Fungsi Bernilai Vektor

1

)3(2: RRf

Definisi

Fungsi bernilai vektor adalah suatu aturan yang memadankan setiap dengan tepat satu vektor

Rt

)3(2)( RtF

Notasi :

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ), ( )t F t f t i f t j f t f t

1 2 3( ) ( ) ( ) ( )t F t f t i f t j f t k

dengan 1 2 3( ), ( ), ( )f t f t f t fungsi bernilai real

2

3

1ˆ ˆ1. ( ) 2 ( 3)F t t i t j

ˆˆ ˆ( ) cos sin2. F t t i t j k

2 ˆ ˆ( ) ln 63. F t i t jt

Contoh :

Daerah Asal (DF )

1 2 3

| f f fFD t R t D D D

Daerah Hasil (RF )

3( ) |F F

R F t R t D

4

Contoh : Tentukan Domain dari

jtittF 1)3(2)(

Jawab :

1 1( ) 2 [2, )ff t t D

1

2 2( ) ( 3) {3}ff t t D R

1 2f fFD t R t D D

[2, ) 3t R t R

[2, ) 3 [2,3) (3, )t

Jadi

5

2 ˆ ˆ2. ( ) ln 6F t i t jt

1

2( ) lnf t

t

2( ) 6f t t

1(0, )fD

2( , 6]fD

1 2f fFD t R t D D

(0, ) ( ,6]t R t

(0,6]

Jawab:

6

Latihan Tentukan daerah asal dari fungsi vektor berikut

ˆ ˆ( ) ( 4)1. F t t i t j

2ˆ ˆ( ) 42. F t t i t j

1 ˆ ˆ( )( 4)

3. F t i t jt

21 ˆ ˆ( )4

4. F t i t jt

7

Persamaan Parameter

Persamaan kurva di ruang dalam bentuk parameter:

ˆˆ ˆ( ) cos sin1. F t t i t j t k

1 2 3( ) ; ( ) ; ( ) ,x f t y f t z f t t I

Contoh :

cos , sin ,x t y t z t

ˆ ˆ( ) ( 4)2. F t t i t j ( 4) ,x t y t

8

Garis

0w

w

v

P0=(x0,y0,z0)

P(x,y,z)

x

z

y

Garis adalah himpunan semua titik P sehingga 0P P t v

9

0P P t v

0w w t v

v =

0w w t v

Jika

zyxw ,,

0000 ,, zyxw

cbav ,,

atxx 0

btyy 0

ctzz 0

Maka persamaan garis dalam bentuk parameter:

(Persamaan garis dalam bentuk vektor)

vektor yang sejajar dengan garis

10

Contoh 1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (4,-5,2) dan sejajar vektor<-1,2,3>

Jawab: 3,2,12,5,4,, tzyx

tx 4

ty 25

tz 32

Persamaan parameter garis itu:

11

Contoh 2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,-3,-1) dan (5,-1,-4)

Jawab:

2 3 ; 3 2 ; 1 3x t y t z t

Sehingga Persamaan parameter garis tersebut:

Vektor yang sejajar dengan garis tersebut adalah

5 2, 1 3, 4 1 3,2, 3v

Pilih titik (2,-3,-1)

12

Latihan

1. Tentukan persamaan parameter dari garis yang melalui pasangan titik yang diberikan:

a. (1, -2, 3), (4 , 5, 6)

b. (2, -1, 5), (7, -2, 3)

c. (4, 2, 3), (6, 2, -1)

2. Tuliskan persamaan parameter garis yang melalui titik yang diberikan dan sejajar terhadap vektor yang diberikan

a. (4,-6,3), <-2,1,5>

b. (2,5,-3) , <,-1,4,2>

13

Grafik Fungsi Bernilai Vektor

Misalkan

Df=[a,b]

1 2ˆ ˆ( ) ( ) ( )F t f t i f t j

] [ atb

(b)f

(t)f(a)f

c

y

x

Jika t berubah sepanjang [a,b] ujung-ujung )t(fmenjelajahi lengkungan (kurva) C dengan arah tertentu

disebut titik pangkal lengkungan C )(af

disebut titik ujung lengkungan C )(bf

kurva C disebut kurva tertutup )()( bfafJika

14

Grafik fungsi vektor

Grafik fungsi bernilai vektor berupa lengkungan/kurva di R2(3) dengan arah tertentu

Cara menggambar grafik fungsi vektor :

1. Tentukan persamaan parameter dari kurva

2. Tentukan persamaan Cartesius kurva(eliminasi parameter t ) dan gambarkan

3. Tentukan arahnya

15

Contoh

Gambarkan grafik fungsi vektor

ˆ ˆ1. ( ) 3cos 2sin ; 0 2F t t i t j t

Persamaan parameternya:

x = 3 cos t

y = 2 sin t

x/3 = cos t

y/2 = sin t

cos2 t + sin2 t =1 2 2

13 2

x y

Arahnya

(ellips)

)0,3(ˆ3)0( iF

)2,0(ˆ2)2

( jF

)0,3(ˆ3)( iF

)2,0(ˆ2)2

3( jF

)0,3(ˆ3)2( iF

3 -3

2

-2

x

y

C

16

Persamaan parameternya:

2 4x y

Arahnya:

(parabola)

ˆ(0) 4 ( 4,0)F i

ˆ(4) 2 (0,2)F j

-4

2

x

y

C

ˆ ˆ( ) ( 4) ; 0 42. F t t i t j t

y t4y x

4 4x t t x

17

Latihan

2 ˆ ˆ2. ( ) 4 ; 2 2F t t i t j t

2ˆ ˆ( ) 4 ; 2 21. F t t i t j t

Gambarkan grafik fungsi vektor berikut:

2 ˆ ˆ4. ( ) 2 3 ; 2 3F t t t i t j t

ˆ ˆ( ) 4 1 2 ; 0 33. F t t i t j t

2 2ˆ ˆ( ) ;5. F t t i a t j a t a

18

Ekivalen

Fungsi ( ) ( )f t dan g t

menjelajahi suatu lengkungan C yang sama dengan

arah yang sama pula.

disebut ekivalen jika

Contoh ˆ ˆ( ) cos sin , 0f t a t i a t j t

2 2ˆ ˆ( ) ,g t t i a t j a t a

Norm

1 2 3ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )f t f t i f t j f t k

2 2 2

1 2 3( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f t

Misalkan maka norm dari ( )f t

( ) ( )f t dan g t

19

Sifat fungsi vektor

ktfjtfitftf ˆ)(ˆ)(ˆ)()( 321

Misalkan ktgjtgitgtg ˆ)(ˆ)(ˆ)()( 321

dan

cos)()()()()()()()()().( 332211 tgtftgtftgtftgtftgtf

1.

ktgtg

tftfj

tgtg

tftfi

tgtg

tftf

tgtgtg

tftftf

kji

tgxtf ˆ)()(

)()(ˆ

)()(

)()(ˆ

)()(

)()(

)()()(

)()()(

ˆˆˆ

)()(21

21

31

31

32

32

321

321

2.

ktgtfcjtgtfcitgtfctgtfc ˆ)()(ˆ)()(ˆ)()()()( 332211

3.

c =konstanta

adalah sudut antara dua vektor tersebut

20

Limit Definisi

lim ( ) 0 0 0 ( )t a

f t L t a f t L

Ilustrasi

) ( a

L

(t)f

L -(t)f

y

x

. a+ a-

ε

21

Teorema

1 2ˆ ˆ( ) ( ) ( )f t f t i f t j Misalkan ( )f t, maka mempunyai limit di a

f1(t) dan f2(t) mempunyai limit di a, dan

1 2ˆ ˆlim ( ) lim ( ) lim ( )

t a t a t af t f t i f t j

Contoh: Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada, (Jika tidak ada beri alasan):

j

t

tti

t

tt

ˆ9

6ˆ3

9lim.1

2

22

3

je

ti

t

tt

t

ˆˆsinlim.2

0

tttt

ln),ln(lim.3 2

0

22

Jawab

j

t

tti

t

tt

ˆ9

6ˆ3

9lim.1

2

22

3j

t

tti

t

ttt

ˆ9

6limˆ

3

9lim

2

2

3

2

3

jtt

tti

t

tttt

ˆ33

23limˆ

3

33lim

33

jt

tit

tt

ˆ3

2limˆ3lim

33

ji ˆ6

5ˆ6

j

e

ti

t

ttt

ˆˆsinlim.2

0j

e

ti

t

tttt

ˆlimˆsinlim

00

iji ˆˆ0ˆ

23

tttt

ln),ln(lim.3 2

0

ttttt

lnlim),ln(lim0

2

0

)ln(lim 2

0t

tkarena (tidak ada)

Maka tidak ada tttt

ln),ln(lim 2

0

24

Latihan

Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada, (Jika tidak ada beri alasan):

j

t

tti

t

tt

ˆ2

6ˆ4

2lim.1

2

22

jtt

ti

t

t

t

ˆ32

1ˆsinlim.2

2

2

te t

t

1,lim.3 /1

0

25

Turunan

1 2 3ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )f t f t i f t j f t k Definisi: Misalkan

1 2 3 1 2 3

0

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'( ) lim

h

f t h i f t h j f t h k f t i f t j f t kf t

h

3 31 1 2 2

0

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆlimh

f t h f tf t h f t f t h f ti j k

h h h

3 31 1 2 2

0 0 0

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆlim lim limh h h

f t h f tf t h f t f t h f ti j k

h h h

1 2 3ˆˆ ˆ'( ) '( ) '( )f t i f t j f t k

1 2 3ˆˆ ˆ'( ) '( ) '( ) '( )f t f t i f t j f t k Jadi

26

Contoh 2 2ˆ ˆ( ) (2 3) tf t t i e j . Tentukan 1. Diketahui '(0) ''(0)f dan f

Jawab

2ˆ ˆ"( ) 8 4 tf t i e j

2ˆ ˆ'( ) 2 2 3 2 2 tf t t i e j 2ˆ ˆ8 12 2 tt i e j

ˆ ˆ'(0) 12 2f i j

ˆ ˆ''(0) 8 4f i j

i.

ii.

27

Contoh ˆ ˆ( ) cos2 tf t t i e j Tentukan 2. Diketahui

. '( ) ''( )a f t dan f t

. '(0) ''(0)b sudut antara f dan f

Jawab

a. ˆ ˆ'( ) 2sin 2 ,tf t t i e j ˆ ˆ''( ) 4cos2 tf t t i e j

b. ˆ'(0) ;f j ˆ ˆ"(0) 4f i j

'(0). "(0)cos

'(0) "(0)

f f

f f

1

17

1 1cos

17

28

Latihan 1 2 2 ˆˆ ˆ( ) tan ln 1tf t t i t e j t k

Tentukan

1. Diketahui

'(0)f dan ''(0)f

2 3ˆ ˆ( ) ln( )tr t e i t j

Tentukan

2. Diketahui

[ ( ). '( )]tD r t r t

3. Tentukan '( )r t dan "( )r t

a.

b.

2

ˆ ˆ( ) t t tr t e e i e j

5/3ˆ ˆ( ) tan 2r t t i t j

29

Arti Geometris

Df=[a,b]

] [ a t b

h)(tf

(t)f

(t)f-h)(tf

c

z

y x

O

P

Vektor ( ) ( )

, 0f t h f t

hh

searah dengan vektor ( ) - ( )f t h f t

Jika h 0, maka

merupakan vektor singgung pada kurva C di titik P pada

saat

0

( ) ( )lim '( )h

f t h f tf t

h

fDt

Arti Geometris : Vektor Singgung '( )f t

30

Garis Singgung

Df=[a,b]

] [ atb

)(tf 0

)(t'f 0

c

z

y x

O

P

Persamaan garis singgung pada kurva C pada titik P adalah

0 0( ) ( ) '( )x t f t t f t

atau

1 0 2 0 3 0 1 0 2 3 0, , ( ), ( ), ( ) '( ), '( 0), '( )x y z f t f t f t t f t f t f t

31

Contoh ˆˆ ˆ( ) cos sinf t t i t j t k

Tentukan persamaan garis singgung di titik P (–1, 0, ).

Diketahui

ˆˆ ˆ'( ) sin cosf t t i t j k

Jawab: t0 = waktu saat P tercapai, yaitu t0 =

ˆˆ ˆ'( ) 0 ( 1)f i j k

ˆˆ ˆ( ) ( 1) 0f i j k

0, 1, 1

1,0,

Persamaan parameter garis singgung di titik P (–1, 0, ) adalah x = –1, y = – t , z = + t

32

Latihan

ˆ ˆ( ) 3sin 4cosf t t i t j

Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 4).

1. Diketahui

2 ˆˆ ˆ( ) sin cos 1t tf t e t i e t j t k

Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 1, 1).

2. Diketahui

2ˆ ˆ( ) 2 2 3 2f t t i t j

Tentukan persamaan garis singgung di titik P (–2, –2).

3. Diketahui

Gerak Sepanjang Kurva

Misalkan t menyatakan waktu dan P titik yang bergerak ditentukan oleh persamaan parameter

x = f(t); y = g(t). maka

33

menyatakan vektor posisi dari titik P.

jtgitftr ˆ)(ˆ)()(

Jika t berubah ujung vektor bergerak sepanjang )t(r

lintasan titik P. Gerak ini dinamakan Gerak Sepanjang Kurva (Gerak Curvilinear)

Definisi 1. Kecepatan

34

2. Percepatan

j)t('gi)t('f)t('r)t(v

titik P adalah )t(v

di sebut laju titik P )t(v

j)t(''gi)t(''f)t(''r)t(a

titik P )t(a

di sebut besar percepatan )t(a

pada saat t

1. Gerak Linear

q)t(hp)t(r

2. Gerak pada Lingkaran

realfungsi)t(h;tetapvektorq,p

3. Gerak pada ellips

0a,jtsinaitcosa)t(r

0b,a,jtsinbitcosa)t(r

4. Gerak pada heliks

Lingkaran

ktbjtsinaitcosa)t(r

Contoh

Contoh Gerak Sepanjang Kurva

Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak pada bidang adalah

x = 3 cos t dan y = 2 sin t (t = waktu)

a. Gambarkan grafik lintasan P.

b. Tentukan rumus untuk kecepatan, laju dan

percepatan

c. Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan

pada saat mana nilai itu dicapai

35

Jawab

36

a. Persamaan parameter

x = 3 cos t

y = 2 sin t

x/3 = cos t

y/2 = sin t

cos2 t + sin2 t =1

123

22

yx(ellips)

3 -3

2

-2

x

y

. P

(t)a

(t)v

b. jtittr ˆsin2ˆcos3)(

jtittvtr ˆcos2ˆsin3)()('

)(ˆsin2ˆcos3)()(" trjtittatr

37

tttv 22 cos4sin9)(

tttttt 222222 cossin4sin5cos4sin4sin5

4sin5 2 t

b. Laju maks = 3, dicapai saat sin t = ±1, atau t = /2, 3/2

yaitu pada titik (0, ±2)

Laju min = 2, dicapai saat sin t = 0, atau t = 0,

yaitu pada titik (±3, 0)

Latihan Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak

pada bidang adalah

x = 4 cos t dan y = 3 sin t (t = waktu)

a. Gambarkan grafik lintasan P. b. Tentukan rumus untuk kecepatan, laju dan percepatan c. Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan pada saat mana nilai itu dicapai

38

Kelengkungan

Andaikan atb,

39

vektor posisi titik P. jtgitftr ˆ)(ˆ)()(

Panjang lintasan s dari P(a) ke P(t) adalah

Laju titik yang bergerak itu adalah

b

a

t

a

22du)u('rdu)u('g)u('fs

)()(' tvtrdt

ds

)(

1

tvds

dt

Definisi. Vektor Singgung Satuan di P,

40

Notasi didefinisikan sbb )(tT

Apabila P bergerak

)(

)(

)('

)(')(

tv

tv

tr

trtT

berubah arah )(tT x o

y

disebut vektor kelengkungan di P ds

Td

Kelengkungan di P; (kappa).

41

Dengan aturan rantai diperoleh

Jadi

)(

)('

)(

1)('

tv

tT

tvtT

ds

dt

dt

Td

ds

Td

dan

ds

Td

disebut jari-jari kelengkungan

)(

)('

tv

tT

ds

Td

1R

42

12,ˆsin8ˆcos8)(.1 33 tpadaPtitikdijtittr

Tentukan kelengkungan dan jari-jari kelengkungan dari

Jawab:

jttitttvtr ˆcossin24ˆsincos24)()(' 22

tttttv 2424 cossinsincos24)(

jtittv

tvtT ˆsinˆcos

)(

)()(

tttttt sincos24)sin(cossincos24 2222

jtittT ˆcosˆsin)('

ttttt

tt

tv

tTt

2sin12

1

sincos24

1

sincos24

cossin

)(

)(')(

22

Contoh:

43

6

1

2

1.12

1

6sin12

1

122sin12

1)

12(

61

R (Jari-jari kelengkungan)

Jadi kelengkungan () kurva diatas di t= /12 adalah 1/6,

Sedangkan jari-jari kelengkungannya (R) adalah 6

Latihan Tentukan vektor singgung satuan, kelengkungan

dan jari-jari kelengkungan di titik yang diberikan

44

2padatitikdi,ˆcosˆsin)(.1 tPjteitetr tt

1padatitikdi,ˆ1ˆ2)(.2 2 tPjtittr

21padatitikdi,ˆ4ˆ4)(.3 2 tPjtittr

9padatitikdi,ˆˆ3cosˆ3sin)(.5 tPktjtittr

6

padatitikdi,ˆ4ˆcos8ˆsin8)(.4 tPktjtittr

Teorema Andaikan x = f (t) dan y = g (t) adalah persamaan parameter

kurva yang mulus. Maka

45

23

22''

"'"'

yx

xyyx

Khususnya, untuk kurva dengan persamaan y =g(x), berlaku

23

2'1

"

y

y

Contoh 1. Tentukan kelengkungan elips

46

x = 2 cos t, y = 3 sin t

pada titik t = 0 dan t = /2

Jawab:

x’ = –2 sin t

x” = –2 cos t

y’ = 3 cos t

y” = –3 sin t

Kita peroleh

23

22''

"'"'

yx

xyyx

2322

22

cos3sin2

cos6sin6

tt

tt

23

22 cos9sin4

6

tt

Sehingga

23

22 0cos90sin4

6)0(

9

2

9

6

23

23

22

2cos9

2sin4

6)

2(

4

3

2. Tentukan kelengkungan kurva y = x2 di P(1, 1)

47

Jawab:

y’ = 2x y” = 2

Kita peroleh

23

2'1

"

y

y

2

3221

2

x

Sehingga

25

52

5

22/3

232

1.21

21

Latihan

Tentukan kelengkungan kurva berikut di titik P

1. y = x2 – x, di P(1,0)

2. r(t)=(t+t3) i + (t+t2) j , di P(2,2)

3. r(t)=2t2 i + (4t+2) j , di P(2,-2)

4. r(t)=4(1 – sint) i + 4(t+cos t) j , di P(8,6)

48