1. integral - · pdf filetentukan fungsi f(x) jika diketahui turunan pertama fungsi itu...

Modul Pembelajaran Matematika 12A Semester 1

Agus Sudiana, S.Pd SMA Plus Negeri 4 OKU 1

1. Integral

1. Integral Tak Tentu

• Integral sebagai Anti Turunan

F(x) = x3 → F’(x) = 3x

2

F(x) = x3+10 → F’(x) = 3x

2

F(x) = x3-27 → F’(x) = 3x

2

.

..

F(x) = x3+ c (c=konstanta) → F’(x) = 3x

2

Jadi fungsi F(x) = x3+ c (c=konstanta) dinamakan fungsi Anti Turunan dari F’(x) = 3x

2

Contoh lain:

1) F’(x) = 12x5 mempunyai anti turunan F(x)=2x

6+c, karena jika F(x) = 2x

6 + c

diturunkan (didiferensiasikan) akan menghasilkan F’(x) = 12x5

2) Anti turunan dari F’(x) = x11adalah F(x) =

12

12

1x + c

Selanjutnya istilah Anti Turunan dinamakan “Integral Tak Tentu”

• Notasi dan Rumus-rumus integral Tak Tentu

Lambang integral tak tentu adalah “ ∫ ”

Integral tak tentu dari fungsi F(x) = 3x2 , dapat ditulis:

∫ F(x)dx = ∫ 3x2dx = x

3+ c (c=konstanta)

Contoh berikutnya:

� ∫ 12x5dx = 2x

6 + c

� ∫ x11dx =

12

12

1x + c

Rumus-rumus integral tak tentu fungsi aljabar:

� ∫ kdx = kx + c

� ∫ axndx = cx

n

a n ++

+1

1

Standar Kompetensi: 1. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar:

1.1 Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu

1.2 Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana

1.3 Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volum benda putar



� ∫ k.F(x)dx = k ∫ F(x) dx

� ∫ { }dxxGxF )()( + = ∫ F(x) dx + ∫ G(x) dx

� ∫ { }dxxGxF )()( − = ∫ F(x) dx - ∫ G(x) dx

Integral fungsi khusus:

� Fungsi logaritma natural, ∫ dxx

1 = ln x +c

� Fungsi eksponen, ∫ exdx = e

x + c

� Fungsi Trigonometri,

� ∫ sin x dx = -cos x + c

� ∫ cos x dx = sin x + c

Contoh Penyelesaian:

1) ∫ (6x-10)dx = 3x2- 10x + c

2) ∫ (12-4x3)dx = 12x - x

4 + c

3) ∫ ( dxxxx

)cos33

2+− = ∫ (3x

2−-x 2

1

+3 cos x)dx

= -3x cxx ++−− sin33

22

31

= ++−−xxx

xsin3

3

23

Soal Latihan: Tentukanlah hasil dari pengintegralan fungsi berikut:

1) ∫ (3x-2)2dx

2) ∫ dxx

xxxx

−+

4

100122 3

3) ∫ dxx

xx

+−2cos

2sin5cos4 ……………ingat,

x2cos

1

adalah turunan dari tan x

• Contoh Penggunaan Integral Tak Tentu � Tentukan fungsi f(x) jika diketahui turunan pertama fungsi itu f’(x) = 6x – 5 dan f(1) = 10 !

Penyelesaian:

F(x) = ∫ f’(x)dx = ∫ (6x – 5)dx

= 3x2- 5x + c

F(1) = 3 – 5 + c = -2 + c F(1) = 10

-2 + c = 10 a c = 12

Persamaan fungsi yang diperoleh adalah F(x) = 3x2- 5x + 12



� Kurva fungsi y = f(x) di sebarang titik (x,y) memiliki persamaan gradien y’ = 2x – 3. Jika kurva y melalui titik A(3,5) tentukanlah persamaan kurva fungsi tersebut! Penyelesaian: Persamaan gradien garis pada kurva identik dengan fungsi turunan pertama, maka

Y = ∫ y’dx = ∫ (4x-3)dx

= 2x2- 3x + c

Melalui titik A(3,5) artinya f(3) = 5 F(3) = 18 – 9 + c = 9 + c

9 + c = 5 ⇒ c = -4

Persamaan kurva, y = 2x2- 3x – 4

� Sebuah partikel bergerak dengan laju v m/det pada saat t detik memenuhi persamaan v(t) = 8t-1.

Pada saat t=1 detik posisi benda adalah s=6 meter. Tentukanlah posisi benda (s) sebagai fungsi waktu (dalam t)! Penyelesaian:

S(t) = ∫ (8t-1)dt = 4t2-t + c

t = 1 ⇒ s(1) = 4 – 1 + c

s(1) = 6 c = 3

s(t) = 4t2-t + 3

Pada soal di atas, jika ditanyakan berapa jauh posisi partikel pada t = 10 detik, maka nilai yang dimaksud sama dengan s(10)= 397 meter.

2. Integral Tentu

• Teorema Dasar Kalkulus dan Integral Tentu

Jika fungsi y=f(x) kontinu pada selang [ ]ba, dan F(x) merupakan integral tak tentu dari fungsi f(x),

maka Teorema Dasar Kalkulus dapat dinyatakan sebagai: Notasi di atas selanjutnya menjadi rumus untuk Integral Tentu. Sifat-sifat Integral Tentu:

(1) ∫ =a

a

dxxf 0)(

(2) ∫ ∫−=b

a

a

b

dxxfdxxf )()(

(3) ∫∫ =b

a

b

a

dxxfkdxxfk )()(.

(4) { } ∫ ∫∫ ±=±b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

[ ] )()()()( aFbFxFdxxfb

a

b

a

−==∫



(5) ∫ ∫ ∫=+c

a

b

c

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()( untuk a<c<b

(6) a. Jika f(x)>0 pada [ ]ba, maka ∫ >b

a

dxxf 0)(

b. Jika f(x)<0 pada [ ]ba, maka ∫ <b

a

dxxf 0)(

Contoh Penyelesaian:

1) ∫1

0

4xdx = 2x2 ]

1

0

= 2(1)2-2(0)

2= 2

2) ∫∫ +−=−3

1

23

1

2 )12()1( dxxxdxx

= ]3

1

23

3

1xxx +−

=

+−

3)3()3(3

1 23-

+− 1)1()1(3

1 23

= 23

2

3. Penggunaan Integral Tentu

• Perhitungan Luas Daerah Perhatikan gambar berikut!

Y=f(x) Luas = ∫b

a

dxxf )(

a b Contoh Penyelesaian : 1)

y = 24 x−

1 2



Luas = ∫ −2

1

2)4( dxx

= [ ]21

3314 xx −

= ))1()1(4())2()2(4( 3313

31 −−−

= )4()8( 31

38 −−−

= )()( 3112

3824 −− −

= 35

2) 5

5=+ yx

3 5

Luas = dxx)5(3

0∫ −

= [ ]30

2215 xx −

= )0())3()3(5( 221 −−

= )15( 29−

= 221

• Perhitungan Volum Benda Putar Daerah diarsir, diputar 5 mengelilingi Sumbu X se-

5=+ yx jauh 360o, diperoleh

bangun ruang dengan volum a b 5

Soal dan Contoh:

1) Pada gambar di atas,

xyyx −=⇔=+ 55 22 1025 xxy +−=⇔

Misalkan batas kiri dan kanan daerah yang diputar masing-masing x1=0 (Sumbu Y) dan x 2 =3

dxxxV )1025(3

0

2∫ +−= π

∫=b

a

dxyV 2π



=

3

0

32

3

1525

+− xxxπ

= { }0)3(3

1)3(5)3(25( 32 ππ −

+−

= )94575( +−π

= 39π satuan volum

2) Vomum benda putar yang dihasilkan dari daerah

berikut yang diputar mengelilingi sumbu X 360o

Y y = x2

1 2

y = x2 xy 22 =⇔ ∫=2

1

2xdxv π = [ ]212xπ

= { }22 12 −π

= { }14 −π

= 3π satuan volum

SOAL LATIHAN:

Pilihlah jawaban yang paling tepat ! 1. SIPENMARU 1985

dxxx∫ adalah ….

A. cxx +2

3

B. cxx +2

2

5

C. cxx +2

3

D. cxx +5

2

E. cxx +2

2

3

2. SIPENMARU 1984

....2

1 =∫ dxxx

A. cx

+− 1

B. cx

+−3

1

C. cx

+1

D. cx

+− 2

E. cx

+−2

1

3. EBTANAS 1996

Diberikan 886)(' 2 −−= xxxf dan

9)2( −=−f . Jika )(' xf adalah turunan

dari )(xf maka ....)( =xf

A. 16842 23 −−− xxx

B. 16842 23 +−− xxx

C. 23842 23 +−− xxx

D. 7842 23 +−− xxx



E. 48842 23 +−− xxx

4. EBTANAS 1998 Gradien garis singgung kurva pada setiap titik

(x,y) dinyatakan oleh +−= xxdx

dy63 2

1.

Kurva melalui titik (2,-3), maka persamaan kurva adalah ….

A. 53 23 −+−= xxxy

B. 13 23 ++−= xxxy

C. 123 23 ++−= xxxy

D. 13 23 −+−= xxxy

E. 53 23 ++−= xxxy

5. EBTANAS 1996

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah … satuan luas. Y

y= x2

1

xy =

X

A. 3

1

B. 3

4

C. 3

8

D. 1

E. 3

5

6. EBTANAS 1998

Luas daerah yang dibatasi kurva

42 −= xy ,

Sumbu X dan garis x=3 adalah … A. 13

B. 3

25

C. 3

21

D. 2

7

E. 2

7. Nilai ∫ −+1

1a (2x – 8) dx

= -25, untuk a = …. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

7. UMPTN 1995

Jika ∫ =+=1

0

,1)(,)( dxxfbaxxf dan

∫ =2

1

,5)( dxxf maka ...=+ ba

A. 3 B. 4 C. 5 D. -3 E. -4

8. EBTANAS 2000

Volum benda putar yang terjadi jika daerah

yang dibatasi oleh parabola 2xy = dan

parabola xy 82 = diputar mengelilingi sumbu

X sebesar 3600 adalah … satuan volum

A. 5

49

B. 5

29

C. 5

24

D. 5

19

E. 5

14



9. Daerah D terletak di kuadran pertama yang

dibatasi oleh parabola 2xy = , parabola

24xy = , dfan garis y=4. Volum bendaputar

yang terjadi bila D diputar terhadap Sumbu Y

sejauh 360o adalah ….

A. π3

B. π4

C. π6

D. π8

E. π12

10. UJIAN NASIONAL 2007

Daerah yang dibatasi oleh kurva

,3,1,4 ==−= xxxy dan sumbu X diputar

mengelilingi sumbu X sejauh 360o, maka volum

benda yang terjadi adalah ….

A. 4 π3

2 satuan volum

B. 6 π3

1 satuan volum

C. 8 π3

2 satuan volum

D. 10 π3

2 satuan volum

E. 12 π3

1 satuan

13. UJIAN NASIONAL 2008 Nilai a yang memenuhi

∫ =+1

22 14)1(12a

dxxx adalah ….

A. -2 B. -1 C. 0

D. 21

E. 1

14. UJIAN NASIONAL 2008 Jika daerah diarsir pada gambar diputar

mengelilingi sumbu X sejauh 360o maka volume

benda putar yang terjadi adalah ....

A. π15

123 satuan volume

B. π15

83 satuan volume

C. π15

77 satuan volume

D. π15

43satuan volume

E. π15

35 satuan volume



4. Integral Lanjutan

a) Integral Fungsi Trigonometri Ingat pendiferensialan fungsi terigonometri, 1) Jika f(x) = sin x, maka f’(x) = cos x 2) Jika f(x) = cos x, maka f’(x) = -sin x

3) Jika f(x) = tan x, maka

xxf

xxfx

xf

2

2

2

tan1)('

sec)('cos

1)('

+==

=

a ingat: tan x = x

x

cos

sin

4) Jika f(x) = cot x, maka

+−=−=

−=

xxf

xxfx

xf

2

2

2

cot1()('

csc)('sin

1)('

a ingat: cot x = x

x

sin

cos

5) Jika f(x) = sec x, maka f’(x) = sec x tan c (ingat: sec x = xcos

1)

6) Jika f(x) = csc x, maka f’(x) = -csc x cot x (ingat: csc x = xsin

1)

Dengan mengingat integral sebagai anti diferensial, maka dapat dinyatakan :

(vii) ∫ += cxxdx sincos

(viii) ∫ +−= cxxdx cossin

(ix) ∫ += cxxdx tansec2

(x) ∫ +−= cxxdx cotcsc2

(xi) ∫ += cxxdxx sectansec

(xii) ∫ +−= cxxdxx csccotcsc

Contoh:

1) ∫ +++=−+ cxxxdxxxxx csc2tansin2)cotcsc3seccos2( 2

2) ∫ ++=− cxxdxxxx cot2sec5)csc2tansec5( 2

Soal latihan: Tentukan penyelesaian dari integral bentuk trigonometri berikut!

a. dxxx )cos7(sec2 −∫

b. dxx

xx )2sin

3cotcsc4(

2π−+∫

c. ∫ ++ dxxx )5sin4tan5( 2

b) Integral dengan Substitusi Sederhana

Pandang bentuk integral berikut:

1:1

1

−≠

++

= +∫

nsyarat

cxn

adxax nn

Dengan mengganti variable integrasinya, diperoleh bentuk



yang identik,

1:1

. 1

−≠

++

= +∫

nsyarat

cun

kduuk nn

Misalkan u = f(x) , maka bentuk integral tersebut dapat dinyatakan :

1:

)}({1

))(()}({ 1

−≠

++

= +∫

nsyarat

cxfn

kxfdxfk nn

Agar mudah difahami, dapat dilihat dari contoh aplikasi rumus sebagai berikut: Contoh 1

Tentukan hasil dari dxxx 832 )15(3 −∫ !

Penyelesaian

Misalkan u = x3-15 ⇒

23xdx

du =

⇔ du = 3x2dx

dxxx 832 )15(3 −∫ = dxxx 283 3)15( −∫

= duu∫8

= cu +9

9

1

= cx +− 93 )15(9

1

Contoh 2

Selesaikanlah ∫ +−

−52 )134(

)38(

xx

dxx!

Penyelesaian

Misalkan u = x2- 3x + 1⇒ 38 −= x

dx

dudxxdu )38( −=⇔

∫ +−

−52 )134(

)38(

xx

dxx= ∫ 5u

du = duu∫

−2

5

= cu +−

−2

3

231

= cxx ++−− −2

32 )134(3

2

= cxxxx

++−+−

−

)13()13(

222



Bagaimana integral fungsi trigonometri dengan cara substitusi? Pada prinsipnya sama, yaitu dengan memandang ada bagian fungsi yang turunannya identik dengan bagian fungsi lainnya. Contoh Selesaikan integral fungsi berikut !

a. xdxx cossin12 5∫

b. ∫ x

xdx11cos

sin

c. ∫ − )3(tan

sec2

x

xdx

d. xdxx 37 cossin∫

Penyelesaian:

a. misalkan u = sin x xdxdu cos=⇒

xdxxcossin12 5∫ = duu∫

512

=2u6+c

=2 sin cx +6

b. misalkan u = cos x xdxdu sin−=⇒

xdxdu sin=−⇔

∫ x

xdx11cos

sin= ∫

−11u

du= duu∫

−− 11

= cu +− −10

10

1

= cu

+−1010

1

c. misalkan u = tan x - 3 dxdu 2sec=⇒

∫ − )3(tan

sec2

x

xdx=

TIPS: Jika pada bagian integran (fungsi yang akan diintegralkan) terdapat bagian fungsi (factor) yang merupakan turunan/diferensial dari fungsi lainnya, maka integran tersebut dapat diselesaikan dengan cara substitusi. Nyatakan bagian fungsi yang paling kompleks sebagai u, tentukan derivative u (du). Lanjutkan! Contoh

pada dxxx 832 )15(3 −∫ ;

bentuk 3x 2 adalah turunan dari u = (x )153 −



cxcucuduuu

du+−=+=+== ∫∫

−3tan22

21

12

12

1

d. xdxx 37 cossin∫ = xdxxx 27 coscossin∫

= dxxxx )sin1(cossin 27 −∫ (ingat, cos xx 22 sin1−= )

= dxxxx )cossincos(sin 97 −∫

= cxx +− 108 sin10

1sin

8

1

Catatan: kita bisa membuktikan kebenaran hasil integral ini dengan cara mendiferensialkannya.

Soal Latihan: Dengan mensubstitusi bagian fungsinya, selesaikanlah soal-soal berikut!

a. ∫ +−− dxxxxx 6232 )52)(43(

b. ∫ −++

132 )10032(

)912(

xx

dxx

c. dxxx∫ −3 72 )210((5

d. xdxxsincos12 3∫

e. ∫ − )10(tan

sec3 2

x

xdx

c) Integral Parsial

Ingat kembali pendiferensialan fungsi F(x) = u(x).v(x)

dvxuduxvdFdx

dvxuxv

dx

du

dx

dF)()()()( +=⇔+=

Selanjutnya u(x) ditulis u dan v(x) ditulis v, diperoleh: dF = v.du + u.dv

∫ ∫ ∫+= dvuduvdF .. ∫

⇔ F = ∫ ∫+ udvduv. ⇔ u.v = ∫ ∫+ udvduv.

Dari bentuk tersebut, diperoleh rumus integral parsial

Contoh 1

Tentukan hasil dari ∫ xdxx cos.10 !

TIPS:::: Carilah bagian fungsi yang jika didiferensialkan hasilnya identik dengan bagian lain integran, misalkan sebagai u(x)

(1) ∫ ∫−= dvuvuduv ... ;

atau

(2) ∫ ∫−= duvvudvu ...



Penyelesaian Misalkan u = 10x dan dv = cos x dx Maka dapat ditentukan

u = 10x ⇒ du = 10 dx (didiferensialkan)

dv = cos x dx⇒ v = sin x (diintegralkan)

∫ ∫−= duvvudvu ...

∫ ∫−= dxxxxxdxx 10.sinsin.10cos.10

= 10x sin x – 10 ∫ xdxsin

= 10x sinx - 10 (-cos x) + c = 10x.sinx + 10 cos x + c Contoh 2

Selesaikanlah dengan integral parsial dxxx∫ + 42 )3(6 !

Penyelesaian

Misalkan u = 6x2 ⇒ du = 12x dx

dv = (x+3)4 dx ⇒ v =

5)3(5

1 +x

dxxx∫ + 42 )3(6 = 6x2.

5)3(5

1 +x - ∫5)3(

5

1 +x .12x.dx

= 6x2.

5)3(5

1 +x - ∫5)3(

5

12 +xx

.dx

Ada proses pengintegralan kembali menggunakan rumus integral parsial, untuk penyelesaian bagian akhir penyelesaian,

Misalkan u = 5

12x⇒ du =

5

12 dx; dv = (x+3)

5dx⇒ v=

6)3(6

1 +x

∫5)3(

5

12 +xx

dx = 5

12x.

6)3(6

1 +x - dxx5

12)3(

6

1 6+∫

= cxxx ++−+ 76 )3)(7

1(

5

2)3(

5

2

Maka hasil akhir diperoleh:

dxxx∫ + 42 )3(6 = 6x2.

5)3(5

1 +x - cxxx ++++ 76 )3(35

2)3(

5

2

TIPS:::: Integran yang dapat diselesaikan dengan cara parsial dapat dilihat dari bentuk fungsinya yang terdiri dari perkalian dua fungsi, dengan satu bagian dapat didiferensialkan sampai nol, sedangkan satu bagian lain dapat diintegralkan (dengan cara biasa).



SOAL LATIHAN : 1) Uraian

Selesaikanlah soal-soal berikut dengan menggunakan integral secara parsial!

a. ∫ xdxxsin4

b. xdxx cos3 2

∫

c. dxxxx 42 )12)(35( −+−∫

d. ∫ − dxxx )25(2

e. dxxx )4cos(12 2 π−∫

2) Soal Pilihan ganda Pilihlah jawaban yang paling tepat 1. EBTANAS 1996

∫ =+ ....2cos)1( xdxx

A. cxxx +++ 2cos4

12sin)1(

2

1

B. - cxxx +−+ 2cos4

12sin)1(

2

1

C. cxxx +++ 2cos42sin)1(2

D. - cxxx +−+ 2cos42sin)1(2

E. cxxx +−+ 2cos4

14sin)1(

2

1

2. EBTANAS 1997

Hasil dari ∫ + 8

93

2

x

dxx =….

A. cx ++ 86

1 3

TIPS:::: Untuk menyederhankan prosedur, bias dicoba cara berikut:

Untuk menyelesaikan dxxx∫ + 42 )3(6 digunakan

table berikut: u = 6x2 +

dv= (x+3)4

12x -

5)3(5

1 +x

12 +

6)3(30

1 +x

0 7)3(210

1 +x

Maka:

dxxx∫ + 42 )3(6

=. 52

)3(5

6 +xx

- cxxx ++++ 76 )3(35

2)3(

5

2

Keterangan: Tanda panah( ) mewakili perkalian sesuai arah panah.

TIPS:::: Pastikan bahwa integran berbentuk u(x).v(x), dan u(x) atau v(x) dapat diturunkan sampai nol, sedangkan lainnya bisa diintegralkan.



B. cx ++ 86 3

C. cx ++ 82

3 3

D. cx ++ 818 3

E. - cx ++ 82

3 3

3. EBTANAS 1997

∫ =+3

6

....)sin4cos6(

π

π

dxxx

A. 3- 32

B. -1+ 3

C. -5+ 35

D. 2+ 33

E. 1+ 35

4. EBTANAS 1988

xdxxcossin6 5∫ adalah ….

A. cx +6sin

B. cx +6cos

C. - cx +6sin

D. - cx +6cos

E. 30 cx +4sin

5. EBTANAS 2001

Hasil ...12 2 =+∫ dxxx

A. cx ++122

3 2

B. cx

++12

1

2

32

C. cx

++12

1

3

22

D. cxx +++ 12)12(3

2 22

E. cxx +++ 12)12(6

1 22

6. EBTANAS 1988

....sin2

0

2 =∫ xdxx

π

A. 2π

B. π

C. 1−π

D. 2−π

E. 1 F.

7. EBTANAS 1993

...)14()2( 2 =+++∫ dxxxx

A. cxxxx +++++ 14)14(3

1 22

B. cxxxx +++++ 14)14(3

2 22

C. cxxxx +++++ 14)14(3

1 222

D. cxxxx +++++ 14)14(3

2 222

E. cxxxx +++++ 14)14(3

4 222

8. EBTANAS 2000

...53

2

=−∫

x

dxx

A. cx +− 53

2 3

B. cx +− 53

1 3

C. cx +− 56

1 3

D. cx +− 58

1 3

E. cx +− 59

1 3


Hasil ....42

33

2

=+∫ dx

x

x

A. Cx ++ 424 3

B. Cx ++ 422 3

C. Cx ++ 42 3

D. Cx ++ 42 321

E. Cx ++ 42 341




Hasil ∫ = ....3cos.5sin4 xdxx

A. Cxx +−− 2cos28cos2

B. Cxx +−− 2cos8cos41

C. Cxx ++ 2cos8cos41

D. Cxx +−− 2cos28cos21

E. Cx ++ 2cos28cos41



2. Program Linear 1. Fungsi Linear dan Grafiknya

a. Bentuk Umum

♦ baxy +=

Grafik berbentuk garis lurus dengan gradien (m) = a Gradien garis disebut juga koefisien arah.

Jika garis y membentuk sudut α terhadap sumbu X, maka a=αtan .

• cbyax =+

Gradien garis/kurva m=b

a−

Y a

cbyax =+ abc =⇔

b X Contoh: Persamaan garis yang Y ditunjukkan gambar adalah

3 1553 =+ yx

5 X Berlaku secara umum, untuk semua a dan b bilangan Real.

• Persamaan garis yang mempunyai gradien m, melalui titik (p,q):

)( pxmqy −=−

• Persamaan garis yeng melalui titik A( 11, yx ) dan titik B( 22, yx ):

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

−−=

−−

Standar Kompetensi:

2. Menyelesaikan masalah program linear

Kompetensi Dasar:

2.1 Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel

2.2 Merancang model matematika dari masalah program linear

2.3 Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan penafsirannya



• Titik potong grafik fungsi linear cbyax =+ dengan sumbu-sumbu koordinat :

- Memotong sumbu X pada ( 0,0x ) dengan a

cx −=0

- Memotong Sumbu Y pada ( 0,0 y ) dengan b

cy −=0

b. Grafik Pertidaksamaan Linear

Pandang pertidaksamaan cbyax ≠+ !

Misalkan diketahui grafik cbyax =+ sebagaimana gambar (1) maka grafik/daerah yang

ditunjukkan oleh pertidaksamaan cbyax ≤+ ditunjukkan oleh gambar (2).

Y a

cbyax =+ abc =⇔

b Gambar (1) Y Daerah penyelesaian adalah yang diarsir. a Ditentukan dengan sebarang titik uji, misalnya dengan

cbyax ≤+ mensubstitusikan titik

O(0,0) pada pertidaksamaan b Gambar (2) Contoh lain : Y Daerah diarsir 4 mempunyai pertidaksamaan:

2054 −≥− yx

atau

-5 2045 ≤− xy



2. Sistem Pertidaksamaan Linear Siatem pertidaksamaan linear adalah gabungan dua atau

lebih pertidaksamaan linear. Daerah penyelesaian (disebut daerah feasible) merupakan irisan dari daerah-daerah pertidaksamaan yang ada. Contoh 1: Tentukan daerah pertidaksamaan yang memenuhi sistem pertidaksamaan:

≤+≤+5

1232

yx

yx

Penyelesaian:

• Menggambar grafik persamaan masing-masing, Diperoleh titik-titik potong dengan sumbu koordinat:

- garis 632 =+ yx mempunyai titik-titik potong: (0,4) dan (6,0);

- garis 7=+ yx memotong titik (0,5) dan (5,0)

• Daerah kedua grafik pertidaksamaan diarsir, maka persekutuan dari daerah arsir adalah penyelesaiannya.

Y Daerah feasible

5=+ yx (penyelesaian)

1232 =+ yx

Contoh 2: Gambar daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan:

≥≥

≤+≤+

1

0

72

63

y

x

yx

yx

Dengan urutan langkah yang sama seperti pada contoh 1 (di atas) diperoleh daerah penyelesaian yang memenuhi empat kali arsiran sebagaimana pada gambar di bawah ini.



Y 6

63 =+ yx

27

72 =+ yx

X

2 7 3. Model Matematika dalam Program Linear

• Merupakan pemindahan dari permasalahan dalam bahasa sehari-hari ke dalam bahasa “matematik”

• Terdiri dari dua atau lebih pertidaksamaan linear, berbentuk :

≠+

≠+≠+

333

222

111

:

cybxa

cybxa

cybxa

⇒ tanda “≠ ”mewakili tanda ≥≤ atau

• Terdapat 2 (dua) variabel/peubah, biasanya menggunakan variabel x dan y

• Daerah penyelesaian atau daerah himpunan jawab atau daerah feasible terletak pada kuadran pertama, memenuhi nilai x dan y tak negatif.

• Memuat fungsi obyektif berbentuk cbyaxxf ++=)( , yang merupakan fungsi maksimum atau fungsi

minimim. Contoh1 Ibu akan membuat pempek untuk keluarga, yang terdiri dari dua macam pempek, jenis I dan jenis II. Pempek jenis I memerlukan 100 gram sagu dan 25 gram ikan, sedangkan pempek jenis II membutuhkan 50 gram sagu dan 50 gram ikan.Bahan yang sudah disiapkan Ibu adalah 2,5 kg sagu dan 1 kg ikan, dan Ibu ingin membuat pempek sebanyak-banyaknya. Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Penyelesaian: Misalkan banyaknya pempek jenis I yang dibuat adalah x, dan pempek jenis II adalah y. Permasalahan dapat disederhanakan dalam bentuk tabel data sebagai berikut:

JENIS

PEMPEK

BANYAK PEMPEK

KEBUTUHAN SAGU

(g)

KEBUTUHAN IKAN

(g)

I

x

100

25

II

y

50

50

PERSEDIAAN

2500

1000



Bahan yang digunakan tidak boleh lebih dari persediaan yang ada, sehingga dipakai lambang “ ≤ “ Sistem pertidaksamaan yang diperoleh:

≤+⇔≤+≤+⇔≤+

40210005025

502250050100

yxyx

yxyx

Banyaknya pempek tidak negatif sehingga x,y 0≥

Model matematika lengkap untuk permasalahan yang ada menjadi:

≥≥

≤+≤+

0

0

402

502

y

x

yx

yx

Contoh2

Luas areal parkir adalah 176 m2. Luas rata-rata mobil sedan dan bus masing-masing 4 m

2dan 20 m

2.

Maksimum jumlah kendaraan yang dapat diparkir adalah 20 kendaraan dengan biaya parkir masing-masing Rp 1.000,00 per jam dan Rp 2.000,00 per jam. Dianggap dalam 1 jam tidak ada kendaraan yang pergi atau datang. Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Penyelesaian:

JENIS KENDARAAN

BANYAKNYA

(m2)

KEBUTUHAN

AREA (m2)

sedan

x 4

bus

y 20

AREA YANG TERSEDIA 20 176

. Sistem pertidaksamaan linear yang diperoleh:

≥≥

≤+≤+

0

0

445

20

y

x

yx

yx

Fungsi Obyektif atau fungsi optimum:

yxyxfz 20001000),( +==

Contoh 3 Dari permasalahan pada Contoh 2 di atas misalkan akan ditentukan daerah penyelesaian, titik-titik ektstrem (titik verteks), dan nilai maksimum (pendapatan maksimum) diperoleh dengan urutan penyelesaian sbb:



20 44/5 (14,6) 20 44 Titik-titik ekstrem dari gambar diperoleh : O(0,0), A(20,0), B(14,6) Dan C(0,44/5) Nilai maksimum ditentukan dengan substitusi nilai ekstrem, diperoleh:

600.17)544,0(

000.26)6,14(

000.20)0,20(

0)0,0(

=

==

=

f

f

f

f

Jadi nilaimaksimumnya adalah Rp. 26.000,- SOAL-SOAL LATIHAN:

1. UMPTN 2000

Rokok A yang harganya Rp. 1.000,00 dijual dengan harga RP 1.100,00 per bungkus, sedangkan rokok B yang harga belinya Rp. 1.500,00 dijual dengan hargaRp. 1.700,00 per bungkus. Seorang pedagang rokok yang mempunyai modal Rp. 300.000,00 dan kiosnya dapat menampung 250 bungkus, akan mendapatkan keuntungan maksimum jika ia membeli ....

A. 150 bungkus rokok A dan 100 bungkus

rokok B. B. 100 bungkus rokok A dan 150 bungkus

rokok B. C. 250 bungkus rokok A dan 200 bungkus

rokok B D. 250 bungkus rokok A saja E. 200 bungkus rokok B saja.


Setiap hari seorang ibu diharuskan makan dua jenis tablet. Tablet jenis pertama mengandung 4 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B, sedangkan jenis kedua mengandung 3 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam suatu hari ibu tersebut memerlukan minimal 13 unit vitamin A dan 4 unit vitamin B. Jika harga tablet jenis pertama Rp

600,00 per buah dan tablet jenis kedua Rp 800,00 per buah, maka pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah ....

A. Rp. 3.600,00 B. Rp. 3.000,00 C. Rp. 2.400,00 D. Rp. 2.000,00 E. Rp. 1.400,00

3. UJIAN NASIONAL2006

Perisahaan tas dan sepatu mendapat pasokan 8 unsur P dan 12 unsur K setiap minggu untuk produksinya. Setiap tas memerlukan 1 unsur P dan 2 unsur K, dan sepatu memerlukan 2 unsur P dan 2 unsur K. Laba untuk setiap tas adalah Rp. 18.000,00 dan setiap sepatu adalah Rp 12.000,00. Keuntunganmaksimum perusahaan yang diperoleh adalah ,,,, A. Rp 120.000,00 B. Rp. 108.000,00 C. 96.000,00 D. Rp. 84.000,00 E. Rp 72.000,00

5. EBTANAS 1999

Nilai maksimum dari yxyxf += 2),( yang

memenuhi system pertidaksamaan :



≥≥

≤+≤+

0

0

6

82

y

x

yx

yx

adalah ....

A. 4 B. 6 C. 10 D. 12 E. 16

6.UJIAN NASIONAL 2002

Jika (x,y) terletak pada daerah yang dibatasi oleh

,21,0,0 yxydanyx −≤≤+≥≥

maka nilai terbesar dari yx +2 adalah ....

A. 3,5 B. 4 C. 4,5 D. 5 E. 5,5

7. SPMB 2002

Nilai maksimum dari 6−+= yxz yang

memenuhi

danyxyx ,34083,0,0 ≤+≥≥

28047 ≤+ yx adalah ....

A. 52 B. 51 C. 50 D. 49 E. 48


Tanah seluas 10.0002 akan dibangun toko untuk 2

tipe. Untuk toko tipe A diperlukan tanah seluas 1002

dan tipe B diperlukan 752. Jumlah toko yang

dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan tiap tipe A awbwaR Rp 7.000.000,00 dan tiap tipe B sebesar Rp 4.000.000,00. Keuntungan maksimum yang diperoleh dari penjualan toko tersebut adalah .... A. Rp 575.000.000,00 B. Rp 675.000.000,00 C. Rp 700.000.000,00 D. Rp 750.000.000,00 E. Rp 800.000.000,00



3. Matriks

1. Pengertian, Notasi, dan Ordo

• Pengertian Matriks adalah susunan objek-objek (elemen, unsur) dalam bentuk persegi panjang, yang terdiri dari baris dan kolom.

• Notasi Nama matriks dalam huruf capital dan anggota/elemen/unsur matriks dibatasi tanda “kurung siku” atau “kurung besar”.

• Ordo matriks Ordo matriks menyatakan banyaknya baris dan kolom dari sebuah matriks. Pandang matriks A berikut:

A =

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

...

...............

...

...

...

321

3333131

2232221

1131211

Matriks A mempunyai ordo (m X n), biasanya A )(mXn

11a menyatakan unsur matriks yang terletak pada baris ke-1 dan kolom ke-1.

na3 menyatakan unsur matriks pada baris ke-3 dan kolom ke-n

2ma menyatakan unsur matriks pada baris ke-m dankolom ke-2

Dan seterusnya sehingga mna menyatakan unsur matriks pada baris ke-m dan kolom ke-n.

Standar Kompetensi: 3. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar:

3.1 Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain

3.2 Menentukan determinan dan invers matriks 2 x 2

3.3 Menggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel

3.4 Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah

3.5 Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalah.

3.6 Menggunakan transformasi geometri yang dapat dinyatakan dengan matriks dalam pemecahan masalah

3.7 Menentukan komposisi dari beberapa transformasi geometri beserta matriks transformasinya



Contoh1: Berikut ini adalah contoh-contoh matriks berikut ordonya masing-masing:

A =

32

41 Ordo A )22( X ; B =

− 07

321

1 t

Ordo B )23( X

C =

−x

3

10

2

Ordo C )14( X ; D =

−−

113107

3112 21

Ordo D )52( X

Contoh2:

Diketahui matriks A =

−−

1170

282

13

1031

m

Dari matriks A )34( X tersebut dapat ditentukan hasil, misalnya:

a. 1111)1(1433211 −=−−+=−+ aaa

b. 16)2(53)3(353 332112 =+−=+− aaa

c. 31412)()( 32311

233 =−=−=− aa

• Beberapa Matriks Khusus (1) Matriks persegi, mempunyai banyak baris dan kolom yang sama.

A =

32

41; B =

591

523

891

; dst

(2) Matriks baris, mempunyai tepat satu baris.

C = [ ]212 ; D = [ ]21123 ; dst

(3) Matriks Kolom, mempunyai tepat satu kolom.

E =

−2

3; F =

−11

5

0

2

; dst

(4) Matriks Nol, yaitu matriks persegi yang seluruh anggotanya nol.

G =

00

00; H =

000

000

000

; dst.



(5) Matriks diagonal, yaitu matriks persegi yang anggotanya nol kecuali pada diagonal utamanya.

J =

50

02; K =

−500

010

002

; dst

(6) Matriks satuan atau matriks identitas, yaitu matriks persegi yang unsur diagonal utamanya 1, sedangkan anggota lainnya nol.

Contoh matriks satuan:

I =

10

01; I =

1000

0100

0010

0001

; dst

2) Operasi Aljabar pada Matriks

• Perkalian matriks dengan bilangan Real

Misalkan diketahui k bilangan real (skalar) dan

matriks A =

idc

heb

gfa

maka, k A =

=

kikdkc

khkekb

kgkfka

idc

heb

gfa

k

Sifat-sifat:

Misalkan A dan B matriks, sedangkan k dan l scalar, (i) kAAk .. =

(ii) BlAkAlk ..)( ±=±

Contoh:

Diketahui A =

− 31

42 maka

(i)

−=

31

4233A =

− 93

126;

−=

−=

23

21

21

31

42

2

1

2

1A

(ii)

−==−=−

93

1263)25(25 AAAA

• Penjumlahan dan Pengurangan pada Matriks Misalkan diketahui matriks-matriks:

A =

11

11

dc

ba dan B =

22

22

dc

ba maka:

A ± B =

±±±±

2121

2121

ddcc

bbaa



Catatan:Dua matriks dapat dijumlahkan jika ordonya sama. Contoh:

Dikatahui A =

−−31

52

14

, B =

−

27

111

21 b

, C =

349

258

761

.

A + B =

−−31

52

14

+

−

27

111

21 b

=

−

56

63

15 b

A – B =

−−31

52

14

-

−

27

111

21 b

=

−−−

16

161

13 b

Matriks A dan C atau matriks B dan C tidak dapat dijumlahkan karena berlainan ordo.

• Perkalian Dua Matriks Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika dan hanya jika banyak kolom pada matriks A sama dengan banyak baris pada matriks B.

Misalkan diketahui

A )32( X =

fed

cba B )23( X =

qp

nm

lk

A X B =

++++++++

fqendlfpemdk

cqbnalcpbmak)22( X

B X A =

+++++++++

qdpcqdpbqdpa

nfmcnembndma

lfkclekbldka

)33( X

Catatan: Perkalian matriks bersifat asosiatif tetapi bersifat tidak komutatif

Contoh1:

Tentukan hasil kali dari matriks A =

− 31

42dan B =

− 12

13!

)(mXnA X )(nXtB mempunyai hasil kali

Ordo matriks hasil = )(mXn

Sama )(mXnA X C )(mXp tidak ada hasil kali

tidak sama



Penyelesaian:

A X B =

− 31

42

− 12

13=

−+−−++−+

)1)(3()1(1)2)(3()3(1

)1(4)1(2)2(4)3(2

=

−++−

3163

4286

=

−−

29

62

Contoh2:

Jika diketahui

− 23

01

=

140

42

db

ca, maka tentukanlah nilai dcba +++ !

Penyelesaian:

− 23

01

=

140

42

db

ca

=

−−++

⇔140

42

2323

00

dcba

ca

⇔

3

62

0262

==

=−⇒=

b

b

ba

⇔

−=−=

=−⇒=

1

22

142124

d

d

dc

3) Invers Matriks

• Pengertian dan Notasi

Invers dari matriks A ditulis A1−, yaitu suatu matriks yang memenuhi hubungan:

Matriks A dikatakan saling invers dengan matriks B, jika dan hanya jika berlaku: Contoh:

Matriks A =

21

53 dan B =

−−31

52adalah saling invers karena A.B = B.A = I =

10

01

(Buktikan!)

• Determinan Matriks Ordo (2X2)

Determinan matriks A )22( X =

dc

ba biasanya ditulis det.A atau A ditentukan:

,.. 11 IAAAA == −− dengan I = matriks satuan

,.. IABBA == dengan I = matriks satuan

Det.A = A = bcad −



Contoh:

A =

− 15

21⇒ det A = 1+10 = 11

B =

21

2010⇒ det B = 20-20 = 0

C =

21

72 ⇒ det C = 4-7 = -3

Matriks B disebut matriks singular, mempunyai determinan nol.

• Invers Matriks Ordo (2X2)

Invers dari matriks A =

db

ca ditentukan:

Bentuk

−−ab

cd disebut juga dengan adjoint A.

Contoh1:

Diketahui A =

45

23

Tentukanlah invers dari matriks A! Penyelesaian: Dari matriks A diperoleh det A = 12 – 10 = 2. Invers matriks A ditentukan,

).(.det

11 AadjA

A =−

=

−−35

24

2

1

=

−−

23

25

12

Contoh2:

Buktikan bahwa matriks A =

75

32 dan matriks B =

−−

25

37 saling invers!

Penyelesaian: Jika A dan B saling invers, maka AB = BA = I (Identitas)

AB =

75

32

−−

25

37

=

−+−−+−

14153535

661514

A 1− =

−−ab

cd

A.det

1



=

10

01

Penggunaan Invers matriks o Penyelesaian persamaan matriks

Pandang AB = C

⇔ AB.B1− = C.B

1−

⇔ A = C.B1−………………….ingat B.B

1− = I (identitas)

Contoh: Tentukanlah matriks X jika diketahui,

X.

43

01 =

−−65

21

Penyelesaian:

Misal A =

−−32

21 dan C =

−−65

21.

Diperoleh persamaan matriks X.A = C.

Maka X = C.A1−

A1− =

− 12

23

1

1 =

−−−−

12

23

X =

−−65

21

−−−−

12

23

=

−−+−+−

6101215

2243

=

43

01

o Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Sistem persamaan linear dua variable berbentuk:

=+=+

42

732

yx

yx dapat diubat menjadi persamaan matriks berbentuk:

=

4

7

21

32

y

x

Misalkan A =

21

32 B =

y

x dan C =

4

7

AB = C ⇔ A1−.AB = A

1−.C

⇔ B = A1−.C

A1− =

−−

− 21

32

34

1 =

−−21

32

B =

−−21

32

4

7



=

+−−

87

1214

=

1

2

4. Matriks Ordo (3X3)

a. Determinan matriks ordo (3X3)

Pandang matriks A )33( X =

ifc

heb

gda

• Determinan matriks dengan Metoda Sarrus

Dari matriks

ifc

heb

gda

dinyatakan dalam bentuk:

+ + +

fcifc

ebheb

dagda

⇒ det A = ibdfhaceggbfdhcaei −−−++

- - -

• Determinan matriks dengan Metoda Minor (kofaktor)

ifc

heb

gda

= aif

he - b

if

gd + c

he

gd

= cegcdhbfgbdiafhaei −++−−

= ibdfhaceggbfdhcaei −−−++

Contoh: Misalkan digunakan Metoda Sarrus;

Determinan matriks A =

963

852

741

adalah

63963

52852

41741

= 1(5)(9)+4(8)(3)+7(2)(6)-3(5)(7)-6(8)(1)-9(2)(4) = 45+96+84-105-48-72 = 0 …………………………….(kebetulan, singular)



• Minor, Kofaktor, Adjoint dan Invers Matriks Ordo (3X3)

Dari matriks A =

ifc

heb

gda

.

Minor-minor matriks A ditentukan antara lain:

3332

232211 aa

aaM = ;

3331

232112 aa

aaM = ;

3231

222113

aa

aaM =

3332

131221 aa

aaM = ;

3331

311122 aa

aaM = ;

3231

121123 aa

aaM =

2322

131231 aa

aaM = ;

Kofaktor dari matriks A masing-masing adalah:

=−= +11

1111 )1( MK

3332

232211 aa

aaM = ;

=−= +12

2112 )1( MK

3331

232112 aa

aaM −=− ;

=−= +13

3113 )1( MK

3231

222113

aa

aaM = ;

dan seterusnya, menggunakan rumus: Matriks kofaktor dari matriks A,

=

333231

232221

131211

)(

KKK

KKK

KKK

AKof

[ ] =⇒TaKof )(

332313

322212

312111

KKK

KKK

KKK

=

−−−

−

332331

322212

312111

MMM

MMM

MMM

Adjoint dari matriks A adalah [ ]TaKof )( sehingga diperoleh:

=)(AAdj

−−−

−

332331

322212

312111

MMM

MMM

MMM

Invers matriks A memenuhi rumus:

ijji

ij MK +−= )1(

)(.det

11 AAdjA

A =−



Contoh:

Diketahui matriks

=495

262

231

A , maka untuk mencari invers matriks tersebut dilakukan langkah-

langkah sebagai berikut: Determinan A, (misalnya digunakan Cara Sarrus): Det.A = 1.6.4+3.2.5+2.2.9-5.6.2-9.2.1-4.2.3 = 24+30+36-60-18-24 = -12 Kofaktor A, dengan elemen masing-masing:

=)(AKof

−−

−

026

666

1226

sehingga diperoleh Adjoint matriks A

−−

−=

0612

262

666

)(AAdj

Invers matriks A ditentukan:

12

1)(

.det

11

−==− AAdj

AA

−−

−

0612

262

666

=

−−−

−−

01 21

61

21

61

21

21

21

Latihan: Dengan langkah-langkah sebagaimana contoh di atas, tentukanlah inver dari matriks-matriks berikut:

−−=431

222

012

B ;

=610

475

253

C ;

=963

852

741

D

SOAL LATIHAN: Pilihlah jawaban yAng paling tepat! 1. EBTANAS 1996

Diketahui matriks

−=

22

11A dan

−=

40

11B . X adalah matriks bujursangkar

rode 2. Jika BXA = maka X adalah matriks ….

A.

10

01 D.

−12

01

B.

− 12

01 E.

−− 21

01

C.

12

01



2. EBTANAS 1996

Diketahui matriks

=

13

42A dan

=

10

01I . Matrix )( kIA − adalah singular,

nilai k = ….

A. -2 atau 5 B. -5 atau 2 C. 2 atau 5 D. 3 atau 4 E. 1 atau 2

3. EBTANAS 1997

Diketahui matriks

=

106

32A . Nilai k yang

memenuhi 1.det.det. −= AAk T (det =

determinan) adalah ….

A. 61−

B. 41

C. 47

D. 49

E. 419

4. EBTANAS 1998

Diketahui matriks

=

74

31A ;

−−

=538

86

kB ; dan

=

74

53C . Nilai

k yang memenuhi 1−=− CBA (

1−C invers

matriks C) adalah …. A. 5 B. 3

C. 53−

D. -3 E. -5

5. EBTANAS 1999

Diketahui matriks

−−=

23

26A ;

+−−

=130

51

kB ; dan

=

53

32C . Nilai

k yang memenuhi 1−=+ CBA (

1−C invers

matriks C) adalah …. A. -1

B. 31

C. 31

D. 1 E. 3

6. EBTANAS 2000

Diketahui

−

=

1

1

xy

yx

q

p. Bentuk

22 qp + dinyatakan dalam x dan y adalah ….

A. 2)( yx −

B. 22)( yx −

C. 22)( yx +

D. 2 )( 22 yx −

E. 2 )( 22 yx +

7. UN 2005

Diketahui persamaan matriks

.23

71

12

41.

11

53

−−

+

−=

−−P Inver

s matriks P adalah ....1 =−P

A.

−01

11

B.

− 11

10

C.

−−

11

10

D.

−− 11

10

E.

− 01

11

8. UN 2006

Diketahui matriks A=

−41

12; B=

−+y

yx

1

1

dan C=

13

27. Apabila

TCAB =− ;

transposeC T = matriks C, maka nilai

..... =yx

A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 E. 30



5. Determinan Matriks untuk Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

• Matriks Ordo 2 (Ordo (2X2) Pandang system persamaan linear dalam persamaan matriks berikut :

=+=+

rqypx

cbyaxdalam persamaan matriks menjadi

=

r

c

y

x

qp

ba

Misalkan A =

qp

ba, maka dapat ditentukan masing-masing:

(i) qp

baD = = bpaq −

(ii) brcqqr

bcDx −==

(iii) cparrp

caDy −==

Maka nilai x dan y masing-masing dapat ditentukan:

• Matriks Ordo 3

Dari system persamaan linear

=++=++=++

3333

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

diperoleh persamaan matriks

=

3

2

1

333

222

111

d

d

d

z

y

x

cba

cba

cba

maka determinan matriks masing-masing ditentukan

=D

333

222

111

cba

cba

cba

; =xD

333

222

111

cbd

cbd

cbd

; =yD

333

222

111

cda

cda

cda

; =zD

333

222

111

dba

dba

dba

Nilai ,, yx dan z masing-masing ditentukan:

Contoh 1: Nilai x dan y yang memenuhi system persamaan berikut, menggunakan determinan matriks, diperoleh

sebagai berikut:

=+=+53

952

yx

yx

=

⇔

5

9

31

52

y

x

D

Dy y=

D

Dx x=

D

Dx x= D

Dz z=

D

Dy y=



=D 15631

52=−= ; =xD 22527

35

59=−= ; =yD 1910

51

92=−=

11

2 ===D

Dx x

dan 11

1 ===D

Dy y

Contoh 2:

Untuk persamaan matriks

032

111

321

=

1

2

3

z

y

x

ditentukan maisng-masing:

=D

032

111

321

=

4

036940

2.1.01.1.33.1.23.1.32.1.20.1.1

−−−++−−−++

=xD

031

112

323

=

8

931820

2.2.03.1.33.1.13.2.31.1.20.1.3

−−++−−−++

=yD

012

121

331

=

4

0112360

3.1.01.1.13.2.21.1.32.1.30.2.1

−−−−++

−−−++

=zD

=132

211

321

4

266981

2.1.11.2.33.1.23.1.32.2.21.1.1

−−−++−−−++

Maka diperoleh masing-masing nilai:

;24

8 ==x ;14

4 −=−=y dan 14

4 ==z

Soal Latihan: Tentukan pilihan yang paling tepat! 1. UN 2006

Jika ),,( 000 zyx memenuhi system persamaan:

=++=++=++

854

324

14632

zyx

zyx

zyx

maka nilai 0x adalah ….

A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 E. 8

2. EBTANAS 2000 Himpunan penyelesaian system persamaan :

=−

=+

126

10149

yx

yxadalah ),( 00 yx

Nilai ....00 =− yx

A. 6 B. 5 C. 3 D. 1 E. -1



4. Vektor a. Definisi

B

A

Q

P

Vektor adalah sebuah besaran yang mempunyai ukuran/panjang dan arah. b. Panjang Vektor

Misalkan diketahui vektor AB =

b

a maka panjang vektor AB = 22 ba + .

Pada gambar dapat ditentukan,

AB = 22 36 + = 45936 =+

854812)9( 22 =+=+−=PQ

c. Beberapa Vektor Khusus Pada bidang koordinat, tergambar sebagai berikut:

1y ),( 11 yxA

j

i 1x

Vektor

=

1

1

y

xOA dapat ditulis ( )11

1

1 , yxy

xa =

=

Atau dalam kombinasi linear dinyatakan:

jyixa 11 +=

Vektor vektor i dan j disebut vektor basis, karena terletak pada basis atau sumbu koordinat, sedangkan vektor

OA atau vektor a yang bertitik asal (=titik tangkap) dinamakan vektor posisi.

Dari titik A ditarik garis menuju titik B diperoleh ruas

garis berarah AB , disebut vektor AB .

Vektor AB memiliki kedudukan 6 satuan ke kanan

(arah positif) dan 3 satuan ke atas, ditulis AB =

3

6.

Vektor PQ , 9 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas,

maka PQ =

−2

9



Jika ditentukan vektor lain, sebut misalnya vektor

=

2

1

u

uu terletak pada vektor a dan panjangnya 1 (satu) satuan,

maka vektor u dinamakan vektor satuan.

Vektor satuan searah vektor a adalah

a

au = , sedangkan vektor satuan searah vektor b adalah

b

bu = dan

seterusnya. d. Operasi Geometrik pada Vektor 1) Penjumlahan

a b

a

a + b

b

Model penjumlahan di atas menggunakan metoda ”poligon”. Jika digunakan metoda ”jajar genjang” akan diperoleh gambaran sebagai berikut:

a a

b a + b

b

2) Pengurangan

a b− b−

b

)( ba

ba

−+=

− a

Misalkan diketahui titik ),( 11 yxA dan ),( 22 yxB maka vektor AB diwakili oleh nilai komponen

−−

12

12

yy

xx,

sedangkan vektor BA diwakili oleh nilai komponen

−−

21

21

yy

xx.

Tentu AB ≠ BA , bahkan AB = BA− berlawanan.

),( 11 yxA

),( 22 yxB

Dari gambar diperoleh bahwa, =−=+−=+= OAOBOBOAOBAOAB

−−

12

12

yy

xx.



Panjang vektor 2

122

12 )()( yyxxABAB −+−==

Panjang vektor BA = 2

212

21 )()( yyxxBA −+−= = 2

122

12 )()( yyxx −+−

Dalam hal ini BAAB = , yang membedakannya hanyalah arah vektor masing-masing (berlawanan)

e. Operasi Aljabar pada vektor 1) Penjumlahan dan Pengurangan

Misalkan dikatahui vektor-vektor

=

1

1

y

xa dan

=

2

2

y

xb maka penjumlahan dan pengurangan dilakukan:

Contoh:

Misalkan diketahui

=

5

2a dan

−=

1

3b maka diperoleh:

−=

−−−

=

−−

=−

=

−++

=

−+

=+

6

1

)1(5

32

1

3

5

2

4

5

)1(5

32

1

3

5

2

ba

ba

2) Lawan vektor

Lawan dari vektor

=

1

1

y

xa adalah vektor

−−

=−1

1

y

xa adalah sebuah vektor yang panjangnya sama tetapi

arahnya berlawanan, sehingga 0)( =−+ aa

3) Perkalian bilangan skalar dengan vektor

Pandang lk, bilangan skalar (real) dan vektor

=

1

1

y

xa , maka ditentukan:

=

=

1

1

1

1.ky

kx

y

xkak

Berlaku sifat-sifat perkalian sebagai berikut:

� bkakbak ±=± )(

� ( ) alakalk ±=±

Contoh:

Diketahui vektor

=

5

2a dan

−=

2

6b maka dapat ditentukan diantaranya:

±±

=

±

=±

21

21

2

2

1

1

yy

xx

y

x

y

xba



=

−+

=

−+

=+

24

13

1

3

25

10

2

6

5

255 2

121 ba

( )

=

==+=−

35

14

5

272

1423

211

23

211 aaaa

( )

−=

−=

−−−

=

−−

=−=−

21

12

7

43

)2(5

623

2

6

5

23333 baba

4) Perkalian skalar dua vektor

Dari vektor-vektor

=

1

1

y

xa dan

=

2

2

y

xb dengan =a panjang vektor a dan =b panjang vektor b .

Membentuk sudut antara kedua vektor tersebut yaitu α=∠ ),( ba

Perkalian skalar vektor a pada b ditentukan:

αcos.. baba =

Bila diambil jyixa 11 += dan jyixb 22 += maka perkalian skalar dapat dinyatakan :

)).((. 2211 jyixjyixba ++=

jyjyixjyyixixix 21212121 .... +++=

2121 .. yyxx +=

Catatan:

o Perhatikan bahwa i dan j saling tegak lurus, karena masing-masing terletak pada sumbu koordinat, sehingga nilai kosinus sudutnya nol, maka perkalian skalarnya juga menghasilkan nol.

o Vektor i dengan i atau vektor j dengan j pasti membentuk sudut nol sehingga nilai kosinusnya adalah 1, maka perkalian skalarnya menghasilkan bilangan 1.

f. Vektor di R3 Z Y

),,( 111 zyxA

X

Titik ),,( 111 zyxA pada Sistem Koordinat Ruang atau disebut juga R3.

Vektor posisi ( ) kzjyixzyx

z

y

x

OA 111111

1

1

1

,, ++==

= ......(ingat vektor basis)



Panjang vektor 2

12

12

1 zyxOAOA ++==

Operasi geometrik dan operasi aljabar pada vektor di R3 berlaku sebagaimana operasi pada R2, demikian pula sifat-sifat operasinya. g. Pembagian Ruas Garis

Titik C membagi AB (diantara) dengan perbandingan nmCBAC :: =

),,( 111 zyxA

m

a ),,( zyxC n

c

b ),,( 222 zyxB

O Koordinat titik C ditentukan dengan rumus:

nm

zyxnzyxm

nm

nAmBzyxC

++=

++= ),,(),,(

),,( 111222

Jika titik C terletak pada perpanjangan AB, maka nilai perbandingan dinyatakan )(:: nmCBAC −=

Rumus pembagian ruas garis dituliskan sebagai berikut:

nm

zyxnzyxm

nm

nAmBzyxC

−−=

−−= ),,(),,(

),,( 111222

demikian juga jika titik C pada perpanjangan BA, diperoleh:

nm

zyxnzyxm

nm

nAmBzyxC

+−+−=

+−+−= ),,(),,(

),,( 111222

Contoh: Diketahui ruas garis AB dengan A(2,1,-2) dan B(12,-4,8). Misalkan ada titik C , D dan E segaris dengan AB, masing-

masing memiliki perbandingan: 2:3: =CBAC , kemudian )1(:6: −=DBAD , dan selanjutnya

.8:)3(: −=EBAE

Tentukanlah koordinat titik A, B dan C! Penyelesaian: Untuk koordinat titik C, ditentukan sebagai berikut:

)4,2,8(),,(5

)20,10,40(),,(

5

)4,2,4()24,12,36(),,(

23

)2,1,2(2)8,4,12(3),,(

−=

−=

−+−=

+−+−=

++=

zyxC

zyxC

zyxC

nm

nAmBzyxC



Untuk koordinat titik D, digunakan cara serupa:

)10,5,14(5

50,25,70(

5

)2,1,2()48,24,72(),,(

16

)2,1,2(1)8,4,12(6

16

16),,(

−=−=−−−=

−−−−=

−−=

zyxD

ABzyxD

Untuk koordinat titik E, digunakan rumus

)8,4,4(),,(5

)40,20,20(),,(

5

)16,8,16()24,12,36(),,(

83

)2,1,2(8)8,4,12(3

83

83),,(

−−=

−−=

−+−−=

+−−+−−=

+−+−=

zyxE

zyxE

zyxE

ABzyxE

h. Sudut Antara Dua Vektor

Pandang perkalian skalar vektor a pada vektor b

ba

bababa

.coscos. =⇔= αα

22

22

22

21

21

21

332211coszyxzyx

yxyxyx

++++

++=α

Contoh:

Diketahui vektor-vektor )1,3,2( −=a Dn vektor )8,2,1(=b

Tentukan sudut aantara kedua vektor tersebut! Penyelesaian :

ba

ba.cos =α

0862)8)(1()2(3)1(2. =−+=−++=ba

090

0cos

=⇒

=

αα

i. Proyeksi Vektor pada Vektor Lain

Vektor a dan b membentuk sudut α . Vektor a diproyeksikan

pada vektor b , diperoleh hasil proyeksinya sebuah vektor baru

searah dengan vektor bidang proyeksi, sebutlah vektor c α

Misalkan panjang vektor a adalah a dan panjang vektor hasil proyeksi adalah c maka ditemukan



a

c=αcos αcos.ac =⇒ a

Karena

ba

ba.cos =α maka diperoleh

b

bac

ba

baac

.

..

=

=

dinamakan proyeksi skalar ortogonal c b

Misalkan vektor satuan pada vektor b adalah vektor

b

bu = dan vektor b // c , maka komponen vektor

c ditentukan

=c ..

.b

bauc =

b

b= b

b

ba.

.2

=c bb

ba.

.2

dinamakan proyeksi vektor ortogonal a pada b

SOAL-SOAL APLIKASIPilihlah jawaban yang paling tepat dari pilihan yang tersedia!

1. ABCDEF adalah segienam beraturan berppusat

di .O

Jika AB dan BC masing-masing dinyatakan oleh

vektor a dan ,v maka CD sama dengan ....

a. vu +

b. vu −

c. uv −2

d. vu 2−

e. uv −

2. Balok ABCDEFGH mempunyai panjang = 4 cm, lebar = 3 cm, dan tinggi = 12 cm.

Nilai ....=+ AGAC

a. 4 61

b. 3 61

c. 2 61

d. 13 e. 12

C 3. Perhatian gambar!

B S

T D A Pada segiempat ABCD, S dan T masing-masing titik

tengah AC dan BD. Jika STu = maka

CDCBADAB +++ dapat dinyatakan

sebagai....

a. u41 c. u e. u4

b. u21 d.2u

4. Diketahui jia 23 −= , jib 4+−= dan

jir 87 −= . Jika ,bmakr += maka

....=+ mk

a. -2 b. -1 c. 1 d. 2 e. 3

α



5. Diketahui

−=

−=

=1

2

1

;

2

0

1

;

3

1

2

cba

Nilai dari 2 ....3)( =+− cba

a.

1

9

8

b.

1

8

9

c.

−1

8

9

d.

−1

9

8

e.

−1

8

9

6. Diberikan segienam ABCDEF. Jika uAB = dan

vAF = , maka

....=++++ AFAEADACAB

a. 0

b. 2u +2 v

c. u4 + v4

d. 5 vu 55 +

e. vu 66 +

7. Diketahui persegi panjang OABC dengan panjang OA

= 12 dan AB = 5. Jika uOA = dan vOB = , maka

..... =vu

a. 13 b. 60 c. 144 d. 149 e. 156

8. Diketahui titik-titik

).0,3,2();7,3,4()2,1,1( −−−− CBA

Kosinus sudut antara AB dan AC adalah ...

a. 5211

b. 261−

c. 551−

d. 221−

e. 321−

9. Diketahui vektor

=1

1

2

a dan xvektor

=2

1

xb . Sudut antara a dan b adalah 604

Nilai x adalah .... a. -1 atau 16 b. -1 atau 17 c. 1 atau 16 d. 1 atau -17 e. 2 atau -16

10. Besar sudut antara vektor kjia 453 −+= dan

vektor kjib +−= 48 adalah ....

a. 30o

b. 60o

c. 90o

d. 120o

e. 135o

11. Agar kedua vektor

=7

4

x

a dan

=14

6

yb segaris, haruslah nilai ....=− yx

a. -5 b. -2 c. 3 d. 4 e. 6

12. Diketahui :

=2

3

x

a ;

−=3

6

2

b sama panjang.

Kedua vektor itu akan



(1) membuat sudut lancip (2) membuat sudut tumpul (3) berimpit (4) saling tegak lurus Pernyataan yang benar adalah.... a. (1), (2) dan (3) b. (1) dan (3) c. (2) dan (4) d. (4) saja e. Semuanya benar

13. Jika sudut antara a dan b sama dengan 60odengan

2=a dan 5=b maka ....)(. =+ baa

a. 5 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10

14. Vektor

−=

2

33

k

k

k

p tegak lurus vektor

−

−=

3

1

1

q untuk nilai k sama dengan:

(1) 3 (2) -1 (3) 1 (4) -3 Yang benar adalah .... a. (1), (2), dan (3) b. (1) dan (3) c. (2) dan (4) d. (4) saja e. Semuanya benar

15. Vektor

−=

5

1

3

a diproyeksikan pada vektor

−=2

2

1

b menghasilkan vektor ....=c

a.

−2

2

1

b.

−

−

2

2

1

c.

2

2

1

d.

−−

2

2

1

e.

−−

2

2

1

16. Jika )2,1,1(A , )3,2,1(B dan ),,( zyxP pada

AB sehingga 2:1: =PBAP maka ....=OP

a. 6931

b. 7031

c. 7131

d. 7331

e. 7431

16. Jika diketahui vektor

kjia 53 −+= diproyeksikan pada vektor

kjib 22 −+−= menghasilkan vektor

p maka ....=p

a. 9 b. 6 c. 5 d. 3 e. 1

17. Koordinat titik berat ABC∆ jika diketahui masing-

masing )1,3,2(),2,1,3( BA − dan

)3,2,2(−C adalah ....

a. (-3,6,6) b. (-3,6,3) c. (-1,3,2) d. (-1,3,3) e. (-1,2,2)

18. Panjang proyeksi vektor

=

1

2a pada vektor

=

y

xb sama dengan 2. Jika sudut antara kedua

vektor adalah lancip, maka vektor ....=b

a. ( )43 atau ( )01

b. ( )43− atau ( )01



c. ( )43 atau ( )21

d. ( )12 − atau ( )01

e. ( )21 atau ( )10



5. Transformasi Geometri

a. Definisi Transformasi T di bidang datar adalah suatu pemetaan titik / objek di bidang yang sama.

Pemetaani titik ),( yxP oleh transformasiT sehingga menjadi )','(' yxP biasanya ditulis:

Atau dapat juga ditulis

Transformasi ini dinamakan Transformasi Geometri, selanjutnya digunakan istilah “transformasi” b. Jenis Transformasi Geometri:

� Translasi (Pergeseran) � Refleksi (Pencerminan) � Rotasi (Perputaran) � Dilatasi (Perkalian Bangun)

1) Translasi Translasi (pergeseran) adalah pemindahan suatu objek sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu.

Translasi

=

b

aT akan memetakan titik ),( yxP sehingga diperoleh )','(' yxP dengan axx +=' dan

byy +=' , sehingga ),(' byaxP ++ . 3

Ditulis:-2 Contoh:

1. Tentukan bayangan titik )4,1(−P yang dipindahkan oleh translasi

=

3

5T !

Jawab

=

3

5T memetakan titik )4,1(−P , maka bayangannya adalah )7,4(')34,51(' PP =++− .

2. Titik )2,2( −B ditranslasikan oleh

=

b

aT menjadi ).11,4(' −B Tentukan komponen translasi T !

Jawab:

+−+

=

−⇔

++

=

b

a

by

ax

y

x

2

2

11

4

'

'

−=⇒−=+−=⇒=+

9112

242

bb

aa

Komponen translasi

−=

9

2T

3. Titik ),( yxQ ditranslasikan oleh

−=

3

4T menghasilkan bayangan ).3,4('Q Koordinat titik asal?

Jawab:

)','(),(: yxyxT →

),( yxP →T )','(' yxP

),('),(: byaxPyxPb

aT ++→

=



633

044

=⇔=−=⇔=+

yy

xxKoordinat titik asal )6,0(Q

4. Translasi

−=

8

3T memetakan garis g : ,0154 =++ yx maka persamaan garis bayangan dari

g adalah....

Jawab:

)1.....(..........3'

3''

−=+=⇒+=

xx

xxaxx

)2....(..........8'

8''

+=−=⇒+=

yy

yybyy

Persamaan garis

029'5'4:'

0140'512'4:'

01)8'(5)3'(4:'

=++=+++−=+++−

yxg

yxg

yxg

Selanjutnya 'x dan 'y masing-masing cukup ditulis x atau y , sehingga diperoleh....

:'g 02954 =++ yx

2) Refleksi Refleksi (pencerminan) adalah sebuah transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yangakan dipindahkan itu. Refleksi pada Sumbu-sumbu Koordinat

P 4 xy =

xy −= Y

P 2 P

X

P 3 P 1

P 5

Hasil-hasil Refleksi pada Sumbu Koordinat: � Refleksi terhadap Sumbu X

),('),(),(: 111 yxPyxPyxPM X −=→ � Refleksi terhadap Sumbu Y

),('),(),(: 222 yxPyxPyxPM Y −=→Refkelsi terhadap titik O(0,0)

),('),(),(: 333 yxPyxPyxPM O −−=→

� Refleksi terhadap garis xy =

),('),(),(: 444 xyPyxPyxPM xy =→=

� Refleksi terhadap garis xy −=

),('),(),(: 555 xyPyxPyxPM xy −−=→−=



Refleksi pada Garis Sejajar Sumbu Koordinat Y

P 7

)( kn − mx =

ky =

)( kn −

P P 6

X

)( xm − )( xm −

),2('),(),(: 666 yxmPyxPyxPM mx −=→=

)2,('),(),(: 666 ykxPyxPyxPM ky −=→=

Contoh:

Diketahui titik )5,2(P direfleksikan terhadap masing masing Sumbu X, Sumbu Y, Pusat Koordinat, garis y=x, dan

garis y=-x. Bayangan yang diperoleh masing-masing:

)5,2(')5,2(: −→ PPM X )2,5(')5,2(: PPM xy →=

)5,2(')5,2(: −→ PPM Y )2,5(')5,2(: −−→−= PPM xy

)5,2(')5,2(: −−→ PPM O

Bisakah Anda menemukan bayangan titik )5,2(P bila direfleksikan terhadap garis x=4 atau terhadap garis y=-3 ?

3) Rotasi Rotasi (perputaran pada bidang koordinat, ditentukan oleh titik pusat rotasi, besar sudut dan arah perputaran. Rotasi arah positif didefinisikan berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam, dan sebaliknya. Y

'y P’

y P

α

'x x X

Contoh: Tentukan bayangan titik P(6,4) jika direfleksikan di

a. Titik O(0,0), sejauh 60o

b. Titik T(2,2), sejauh 90o

Bayangan hasil Rotasi sebesar sudut α :

� Berpusat di )0,0(O

+−

=

→

αααα

α

cossin

sincos

'

'

)','('),(:),(

yx

yx

y

x

yxPyxPR O

� Berpusat di ),( baT

−+−−−−

=

−−

→

αααα

α

cos)(sin)(

sin)(cos)(

'

'

)','('),(:),(

byax

byax

by

ax

yxPyxPR T



Jawab:

a. Pusat rotasi di )0,0(O , sejauh o60

+−=

+−=

+−

=

→

233

323

)(43(6

)3(4)(6

60cos460sin6

60sin460cos6

'

'

)','(')4,6(:

21

21

21

21

)60,(

oo

oo

O

y

x

yxPPR

b. Pusat rotasi di )2,2(T sejauh o90

−=

+−

=

−+−−−−

=

−−

→

4

2

)0(2)1(4

)1(2)0(4

90cos)24(90sin)26(

90sin)24(90cos)26(

2'

2'

)','(')4,6(:)90,(

oo

oo

T

y

x

yxPPR

Bisakah Anda menggunakan rumus yang sama jika sudut putarnya searah putaran jarum jam (ke arah negatif)? 4) Dilatasi Dilatasi sebuah objek yaitu proses perkalian usuran objek tersebut, tetapi tidak mengubah bentuknya. Bayangan hasil sebuah dilatasi ditentukan oleh antara lain : pusat dilatasi dan faktor skalanya. Y

'y P’(x’,y’)

y P(x,y)

X

Dilatasi berpusat di ),( baT dengan factor skala k:

Y

'y P’(x’,y’)

y P(x,y)

a T

b x 'x X

Contoh:

Tentukanlah bayangan ABC∆ dengan )6,3();1,5();1,2( CBA oleh sebuah dilatasi yang berpusat di

)0,0(O dengan factor skala 3!

Jawab:

)18,9(')'3,15(');3,6(''''

1833

9156

)6(3)1(3)1(3

)3(3)5(3)2(3

321

321

CBACBA

yyy

xxx

⇒∆

=

=

Dilatasi berpusat di O(0,0), factor skala k

=

=→

ky

kx

y

x

kykxyxPyxPD kO

'

'

),(')','('),(:),(

−−

=

−−

→

)(

)(

'

'

)','('),(:),(

byk

axk

by

ax

yxPyxPD kT



c. Matriks Transformasi

d. Komposisi Transformasi

1T 2T

11 )( aaT =

212 ))(( aaTT =o

212 )( aaT =

Misalkan 1T mentransformasikan titik P menjadi P 1 , kemudian 2T mentransformasikan titik P 1menjadi P 2 . Sebuah

komposisi transformasi yang mentransformasikan titik P menjadi titik P 2 adalah transformasi )( 12 TT o .

Ditulis : Atau bisa juga ditulis

� Refleksi terhadap Sumbu X

−10

01

� Refleksi terhadoap Sumbu Y

−10

01

� Refleksi terhadap Pusat Koordinat

−−

10

01

� Refleksi terhadap garis xy =

01

10

� Refleksi terhadap garis xy −=

−−01

10

� Rotasi o90

−01

10

� Rotasi o90− = Rotasi

o270

− 01

10

� Rotasi o180

−−

10

01

� Rotasi sejauh α

−αεαα

cossin

sincos

� Dilatasi dengan factor skala k

k

k

0

0

P

P1

P 2

212 ))(( PPTT =o P 2121 PP TT →→



Untuk komposisi transformasi yang menggunakan matriks 1T dilanjutkan dengan 2T , lambang ” o ” pada

)( 12 TT o dinyatakan sebagai lambang perkalian dua matriks.

Contoh1:

Titik )6,4( −A ditansformasikan berturut-turut oleh matriks

=

10

21M kemudian bayangannya

ditransformasikan oleh matriks

−=

01

10N . Tentukanlah bayangan titik A !

Jawab:

Misalkan matriks T adalah matriks transformasi pengganti dari komposisi kedua matriks M dan N , maka

MNT o=

−=

10

21

01

10T

Bayangan titik )6,4( −A ditentukan sebagai berikut:

−

−−=

6

4

21

10

'

'

y

x=

−=

+−−

8

6

124

60

Contoh 2:

Titik )1,2( −P direfleksikan terhadap Sumbu X, kemudian dilanjutkan oleh rotasi 90oberpusat di titik

).0,0(O Koordinat bayangannya?

Jawab:

Matriks pencerminan pada sumbu X,

−=

10

01xM dan matriks rotasi 90

o,

−=

01

1090R maka matriks

pengganti kedua transformasinya =T

−01

10

−10

01=

01

10

=

'

'

y

x

01

10

−1

2=

−2

1⇒ Koordinat bayangan hádala )2,1(' −P

SOAL-SOAL APLIKASI Pilihan jalaban yang paling tepat!

1. Garis g dengan persamaan 0623 =−− yx

ditranslasikan oleh

− 4

3 maka hasil

transformasinya adalah ....

a. 1123 −=− yx

b. 323 −=− yx

c. 323 =− yx

d. 623 =− yx

e. 2323 =− yx

2. Translasi yang memindahkan titik )1,3( −A ke titik

)3,5('A adalah ....

a.

=

3

2T



b.

=

2

1T

c.

=

4

2T

d.

−−

=4

2T

e.

−=

4

2T

3. Bayangan garis l yang melalui titik )1,2(

bergradien 3 karena translasi

=

0

21T dilanjutkan translasi

=

1

02T adalah

....

a. 63 −= xy

b. 103 −= xy

c. 13 −= xy

d. 53 −= xy

e. xy 310−=

3. Persamaan bayangan dari lingkaran

4)3()5( 22 =−++ yx oleh percerminan

terhadap garis xy −= adalah ....

a. 03010622 =+−++ yxyx

b. 03010622 =−+++ yxyx

c. 03010622 =+−−+ yxyx

d. 03010622 =−+−+ yxyx

e. 03010622 =−−−+ yxyx

4. Jika titik )2,5( −T dirotasikan dengan pusat O dan

sudut putar 90o, maka koordinat bayangannya

adalah....

a. )2,5( −−

b. )2,5( −

c. )5,2( −

d. )5,2(

e )5,2(−

5. Ruas garis AB dengan )3,1(−A dan

)1,2( −B didilatasikan oleh [ ]4);0,0(D

menghasilkan ruasgaris ''BA .

Jarak ''keBA adalah ....

a. 20 satuan b. 14 satuan c. 9 satuan d. 5 satuan e, 4 satuan 5. Suatu bangun jika dikenakan dilatasi dengan faktor skala

2− , maka bangun itu .... a. diperbesar dua kali lipat dan arah tetap b. diperbesar dua kali lipat dan arah berlawanan c. tetap dan berlawanan rah d. bergeser 1 satua dan arah tetap. e. bergeser 1 satuan dan arah berlawanan.

6. Bayangan garis 01023 =−+ yx setelah

direfleksikan terhadap garis 0=− xy

a. 01023 =++ yx

b. 01023 =+− yx

c. 01023 =−− yx

d. 01032 =−+ yx

e. 01032 =++ yx

7. Matriks yang bersesuai dengan rotasi o60 berpusat di

titik O(0,0) kemudian dilanjutkan dengan rotasi o30 berpusat di titikyang sama adalah ....

a.

−−01

10

b.

−01

10

c.

− 01

10

d.

−10

01

e.

−10

01

8. Persamaan bayangan 062 =−+ yx oleh

transformasi yang bersesuaian dengan matriks

20

01dilanjutkan dengan pencerminan terhadap

garis xy = adalah ....

a. 06 =−+ yx

b. 06 =++ yx 2



c. 062 =−+ yx

d. 064 =−+ yx

e. 064 =++ yx

9. Diketahui matriks transformasi

=

13

121T dan

.10

112

−=T Peta dari garis 4=+ yx

karena transformasi 1T dilanjutkan dengan

transformasi 2T adalah ....

a. 42 =+− yx

b. 4=−− yx

c. 4=− yx

d. 44 =+ yx

e. 458 =+ yx

10. Persamaan peta garis 0123 =−− yx karena

refleksi terhadap garis 0=− xy dilanjutkan oleh

transformasi yang bersesuaian dengan matriks

−−

11

53adalah ....

a. 02411 =++ xy

b. 01011 =−− xy

c. 0611 =+− xy

d. 02411 =+− xy

e. 02411 =−− xy

11. Bayangan garis 023 =+− yx apabila

dicerminkan terhadap garis xy = , dilanjutkan

dengan rotasi sebesar o90 berpusat di

)0,0(O adalah ....

a. 023 =++ yx

b. 023 =++− yx

c. 023 =++ yx

d. 023 =+− yx

e. 023 =++− yx

12. Peta dari ),( yxP oleh pencerminan terhadap

garis 2−=x dilanjutkan rotasi sejauh

[ ]oOR 180, adalah ).15,14(P

Koordinat ),( yxP adalah ....

a. )5,14(

b. )5,12(

c. )5,10(

d. )10,5(

e. )14,5(

13. Bayangan kurva 12 −= xy oleh dilatasi pusat O

dengan faktor skala 2, dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu Y adalah ....

a. 1221 −= xy

b. 1221 += xy

c. 2221 +−= xy

d. 2221 −−= xy

e. 2221 −= xy

14. Diketahui 1T dan 2T adalah transformasi-transformasi

yang bersesuaian dengan matriks:

=

03

301M dan

=

10

122M

Koordinat bayangan yang dinyatakan dengan komposisi

transformasi ( )( )2,712 −TT o adalah...

a. ( )9,21

b. ( )10,21

c. ( )11,21

d. ( )12,9

e. ( )31,9

15. Translasi

=

b

aT memetakan titik )4,3(−P ke titik

).2,0('P Bayangan se2gitiga ABC dengan

),4,1(A ),4,7(B dan )11,7(C oleh translasi

T mempunyai luas.... satuan luas.

a. 20 21

b. 42 c. 21 d. 12

e. 11 21

16. 1T adalah transformasi rotasi pusat di O(0,0) dengan

sudut putar o90 . 2T adalah transformasi refleksi

terhadap garis xy −= . Jika koordinat peta titik A oleh

transformasi 21 TT o adalah ( )6,8' − , maka koordinat

titik A adalah ....



a. ( )8,6 −−

b. ( )8,6−

c. ( )8,6

d. ( )6,8

e. ( )8,10

17. Persamaan garis yx 21−= dirotasikan

o90+ berpusat di ).0,0(O Persamaan

bayangan garisnya adalah ....

a. 12 −= yx

b. yx 21−=

c. xy 21−=

d. 12 −−= xy

e. 12 += xy

18 Persamaan peta parabola

)2(2)1( 2 −=+ yx oleh pencerminan

terhadap sumbu X dilanjutkan rotasi terhadap

pusat O dan sudut putar 2

πradian adalah ....

a. )2(2)1( 2 +=− yx

b. )2()1( 212 −=− yx

c. )2(2)1( 2 −=− yy

d. )2(2)1( 2 −=+ xy

e. )2()1( 212 −=+ xy

19. 1T adalah transformasi yang bersesuaian dengan

matriks

− 21

35 dan 2T adalah transformasi

yang bersesuaian dengan matriks

−−42

31.

Bayangan ),( nmA oleh transformasi 21 TT o

adalah ).7,9(− Nilai nm + sama dengan ….

a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8

20. Vektor

=

2

1

x

xx diputar mengelilingi pusat koordinat

O sejauh o90 dalam arah berlawanan dengan

perputaran arah jarum jam. Hasilnya dicerminkan

terhadap sumbu X, menghasilkan

=

2

1

y

yy . Jika

yAx .= , maka A =….

a.

01

10

b.

−−01

10

c.

−01

10

d.

10

01

e.

−−

10

01

1. integral - · pdf filetentukan fungsi f(x) jika diketahui turunan pertama fungsi itu...

Documents