A. PENDAHULUAN

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah matematika. Dengan mengubahnya kedalam bahasa atau persamaan matematika maka persoalan tersebut lebih mudah diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan sering kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita mengalami kesulitan untuk mencari hubungan antara variabel-variabelnya. Bahkan dinegara maju sering ditemukan model ekonomi yang harus memecahkan suatu sistem persamaan dengan puluhan atau ratusan variabel yang nilainya harus ditentukan.Matriks, pada dasarnya merupakan suatu alat atau instrumen yang cukup ampuh untuk memecahkan persoalan tersebut. Dengan menggunakan matriks memudahkan kita untuk membuat analisa-analisa yang mencakup hubungan variabel-variabel dari suatu persoalan. Pada awalnya matrik ditemukan dalam sebuah studi yang dilakukan oleh seorang ilmuan yang berasal dari Inggris yang bernama Arthur Cayley (1821-1895) yang mana studi yang dilakukan untuk meneliti persamaan linier dan transformasi linear, awal dari semua ini matrik dianggap sebagai sebuah permainan karena matrik dapat diaplikasikan, sedangkan pada tahun 1925 matrik digunakan sebagai kuantum dan pada perkembangannya matrik digunakan dalam berbagai bidang.Matriks yang sering dijumpai adalah matriks yang entri-entrinya bilangan-bilangan real atau kompleks. Seperti diketahui bahwa himpunan bilangan real merupakan field terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Salah satu contoh matriks yang entri-entrinya merupakan field adalah matriks yang dapat didiagonalisasi. Matriks yang dapat didiagonalisasi banyak diterapkan dalam berbagai ilmu khususnya dalam matematika sendiri. Beberapa referensi menjelaskan tentang matriks yang dapat didiagonalisasi, pertama diberikan matriks A yang berukuran n x n, maka dicari matriks taksingular P yang mendiagonalkan A, sedemikian hingga diperoleh suatu matriks diagonal D = P-JAP. Matriks taksingular P, diperoleh dengan cara mencari nilai eigen dari matriks A, kemudian ditentukan vektor eigen yang bersesuaian dengan masing-masing nilai eigen yang diperoleh tadi. Tiap-tiap vektor eigen yang diperoleh tadi membentuk kolom-kolom matriks taksingular P. Kemudian dilakukan pendiagonalan, yaitu dengan mencari vektor eigen yang bebas linear satu sarna lain, dan seterusnya.

B. ISI

Perkalian Matriks dengan MatriksOperasi perkalian matriks berbeda dengan operasi penjumlahan atau pengurangan matriks yang cukup sederhana. Operasi perkalian matriks mempunyai metode tersendiri. Dua matriks dapat dioperasikan dengan perkalian jika banyak kolom matriks pertama sama dengan banyak baris matriks kedua, sedangkan hasil perkalian matriksnya akan memiliki baris yang sama banyak dengan baris matriks pertama dan memiliki kolom yang sama banyak dengan kolom matriks kedua, dapat di tulis sebagai berikut :Amxn x Bnxr = (AB)mxrMetode perkalian dua matriks adalah memasangkan baris pada matriks pertama dengan kolom pada matriks kedua. Perhatikan metode perkalian matriks berikut ini:

Perhatikan matriks hasil perkaliannya. Baris 1 pada matriks pertama adalah [a b] dan kolom 1 pada matriks kedua adalah [e g]. Pasangan ini akan mengisi baris 1kolom 1 pada matriks hasil perkaliannya. Memasangkan adalah dengan menjumlahkan hasil perkalian masing-massing komponen secara berurutan, yaitu menjumlahkan ae dengan bg, ditulis ae+bg. Dengan cara yang sama, akan didapat komponen-komponen lainnya. Sifat-sifat Perkalian Matriks

a. Tidak Komutatif: AB BAb. Asosiatif: (AB)C = A(BC)c. Distributif: A(BC) = ABBCd. Perpangkaan: A2 = AA A3 = AAA = A(A2) = (A2)A

Kumpulan Soal : 1. Matriks A dan B masing-masing seperti di bawah ini. Tentukan A.B dan B.A

Pembahasan :A2X2 dikali dengan B2X2 akan menghasilkan matriks 2x2.

B2X2 dikali dengan A2X2 akan menghasilkan matriks 2x2.

Dari hasil yang diperoleh dapat kita lihat bahwa AB BA

2. Matriks P dan Q adalah sebagai berikut :

Pembahasan :P2X3 dikali dengan Q3X3 akan menghasilkan matriks 2x3.

3. Tentukan hasil kali K.M jika K dan M seperti di bawah ini.

Pembahasan :K3X1 dikalikan dengan M1X3 akan menghasilkan matriiks 3x3

4. Matriks A dan B masing-masing seperti di bawah ini. Tentukan A.B

Pembahasan :A1X3 dikali dengan B3X1 akan menghasilkan matriks 1x1

5. Tentukan hasil dari A.B :

Pembahasan :A4X3 dikali dengan B3X2 akan menghasilkan matriks ordo 4x2

6. Bila matriks A merupakan matriks 2x2 seperti di bawah ini, maka tentukanlah A2!

Pembahasan :

7. Buktikan bahwa A.I = I.A. Dengan matriks A seperti pada soal no 6 dan I matriks identitas 2x2.Pembahasan :

8. Tentukan A.B jika A dan B seperti di bawah ini.

Pembahasan :Karena A2X2 dan B2X1 maka hasilnya adalah matriks ordo 2x1 seperti ini.

9. Berikan dua matriks A dan B yang memenuhi persamaan (A+B)2 = A2 + B2Pembahasan :(A+B)2 = A2 + B2 A2 + AB + BA + B2 = A2 + B2 ---> ingat bahwa pada matriks belum tentu AB = BAA2 + B2 - A2 - B2 + AB + BA = 0AB + BA = 0Untuk tujuan praktis, anggaplah AB = 0 dan BA = 0 dengan begitu AB + BA = 0. Beberapa syarat agar AB = BA = 0 antara lain :1. Kedua matriks merupakan matriks persegi yang memiliki ordo sama karena jika ordo berbeda pasti AB tidak akan sama dengan -BA. Sebagai contoh, matriks A2X3.B3X2 B3X2.A2X3. Kenapa? karena A2X3.B3X2 = C2X2 sedangkan B3X2.A2X3 = C3X3. Jadi melihat ordonya saja sudah jelas tidak mungkin sama.2. Kedua matriks memiliki komponen yang sama dengan komponen positif pada baris pertama dan komponen negatif pada baris kedua. Misalnya matriks A dan B adalah :

Pembuktian : (A+B)2 = A2 + B2

10. Berikan dua matriks yang memenuhi persamaan A2 - B2 = (A - B)(A + B) Pembahasan :A2 - B2 = (A - B)(A + B)A2 - B2 = A2 + AB - BA - B2 ---> ingat bahwa pada matriks belum tentu AB = BAA2 - B2 - A2 + B2 = AB - BA0 = AB- BAAB = BA

Beberapa syarat agar AB = BA antara lain:1. Kedua matriks harus matriks persegi misal 2x2, 3x3 dan lain sebagainya. Kedua matriks harus memiliki ordo sama karena jika ordo berbeda pasti AB tidak akan sama dengan BA. Sebagai contoh, matriks A2X3.B3X2 B3X2.A2X3. Kenapa? karena A2X3.B3X2 = C2X2 sedangkan B3X2.A2X3 = C3X3. Jadi melihat ordonya saja sudah jelas tidak mungkin sama.2. Masing-masing matriks memiliki komponen yang sama di semua sel karena jika matriks mengandung komponen yang berbeda, saat dibalik maka hasilnya akan berbeda.

Misal matriks A dan B adalah sebagai berikut :

Berdasarkan prinsip kesamaan matriks, maka diperoleh :ak+ bm = ka + lc al + an = kb + ld ak + dm = ma + nc al + dn = mb + nd untuk tujuan praktis, maka dapat dibuat a = b = c = d dan k = l = m = n.

Salah satu alternatif yang dapat memenuhi persyaratan AB = BA adalah matriks persegi ordo 2x2 dengan komponen matriks sama di semua sel. misalnya seperti berikut :

Pembuktian :

A2 - B2 = (A - B)(A + B)

C. KESIMPULAN

Operasi perkalian matriks berbeda dengan operasi penjumlahan atau pengurangan matriks yang cukup sederhana. Operasi perkalian matriks mempunyai metode tersendiri. Dua matriks dapat dioperasikan dengan perkalian jika banyak kolom matriks pertama sama dengan banyak baris matriks kedua, sedangkan hasil perkalian matriksnya akan memiliki baris yang sama banyak dengan baris matriks pertama dan memiliki kolom yang sama banyak dengan kolom matriks kedua, dapat di tulis sebagai berikut :Amxn x Bnxr = (AB)mxrMetode perkalian dua matriks adalah memasangkan baris pada matriks pertama dengan kolom pada matriks kedua. Sifat-sifat Perkalian Matriks

e. Tidak Komutatif: AB BAf. Asosiatif: (AB)C = A(BC)g. Distributif: A(BC) = ABBCh. Perpangkaan: A2 = AA A3 = AAA = A(A2) = (A2)A

D. SUMBER

http://soulmath4u.blogspot.com/2014/03/perkalian-matriks.htmlhttps://www.academia.edu/8496017/MATRIKShttp://bahanbelajarsekolah.blogspot.com/2014/11/kumpulan-soal-dan-pembahasan-perkalian.htmlhttp://opanlab.com/matematika/matriks/perkalian-matriks.phphttp://www.smanepus.sch.id/kumpulan%20materi/KUMPULAN%20MATERI/MAtematika/klx%20xi/mp_401/materi4a.htmlhttp://soulmath4u.blogspot.com/2014/03/perkalian-matriks.html