bab 4 turunan - relifline.files.wordpress.com filebab 4.. turunan 36 m1 = - x - f(x) 1 ( 1) x f x...
TRANSCRIPT
BAB 4. TURUNAN
Sebelum membahas turunan, terlebih dahulu ditinjau tentang garis singgung
pada suatu kurva.
A. Garis singgung
Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatu
kurva. Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 1a. Akan tetapi
jika terdapat dua buah titik pada suatu kurva maka berkemungkinan garis singgung
yang menyinggung salah satu titik akan memotong kurva pada titik lainnya. Untuk
lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 1b.
Untuk mendapatkan pengertian yang lebih jelas mengenai garis singgung kita
perlu mendefinisikan kemiringan garis singgung l pada titik A(x1,f(x1)) yang terletak
pada grafik fungsi. Selanjutnya pada grafik fungsi tersebut kita pilih suatu titik
B(x,f(x)). Jika kita hubungkan titik A dan B maka akan terbentuk garis l1 yang
mempunyai kemiringan :
A
l
(a)
(b) Gambar 1. garis singgung
A
B l
Bab 4.. Turunan
36
m1 = x- f(x) -
1
1)(xxf
Jika f(x) kontinu pada selang [A,B] maka kita dapat mendekatkan titik B ke
titik A dengan jalan memperkecil jarak antara x dan x1. Dalam bentuk limit hal
tersebut dapat ditulis dalam bentuk :
x
xfmxxxx −
=→→ 1x
f(x) - )(limlim 11
11
Persaman ini adalah kemiringan garis l1 jika x mendekati x1. Jika kita perhatikan
Gambar 2 maka kita dapat melihat bahwa kemiringan garis l1 jika x mendekati x1
adalah mendekati kemiringan garis l. Dalam bentuk limit dapat ditulis :
mx
xfmxxxx
=−
=→→ 1x
f(x) - )(limlim 11
11
Jadi :
x
xfmxx −
=→ 1x
f(x) - )(lim 1
1
l1
A l
B
x x1
h
x 0
y
Gambar 2. Kemiringan garis
Kemirngan garis l1 = m1
Bab 4.. Turunan
37
Karena x1 – x = h, maka h
f(x) - )(lim0
hxfmh
+=
→
Jika dimisalkan h = ∆x, maka x
f(x) - ∆∆
∆
)(lim0
xxfmx
+=
→
Tiga persamaan adalah kemiringan garis l pada titik (x, f(x))
Contoh 1 :
Diketahui f(x) = 3x2 + 5. Tentukan kemiringan dan persamaan garis singgung yang
melalui titik (a,a2)
Penyelesaian :
xf(x) -
∆∆
∆
)(lim0
xxfmx
+=
→
xxxxxx
xx ∆∆∆
∆∆
∆∆
53563lim5)(3lim22
0
2
0
−−+++=
−++=
→→
22 x)3(x x
3x-5
xxxx
636lim0
=+=→
∆∆
Jadi m = 6x (*)
Persamaan garis singgung : y = mx + n (**)
Karena garis singgung melalui titik (a,a2) maka :
persamaan (*) menjadi :m = 6a
persamaan (**) menjadi : a2 = 6a2 + n. Sehingga n = -5a2
Persamaan garis singgung menjadi : y = 6ax – 5a2
B. Turunan
Turunan adalah hasil dari proses differensiasi suatu fungsi. Differensiasi dapat
dimisalkan sebagai suatu mesin yang memproses masukan f(x) menjadi turunan f(x)
atau f ’(x).
Selanjutnya turunan didefinisikan sebagai kemiringan garis yang menyinggung
kurva f(x)di titik (x, f(x)). Berdasarkan persamaan 4.3 dan Gambar 4.3 maka definisi
turunan dapat ditulis dalam bentuk :
Bab 4.. Turunan
38
xx
xfxfxf
xx −−
=→ 1
1 )()(lim)('
1
, jika nilai limitnya ada
Jika persamaan di atas dapat dipenuhi berarti f(x) dapat didifferensiasikan
(differensiable) pada x. Maka dikatakan f(x) mempunyai turunan pada x.
Contoh 2
Jika f(x) = 2x2 + 5x – 7, tentukan f ’(x), f ’(c) dan f ’(3)
Penyelesaian :
f(x) = 2x2 + 5x – 7
f(x+∆x) = 2(x+∆x)2 + 5(x+∆x) – 7 = 2x2 + 4x∆x +2(∆x)2 + 5x + 5∆x – 7
f(x+∆x) – f(x) = 4x∆x + 2(∆x)2 + 5∆x
54524lim5)(24lim)()(lim)('0
2
00+=++=
++=
−+=
→→→xxx
xxxxx
xxfxxfxf
xxx∆
∆∆∆∆
∆∆
∆∆∆Jadi : 54)(' += xxf
54)(' += ccf
175)3(4)3(' =+=f
Catatan: Selain notasi 'f , turunan fungsi y = f(x) juga dapat dituliskan dengan notasi
dy/dx .
Pada uraian terdahulu telah dijelaskan bahwa suatu fungsi f dikatakan
differensiable jika memenuhi persamaan 4.6, yaitu :
Jika :x
xfxxfx ∆
∆∆
)()(lim0
−+→
ada, maka x
xfxxfxfx ∆
∆∆
)()(lim)('0
−+=
→
f(x+∆x)- f(x)= xx
xfxxf ∆∆∆
•−+ )()(
xx
xfxxfxfxxfxxx
∆∆∆∆
∆∆∆ 000lim.)()(lim))()((lim→→→
−+=−+ = 'f (x) . 0 = 0
Sehingga : )(lim)(lim00
xfxxfxx →→
=+∆∆
∆ → )()(lim0
xfxfx
=→∆
(terbukti)
Bab 4.. Turunan
39
Jadi jika f adalah fungsi yang differensiabel pada x maka f dikatakan kontinu pada x.
Sebaliknya jika f adalah fungsi yang kontinu pada x, maka tidak secara otomatis f
differensiable pada x.
C. Sifat – sifat turunan
1. Turunan bilangan konstan
Jika c suatu bilangan konstan dan y didefinisikan sebagai :
y = f(x) = c maka 0)(' == xfdxdy
2. Jika n adalah sembarang bilangan bulat, k adalah sembarang bilangan ril dan jika y
didefinisikan sebagai :
y = f(x) = kxn maka 1)(' −== nknxxfdxdy
Contoh 3
Tentukan turunan pertama dari f(x) = 5x7
Penyelesaian :
617 35)7)(5()(' xxxfdxdy
=== −
3. Aturan penjumlahan
Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan
sebagai :
y = h(x) = f(x) + g(x) maka )(')(' xgxfdxdy
+=
Contoh 4 :
Diketahui y = 5x6 + 2x-3. Tenrtukan dxdy
Penyelesaian :
f(x) = 5x6 g(x) = 2x-3
Bab 4.. Turunan
40
f’(x) = 30x5 g’(x) = -6x-4
=dxdy f’(x) + g’(x) = 30x5 – 6x-4
4. Aturan perkalian
Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan
sebagai :
y = h(x) = f(x).g(x) maka )(')()()(' xgxfxgxfdxdy
+=
Contoh 5 :
Diketahui y = (3x5 + 2x-2)(7x+3)
Tentukan dxdy
Penyelesaian :
f(x) = 3x5 + 2x-2 g(x) = 7x+3
f’(x) = 15x4 – 4x-3 g’(x) = 7
dxdy = 126x5 + 45x4 - 14x-2 – 12x-3
5. Aturan pembagian
Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai :
y = h(x) = )()(
xgxf
maka [ ]2)(
)(')()()('xg
xgxfxgxfdxdy −
=
Contoh 6 :
Tentukan turunan dari h(x) = 3
24
432
xxx −
Penyelesaian :
23
22433
2 )4()12)(32()4)(68(
)]([)(').()().(')('
xxxxxxx
xgxgxfxgxfxh −−−
=−
=
Bab 4.. Turunan
41
= 6
46
6
4646
166012
1636242432
xxx
xxxxx −
=−−− = 2
2
4153
xx −
6. Turunan fungsi komposisi
Jika y = f(u) dan u = g(x) maka dxdu
dudy
dxdy
=
Persamaan ini disebut aturan rantai
Contoh 7 :
Tentukan dxdy jika y = (4x3 + 5x2 – x + 4)3
Penyelesaian :
Misal u = 4x3 + 5x2 – x + 4 y = u3
11012 2 −+= xxdxdu 23u
dudy
=
)11012(3 22 −+== xxudxdu
dudy
dxdy
2232 )454)(11012(3 +−+−+= xxxxx
Soal-soal
Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut !
1. f(t) = at2 – bt + 17 6. ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
xx
xxf 1
54
45)( 3x-
2. f(x) = 2x-5 + 3 25x 7. g(t) = (at2+bt+c)2(3at–7)5
3. ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=
2x
xxg 2)( 8.
cwawbwg+
−=
2)(
4. h(x) = 21
54
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
xx 9.
3
22
)()()(
dctbtattf
−
−=
5. w(x) = 3
347
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +2x-
x 10.
5)3()(
2
+−
=t
ttg
Bab 4.. Turunan
42
D. Turunan fungsi-fungsi trigonometri
1. Jika y = sin x maka xcos)(' == xfdxdy
Bukti :
xxxx
xxfxxfxf
dxdy
xx ∆∆
∆∆
∆∆
sin)sin(lim)()(lim)('00
−+=
−+==
→→
x
xxxxxx ∆
∆∆∆
sinsincoscossinlim0
−+=
→
x
xxxxx ∆
∆∆∆
sincos)1(cossinlim0
+−=
→
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
−=
→ xxx
xxx
x ∆∆
∆∆
∆
sincos)1(cossinlim0
x
xxxxx
xx ∆∆
∆∆
∆∆
sinlimcos1coslimsin00 →→
+−
=
= (sin x)(0) + (cos x)(1) = cos x (terbukti)
2. Jika y = sin u dan u = f(x) maka dxduu
dxdy cos= .
3. Jika y = f(x) = cos x maka x sin)x('fdxdy
−==
4. Jika y = cos u dan u = f(x) maka dxdu
u sindxdy
−=
Contoh 8 :
Jika y = sin(π-2x), tentukan dxdy
Penyelesaian :
Misal u = π - 2x y = sin u
2−=dxdu u
dudy cos=
)2cos(2)2)((cos xudxdu
dudy
dxdy
−−=−== π
Bab 4.. Turunan
43
Contoh 9 :
Jika y = 2
cos x tentukan dxdy
Penyelesaian :
Misal u = 2x y = cos u
2/1=dxdu u
dudy sin−=
22
1)(sin( xudxdu
dudy
dxdy sin
21-) =−==
Contoh 10
Jika y = sin 2x cos 3x, tentukan dxdy
Penyelesaian :
Misal u = sin 2x v = cos 3x
xdxdu 2cos2= 3x sin3−=
dxdv
)3sin3)(2(sin)3)(cos2cos2(. xxxxdxdvuv
dxdu
dxdy
−+=+=
xxxx 3sin.2sin33cos.2cos2 −=
Contoh 11
Jika y = xx
4cos3sin , tentukan
dxdy
Penyelesaian :
Misal u = sin 3x v = cos 4x
xdxdu 3cos3= 4x sin4−=
dxdv
22 )4(cos
)4sin4)(3(sin)4)(cos3cos3(..
xxxxx
vdxdvuv
dxdu
dxdy −−
=−
=
Bab 4.. Turunan
44
x
xxxx4cos
4sin.3sin44cos.3cos32+
=
5. Jika y = f(x) = tan x maka x2sec)(' == xfdxdy
6. Jika y = tan u maka dxduu)2(sec=
dxdy
Contoh 12
Jika y = 5 tan 3x, tentukan dxdy
Penyelesaian :
Misal u = 3x y = 5 tan u
3=dxdu u
dudy 2sec5=
xuudxdu
dudy
dxdy 3sec15sec15)3)(sec5( 222 ====
7. Jika y = f(x) = cot x maka x2csc)(' −== xfdxdy
8. Jika y = cot u maka dxduu)2csc(−=
dxdy
Contoh 13 :
Jika y = x31cot
21 , tentukan
dxdy
Penyelesaian :
Misal u = x31 y = ucot
21
31
=dxdu u
dudy 2csc
21
−=
xuudxdu
dudy
dxdy
31csc
61csc
61)
31)(csc
21( 222 −=−=−==
Bab 4.. Turunan
45
9. Jika y = f(x) = sec x maka xxxfdxdy tansec)(' ==
10. Jika y = sec u maka dxduu)u
dxdy tan(sec =
11. Jika y = f(x) = csc x maka xx xfdxdy cotcsc)(' −==
12. Jika y = csc u maka dxduu)u
dxdy cotcsc( −=
Contoh 15 :
Jika y = )xcsc(31
−π , tentukan dxdy
Penyelesaian :
Misal u = π-x y = ucsc31
1−=dxdu cotu u
dudy csc
31
−=
x)-cot( cotu cotu ππ )csc(31csc
31)1)(csc
31( xuu
dxdu
dudy
dxdy
−==−−==
Soal-soal
Tentukan turunan pertma dari fungsi-fungsi berikut !
1. f(x) = )32
sin( π−
x 6. f(x) = )3
(csc4 x−π
2. f(x) = cos )3x
2( −π 7. g(t) = t cos t2sin
21
π
3. f(x) = tan3 x 8. h(w) = )cos()sin(
bwaw−−
ππ
4. h(x) = cot3x 9. g(t) = )cos(2sin2
tbtat
−−
5. h(x) = )32
(sec5 π−
x 10. g(t) = t
t3sin
sin cos2t
Bab 4.. Turunan
46
E. Turunan fungsi-fungsi trigonometri invers
Berikut beberapa turunan fungsi invers trigonometri ( fungsi siklometri)
1. Jika y = f(x) = arcsin x maka 2x1
1)x('f
dxdy
−==
Bukti :
y = arcsinx → sin y = x → 1dxdx
dxdy
ycos == → ycos
1dxdy
=
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini !
sin y = x
cos y = 21 x−
21
1
xdxdy
−= (terbukti)
21 x−
2. Jika y = arcsin u dan u = f(x) maka dxdu
udxdy
21
1
−=
Contoh 16 :
Jika y = )31arcsin(
83 x− , tentukan
dxdy
Penyelesaian :
Misal u = x31
− y = uarcsin83
31
dxdu
−= 21
183
ududy
−=
22
9118
131
1
183
xudxdu
dudy
dxdy
−−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−
−==
3. Jika y = f(x) = arccos x maka 21
1)('x
xfdxdy
−−==
1 x
y
Bab 4.. Turunan
47
4. Jika y = arccos u dan u = f(x) maka dxdu
udxdy
21
1
−−=
Contoh 17 :
Jika y = 2x arccos3− , tentukan dxdy
Penyelesaian :
Misal u = 2x y = u arccos3−
2dxdu
= 21
13udu
dy
−=
22 41
6)2(1
13xudx
dududy
dxdy
−=
−==
5. Jika y = f(x) = arctan x maka 2x1
1)x('f
dxdy
+==
6. Jika y = arctan u dan u = f(x) maka dxdu
u1
1dxdy
2+=
Contoh 18 :
Jika y = x31
arctan53 , tentukan
dxdy
Penyelesaian :
Misal u = x31 y = uarctan
53
31
dxdu
= 2u1
153
dudy
+=
)
911(5
131
11
53
22xudx
dududy
dxdy
+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+==
7. Jika y = f(x) = arccot x maka 2x1
1)x('f
dxdy
+−==
8. Jika y = arccot u dan u = f(x) maka dxdu
u1
1dxdy
2+−=
Bab 4.. Turunan
48
Contoh 19 :
Jika y = 2 arccot 3x, tentukan dxdy
Penyelesaian :
Misal u = 3x y = 2 arccot u
3dxdu
= 2u1
12
dudy
+−=
22 x91
6)3(
u1
12
dxdu
dudy
dxdy
+−=
+−==
9. Jika y = f(x) = arcsec x maka 1xx
1)x('f
dxdy
2 −==
10. Jika y = arcsec u dan u = f(x) maka dxdu
1uu
1dxdy
2 −=
Contoh 20 :
Jika y = arcsec )2
( x−π , tentukan
dxdy
Penyelesaian :
Misal u = x−2π y = arcsec u
1−=dxdu
1
12 −
=uudu
dy
1)
2()
2(
1)1(1
1
22
−−−
−=−−
==
xxuudxdu
dudy
dxdy
ππ
11. Jika y = f(x) = arccsc x maka 1
1)('2 −
−==xx
xfdxdy
12. Jika y = arcsec u dan u = f(x) maka dxdu
uudxdy
1
12 −
−=
Contoh 21 :
Bab 4.. Turunan
49
Jika y = arccsc )2
x(π
− , tentukan dxdy
Penyelesaian :
Misal u = 2
xπ
− y = arccsc u
1dxdu
= 1uu
1dudy
2 −−=
1)
2x()
2x(
1 )1(
1uu
1dxdu
dudy
dxdy
22−
π−
π−
−=−
−==
Soal-soal
Carilah turunan pertama dari soal-soal berikut !
1. y = arcsin(π-x) 3. xarccos
x2cosy =
2. y = -3 arccos 4x 4. y = arctan x – sin 3x
F. Turunan fungsi eksponensial
1. Jika y = f(x) = ex maka == )(' xfdxdy ex
2. Jika y = eu dan u = f(x) maka dxdu
edxdy u=
Contoh 22 :
Jika y = bxae2 −− , tentukan dxdy
Penyelesaian : Misal : u = a – bx
dxdu = -b
bxabxa be)b)(e(dxdy −− −=−=
Bab 4.. Turunan
50
G. Turunan fungsi logaritma
1. Jika y = f(x) = ln x maka == )(' xfdxdy
x1
2. Jika y = ln u dan u = f(x) maka dxdu
udxdy 1
=
Contoh 23 :
Jika y = e2x ln x31 tentukan
dxdy
Penyelesaian : Misal : u = e2x v = ln x31
x2e2dxdu
= x1
dxdv
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=+=+=
x1
x31
ln2ex1
ex31
lne2dxdv
.uv.dxdu
dxdy x2x2x2
3. Jika y = f(x) = alog x maka == )x('fdxdy
x )a(ln1
4. Jika y = alog u dan u = f(x) maka dxdu
u)a(ln1
dxdy
=
Contoh 24 :
Jika y = 7log(3-5x) tentukan dxdy
Penyelesaian : Misal : u = 3 – 5x → 5dxdu
−=
)x53)(7(ln
5dxdu
u )a(ln1
dxdy
−−
==
Soal-soal
Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut !
1. y = xe3x 4. y = x4
2
e
x3lnx 7. y = x4ln
ex
31
10. y =
xlne
ex5lnxx
x−
Bab 4.. Turunan
51
2. y = x3e2
2x3−
5. y = x
x
eexx
2
)4(ln + 8. y = xex
23
5 )1log( 3−
−
3. y = x3 ln2x 6. y = xx
653ln2
− 9. y =
x4log
ex3
bxa3 −
H. Turunan fungsi hiperbolik
1. Jika y = f(x) = sinhx maka == )x('fdxdy coshx
2. Jika y = sinh u dan u = f(x) maka =dxdy cosh u
dxdu
Contoh 25 :
Jika y = 3 sinh x51 , tentukan
dxdy
Penyelesaian :
Misal : u = x51 y = 3 sinh u
51
dxdu
= u cosh3dudy
=
x31
cosh53
)51
u)( cosh3(dxdu
dudy
dxdy
===
3. Jika y = f(x) = coshx maka == )x('fdxdy sinhx
4. Jika y = cosh u dan u = f(x) maka =dxdy sinh u
dxdu
Contoh 26 :
Jika y = cosh (1-2x), tentukan dxdy
Penyelesaian :
Misal : u = 1-2x y = sinh u
2dxdu
−= u coshdudy
=
)x21cosh(2)u)(-2 (coshdxdu
dudy
dxdy
−−===
Bab 4.. Turunan
52
5. Jika y = f(x) = tanhx maka == )x('fdxdy sech2 x
6. Jika y = tanh u dan u = f(x) maka =dxdy sech2 u
dxdu
Contoh 27 :
Jika y = tanh (a+bx), tentukan dxdy
Penyelesaian :
Misal : u = a+bx y = tanh u
bdxdu
= uhdudy 2sec=
bx) (a hb u)(b)hdxdu
dudy
dxdy
+=== 22 sec(sec
8. Jika y = f(x) = cothx maka == )(' xfdxdy -csch2 x
9. Jika y = coth u dan u = f(x) maka =dxdy - csch2 u
dxdu
Contoh 28 :
Jika y = coth (a+bt), tentukan dtdy
Penyelesaian :
Misal : u = a+bt y = coth u
bdtdu
= u hcscdudy 2−=
bt) (ahb u)(b)h(dtdu
dudy
dtdy
+−=−== 22 csccsc
10. Jika y = f(x) = sech x maka == )(' xfdxdy -csch2 x
11. Jika y = sech u dan u = f(x) maka =dxdy - tanh u sech u .
dxdu
Contoh 29 :
Jika y = 2sech )51
31( x− , tentukan
dxdy
Penyelesaian :
Bab 4.. Turunan
53
Misal : u = x51
31− y = 2 sech u
51
−=dxdu huu
dudy sectanh −=
x)h(x) ()hu)(-u (dxdu
dudy
dxdy
51
31sec
51
31tanh
52
51sectanh2 −−=−==
12. Jika y = f(x) = csch x maka == )(' xfdxdy -csch x coth x
13. Jika y = csch u dan u = f(x) maka =dxdy - coth u csch u
dxdu
Contoh 30 :
Jika y = -3 csch )21
51( x+ , tentukan
dxdy
Penyelesaian :
Misal : u = x21
51+ y = -3 csch u
21
=dxdu huu
dudy csccoth3=
x)h(x) ()hu)( udxdu
dudy
dxdy
21
51sec
21
51coth
23
21csccoth3( ++===
Soal-soal
Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut !
1. y = sinh(2-3x) 6. y = )21coth(
2
xcbxax
+++
2. y = cosh(a2x – b) 7. y = xh
e ax
2sec
−
3. y = x2 sinh5x 8. y = )54ln(
3secxxh
−
4. y = emx cosh2x 9. y = 1)-csch(x 3
51 x
Bab 4.. Turunan
54
5. y = ln(2-x) tanh3x 10. y = h(a-bx) ex
csc31
I. Turunan fungsi hiperbolik invers
1. Jika y = f(x) = sinh-1x maka == )x('fdxdy
1x
12 +
2. Jika y = sinh-1 u dan u = f(x) maka =dxdy
dxdu
1u
12 +
Contoh 31 :
Jika y = -3sinh-1 x21 , tentukan
dtdy
Penyelesaian :
Misal : u = x21 y = -3 sinh-1u
21
dxdu
= 1u
1dudy
2 +=
1x
41
2
1)
21
)(1u
1(
dtdu
dudy
dtdy
22+
=+
==
3. Jika y = f(x) = cosh-1x maka == )x('fdxdy
1x
12 −
, x > 1
4. Jika y = cosh-1 u dan u = f(x) maka =dxdy
dxdu
1u
12 −
, u > 1
Contoh 32 :
Jika y = cosh-1 x43 , tentukan
dxdy
Penyelesaian :
Misal : u = x43 y = cosh-1u
43
dxdu
= 1u
1dudy
2 −=
1x
169
4
3)
43
)(1u
1(
dtdu
dudy
dtdy
22+
=−
==
Bab 4.. Turunan
55
5. Jika y = f(x) = tanh-1x maka == )x('fdxdy
2x1
1
−, 1x <
6. Jika y = tanh-1 u dan u = f(x) maka =dxdy
dxdu
u1
12−
, 1u <
Contoh 33 :
Jika y = tanh-1(2x-1), tentukan dxdy
Penyelesaian :
Misal : u = 2x - 1 y = tanh-1u
2dxdu
= 2u1
1dudy
−=
22 )1x2(1
2)2)(
u1
1(
dxdu
dudy
dxdy
−−=
−==
7. Jika y = f(x) = coth-1x maka == )x('fdxdy
2x1
1
−, 1x >
8. Jika y = coth-1 u dan u = f(x) maka =dxdy
dxdu
u1
12−
, 1u >
Contoh 34 :
Jika y = 3 coth-1(2-3x), tentukan dxdy
Penyelesaian :
Misal : u = 2-3x y = 3 tanh-1u
3dxdu
−= 2u1
3dudy
−=
22 )x32(1
9)3)(
u1
3(
dxdu
dudy
dxdy
−−−=−
−==
9. Jika y = f(x) = sech-1x maka == )x('fdxdy
2x1x
1
−− , 1x0 <<
10. Jika y = sech-1 u dan u = f(x) maka =dxdy
dxdu
u1u
12−
− , 1u0 <<
Bab 4.. Turunan
56
Contoh 35 :
Jika y = -2 sech-1(1-x), tentukan dxdy
Penyelesaian :
Misal : u = 1-x y = 2 sech-1u
1dxdu
−= 2u1u
2
dudy
−−=
22 )x1(1)x1(
2)1)(
u1u
2 (
dxdu
dudy
dxdy
−−−=−
−−==
11. Jika y = f(x) = csch-1x maka == )x('fdxdy
2x1x
1
+−
12. Jika y = csch-1 u dan u = f(x) maka =dxdy
dxdu
u1u
12+
−
Contoh 36 :
Jika y = csch-1(sinx), tentukan dxdy
Penyelesaian :
Misal : u = sinx y = csch-1u
xcosdxdu
= 2u1u
1
dudy
+−=
xsin1xsin
xcos )x)(cos
u1u
1 (
dxdu
dudy
dxdy
22 +−=
+−==
Soal-soal
Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi :
1. y = sinh-1(cosx) 4. y = x2 coth-1x
2. y = cosh-1(sin2x) 5. y = sech-1(x sinx)
3. y = tanh-1(3x+π) 6. y = e-2x csch-1(1-2x)
J. Turunan tingkat tinggi
Bab 4.. Turunan
57
Jika terdapat suatu fungsi f(x) yang differensiable, maka kita dapat mencari
turunan pertamanya yaitu f’(x). Jika turunan pertama tersebut juga differensiable
maka kita dapat menentukan turunan kedua dari fungsi tersebut. Secara umum jika
turunan ke (n-1) differensiable maka kita dapat menentukan turunan ke n dari fungsi
tersebut. Biasanya turunan ke dua dan seterusnya dari suatu fungsi disebut turunan
tingkat tinggi. Turunan pertama, kedua dan ketiga ditulis dengan lambang :
2,
dxy
dxdy 2d dan
3
3
dxyd atau )(''),(' xfxf , dan )(''' xf . Sedangkan untuk
turunan ke n, dimana n ≥4, maka kita gunakan lambang :ndxynd atau f(n)(x).
Contoh 37 :
Tentukan turunan pertama sampai dengan turunan keempat dari f(x) = (x2-4)3
Penyelesaian :
2222 )4x(x6)x2()4x(3)x('fdxdy
−=−==
)4x(x24)4x(6)4x)(x4(x6)4x(6)x(''fdx
yd 22222222
2−+−=−+−==
x288x120x48)4x(x48)4x(x24)x('''fdx
yd 33223
3−=+−+−==
288x360)x(fdx
yd 2)4(4
4−==
Soal-soal
Tentukan turunan kedua dari fungsi-fungsi :
1. f(x) = 2x e-x 2. f(x) = ln(a-bx) 3. f(x) = 1x
x2 +
4. f(x) = 2
2
x1
4x
−
+ 5. f(x) = sin2(a-bx) 6. f(x) = cos2 (mx+n)
K. Differensial
Bab 4.. Turunan
58
Pada pembahasan mengenai masalah turunan kita telah menggunakan
lambang dy/dx sebagai suatu kesatuan dan merupakan lambang dari turunan pertama
suatu fungsi x. Pada pasal ini kita akan membahas pengertian dy dan dx secara
terpisah. Misal terdapat suatu persamaan y = f(x). Dari Gambar 4.5
didapat : x xy
y ∆⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∆∆
=∆
Jika harga ∆x sangat kecil, maka ∆y menjadi sangat kecil juga. Sehingga
persamaan dapat ditulis menjadi :
dx )x(fdy ′=
Pada persamaan diatas dx dan dy disebut differensial dari x dan y. Differensial y atau
dy adalah perubahan kecil pada peubah y akibat adanya perubahan kecil pada peubah
x atau dx.
Contoh 38 :
Jika y = x2 - 2x – 3, tentukan differensial y
Penyelesaian :
f(x) = x2 - 2x – 3
∆x = dx l1
f(x) l
f(x + ∆x)
f(x)∆y
dy
y
x x+∆x x 0
Gambar 4.5
Bab 4.. Turunan
59
f’(x) = 2x – 2
Sehingga : dy = (2x-2) dx = 2(x-1) dx
Contoh 39 :
Volume sebuah silinder adalah V = πr2h. Jika jari-jari silinder tersebut membesar 1%
dari jari-jari asal, tentukan perubahan volumenya.
Penyelesaian :
f(r) = πr2h
f’(r) = 2πrh
dV = f’(r) dr = 2πrh (0,01r) = 0,02 πr2h
Jadi perubahan volume silinder adalah sebesar 0,02 πr2h
Soal-soal
Kerjakan kedua soal berikut dengan metode differensial !
1. Sebuah bola mempunyai jari-jari 15 cm. Akibat meningkatnya temperatur
maka jari-jari bola tersebut meningkat menjadi 15,02 cm. Berapakah
perubahan volume bola tersebut ?
2. Sebuah kolam renang berisi penuh dengan air.Ukuran kolam renang tsb
adalah sebagai berikut : panjang = 50 m, lebar = 20 meter dan kedalaman =
3 meter. Akibat adanya penguapan kedalaman air berkurang menjadi 2,98
m. Berapakah volume air yang menguap ?
L. Turunan fungsi implisit
Pada pasal-pasal sebelumnya kita telah mempelajari turunan fungsi-fungsi
eksplisit, yaitu fungsi yang mempunyai bentuk y =f(x). Akan tetapi tidak semua
fungsi mempunyai bentuk eksplisit. Sebagian mempunyai bentuk implisit, yaitu fungsi
yang mempunyai bentuk F(x,y) = 0. Untuk mencari turunan fungsi implisit kita
gunakan aturan sebagai berikut :
1. Jika pada F(x,y) = 0 mengandung suku g(x), maka :
Bab 4.. Turunan
60
)(')( xgxgdxd
=
2. Jika pada F(x,y) = 0 mengandung suku h(y), maka :
dxdyyhyh
dxd )(')( =
3. Jika pada F(x,y) = 0 mengandung suku u(x) dan v(y), maka :
[ ]dxdyyvxuyvxuyvxu
dxd )(').()().(')().( +=
Contoh 40 :
Tentukan dxdy dari : x2 – 3xy +y2 = 4
Penyelesaian :
x2 – 3xy +y2 = 4 → x2 – 3xy +y2 – 4 = 0
2x – 3y – 3xdxdy + 2y
dxdy - 0 = 0
( 2y – 3x )dxdy = 3y - 2x →
x3y2x2y3
dxdy
−+
=
Contoh 41 :
Tentukan dxdy dari : x2y + xy2 = 6 pada titik (1,2)
Penyelesaian :
x2y + xy2 = r2 → x2y + xy2 - r2 = 0
2xy + x2dxdy
+ y2 + 2xydxdy = 0
(x2 + 2xy)dxdy = -(2xy + y2) →
)2()2(
2
2
xyxyxy
dxdy
+
+−= →
58
21
−===
yxdx
dy
Soal-soal
1. Tentukan dxdy dari :
i) x + y = sinxy iii) xy = cos (x+y)
ii) y = exy iv) y = ln(xy)
Bab 4.. Turunan
61
2. Tentukan nilai dxdy pada titik (1,0) dari :
i) 3xy2 + ex+y = e
ii) x2 + y2 + xy = 1
M. Turunan fungsi parameter
Fungsi parameter adalah fungsi yang mempunyai bentuk :
x = f(t) dan y = g(t) , dengan t adalah parameter.
Untuk menentukan turunan pertama atau dy/dx dari fungsi parameter,
terlebih dahulu kita tentukan dx/dt dan dy/dt. Serlanjutnya dy/dx dicari dengan
rumus:
dt/dxdt/dy
dxdy
=
Soal-soal
Tentukan dxdy dari fungsi parameter berikut :
1. ⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
+=22
3
)4t(y
)3t(x 3. ⎩⎨⎧
=π−=
t2cosy)tsin(x
2. ⎪⎩
⎪⎨⎧
−==
)7t5ln(yex t2
4.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
++
=
tt1
y
1t1t
x
2
2