- myikhsan.files.wordpress.com filesetiap siswa harus mengerjakan semua soal dengan kemampuan ......

Modul selama PKL (Matematika untuk SMK) halaman 1 dari 18 By Ikhsan

1. Setiap siswa harus mengerjakan semua soal dengan kemampuan sendiri

2. Dalam pengerjaan, setiap soal dikerjakan dengan menggunakan cara yang bisa

menggunakan kertas halaman depannya yang masih kosong.

3. Dikerjakan serapi mungkin

4. Bagi yang sudah berangkat PKL dan tempat PKL jauh. Maka siswa lain harus

memberi tahu serta mendownload sendiri tugas ini.

5. Anda bisa mendownload tugas ini di : www.setyono.blogspot.com


DERIVATIF (TURUNAN)

A. Fungsi turunan derivative

Turunan dari nilai fungsi untuk sembarang nilai ditentukan dengan rumus :

Contoh :

1. Tentukan derivative fungsi f yang dinyatakan oleh F(x) = 4x dengan definisi !

Jawab :

44lim4

lim

444lim

4)(4lim

)()(lim)('

00

0

0

0

===

−+=

−+=

−+=

→→

→

→

→

hh

h

h

h

h

h

h

xhx

h

xhx

h

xfhxfxf

2. Tentukan derivative fungsi f yang dinyatakan oleh F(x) = 4x2 dengan definisi !

xhxh

hxh

h

hhx

h

xhhxx

h

xhhxx

h

xhx

h

xfhxfxf

hh

h

h

h

h

h

88lim)8(

lim

8lim

484lim

4)2(4lim

4)(4lim

)()(lim)('

00

2

0

222

0

222

0

22

0

0

=+=+

=

+=

−++=

−++=

−+=

−+=

→→

→

→

→

→

→

3. Tentukan derivative fungsi f yang dinyatakan oleh F(x) = 4x + 7 dengan definisi !

Jawab : …………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………..

4. Tentukan derivative fungsi f yang dinyatakan oleh F(x) = 4x2 + 2x + 5 dengan definisi !

Jawab : …………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………..

h

xfhxfxf

x

)()(lim)('

0

−+=

→


B. Turunan Fungsi f(x) = axn

Perhatikan contoh diatas :

F(x) = 4x � f’(x) =4

F(x)= 4x2 � f’(x)=8x

F(x)= 4x3 � f’(x)=12x

…… � …..

F(x)= axn

� f’(x) = n.axn-1

Contoh :

�. Tentukan turunan pertama dari :

a. f(x) = 3x2+7

b. f(x) = 5x4+ 3x

2 +7

c. f(x) = (x + 3)(x + 7)

Jawab :

a. f’(x) = 2. 3. x2-1 + 0

= 6 x

b. f(x) = 5x4+ 3x

2 +7

f’(x) = 4. 5x4-1 + 2. 3 x

2-1

= 20 x3 + 6 x

c. f(x) = (x + 3)(x + 7)

= x2 + 7x + 3x + 21

= 2x2 + 10x + 21

F’(x) = 4 x + 10

Tentukan Turunan kedua dari :

a. f(x) = x5+ 3x

4 + 6x

3 + 4x + 1

Jawab : ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….

b. y = (x2 + 7x)(x + 3)

Jawab : ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………

c. y = (x – 2)(x + 2)(x + 7)

Jawab : ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………

C. Turunan Fungsi f(x) = nx

a

Perhatikan !!

F(x) = axn ��

f’(x)= n. axn-1

Latihan 1.1Latihan 1.1Latihan 1.1Latihan 1.1


2

2

1-1-

1-

2`

x2 -

2x 1.- )('

2x

x

2 f(x)

x

xf

−=

=

=

=

=⇒

−

3

3

1-2-

2-

2

2`

x2 -

2x 2.- )('

2x

x

2 f(x)

x

xf

−=

=

=

=

=⇒

−

4

4

1-3-

3-

3

2`

x2 -

2x 1.- )('

2x

x

2 f(x)

x

xf

−=

=

=

=

=⇒

−

1

1-n-

n-

n

.`

ax n.- )('

xa

x

a f(x)

+−=

=

=

=⇒

nx

an

xf

Contoh :

� Tentukan Turunan kedua f”(x) dari :

a. 2

5)(

xxf =

b. 2

5)(

x

xxf =

c. xx

xf25

)(2+=

Jawab :

4

4

13

3

3

12

2-

2

3030

)10)(3()("

1010

5.2)('

5x

5)( .

xx

xxf

xx

xxf

xxfa

==

−−=

−=−=

−=

=

=

−

−−

−

−−

3

3

12

2

2

11

12-1

2

1010

)5)(2()("

55

5.1)('

55x

5)( .

xx

xxf

xx

xxf

x

x

xxfb

==

−−=

−=−=

−=

==

=

−

−−

−

−−

−

Tentukan turunan kedua dari :

a. )53(1

)( 2

2++= xx

xxf

b. )53(1

)( 23 xxxx

xf ++=

c. )53(1

)( 2

2++= xx

xxf

d.

−

−=

xxxxxf

1111)(

22

e. xxxxx

xf

+

−=

1111)(

22

D. Persamaan garis singgung pada kurva

Perhatikan !!

Apabila diketahui suatu garis y= mx+ c, maka gradien garis tersebut adalah m

F(x) = nx

a ��

f’(x)= 1

.+

−nx

an

xxxxx

xxxf

xxxxx

xxxf

x

xx

xxxfc

24

24

11

2113

3

13

1

2112

2-

2

2

2

330

2

330

)1()10)(3()("

11010

2.5.2)('

25x

25

25)( .

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

−=−=

−+−−=

+−=+−=

+−=

+=

+=

+=

−−

−−−−

−−

−−−−

−

LatihanLatihanLatihanLatihan 1.2 1.2 1.2 1.2


m = y’

m = y’

Contoh :

1. Diketahui suatu garis y = 5x + 7. Berapa gradient dari gari tersebut?

Jawab:

m = 5

2. Diketahui suatu kurva y = x2 + 5x + 7 melalui titik A(1,13). Berapa gradient dari kurva

yang melalui A tersebut?

Jawab :

m = 2x + 5

melalui (1,13) maka x = 1 � m = 2.(1) + 5

m = 2 + 5 = 7

1. Tentukan gradient suatu garis yang melalui titik A(2,4) dan B(4,6)!

2. Diketahui suatu kurva y = x3 + 2x

2 + 6x + 2 yang melalui titik A(2,30). Tentukan

gradient kurva dititik A!

3. Diketahui suatu kurva y = (x + 4)(x2 – 3) yang melalui titik A(1,-10). Tentukan gradient

kurva dititik A!

4. Diketahui suatu kurva y = x2 + 6x – 14 yang melalui perpotongan garis 2x – y =2 dan x

+ y = 4 . Tentukan gradient kurva dititik perpotongan dua garis tersebut!

5. Buktikan garis 4x – 2y = 3 tegak lurus dengan 3x + 6y = 5!

I. Berilah tanda silang (x) huruf a, b, c, d atau e pada jawaban yang benar!!

1. Turunan pertama dari fungsi f yang

dinyatakan oleh f(x) = - 2x3 + 6 pada

x = 3 adalah …

a. -54 c. 48 e. 45

b. 54 d. -48

2. Derivatif pertama dari fungsi yang

dinyatakan oleh f(x) = -3x2 + 4 pada

x= 3 adalah …

a. 24 c. 18 e. 12

b. -24 d. -18

3. Turunan pertama dari fungsi h(x) =

-10x + 8 pada x = -3 adalah

a. 20 c. -10 e. -4

b. 15 d. -8

Latihan 1.Latihan 1.Latihan 1.Latihan 1.3333

y

x

Y = mx + c Gradien tersebut dapat di cari melalui

Turunan I dari suatu kurva

y = mx + c

y' = m

Latihan Sub-Kom 1


4. Turunan pertama dari fungsi h(x) = 2x3 – 4x

+ 5 pada x = 1 adalah

a. -6 c. 4 e. 2

b. -4 d. 3

5. Turunan pertama dari fungsi h(x) = -4x3 + 8

pada x = -2 adalah

a. 48 c. 36 e. 24

b. -48 d. -36

6. Turunan pertama dari fungsi 2x3 – 4x

2 + 5

pada x = -1 adalah

a. 14 c. 8 e. 6

b. -14 d. -8

7. Derivatif pertama dari fungsi f(x)= 4x4- 6x

2

adalah …

a. f’(x)= 16x3 + 12x

b. f’(x)= 16x4 - 12x

2

c. f’(x)= 16x3 - 12x

d. f’(x)= 16x4 - 12

e. f’(x)= 8x3 + 8x

8. Derivatif pertama dari fungsi f(x)= 5x3- 6x

2 –

4p adalah …

a. f’(x)= 15x2 - 6x

b. f’(x)= 15x2 - 6x - p

c. f’(x)= 15x2 - 12x -4

d. f’(x)= 15x2 – 12x

e. f’(x)= 15x2 - 6x - 4

9. Derivatif pertama dari fungsi f(x)= (2x+4)(4-

2x) adalah …

a. f’(x)= -8x2 + 6

b. f’(x)= -8x

c. f’(x)= -8x2 - 6

d. f’(x)= -8x2 + 6x

e. f’(x)= 8x2 + 8x

10. Turunan pertama dari fungsi g(x)=2(4x-6)2

adalah …

a. g’(x)= 64x2 - 96

b. g’(x)= 64x + 96

c. g’(x)= 64x - 96

d. g’(x)= 64x - 48

e. g’(x)= 16x2 + 96x

11. Turunan pertama dari fungsi g(x)=3x3 +

x adalah …

xxxge

xxxgd

xxgc

xxgb

xxga

x

x

x

29)(' .

9)(' .

9)(' .

9)(' .

9)(' .

2

2

2

12

2

12

12

−=

−=

−=

+=

−=

12. Turunan pertama dari fungsi

xx

xh 62

)(3+= adalah …

a. h’(x) = -6x-1 + 6

b. h’(x) = -6x-3 + 6

c. h’(x) = -6x-4 + 6

d. h’(x) = 4x-4 + 6

e. h’(x) = 2x-4 + 6

13. Turunan pertama dari fungsi

2)2()( xxxf += adalah …

)x(x2 .

x)(1 .2 .

168 .32 .

2

+

++

++−+

c

exxb

xxdxxxa

14. Hasil dx

dy dari xxy 3= adalah …

xx

xxx

xxxx

2

27

52

37

273

37

c.

7 e. b.

d. a.

15. Gradien garis singgung parabola y = x2

pada titik B(-1,1) adalah …

a. -1 c. 3 e. 4

b. -2 d. -4

16. Persamaan garis singgung kurva y = 2x2 +

6 pada titik B(1,8) adalah …

a. y = 2x + 4 c. y = 4x + 8 e. y= 4x+4

b. y + 4x = 8 d. y + 4x = 4

17. Jika f(x) = 4px2 dan f’(2) = 10, maka nilai

p adalah …

a. 3/8 c. 5/8 e. 7/8

b. ½ d. ¾


18. Jika f(x) = 4px2 + qx dan f’(1) = 10 serta ,

f’(-1) = -6 maka nilai p+q adalah …

a. 2 c. 4 e. 6

b. 3 d. 5

19. Gradien garis singgung parabola y = 2x2 + 5x

+ 10 pada titik B(2,1) adalah …

a. -12 c. 13 e. 14

b. 12 d. -14

20. Derivatif kedua dari y = 3x2 + 5x + 10

a. 3 c. 5 e. 7

b. -3 d. 6

II. Jawablah pertanyaan berikut dengan benar!

1. Tentukan turunan ke 3 dari :

a. f(x) = 3x5 + 2x

3 + 5 b.

xxf

3)( = c. f(x) = ( )( )54

12

+− xxx

2. Tentukan persaman garis singgung pada kurva y=2x2 – 3x – 8 dititik yang ber absis -2!

3. Tentukan persamaan garis singgung grafik y = x2 – 4x + 3 yang sejajar dengan garis y =

2x + 3 !

4. Diketahui f(x) = ax2 + bx + c, apabila f’(2) = 10 dan f’(3)= 15. Tentukan nilai dari a + b!

5. Diketahui f(x) = ax2 + 2bx + 10, apabila f’(1) = 10 dan f’(4)= 15. Tentukan nilai dari a +

b!

E. Teorema Turunan Fungsi

Contoh :

1. Turunan dari f(x) = (2x+5) + (3x+7)

Misal U = 2x + 5 V = 3x + 7

U’ = 2 V’ = 3

Maka f’(x) = U’+V’

= 2 + 3 = 5

2. Turunan pertama dari f(x) = (2x+5) (3x+7)

Misal U = 2x + 5 V = 3x + 7

U’ = 2 V’ = 3

Untuk :Untuk :Untuk :Untuk :

1. y = U(x) ± V(x) =�� y’ = U’(x) ± V’(x)

2. y = U(x) . V(x) =�� y’ = U’(x). V(x) + U(x). V’(x)

3. y =

( )( )xV

xU =�� 2[V(x)]

(x)V' U(x). V(x) (x).U''

−=y

4. y = Un

=�� y’ = n. Un-1. U’


Maka f’(x) = U’V+UV’

= 2 (3x+7) + (2x+5) 3

= 6x+14 + 6x+15

= 12x + 29

3. Turunan pertama dari f(x) = 7)(3x

5)+(2x

+

Misal U = 2x + 5 V = 3x + 7

U’ = 2 V’ = 3

Maka f’(x) = 2V

UV'VU' −

= 27)(3x

3 5)(2x 7)(3x 2

+

+−+

= 49429

156x 416x2 ++

−−+

xx

= 49429

12 ++

−

xx

4. Tentukan Turunan dari f(x) = (x2+7)

5 {ingat bentuk f(x) = U

n}

Misal U = x

2 + 7 � U’ = 2x

Maka f’(x) = n Un-1 U’

= 5. (x2+7)

4. 2x

= 10x (x2+7)

4

1. Tentukan turunan pertama dari :

a. f(x) = (x3 + 4x

2+ 6) – (2x

3 + x

2+ 6)

b. f(x) = ( 61−

x) + (2x + )

1

xx

c. f(x) = x3 - (x + )

3

1

x


a. f(x) = (x3 + 5x

2+ 3) (4x

3 + x

2+7)

b. f(x) = (x3 + 5x

2+ 3)

7

c. f(x) = ( 61−

x) (3x + )

1

xx

d. f(x) = (2x3+5x)

3(x – 1)


2

54)( a.

23

−++

=x

xxxxf

( )

2

4)( c.

3

5)( b.

223

2

−

+=

−

+=

x

xxxf

x

xxxf


a. f(x) = (x2 + 3)

4

b. f(x) = 5+x

c. f(x) = x. 5+x

5. Tentukan nilai f’(1) dari :

a. f(x) = (x + 4)(x2-8)

b. 7

5)(

+

−=

x

xxf

c. f(x) = (x2+2x)

4



F. Turunan dalam bentuk fungsi trigonometri

Contoh :


a. y = 2sinx b. y = 8cosx c. y = 2tgx


a. y = 2sinx + 3 cosx b. y = tgx + 10 ctgx c. y = secx + 2 cossecx

Penyelesaian :

1. a. y = 2 sinx b. y = 8 cosx c. y = 2 tgx

y' = 2 cosx y’ = 8 (-sinx) = -8 inx y’ = 2 sec2x

2. a. y = 2sinx + 3 cosx

y' = 2 cosx + 3(-sinx)

y’ = 2cosx -3 sinx

b. y = tgx + 10 ctgx

y’ = sec2x + 10 (- cossec

2x)

y’ = sec2x - 10 cossec

2x

c. y = secx + 2 cossecx

y’ = secx.tgx + 2 (-cossecx.ctgx)

y’ = secx.tgx - 2cossecx.ctgx


a. f(x) = 2 cosx + 4 tgx

b. f(x) = 2 sinx + 2x2

c. f(x) = xxx cos+


a. f(x) = x sinx

b. f(x) = sin2x

c. f(x) = 2 sinx.cosx

3. Tentukan nilai dari f’(600) dari :

a. f(x) = cos2x

b. f(x) = 2{sinx+cosx)

c. f(x) = 2x2 + 2x + sinx


a. f(x) = x

x

cos

sin

b. f(x) = x

x

sin

cos2

1. f(x) = sinx �� f’(x) = cosx

2. f(x) = cosx �� f’(x) = - sinx

3. f(x) = tgx �� f’(x) = sec2x

4. f(x) = ctgx �� f’(x) = - cossec2x

5. f(x) = sec x �� f’(x) = secx.tgx

6. f(x) = cosecx �� f’(x) = -cossecx.ctgx



G. Turunan dalam bentuk fungsi trigonometri f(x) = sin(ax+b)

Contoh :


a. y = 2sin(3x+600) b. y = 8cos(2x

2+3x) c. y = 2tg(3x+4)


a. y = 2sin3x + 3 cosx b. y = tg4x + 10 ctgx

Penyelesaian :

1. a. y = 2 sin(3x+600) b. y = 8 cos(2x

2+3x) c. y = 2 tg(3x+4)

y' = 2 cos(3x+600). 3 y’ = 8 (-sin(2x

2+3x)). (4x+3) y’ = 2 sec

2(3x+4) . 3

y’ = 6 cos(3x+600) y’ = - (32x + 24) sin(2x

2+3x) y’ = 6 sec

2(3x+4)

2. a. y = 2sin3x + 3 cosx

y' = 2 cos3x . 3+ 3(-sinx)

y’ = 6cos3x -3 sinx

b. y = tg4x + 10 ctgx

y’ = sec2 4x.4 + 10 (- cossec

2x)

y’ = 4sec2 4x - 10 cossec

2x


a. f(x) = 2 cos3x + 4 tg2x

b. f(x) = 2 sin(2x2+3x) + 2x

2

c. f(x) = xxx cos+


a. f(x) = x sinx2

b. f(x) = sin2x

c. f(x) = sin2x

3. Tentukan nilai dari f’(600) dari :

a. f(x) = cos2 3x

b. f(x) = 4{sin2x+cos3x)

c. f(x) = 2x2 + 2x + sin(2x

2 + 2x)

1. f(x) = sin (ax+b) �� f’(x) = a cos(ax+b)

2. f(x) = cos (ax+b) �� f’(x) = - a sin (ax+b)

3. f(x) = sin U �� f’(x) = cosU. U’



I. Berilah tanda silang (x) huruf a, b, c, d atau e pada jawaban yang benar!!

1. Turunan pertama dari fungsi f(x) =

6x3 + 8x

2 – 6 adalah …

a. f’(x) = 18x2 – 16x

b. f’(x) = 18x2 + 16x

c. f’(x) = 18x2 + 16

d. f’(x) = 18x3 – 16x

2

e. f’(x) = 9x2 + 16x

2. Jika diketahui f(x) = (3x-4)2, maka

turunan pertamanya adalah …

a. 18x – 12 d. 9x - 12

b. 9x – 24 e. 6x + 24

c. 18x – 24

3 Jika diketahui f(x) = (2x2 - 4)(8 – 4x),

maka turunan pertamanya adalah …

a. 32x – 24x2 + 16 d. 32x +24x

2 +16

b. 32x – 24x2 – 16 e. 32x

2– 24x + 16

c. 32x + 24x2 – 16


x2(2x

2 – 4x) adalah …

a. 8x3 – 16x

2 d. 8x

2 – 16x

b. 8x3 + 16x e. 8x

4 – 16x

2

c. 8x3 – 16x


)( xxxx − adalah …

2

3

2

3

52)(' e.

2)(' d.

52)(' c.

22)(' b.

52)(' a.

25

2

xxxf

xxxf

xxxf

xxxxf

xxxxf

−=

−=

−=

−=

−=


dinyatakan oleh f(x) =

))((2 xxxxx +− adalah

a. 4x3 – 6x d. 4x

3 – 3x

2

b. 4x3 + 3x

2 e. 12x

2 -3x

3

c. 4x

3 + 6x

7. Jika f’(x) turunan pertama dari f(x)= 2x3 –

4x2 + 8 maka hasil dari f(x)-f’(x) adalah

a. 2x3 – 10x

2 + 8x – 8

b. 2x3 + 10x

2 - 8x – 8

c. 2x3 – 10x

2 + 8x + 8

d. 2x3 + 10x

2 + 8x – 8

e. 2x3 – 10x

2 - 8x + 8

8. Derivatif pertama dari fungsi f(x) =

xxxx 24 − adalah

xxx

xx

xxx

xx

xxx

2

54 e.

2

58 d.

2

56 c.

56 b.

56 a.

−

−

−

−

+

9. Jika diketahui f(x) = xx

xx +, maka f’(x)

adalah …

xx

x

x

x

xx

xx

xx

x

xxx

2

1 e.

12 d.

2

2 c.

2

1 b.

2

11 a.

21

21

2

−

−

−

+

−−


dinyatakan oleh f(x) = (5x-6)(2x2 +4)

adalah …

a. 18x2 – 18x + 8 d. 30x

2– 18x+ 20

b. -18x2 + 18x- 8 e. 30x

2 – 24x+ 20

c. -18x2 – 18x – 8

Latihan Sub-Kom 2


11. Jika 3 cos3x + 4sin2x, maka dx

dy

adalah…

a. 9cos3x – 8 sin2x

b. 9sin3x – 8cos2x

c. -9sin3x + 8cos2x

d. 9cos2x – 8 sin3x

e. 4cos2x – 9 sin2x

12. Turunan pertama dari f(x) =

( )1sin1cos

1−

+ xx

adalah

a. sec2x – cosx- sinx

b. sec2x + cos

2x- sinx

c. sec2x – cosx- secx

d. sec2x – cosx-

x2cos

sinx

e. sec2x + cosx + sinx

13. Turunan pertama dari f(x) = 18cosx +

16 sinx adalah

a. -16cosx – 18 sinx

b. 16cosx – 18 sinx

c. -16cosx + 18 sinx

14. Turunan pertama dari f(x) = 2x.sinx

adalah

a. 2cosx – 2x sinx

b. 2cosx + 2x sinx

c. 2sinx – 2x cosx

d. 2sinx + 2x cosx

e. - 2cosx + 2x sinx

15. Jika f(x)= 44 3 32 xx − , maka nilai

f’(16) adalah

32

18.

81

32.

32

18.

4

3.

32

25 a.

db

ec

II. Jawablah pertanyaan berikut ini dengan tepat!

1. Sebuah benda bergerak, kedudukannya setelah t sekon memenuhi persamaan S (t) = 3t2+

4t. Tentukan!

a. Berapa kecepatan rata-rata pada selang waktu t = 3 sekon dan t = 5 sekon?

b. Berapa kecepatan sesaat pada waktu t = 2 sekon?

2. Sebuah perusahaan mendapatkan keuntungan setelah t tahun sebesar 2.500.000t2 –5.000t.

a. Berapa besar keuntungan antara t = 3 tahun dan t = 4 tahun?

b. Berapa laju keuntungan sesaat pada t = 2 tahun?

3. Luas permukaan kubus berusuk x cm ditunjukkan oleh fungsi L(x) = 6 x 2 . Tentukan laju

perubahan luas (L) terhadap x untuk x = 7 cm dengan cara menghitung L’ (7).

4. Sebuah perusahaan memproduksi sejumlah barang ( x ) dengan biaya p ( x ) = 3x2 – 2x +15. Jika biaya

total marginal didefinisikan sebagai dx

dp, tentukan biaya total marginal untuk memproduksi barang itu.

Berapa biaya total untuk memproduksi 20 barang?

5. Garis singgung kurva y =2

4

1x di titik (2,1) memotong sumbu-x di titik A dan memotong sumbu-y di

titik B. Tunjukkan bahwa koordinat titik A dan B adalah A(1,0) dan B(0,–1).


H. Maksimum dan Minimum Fungsi

Misalkan fungi dirumuskan oleh y = f(x) dalam interval I dan f(x) differensiabel pada setiap

x dalam interval tersebut :

Contoh :

Selembar aluminium akan dibuat silinder tanpa tutup dengan volume 8.000π cm3. Tentukan

tinggi dan jari-jari alas silinder agar aluminium yang digunakan seminimal mungkin.

1. f’(x) > 0 �� fungsi naik

2. f’(x) < 0 �� fungsi turun

3. f’(x) = 0 �� fungsi Stasioner

4. f”(x) > 0 �� Nilai balik maksimum

5. f”(x) < 0 �� Nilai balik minimum


LIMIT FUNGSI

Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali Anda mendengar kata-kata hampir atau mendekati.

Misalnya, Ronaldo hamper mencetak gol, kecepatan motor itu mendekati 120 km/jam, dan

sebagainya. Kata hampir atau mendekati dalam matematika disebut limit.

A. Teorema Limit Bentuk (ax→

lim )

B. Cara menentukan nilai limit

1. Menentukan Limit dengan Substitusi Langsung

Ada beberapa fungsi yang nilai limitnya dapat ditentukan dengan cara substitusi langsung seperti

contoh berikut:

1. 53lim 2

2++

→xx

x

2. xxx

32lim 2

1+

→

3. )3)(2(lim2

+−−→

xxx

Dari contoh diatas nilai limit dapat ditentukan melalui substitusi {dengan mengganti nilai x dengan

nilai dibawah limit}

1. 53lim 2

2++

→xx

x= (2)

2 + 3(2) + 5 = 4 + 6 + 5 = 15

2. xxx

32lim 2

1+

→ = 2(1)

2 + 3(1) = 2 + 3 = 5

3. )3)(2(lim2

+−−→

xxx

= [(-2)-2][(-2)+3] = (-4)(1) = 4

2. Menentukan Limit dengan Cara Memfaktorkan Terlebih Dahulu

Jika dengan cara substitusi langsung pada )(

)(lim

xg

xf

ax→ diperoleh bentuk

0

0 (bentuk tak tentu),

lakukan pemfaktoran terlebih dahulu terhadap f (x) dan g(x). Kemudian, sederhanakan ke bentuk

paling sederhana. Agar lebih jelas, perhatikan uraian berikut.


Nilai limit :

00

0

a

proses}lanjutkan boleh,{tidak 0

0

=

∞=

a

)(

)(lim

)()(

)()(lim

)(

)(lim

xq

xp

xqax

xpax

xg

xf

axaxax →→→=

−−

=

P(x) ≠ 0 dan q(x) ≠ 0.

(x – a) didapat dari pembuat nolnya {nilai dibawah limit}

)(

)(lim

xg

xf

ax→ x � 0 bisa diartikan x = 0

X – 0 = 0 { Nol pindah ruas}

Contoh :

1. 2

6lim

2

2 −−+

→ x

xx

x

2. 82

6lim

2

2

2 −+

−+→ xx

xx

x

3. 32

6lim

2

2

3 −+

−+−→ xx

xx

x

4. 3

3lim

3 −

−→ x

x

x

5. xx

xx

x 2

7lim

2

2

0 +

+→

6. xx

xx

x 2

6lim

2

2

2 +

−+→

Jawab :

1. 2

6lim

2

2 −−+

→ x

xx

x

Dicek nilainya 0

0

2)2(

6)2()2(

2

6lim

22

2=

−−+

=−−+

→ x

xx

x � Jalankan proses!!!

532

3lim

2

)3)(2(lim

2

6lim

2

2

2

2

=+=

+=−

+−=

−−+

→

→→

x

x

xx

x

xx

x

xx

2. 82

6lim

2

2

2 −+

−+→ xx

xx

x

Dicek nilainya 0

0

8)2(22

622

82

6lim

2

2

2

2

2=

−+

−+=

−+

−+→ xx

xx


6

5

42

32

)4(

)3(lim

)4)(2(

)3)(2(lim

82

6lim

2

22

2

2

=++

=

++

=

+−+−

=−+

−+

→

→→

x

x

xx

xx

xx

xx

x

xx


3. 32

6lim

2

2

3 −+

−+−→ xx

xx

x

Dicek nilainya ( ) 0

0

332)3(

6)3()3(

32

6lim

2

2

2

2

3=

−−+−

−−+−=

−+

−+−→ xx

xx


4

5

)1)3((

)2)3((

)1(

)2(lim

)3)(1(

)3)(2(lim

32

6lim

3

32

2

3

−−

=−−−−

=

−−

=

+−+−

=−+

−+

−→

−→−→

x

x

xx

xx

xx

xx

x

xx

4. 3

3lim

3 −

−→ x

x

x

Dicek nilainya 0

0

33

33

3

3lim

3=

−

−=

−

−→ x

x


0033

3lim

3

33lim

3

3lim

3

33

==−=

−=

−

−−=

−

−

→

→→

x

x

xx

x

x

x

xx

5. xx

xx

x 2

7lim

2

2

0 +

+→

Dicek nilainya 0

0

0.20

0.70

2

7lim

2

2

2

2

0=

+

+=

+

+→ xx

xx


2

7

20

70

)2(

)7(lim

)2(

)7(lim

2

7lim

0

02

2

0

=++

=

++

=

++

=+

+

→

→→

x

x

xx

xx

xx

xx

x

xx

6.xx

xx

x 2

6lim

2

2

2 +

−+→

Dicek nilainya 08

0

2.22

622

2

6lim

2

2

2

2

2==

+

−+=

+

−+→ xx

xx

x


Latihan 2.1Latihan 2.1Latihan 2.1Latihan 2.1

2

- myikhsan.files.wordpress.com filesetiap siswa harus mengerjakan semua soal dengan kemampuan ......

Documents