|C12| + a13|C13|

    Ekspansi Laplace untuk determinan orde keempatkeempat|A| = a11|C11| + a12|C12| + a13|C13| + a14|C14|

    25

  • Contoh: Ekspansi Laplace sepanjang baris pertama

    12 7 0 12 7 05 8 3A

    =

    |A| = a |C | + a |C | + a |C |6 7 0

    |A| = a11|C11| + a12|C12| + a13|C13|

    8 3 5 3 5 812 7 0A = +12 7 0

    7 0 6 0 6 712(0 21) 7(0 18) 0(35 48)

    A += +

    252 126 0 126= + + = 26

  • 12 7 0 5 8 3A = 6 7 0

    27

  • Contoh: Ekspansi Laplace sepanjang kolom ketiga

    12 7 0 12 7 05 8 3A

    =

    |A| = a |C | + a |C | + a |C |6 7 0

    |A| = a31|C31| + a32|C32| + a33|C33|

    12 73

    5 8 12 70 0A = +3

    6 7( ) 3(8

    0 06

    4 42) ( )7 5 8

    0 35 48 0 96 35

    A += +

    0 126 261= = 28

  • Matriks Kofaktor dan Matriks AdjointMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoint

    Matriks KofaktorMatriks Kofaktor11 12 13C C C

    C C C C

    21 22 23

    31 32 33

    C C C CC C C

    = Matriks Adjoint

    C C C 11 21 3112 22 32Adj '

    C C CA C C C C

    = = 13 23 33C C C 29

  • Contoh2 3 1 Contoh 4 1 25 3 4

    A = 5 3 4 1 2 4 2 4 1 1 2 4 2 4 13 4 5 4 5 3

    3 1 2 1 2 33 4 5 4 5 3

    C = 3 1 2 1 2 3

    1 2 4 2 4 1

    1 2 4 2 4 1 30

  • 1 2 4 2 4 1 3 4 5 4 5 33 1 2 1 2 3

    3 1 2 1 2 33 4 5 4 5 3

    C = 3 1 2 1 2 3

    1 2 4 2 4 1

    (4 6) (16 10) (12 5) 2 6 7 (12 3) (8 5) (6 15) 9 3 9(6 1) (4 4) (2 12) 5 0 10

    C = = ( ) ( ) ( ) 31

  • 2 6 7 2 6 79 3 9C

    = 5 0 10 2 9 5

    Adj ' 6 3 0A C = = 7 9 10

    32

  • In erse MatriInverse Matrix

    Syarat ada inverse matrix:Matriks bujursangkarj gMatriks non singular : A |A| 0.

    AA-1 = I = A-1AAA = I = A A

    1 1A AdjARumus: 1A AdjAA

    =33

  • Contoh matriks in erseContoh matriks inverse2 3 1 1 12 3 14 1 2A =

    1 1A AdjAA

    =

    C i d k k h d t i 0

    5 3 4 Adj A C'=Cari dan cek apakah determinannya 0. |A| = 2[1(4)-3(2)] 3[4(4)-5(2)] + 1[4(3)-5(1)] |A| = -4 18 + 7 = -15. |A| 0 ada inverse-nya.

    34

  • 1 2 4 2 4 1 3 4 5 4 5 33 1 2 1 2 3

    3 1 2 1 2 33 4 5 4 5 3

    C = 3 1 2 1 2 3

    1 2 4 2 4 1

    (4 6) (16 10) (12 5) 2 6 7 (12 3) (8 5) (6 15) 9 3 9(6 1) (4 4) (2 12) 5 0 10

    C = = ( ) ( ) ( ) 35

  • 2 9 5 2 9 5Adj ' 6 3 0

    7 9 10A C

    = = 7 9 10 32 1

    15 5 31 2 1

    5 5

    2 9 51 6 3 0 0A

    = = 5 57 3 2

    15 5 3

    6 3 0 015

    7 9 10A

    0.1333 0.6 0.30 4 0 2 0

    36

    0.4 0.2 00.467 0.6 0.67