Mencari Akar Persamaan

Materi Ke- 3

❯❯❯❯❯

Cancel OK

Semoga selalu di garis depan

dalam berkarya nyata B.J. Habibie

Kriteria Capaian

Mahasiswa dapat :

1. Mencari akar-akar persamaan dengan berbagai metode secara numerik

2. Menyelesaikan berbagai contoh aplikasi di bidang teknik sipil

Review Materi SMP/SMA

Bagaimana mencari akar-akar persamaan ini?

0152)( 2 xxxf

Cara 1: Memfaktorkan

0152)( 2 xxxf

35

0)3)(5(

21

xx

xx

Jadi, akar-akar persamaan ini adalah -5 dan 3

Review Materi SMP/SMA

Cara 2: Melengkapkan kuadrat

Jadi, akar-akar persamaan ini adalah -5 dan 3

341

541

41

16)1(

11512

152

0152

2

1

2

2

2

2

x

x

x

x

xx

xx

xx

Review Materi SMP/SMA

Cara 3: Rumus abc

Jadi, akar-akar persamaan ini adalah -5 dan 3

a

acbbx

2

42

2,1

Diketahui: a = 1 ; b = 2 ; c = -15 maka,

35

41

2

82

1.2

)15.(1.422

21

2,1

2,1

2

2,1

xx

x

x

x

Renungan!

Bagaimana kalau mencari akar-akar persamaan ini?

01892)( 23 xxxxf

Anda tertarik untuk mencoba?

013432)( 2345 xxxxxxf

033)( 2 xxf x

0sin3)( xexxxf

SOLUSI ?

Dibutuhkan Metode Numerik, diantaranya :

Metode Setengah Interval

Metode Newton – Rhapson

Metode Interpolasi Linier

Metode Secant

Metode Iterasi

Metode Newton - Raphson

Akar persamaan xi

x

y f(x)

xi+1

B

A f(xi)

f(xi+1)

xi - xi+1

f(xi) - 0

1

' 0)()(

ii

ii

xx

xfxf

)(

)('1

i

iii

xf

xfxx

Prosedur Perhitungan

Pilih nilai awal xi sembarang dan hitung nilai f(xi)

Hitung turunan pertama dari persamaan f’(xi)

Hitung nilai xi+1 dam f(xi+1)

Contoh Soal

Hitung salah satu akar dari persamaan pangkat tiga berikut ini:

033)( 23 xxxxf

Penyelesaian:

Turunan pertama dari persamaan tersebut adalah :

f’(x) = 3x2 + 2x – 3

Ditentukan nilai xi sembarang, misalnya x1 = 1

f(x1=1) = (1)3 + (1)2 – 3(1) – 3 = -4

f’(x1=1) = 3(1)2 + 2(1) – 3 = 2

X2 = 1 – ((-4)/2) = 3

Langkah berikutnya nilai x2 = 3 tersebut digunakan untuk hitungan pada iterasi berikutnya:

)(

)('1

i

iii

xf

xfxx

Contoh Soal

Hasil hitungan metode Newton - Raphson :

Akar persamaan

i xi xi+1 f(xi) f'(xi) f(xi+1)

1 1.00000 3.00000 -4.00000 2.00000 24.00000

2 3.00000 2.20000 24.00000 30.00000 5.88800

3 2.20000 1.83015 5.88800 15.92000 0.98900

4 1.83015 1.73780 0.98900 10.70866 0.05457

5 1.73780 1.73207 0.05457 9.53539 0.00020

6 1.73207 1.73205 0.00020 9.46437 0.00000

Contoh

Selamat mengerjakan...

Tugas 2

Suatu saluran dengan tampang trapesium mempunyai lebar dasar B = 5 m mengalirkan debit sebesar 10 m3/s. Kemiringan dasar saluran S0 = 0,000# dan koefisien Manning n = 0,02#. Jika kemiringan kedua tebing m = 1, akan dicari kedalaman aliran seragam yang lewat saluran tersebut. (Gunakan metode Newton Rhapson)

m

1

m

1 h

B

Selamat mengerjakan...