LIMIT

1. Pengertian LimitLimit menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan berkembang apabila variabel di dalam fungsi yang bersangkutan terus menerus berkembang mendekati suatu nilai tertentu.

Jika fungsi f(x) mendekati L manakala variabel x mendekati a (a dan L keduanya konstanta), maka L disebut limit fungsi f(x) untuk x mendekati a. Hubungan ini dilambangkan dengan notasi:

Notasi tersebut dibaca “limit fungsi f(x) untuk x mendekati a adalah L”. Artinya jika variabel x berkembang secara terus menerus hinggga m,endekati bilangan tertentu a, maka nilai fungsi f(x) pun akan berkembang pula hingga mendekati L. Atau sebaliknya, fungsi f(x) dapat dibuat mendewkati nilai tertentu yang diinginkan L dengan mengembangkan variabel x sedemikian rupa hingga mendekati a.

LIM

IT

Pengertian limit

Perhitungan limit

Limit fungsi aljabar tak hingga

Limit Fungsi Trigonometri

Fungsi Kontinu

Bilangan alam

Dua hal perlu diperhatikan dalam notasi atau pernyataan limit di atas. Pertama, x →a harus dibaca serta ditafsirkan sebagai x mendekati a, dan bukan berarti x=a.

Kedua, lim f(x)=L harus dibaca serta ditafsirkan bahwa L adalah limit fungsi f(x), dan bukan berarti L adalah nilai fungi f(x).atau bukan berarti

2. Perhitungan limit

limx→∞ ( 1

axn )❑

= 0, dengan n > 0 .

CONTOH

3. Limit fungsi aljabar tak hingga

limx→∞ ( 1

x )❑

=?

Limit diatas berarti ketika x mendekati tak terhingga, limit 1/x akan

mendekati berapa? Limit diatas berbentuk pecahan dnegan pembilang

pecahan adalah 1, sedangkan penyebutnya adalah (x) yang mendekati

tak hingga. Karena penyebut dari 1/x sangat besar, maka 1/x akan

sangat kecil yaitu menuju 0. Jadi, limx→∞ ( 1

x )❑

= 0.

Secara umum,

Ada dua bentuk tak tentu dalam limit tak hingga jika langsung

mensubsitusi x = ∞, yaitu :

Jadi, untuk menyelesaikan bentuk limit tak hingga cukup kita perhatikan

pangkat tertinggi pembilang dan penyebut. Jika pangkat tertinggi

pembilang lebih kecil daripada pangkat tertinggi penyebut, berarti

hasilnya ∞. Sedangkan jika pangkat tertinggi pembilang dan penyebut

sama, hasilnya pembagian koefisien pangkat tertinggi penyebut

Secara sistematis, penyelesaian limit berbentuk ∞ /∞ adalah membagi

pembilang dan penyebut pecahan dengan peubah berpangkat paling

tinggi diantara pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebut.

Untuk memahami bagaimana menyelesaikan limit yang berbentuk limit

x→ [ f ( x )−g (x)] = ∞−∞.

Penyelesaian soal dengan tipe seperti diatas secara umum dapat

diselesaikan dengan cara berikut :

Contoh soal dan pembahasan :

4. Limit fungsi trigonometri

Contoh Soal

Tentukan hasil dari soal limit berikut

dentitas trigonometri berikut diperlukan

5. Fungsi Kontinu

Kadang-kadang nilai limx→c f (x ) sama dengan f (c ), kadang pula tidak sama.

Pada kenyataannya, meskipun f (c ) tidak terdefinisikan akan tetapi limx→cf (x )

mungkin ada. Apabila limx→c f ( x )=f (c ) maka dikatakan fungsi f kontinu di c.

Definisi Fungsi f dikatakan kontinu di a∈D f jika limx→a f ( x )=f (a ).

Definisi di atas secara implisit mensyaratkan tiga hal agar fungsi f kontinu di a, yaitu:

(i). f (a) ada atau terdefinisikan,

(ii). limx→af (x ) ada, dan

(iii). limx→a

f ( x )=f (a)

Pada gambar di atas, f kontinu di x1 dan setiap titil di dalam (a ,b) kecuali di titik-titik x2 ,, x3, dan x4. Fungsi f diskontinu di x2 karena limx→2

f (x ) tidak ada,

diskontinu di x3 karena nilai limx→3f (x ) tidak sama dengan nilai fungsi di x3

(mesksipun keduanya ada), dan diskontinu di x4 karena nilai fungsi di titik ini tidak ada.

Contoh

(a). Fungsi f dengan rumus f ( x )= x2−1x−1

diskontinu di x=1 karena f (1) tidak

terdefinisi.

(b). Fungsi HeavysideH yang didefinisikan oleh

H ( x )={0 jika x<01 jika x ≥0

Diskontinu di x=0 sebab limx→0H (x) tidak ada.

(c). Fungsi g dengan definisi:

g ( x ){ x2−4x−2

1 jika x=2jika x ≠2

Diskontinu di x=2 sebab g (2 )=3 sedangkan limx→2g ( x )=lim

x→ 2( x+2 )=4. Namun

demikian fungsi g kontinu di x=1 sebab limx→1g ( x )=3=g(1).

Berikut sifat-sifat dasar fungsi kontinu

Jika fungsi f dan g kontinu di a, dan k sebarang konstanta real, maka f +g

, f−g, kf , dan fg kontinu di a. demikian pula, fg kontinu di a asalkan g (a )≠0 ,

Seperti halnya pada hitung limit, dalam kekontinuan juga dikenal istilah kontinu satu sisi. Hal itu dinerikan pada definisi berikut ini

(i). Fungsi f dikatakan kontinu dari kiri di a jika limx→a−¿ ¿ f (a )¿

¿

(ii). Fungsi f dikatakan kontinu dari kanan di c jika limx→c+¿ ¿ f (c)¿

¿

Contoh

Diberikan f ( x )=√1−x2. Selidikilah kekontinuan fungsi f .

Penyelesaian:

Jelas f tidak kontinu pada (−∞,−1) dan pada (1 ,∞) sebab f tidak terdefinisi pada interval tersebut. Untuk nilai-nilai a dengan −1<a<1 diperoleh:

limx→a

f ( x )=limx→a

√1−x2=√ limx→a

(1−x2 ) = √1−a2 = f (a)

Jadi, f kontinu dari kanan di x=−1 dan kontinu dari kiri di x=1. Jadi, f kontinu pada [−1,1 ].

Fungsi polinomial, fungsi rasional, fungsi akar, fungsi logaritma, fungsi eksponen, dan fungsi trigonometri kontinu pada domainnya masing-masing.

Contoh:

(a). f ( x )=x2−x+1 kontinu pada R

(b). f ( x )= x3−5 xx2−1

kontinu pada {x∈ R;x ≠1, x≠−1 }

(c). f ( x )=√x−1 kontinu pada [1 , ∞)

Hubungan antara fungsi kontinu dan hitung limit dinyatakan dalam teorema berikut

Jika f kontinu di b dan limx→ag (x)=b, maka limx→a

f (g ( x ) )=f (b). Dengan kata lain limx→a

f (g ( x ) )= f ( limx→a g(x))Contoh:

Hitung limx→1ln (1+x )

Penyelesaian:

Namakan f ( x )=ln xdan g ( x )=1+x. Karena limx→1g ( x )=2 dan f kontinu di x=2 maka

limx→1

ln (1+ x )=limx→ 1

f (g (x ) )=f (limx→1g (x))=ln ( limx→1

g ( x ))=ln 2

6. Bilangan Alam

Konstanta matematika e adalah basis dari logaritma natural. Terkadang disebut juga bilangan Euler sebagai penghargaan atas ahli matematika Swiss, Leonhard Euler, atau juga konstanta Napier sebagai penghargaan atas ahli matematika Skotlandia, John Napier yang merumuskan konsep logaritma untuk pertama kali. Bilangan ini adalah salah satu bilangan yang terpenting dalam matematika, sama pentingnya dengan 0, 1, i, dan π.

Cara Menemukan Konstanta Bilangan Alam EMenurut Slamet HW dan Rita P. Khotimah (2010: 37) dalam bukunya yang berjudul “Kalkulus 1”, bilangan alam (Natural Number) termasuk bilangan irasional dan harganya 2,7182818284……. Dan dirumuskan:

e= limx→∞ (1+ 1

x )x

atau e=limx→0

(1+x )1x

Nah sekarang bagaimana caranya supaya bisa

e= limx→∞ (1+

1x )

x

=limx→0

(1+ x )1x= lim

x→∞ (1−1x )

−x

=limx→ 0

(1−x )−1x =2,7182818184…?

Caranya adalah dengan mengexpansiskan (1+ 1x )x dengan Binomial

Newton, kemudian dicari nilai limitnya.

Binomial Newton dirumuskan sebagai berikut:

(a+b)n=∑k=0

n

(nk )ak bn−k

Untuk (1+ 1x )x

jika a=1x , b=1 dan n=x, maka dengan rumus Binomial Newton di atas

dapat dijabarkan sebagai berikut:

Sesuai definisi di atas maka,

Jadi e = 2,7182818284…….

Contoh Suatu Soal LimitHitunglah:

a. limx→∞ (1+ ax )

x

b. limx→0 ( x

2+3 x+6x2+5 x+7 )

x

Jawab:

a.limx→∞ (1+ ax )

x

=¿ limx→∞ (1+ 1

xa )

x

¿

¿( limx→∞ (1+

1xa )

xa )x ×

ax

¿elimx →∞

x× ax

¿elimx →∞

a

¿ea

b. limx→0 ( x

2+3 x+6x2+5 x+7 )

x

= limx→0 ( x

2+5 x+7−2x−1x2+5 x+7 )

x

¿ limx→0 (1− 2x+1

x2+5x+7 )x

¿( limx→0 (1− 2 x+1

x2+5 x+7 )−1

2x+1x2+5x+7 )x×− 2 x+1

x2+5 x+7

¿elimx →0

x×− 2 x+1x2+5 x+7

¿elimx →0

−2 x2+xx2+5x+7

¿e

−2+ 1x

1+5 / x+7 / x2

¿e21

¿e2

Maka dari kedua soal di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa:limx→∞

(1+ f (x))g( x)=elimx →∞

f (x)×g (x)

Bukti:

limx→∞

(1+ f (x))g( x)=( limx→∞

(1+f (x))1f (x) )

f (x)×g (x)

¿elimx →∞

f (x)×g (x)

Contoh di atas:

limx→∞ (1+ ax )

x

=elimx→ ∞

ax × x

¿elimx →∞

a

¿ea