limit a. pendahuluan · anggota dari s. 2. f(x 0) = nilai minimum jika f pada domain s berlaku f(x...
TRANSCRIPT
LIMIT
A. Pendahuluan
1. Dalam kehidupan sehari-hari pengertian limit sebenarnya sudah sering kita temui,
misal seseorang yang akan jatuh ke sungai, dikatakan “hampir saja si A jatuh ke
sungai. Atau Rumah si B hampir terbakar, dan lainnya.
Semua itu merupakan hubungan dengan pengertian limit.
2. a) Jika ada suatu garis yang memotong suatu lingkaran tepat satu titik, maka garis
tersebut dikatakan menyinggung lingkaran (limit).
b) Jika garis tersebut memotong kurva tepat satu kali, maka belum tentu garis tersebut
menyinggung kurva.
c) Jika titik P dan Q pada suatu kurva dalam bidang xy, maka garis PQ adalah garis
potong pada kurva tersebut. Jika titik Q digerakkan menuju ke titik P, maka
terjdilah garis singgung pada kurva tersebut di titik P. Dikatakan bahwa garis PQ
menuju ke posisi limit.
3. Luas pada suatu bidang xy, yang berada dibawah suatu kurva yang sukar
menghitungnya, dapat dilakukan dengan cara membuat segiempat-segiempat di
bawah kurva tersebut dan menjumlahkannya. Maka hasilnya akan mendekati luas
yang sebenarnya dapat dikatakan nilai limit.
B. Definisi Limit.
Bilangan L disebut limit dari fungsi f(x) untuk x mendekati suatu nilai c, ditulis :
lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝐿
Artinya jika nilai x mendekati nilai c, maka f(x) mendekati L.
Sifat – sifat limit :
1. 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑐𝑥 → 𝑐
= 𝑐
2. 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑐𝑓(𝑥)
𝑥 → 𝑐= 𝑐
𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑓(𝑥)𝑥 → 𝑐
3. 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 [𝑓 + 𝑔]𝑥
𝑥 → 𝑐=
𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑓(𝑥)𝑥 → 𝑐
+ 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑔(𝑥)
𝑥 → 𝑐
4. 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 [𝑓. 𝑔](𝑥)
𝑥 → 𝑐=
𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑓(𝑥)𝑥 → 𝑐
. 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑔(𝑥)
𝑥 → 𝑐
5. 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 [
𝑓
𝑔](𝑥)
𝑥 → 𝑐=
lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥)
lim 𝑥→𝑐 𝑔(𝑥)
Dimana c adalah bilangan konstan sembarang.
Contoh :
1. 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 4𝑥𝑥 → 2
= 4 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑥𝑥 → 2
= 4 .2 = 8
2. 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 (𝑥2 + 4𝑥)
𝑥 → 2= 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑥2
𝑥 → 2+
𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 4𝑥𝑥 → 2
= 22 + 4 . 2 = 4 + 8 = 12
Limit Besar Tak Hingga.
Adalah limit dengan rumus : 1. lim𝑛→∞ 𝑓 𝑥 = 𝐿
2. lim𝑛→− ∞ 𝑓 𝑥 = 𝐿
Contoh :
1. lim𝑥→∞1
𝑥=
1
∞= 0
2. lim𝑥→∞3𝑥−2
6𝑥+10= lim𝑥→∞
3−2/𝑥
6+10/𝑥= 1/2
Limit Palsu.
Adalah limit dengan bentuk : lim𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 = ∞ atau lim𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 = − ∞
Contoh :
1. lim𝑥→01
𝑥2 = 1
0 = ∞
2. lim𝑥→1𝑥2
𝑥−1 =
lim 𝑥→1 𝑥2
lim 𝑥→1 𝑥−1 =
1
1−1 = ∞
C. Derivatif
Definisi : Derivatif fungsi f (ditulis f’ ) adalah fungsi dengan rumus :
f’(x) = lim∆𝑥 →0𝑓 𝑥+ ∆𝑥 – 𝑓 ( 𝑥 )
∆𝑥
apabila limit ini ada.
Contoh 1 : Cari f’(x) jika f(x) = x2
Jawab :
f(x) = x2 - f( 𝑥 + ∆𝑥 ) = ( 𝑥 + ∆𝑥 )
2 = x
2 + 2 x ( ∆𝑥 ) + ( ∆𝑥 )
2
Sehingga f’(x) = lim∆𝑥 →0𝑓 𝑥+ ∆𝑥 – 𝑓 ( 𝑥 )
∆𝑥
= lim∆𝑥 →0( 𝑥+ ∆𝑥 )2– 𝑥2
∆𝑥
= lim∆𝑥 →0𝑥2+ 2𝑥 ∆𝑥 + (∆𝑥)2 − 𝑥2
∆𝑥
= 2x
Jadi f(x) = x2 - f’(x) = 2x.
Secara umum f(x) = xn - f’(x) = nx
n-1
Rumus- Rumus :
1. f(x) = C , maka f’ (x) = 0; atau y = C; maka y’ = 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 0
2. y = xn
, maka y’ = n xn-1
3. Y = f(x) +
− g(x) ; maka Y’ = f’(x)
+
− g’(x)
4. Y = f(x) . g(x) ; maka Y’ = f(x) . g’(x) + f’(x) . g(x)
5. Y = 𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) ; maka Y’ =
𝑔(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) − 𝑔′ (𝑥) 𝑓(𝑥)
[𝑔 𝑥 ]2
6. Y = [f(x)]n ; maka Y’ = n [f(x)]
n-1 . f’(x)
Contoh : Cari y’ jika
1. y = 5; maka y’ = 0
2. y = x5 ; maka y’ = 5 x
4
3. y = [ x5 + 3 ] + [ x
2 + 5 ] ; maka y’ = [5x
4] + [2x]
4. y = [ x5 + 3 ] . [ x
2 + 5 ] ; maka y’ = [ x
5 + 3 ] . [ 2x ] + [ 5x
4 + 3 ] . [ x
2 + 5 ]
5. y = 𝑥5 + 3
𝑥3 ; maka y’ = 𝑥3 [5𝑥4] − [3𝑥2] [𝑥5+3]
[𝑥3]2
6. y = [ x5 + 3 ]
7 ; maka y’ = 7 [ x
5 + 3 ]
6 . [ 5x
4 ]
D. Nilai Maksimum, Minimum, dan Titik Stasioner
1. f(x0 ) = nilai maksimum jika f pada domain S berlaku f(x0 ) ≥ f(x) untuk setiap x
anggota dari S.
2. f(x0 ) = nilai minimum jika f pada domain S berlaku f(x0 )≤ f(x) untuk setiap x
anggota dari S.
3. Misal f(x) = 1
𝑥 dan S = [1,3], maka f(1) = 1 adalah nilai maksimum dan f(3) =
1
3
adalah nilai minimum.
4. Titik Stasioner diperoleh dari f’(x) = 0. Merupakan titik yang akan memberikan f
bernilai maksimum atau minimum.
5. Misal f(x) = x2 dan S = [ -1, 3], maka f( -1) = 1, f(3) = 9.
Turunan dari f(x) adalah f’(x) = 2x = 0, jadi x = 0, maka f(0) = 0
Sehingga f(x) = x2 , nilai maksimumnya adalah 9 dan nilai minimumnya = 0.
6. Sebuah kapal terhenti di tengah laut di A, berjarak 2 mil ke pantai B, jika yang akan
dituju untuk mencari bantuan adalah di C yang berjarak 6 mil dari B. Berapa waktu
tercepat jika, berlari di darat kecepatannya 10 mil/jam dan naik sekoci kecepatannya 6
mil/jam.
Jawab :
a). Dari A ke B kemudian ke C
Dari A ke B naik sekoci maka waktu yang diperlukan :
W = 𝐽
𝐾 =
2 𝑚𝑖𝑙
6 𝑚𝑖𝑙 /𝑗𝑎𝑚 =
1
3 jam = 20 menit
dari B ke C lari, maka waktu yang diperlukan : W = 𝐽
𝐾 =
6 𝑚𝑖𝑙
10 𝑚𝑖𝑙 /𝑗𝑎𝑚 =
6
10 jam = 36 menit
jadi keseluruhan waktu yang digunakan = 56 menit.
b) Dari A langsung ke C :
dari A langsung ke C maka waktu yang diperlukan : W = 𝐽
𝐾 =
4+36 𝑚𝑖𝑙
6 𝑚𝑖𝑙 /𝑗𝑎𝑚 =
6,3
6 jam = 1,05 jam
= 63 menit.
c) Dari A ke D kemudian ke C :
dari A ke D naik sekoci maka waktu yang diperlukan : W = 𝐽
𝐾 =
4+ 𝑥2 𝑚𝑖𝑙
6 𝑚𝑖𝑙 /𝑗𝑎𝑚 =
4+ 𝑥2
6 jam
dari D ke C lari, maka waktu yang diperlukan : W = 𝐽
𝐾 =
(6−𝑥 ) 𝑚𝑖𝑙
10 𝑚𝑖𝑙 /𝑗𝑎𝑚 =
(6−𝑥 )
10 jam
jadi keseluruhan waktu yang digunakan : W = { 4+ 𝑥2
6 +
(6−𝑥 )
10 } jam
W = 4+ 𝑥2
6 +
(6−𝑥 )
10
= 1
6 4 + 𝑥2 +
1
10 ( 6 – x )
= 1
6 ( 4 + x
2 )
1/2 +
1
10 ( 6 – x )
Maka W’ = 1
6 .
1
2 ( 4 + x
2 )
-1/2 (2x) +
1
10 ( – 1 )
= 𝑥
6 ( 4+ 𝑥2 -
1
10
= 10 𝑥−6 ( 4+ 𝑥2
60 4+ 𝑥2
Karena nilai ekstrim dapat dicari dari persamaan W’ = 0
Dari W’ = 10 𝑥−6 ( 4+ 𝑥2
60 4+ 𝑥2 -- 60 4 + 𝑥2 ≠ 0
Jadi 10 x - 6 4 + 𝑥2 = 0
10 x = 6 4 + 𝑥2
100 x2 = 36 ( 4 + x
2 )
100 x2 = 144 + 36 x
2
Maka didapat nilai x1 = 3/2 dan x2 = - 3/2
Jadi didapat nilai W = { 4+ 𝑥2
6 +
(6−𝑥 )
10 } jam
W = { 4+ (
3
2)2
6 +
(6−3
2 )
10 } jam = {
4+ (9
4)
6 +
(9
2 )
10 } jam = {
(25
4)
6 +
9
20 } jam
= { 5/2
6 +
9
20 } jam = {
5
12 +
9
20 } jam = { 25 + 27 } menit
= 52 menit.
7. Suatu proyek pemasangan pipa air minum dari sumber air ke suatu lokasi
penampungan. Dari sumber air ke penampungan memotong jalan raya dengan lebar
14 meter, jika jarak sumber air ke lokasi penampungan sejauh 100 m. Hitunglah biaya
minimum jika pemasangan pipa di bawah aspal jalan raya biayanya 4 juta/meter dan
di tepi jalan 2 juta/meter.
Jawab :
a) Jarak dari A ke B = 14 m dan dari B ke C = 100 m
Jika akan dilakukan pemasangan dari A ke B, kemudian dari B ke C, maka biaya yang
diperlukan sebesar:
dari A ke B biaya pemasangan yang diperlukan = 14 x 4 = 56 juta
dari B ke C biaya pemasangan yang diperlukan = 100 x 2 = 200 juta
Jadi keseluruhan biayanya = 256 juta.
b) Biaya pemasangan dari A langsung ke C sebesar = 4 x 142 + 1002 = 4 x 10196
= 4 x 100,97 = 403,9 juta
c) Jika pemasangan dilakukan dengan cara :
dari A ke D biaya yang diperlukan = 4 x 𝑥2 + 142 juta
dari D ke C biaya yang diperlukan = 2 x ( 100 – x ) juta
jadi keseluruhan biaya = B = 4 𝑥2 + 142 + 2 ( 100 – x )
= 4 𝑥2 + 196 + 200 – 2x 𝑑𝐵
𝑑𝑥 = 0
4𝑥
𝑥2+ 196 - 2 = 0
4𝑥
𝑥2+ 169 = 2
4x = 2 𝑥2 + 196
16 x2 = 4 ( x
2 + 196 )
16 x2 = 4 x
2 + 784
12 x2 = 784
x2 = 784/12 = 65,3
x1 = 8,08 dan x2 = - (t.m)
jadi keseluruhan biaya = B = 4 8,082 + 196 + 2 ( 100 – 8,08 ) = 248,5 juta
8. Kertas karton berbentuk bujur sangkar dengan sisi-sisinya berukuran 15 cm. Jika
setiap ujung dipotong berbentuk bujur sangkar. Berapa ukuran kotak terbuka dengan
volume terbesar yang dapat dibuat dari karton tsb.
Jawab :
Volume kotak terbuka adalah V = luas alas . tinggi = s . s . t = ( 15-2x ) ( 15-2x ) x
V = 4x3 – 60x
2 + 225x
𝑑𝑉
𝑑𝑥 = 0
12x2 – 120x + 225 = 0
x1,2 = −𝑏
+
− 𝑏2− 4𝑎𝑐
2𝑎 =
120 +
− 14400−10800
24 =
120 +
− 3600
24 =
120 +
− 60
24
x1 = (120+60)/24 = 7,5 ; x1 = (120-60)/24 = 2,5
Jadi volume terbesar jika x = 2,5
Sehingga V = 4(2,5)3 – 60(2,5)
2 + 225(2,5) = 62,5-375+562,5 = 250
9. Suatu perusahaan akan menjual barang hasil produksinya dengan harga Rp 5000,-
/biji. Serta setiap harinya menjual minimal 1000 satuan. Jika harga barang tersebut
harganya dikurangi Rp 100,-/biji maka jumlah yang terjual akan meningkat 100
satuan.
Cari : a) fungsi harga, jika x = banyak barang yang terjual.
b) fungsi pendapatan.
c) pendapatan harian maksimum.
Jawab :
a) h(x) = 5000 – 100 [ 𝑥−1000
100 ] = 6000 – x
b) p(x) = x . h(x) = 6000 x – x2
c) 𝑑 𝑝(𝑥)
𝑑𝑥 = 6000 – 2x = 0, jadi x = 3000.
Berarti pendapatan perhari = 6000(3000) –(3000)2 = 9.000.000
INTEGRAL
A. Integral Tak Tentu.
Definisi : Fungsi F(x) = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 disebut integral tak tentu dari fungsi f(x) pada interval
tertutup [a,b] jika F’(x) = f(x) ∀ x ∈ [a,b]
Rumus : 𝑥𝑛 𝑑𝑥 = 1
𝑛+1 𝑥𝑛+1 + 𝐶
Contoh :
1. 𝑥3 𝑑𝑥 = 1
4 𝑥4 + 𝐶
2. 𝑥5 𝑑𝑥 = 1
6 𝑥6 + 𝐶
3. 𝑥 [𝑥2 + 3]7 𝑑𝑥 = ........; misal A = x2 + 3, maka dA = 2x dx
= 𝑥 𝐴7 𝑑𝐴
2𝑥
= 1
2 𝐴7 𝑑𝐴
= 1
16 [ x
2 + 3 ]
8 + C
B. Integral Tertentu
∆ L1 = f(x1 ) . ∆ x1
∆ L2 = f(x2 ) . ∆ x2
.............................
∆ Ln = f(xn ) . ∆ xn
------------------------ +
L = ∆ 𝐿𝑖𝑛𝑖=1 = 𝑓( 𝑥𝑖 )
𝑛𝑖=1 . ∆𝑥𝑖
L = lim∆𝑥𝑖 𝑓( 𝑥𝑖 )
𝑛𝑖=1 . ∆𝑥𝑖 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Jadi, L= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
C. Pengembangan Rumus.
1. L = [ 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 ]𝑑𝑥𝑏
𝑎
2. V = 𝜋 [ 𝑓 𝑥 ]2𝑑𝑥𝑏
𝑎
3. V = 𝜋 { [ 𝑓 𝑥 ]2 – 𝑔 𝑥 ]2 𝑑𝑥𝑏
𝑎
4. P(AB) = 1 + [ 𝑑𝑦
𝑑𝑥 ]2
𝑏
𝑎 dx
5. L(AB) = 2𝜋 𝑦 1 + [ 𝑑𝑦
𝑑𝑥 ]2
𝑏
𝑎 dx
Contoh :
1. Hitung luas bidang datar yang dibatasi parabol y = x2 ; sumbu x; dan garis tegak x
= 2.
Jawab :
L = 𝑥2 𝑑𝑥 = [ 1
3 𝑥3 ]0
22
0 =
8
3
2. Hitung luas bidang datar yang dibatasi parabol y = ex ; dari titik x=0 sampai dengan
x = 2.
Jawab :
L = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = [ 𝑒𝑥 ]022
0 = e
2 – e
0
3. Hitung luas bidang datar yang dibatasi parabol y = x2 dan y = 4.
Jawab :
L = [ 4 − 𝑥2 ] 𝑑𝑥 = [ 4𝑥 − 1
3𝑥3 ]−2
22
−2 = [8-8/3] – [ -8+8/3] = 32/3
4. Hitung volume benda putar yang terjadi jika bidang datar yang dibatasi oleh garis y =
x, x = 4, dan sumbu x, kemudian diputar keliling sumbu x.
Jawab :
L = 𝜋 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝜋[ 1
3𝑥3 ]0
44
0 = 64/3 𝜋
5. Hitung volume benda putar yang terjadi jika bidang datar yang dibatasi oleh garis y =
𝑥, y = 4, dan sumbu y kemudian diputar keliling sumbu x.
Jawab :
L = 𝜋 [42 − 𝑥 2
] 𝑑𝑥 = 𝜋[ 16𝑥 − 1
2 𝑥2 ]0
1616
0 = 128 𝜋
6. Hitung panjang kurva y = x, dari titik A(1,1) sampai B(4,4).
Jawab : P(AB) = 1 + [ 𝑑𝑦
𝑑𝑥 ]2
𝑏
𝑎 dx = 1 + 1
4
1 dx = 3 2
7. Hitung luas luasan busur putar jika kurva y = x, dari titik A(1,1) sampai B(4,4),
diputar keliling sumbu x.
Jawab : L(AB) = 2𝜋 𝑦 1 + [ 𝑑𝑦
𝑑𝑥 ]2
𝑏
𝑎 dx
= 2𝜋 𝑥 1 + 1 4
1 dx = 15 2 𝜋
D. Hubungan Koordinat Kartesius Dan Koordinat Polar (Kutub)
P(x,y) = P(r,𝜃 ) dimana x = r cos 𝜃 dan y = r sin 𝜃
Sehingga : Persamaan lingkaran x2 + y
2 – 2ax = 0 dalam koordinat polar r = 2a cos 𝜃
Persamaan lingkaran x2 + y
2 + 2ax = 0 dalam koordinat polar r = - 2a cos 𝜃
Persamaan lingkaran x2 + y
2 – 2ay = 0 dalam koordinat polar r = 2a sin 𝜃
Persamaan lingkaran x2 + y
2 + 2ay = 0 dalam koordinat polar r = - 2a sin 𝜃
Cardioda r = a ( 1 – Cos 𝜃 )
Cardioda r = a ( 1 + Cos 𝜃 )
Gambar r = 2a cos 𝜃
𝜃 0 30 45 60 90 135 180 225 270 300 360
Cos 𝜃 1 0,8 0,7 0,5 0 -0,7 -1 -0,7 0 0,5 1
r 2a 1,6 1,4a a a 2a
Gambar r = 2a sin 𝜃
𝜃 0 30 45 60 90 135 180 225 270 300 360
Sin 𝜃 0 0,5 0,7 0,8 1 0,7 0 -0,7 -1 -0,8 0
r 0 a 1,4a 1,6a 2a 1,4a 0
Gambar Cardioda r = a ( 1 – Cos 𝜃 )
𝜃 0 30 45 60 90 135 180 225 270 300 360
Cos 𝜃 1 0,8 0,7 0,5 0 -0,7 -1 -0,7 0 0,5 1
r 0 0,2a 0,3a 0,5a A 1,7a 2a 1,7a a 0,5a 0
Dalam koordinat kutub L= 1
2 𝑟2𝛽
𝛼 d𝜃
Contoh : Tentukan luas daerah di kuadran I, yang berada diluar lingkaran r = 2 dan didalam
lingkaran r = 4 cos 𝜃
( [cos 𝑥 ]𝑛 𝑑𝑥 = [cos 𝑥 ]𝑛−1 . [sin 𝑥 ]
𝑛 +
𝑛−1
𝑛 [cos 𝑥 ]𝑛−2 𝑑𝑥
Jawab : L= 1
2 𝑟2𝛽
𝛼 d𝜃 =
1
2 { [ 16 𝑐𝑜𝑠2𝜋/3
0 𝜃] – 4 ] d𝜃
= 1
2 [ 16 𝑐𝑜𝑠2𝜋/3
0 𝜃] d𝜃 - 2
𝜋/3
0 d𝜃
= 8 [cos 𝜃 ] [sin 𝜃 ]0
𝜋/3
2 + 4
𝜋/3
0 d𝜃 - 2
𝜋/3
0 d𝜃
= 4 cos (𝜋/3) .sin (𝜋/3) + 2 (𝜋/3)
E. Integral Lipat Dua
∆ V1 = f(x1 , y1 ) . ∆ L1
∆ V2 = f(x1 , y1 ) . ∆ L1
.............................
∆ Vn = f(xn , yn ) . ∆ Ln
------------------------ +
V = ∆ 𝑉𝑖𝑛𝑖=1 = f(xi , yi ) . ∆ Li𝑛
𝑖=1
V = lim∆𝐿𝑖 f(xi , yi ) . ∆ Li𝑛
𝑖=1 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐿𝑅
Contoh :
1. Hitung volume benda yang dibatasi oleh bidang x + y + z = 2 dan bidang-bidang koordinat.
Jawab :
V = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐿𝑅
= 2 − 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥2−𝑥
𝑦=0
2
𝑥=0 =
1
2 𝑥2 − 2𝑥 + 2 𝑑𝑥
2
𝑥=0 = 8/6
2. Hitung volume benda yang dibatasi oleh bidang x + z = 2 ; y = 5 dan bidang-bidang
koordinat.
Jawab :
V = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐿𝑅
= 2 − 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥5
𝑦=0
2
𝑥=0 = 10 − 5𝑥 𝑑𝑥
2
𝑥=0 = 10
3. Sebuah tangki berbentuk kerucut penuh dengan air. Jika tinggi tangki 10 m dan jari-jari 4
m. Maka tentukan daya yang diperlukan untuk memompa air sampai tepi atas tangki.
Jawab :
W = F . d ( daya = gaya . jarak )
∆ W = 𝛿 𝜋 [ 4𝑦
10 ]2 . ∆𝑦 . [10-y] = = 𝛿 𝜋 [
4𝑦
10 ]2 . [10-y] . ∆𝑦 = 𝛿 𝜋 [
16
100 ] . [10y
2 – y
3] . ∆𝑦
W = 𝛿 𝜋 [ 16
100 ] . [10 y2 – y3]
10
0dy =
16 𝛿 𝜋
100 [
10
3 𝑦3 −
1
4 𝑦4 ]0
10 = 133,3. 𝛿 𝜋
F. Luas Permukaan
L(P ) = 𝜕𝑧
𝜕𝑥
2
+ 𝜕𝑧
𝜕𝑦
2
+ 1𝑅
dR
Contoh 1 : Hitung luas permukaan bidang y+z = 3 yang terpotong bidang-bidang x=0, y=0,
z=0, dan x = 5.
Jawab :
z=3-y - 𝜕𝑧
𝜕𝑥 = 0 ; dan
𝜕𝑧
𝜕𝑦 = -1
L(P) = 0 + 1 + 13
𝑦=0
5
𝑥=0 dy dx = 2 [𝑦]0
35
𝑥=0 dx = 2 3
5
𝑥=0 dx = 2 [3𝑥]0
5 = 15 2
Contoh 2 : Hitung luas permukaan bidang x+z = 3 yang terpotong bidang-bidang x=0, y=0,
z=0, dan y = 5.
Jawab :
z=3-x - 𝜕𝑧
𝜕𝑥 = -1 ; dan
𝜕𝑧
𝜕𝑦 = 0
L(P) = 1 + 0 + 15
𝑦=0
3
𝑥=0 dy dx = 2 [𝑦]0
53
𝑥=0 dx = 2 5
5
𝑥=0 dx = 2 [5𝑦]0
3 = 15 2
G. Transformasi Jacobian
Misal 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑅
akan diganti dengan variabel baru U dan V, dimana antara U dan V
dengan x dan y terdapat hubungan fungsional x = h(U,V) dan y = g(U,V) serta setiap pasang
(U,V) terdapat satu pasang (x,y); Maka
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑅
= 𝑓 𝑈, 𝑉 , 𝑔 𝑈, 𝑉 𝐽 𝑑𝑈 𝑑𝑉𝑅
dimana J =
𝜕𝑥
𝜕𝑈
𝜕𝑥
𝜕𝑉𝜕𝑦
𝜕𝑈
𝜕𝑦
𝜕𝑉
Misal x = r cos 𝜃 dan y = r sin 𝜃 ,
maka 𝜕𝑥
𝜕𝑟 = cos 𝜃 ;
𝜕𝑥
𝜕𝜃 = - r sin 𝜃 dan
𝜕𝑦
𝜕𝑟 = sin 𝜃 ;
𝜕𝑦
𝜕𝜃 = r cos 𝜃
sehingga J =
𝜕𝑥
𝜕𝑟
𝜕𝑥
𝜕𝜃𝜕𝑦
𝜕𝑟
𝜕𝑦
𝜕𝜃
= cos 𝜃 −𝑟 sin 𝜃sin 𝜃 𝑟 cos 𝜃
= r (cos 𝜃)2 + r (sin 𝜃)
2 =
= r { (cos 𝜃)2 + (sin 𝜃)
2 } = r . 1 = r
Jadi 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑅
= 𝑓 𝑟, 𝜃 𝐽 𝑑𝑟 𝑑𝜃𝑅
= 𝑓 𝑟, 𝜃 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃𝑅
Contoh 1 : Hitung volume benda dibawah permukaan z = x2 + y
2; diatas bidang z = 0 dan di
dalam tabung x2 + y
2 = 2x.
Jawab :
V = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑅
= [𝑥2𝑦
+ 𝑦2 ] 𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑥
Dengan transformasi Jacobian :
z = x2 + y
2 = r
2 ;
x2 + y
2 = 2x dirubah menjadi r
2 = 2r cos 𝜃 jadi r = 2 cos 𝜃
didapat batas untuk 𝜃 adalah 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋/2 dan untuk r adalah 0 ≤ 𝑟 ≤ 2 cos 𝜃
V1 = 𝑓 𝑟, 𝜃 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃𝑅
= 𝑟22 cos 𝜃
𝑟=0 . 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃
𝜋/2
𝜃=0 = 𝑟32 cos 𝜃
𝑟=0 𝑑𝑟 𝑑𝜃
𝜋/2
𝜃=0
= 1
4 [𝑟4]0
2 cos 𝜃 𝑑𝜃𝜋/2
𝜃=0 =
1
4 [ 16 (cos 𝜃 )4 𝑑𝜃
𝜋/2
𝜃=0 = 4
3
4 (cos 𝜃 )2 𝑑𝜃
𝜋/2
𝜃=0
= 3 1
2 𝑑𝜃
𝜋/2
𝜃=0 = [3/2] [ 𝜋/2]
V = 2 V1 = = [3/2][ 𝜋
Contoh 2 : Hitung volume benda dibawah permukaan z = x2 + y
2; diatas bidang z = 0 dan di
dalam tabung x2 + y
2 = 2y.
Daftar Pustaka Referensi.
1. Edwin J. Purcell, Dale Varberg, Kalkulus Dan Geometri Analitis, Penerbit Erlangga,
Jakarta.
2. Frank Ayres JR, Differential And Integral Calculus, Schaum’s Outline Series
3. Earl W. Swokowski, Calculus With Analytic Geometry, Marquette University
INTEGRASI NUMERIK
Pendahuluan.
Integral suatu fungsi disajikan dalam bentuk : 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
Integral tersebut digunakan untk menghitung luasan yang dibatasi oleh fungsi f(x) dan sumbu
x, dengan batas x=a dan x=b.
Metode Trapesium.
Metode Trapesium merupakan metode pendekatan integral numerik, dalam metode ini kurva
lengkung dari fungsi f(x) dianggap garis lurus.
Metode Trapesium 1 pias.
Sehingga untuk menghitung suatu luasan yang dibatasi oleh fungsi f(x) dan sumbu x dari x=a
sampai x = b, dihitung dengan rumus L = [b-a] 𝑓 𝑎 + 𝑓(𝑏)
2
Contoh : Hitung luas bidang datar dibatasi oleh y = x2 dan sumbu x dari x = 2 sampai x = 5.
Jawab :
x1 = 2 → f(𝑥1 ) = 4 ; x2 = 5 → f(𝑥1 ) = 25 ; L = [5-2] 4+25
2 =
87
2 = 43,5
Metode Trapesium n-pias.
L= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑥0
𝑎 + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑥1
𝑥0 + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1 +......... + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑥𝑛 −1
= ∆𝑥 𝑓 𝑥0 + 𝑓(𝑎)
2 + ∆𝑥
𝑓 𝑥1 + 𝑓( 𝑥0 )
2 + ∆𝑥
𝑓 𝑥2 + 𝑓( 𝑥1 )
2 + .... ∆𝑥
𝑓 𝑏 + 𝑓( 𝑥𝑛−1 )
2 +
= ∆𝑥
2 [ f(x0) + f(a) + f(x1) + f(x0) + f(x2) + f(x1) + ....... + f(b) + f(xn-1) ]
= ∆𝑥
2 [ f(a) + f(b) + 2 𝑛−1
𝑖=0 f(xi) ]
Contoh :
1. Hitung luas bidang datar yang dibatasi parabol y = x2 ; sumbu x; dari x=2 sampai
x=5
Jawab :
Misal ambil pias n=3, maka ∆𝑥 = 𝑏−𝑎
𝑛 =
5−2
3 = 1.
Jadi, titik a = 2, b = 5 dan x0 = 3, x1 = 4
f(a) = 4; f(b) = 25 ; f(x0 ) = 9 ; f(x1 ) = 16
L = ∆𝑥
2 [ f(a) + f(b) + 2 𝑛−1
𝑖=0 f(xi) ] = 1
2 [ 4 + 25 + 2 (9+16) ] = 39,5
2. Diberikan data sebagai berikut :
x 0 1 2 3
f(x) 5 9 17 27
Hitung luasan dibawah f(x) dan diantara x = 0 dan x = 3.
Jawab :
Jadi, L = 1
2 [ 5 + 27 +2(9+17)] = 42
3. Dalam suatu pengamatan pada jumlah kendaraan yang melewati suatu ruas jalan
didapat data sebagai berikut :
Hitunglah jumlah kendaraan yang melewati jalan tersebut dalam
satu hari.
Jawab :
No Waktu Kend/mnt f(x) 1 0 3 3 2 120 2 4
No Waktu Kend/mnt
1 0.00 3
2 2.00 2
3 4.00 1
4 6.00 4
5 8.00 12
6 10.00 7
7 12.00 8
8 14.00 9
9 16.00 11
10 18.00 12
11 20.00 9
12 22.00 4
13 24.00 2
3 240 1 2 4 360 4 8 5 480 12 24 6 600 7 14 7 720 8 16 8 840 9 18 9 960 11 22 10 1080 12 24 11 1200 9 18 12 1320 4 8 13 1440 2 2 163
Jumlah kendaraan dalam 1 hari = (1440/12)/2 * 163 = 9780
Metode Simpson.
Metode Simpson 1/3 dengan 2 pias
L = 𝑏−𝑎
6 [ f(a) + 4 f(c) + f(b) ]
Contoh : Hitung luas bidang datar dibatasi oleh y = x2 dan sumbu x dari x = 2 sampai x = 5.
Jawab :
Ambil 3 titik a = 2, b = 5 dan c = 3,5 ; maka f(a) = 4 ; f(b) = 25 ; dan f(c) = 12,25
L = 𝑏−𝑎
6 [ f(a) + 4 f(c) + f(b) ] =
5−2
6 [ 4 + 4 (12,25) + 25 ] = 39
Metode Simpson 1/3 dengan n-pias
L = ∆𝑥
3 [ f(a) + f(b) + 4 𝑓 𝑥𝑖 + 2 𝑓 𝑥𝑖 𝑛−2
𝑖=2𝑛−1𝑖=1 ]
Dimana 4 𝑓 𝑥𝑖 𝑛−1𝑖=1 untuk i gasal dan 2 𝑓 𝑥𝑖
𝑛−2𝑖=2 untuk i genap
Contoh : Hitung luas bidang datar dibatasi oleh y = x2 dan sumbu x dari x = 2 sampai x = 5.
Jawab :
Misal banyak pias n = 4, maka ∆x = 5−2
4 = 0,75,
didapat a=2 ; x1 = 2,75 ; x2 = 3,5 ; x3 = 4,25 ; b = 5
Jadi f(a) = 4 ; f(x1 ) = 7,56 ; f(x2 ) = 12,25 ; f(x3 ) = 18,06 ; f(b) = 25.
L = 0,75
3 [ 4 + 25 + 4( 7,56 + 18,06 ) + 2 ( 12,25) ] = 38,995
AKAR-AKAR PERSAMAAN
Untuk mencari akar-akar persamaan polinomial derajad dua, misal bentuk ax2 + bx + c = 0
dapat dicari dengan rumus x1,2 = −𝑏 ± 𝑏2− 4𝑎𝑐
2𝑎 .
Misal : x2 – x – 6 = 0, maka x1,2 =
−𝑏 ± 𝑏2− 4𝑎𝑐
2𝑎 =
1 ± 1+24
2 ; jadi x1 = 3 dan x2 = -2
Sedangkan untuk polinomial derajad tiga, empat dapat dilakukan dengan metode sebagai
berikut :
Metode Newton Raphson : xi+1 = xi – 𝒇(𝒙𝒊 )
𝒇′ (𝒙𝒊 )
Contoh : Cari salah satu akar dari : x3 + x
2 -3x – 3 = 0
Jawab :
1) f(x) = x3 + x
2 -3x – 3 → f’ (x) = 3x
2 + 2x -3
2) ambil x1 = 1 → f(x=1) = -4 dan f’(x=1) = 2
3) x2 = x1 – 𝑓(𝑥𝑖 )
𝑓 ′ (𝑥𝑖 ) = 1 -
−4
2 = 3
4) ambil x2 = 3 → f(x=3) = 24 dan f’(x=3) = 30
5) x3 = x2 – 𝑓(𝑥𝑖 )
𝑓 ′ (𝑥𝑖 ) = 3 -
24
30 = 2,2
6) ambil x3 = 2,2 → f(x=2,2) = 5,89 dan f’(x=2,2) = 15,92
7) x4 = x3 – 𝑓(𝑥𝑖 )
𝑓 ′ (𝑥𝑖 ) = 2,2 –
5,98
15,92 = 1,83
8) ambil x5 = 1,83 → f(x=1,83) = 0,98 dan f’(x=1,83) = 10,71
9) x6 = x5 – 𝑓(𝑥𝑖 )
𝑓 ′ (𝑥𝑖 ) = 1,83 –
0,98
10,71 = 1,73
10) ambil x6 = 1,71 → f(x=1,71) = -0,21 dan f’(x=1,71) = 9,19
11) x7 = x6 – 𝑓(𝑥𝑖 )
𝑓 ′ (𝑥𝑖 ) = 1,71 -
−021
9,19 = 1,73
INTERPOLASI
Intepolasi digunakan untuk mencari suatu nilai dari beberapa nilai yang sudah diketahui.
Interpolasi Linier.
f1 (x) = f(x0 ) + 𝑓 𝑥1 – 𝑓 (𝑥0 )
𝑥1− 𝑥0 (x – x0 )
Interpolasi Kuadrat.
f2 = b0 + b1 (x – x0) + b2 (x – x0 ) (x – x1 )
dengan b0 = f(x0 ) ; b1 = 𝑓 𝑥1 − 𝑓 (𝑥0 )
𝑥1− 𝑥0 ; b2 =
𝑓 𝑥2 – 𝑓(𝑥1 )
𝑥2 − 𝑥1−
𝑓 𝑥1 – 𝑓( 𝑥0 )
𝑥1 − 𝑥0
𝑥2 − 𝑥0
Interpolasi Polinomial Lagrange Order Satu.
f1 (x) = 𝑥− 𝑥1
𝑥0− 𝑥1 f (x0 ) +
𝑥− 𝑥0
𝑥1− 𝑥0 f( x1 )
Interpolasi Polinomial Lagrange Order Dua.
f2 (x) = 𝑥− 𝑥1
𝑥0− 𝑥1
𝑥− 𝑥2
𝑥0− 𝑥2 f (x0 ) +
𝑥− 𝑥0
𝑥1− 𝑥0
𝑥− 𝑥2
𝑥1− 𝑥2 f( x1 ) +
𝑥− 𝑥0
𝑥2− 𝑥0
𝑥− 𝑥1
𝑥2− 𝑥1 f( x2 )
Contoh 1 : Diberikan data sebagai berikut
X 0,6 1,1 1,6
f(x) 2,139 2,815 3,955
Jika x = 1,4 maka cari f(x=1,4).
Jawab :
Interpolasi Linier.
f1 (x) = f(x0 ) + 𝑓 𝑥1 – 𝑓 (𝑥0 )
𝑥1− 𝑥0 (x – x0 ) = 2,139 +
2,815 – 2,139
1,1− 0,6 (1,4 – 0,6 ) = 3,221
Interpolasi Kuadrat.
f2 = b0 + b1 (x – x0) + b2 (x – x0 ) (x – x1 )
b0 = f(x0 ) = 2,139
b1 = 𝑓 𝑥1 − 𝑓 (𝑥0 )
𝑥1− 𝑥0 =
2,815− 2,139
1,1−0,6 = 1,352
b2 =
𝑓 𝑥2 – 𝑓(𝑥1 )
𝑥2 − 𝑥1−
𝑓 𝑥1 – 𝑓( 𝑥0 )
𝑥1 − 𝑥0
𝑥2 − 𝑥0 =
3,995 – 2,815
1,6 − 1,1−
2,815 – 2,139
1,1 − 0,6
1,6 − 0,6 = 0,928
f2 = 2,139 + 1,352 (1,4-0,6) + 0,928 (1,4-0,6) (1,4-1,1) = 3,443
Interpolasi Polinomial Lagrange Order Satu.
f1 (x) = 𝑥− 𝑥1
𝑥0− 𝑥1 f (x0 ) +
𝑥− 𝑥0
𝑥1− 𝑥0 f( x1 ) =
1,4− 1,1
0,6−1,1 (2,139 ) +
1,4− 0,6
1,1−0,6 (2,815 ) = 3,221
Interpolasi Polinomial Lagrange Order Dua.
f2 (x) = 𝑥− 𝑥1
𝑥0− 𝑥1
𝑥− 𝑥2
𝑥0− 𝑥2 f (x0 ) +
𝑥− 𝑥0
𝑥1− 𝑥0
𝑥− 𝑥2
𝑥1− 𝑥2 f( x1 ) +
𝑥− 𝑥0
𝑥2− 𝑥0
𝑥− 𝑥1
𝑥2− 𝑥1 f( x2 )
= 1,4−1,1
0,6−1,1
1,4−1,6
0,6− 1,6 (2,139 ) +
1,4− 0,6
1,1− 0,6
1,4− 1,6
1,1− 1,6 ( 2,815 ) +
1,4− 0,6
1,6− 0,6
1,4− 1,1
1,6− 1,1 ( 3,955 )
= 3,187
Contoh 2 : Diberikan nilai ln sebagai berikut :
x 2 3 6
f(x) = ln x 0,693 1,098 1,792
Cari nilai ln 5 ?
Nilai ln 5 = 1,609
Jawab :
Interpolasi Linier.
f1 (x) = f(x0 ) + 𝑓 𝑥1 – 𝑓 (𝑥0 )
𝑥1− 𝑥0 (x – x0 ) = 1,098 +
1,792 –1,098
6 −3 (5 – 3 ) = 1,561
Interpolasi Kuadrat.
f2 = b0 + b1 (x – x0) + b2 (x – x0 ) (x – x1 )
b0 = f(x0 ) = 0,693
b1 = 𝑓 𝑥1 − 𝑓 (𝑥0 )
𝑥1− 𝑥0 =
1,098 – 0,693
3 −2 = 0,405
b2 =
𝑓 𝑥2 – 𝑓(𝑥1 )
𝑥2 − 𝑥1−
𝑓 𝑥1 – 𝑓( 𝑥0 )
𝑥1 − 𝑥0
𝑥2 − 𝑥0 =
1,792 –1,098
6 − 3−
1,098 −0,693
3 − 2
6 − 2 =
0,231−0,405
4 = - 0,043
f2 = 0,693 + 0,405 (5-2) – 0,043 (5-2) (5-3) = 1,908 – 0,258 = 1,65
Interpolasi Polinomial Lagrange Order Satu.
f1 (x) = 𝑥− 𝑥1
𝑥0− 𝑥1 f (x0 ) +
𝑥− 𝑥0
𝑥1− 𝑥0 f( x1 ) =
5 − 3
2−3 (0,693 ) +
5−2
3−2 (1,098) = 1,908
Interpolasi Polinomial Lagrange Order Dua.
f2 (x) = 𝑥− 𝑥1
𝑥0− 𝑥1
𝑥− 𝑥2
𝑥0− 𝑥2 f (x0 ) +
𝑥− 𝑥0
𝑥1− 𝑥0
𝑥− 𝑥2
𝑥1− 𝑥2 f( x1 ) +
𝑥− 𝑥0
𝑥2− 𝑥0
𝑥− 𝑥1
𝑥2− 𝑥1 f( x2 )
= 5−3
2−3
5−6
2−6 (0,693 ) +
5−2
3−2
5−6
3−6 ( 1,098 ) +
5−2
6− 2
5−3
6−3 ( 1,792 )
= 1,648
Contoh 3 : Diberikan data dari hasil pengamatan antara kecepatan dan jarak henti sebagai
berikut
Kecepatan
(km/jam)
30 40 50 60 70
Jarak
henti (m)
46 65 90 111 148
a) Jika kendaraan berjalan dengan kecepatan 45 km/jam, perkirakan jarak hentinya.
b) Jika kendaraan berjalan dengan kecepatan 55 km/jam, perkirakan jarak hentinya.
Jawab
MATRIKS
Notasi Matriks.
A = [ aij ]
A =
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
… . 𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚𝑛
A disebut matrik bertipe m x n, artinya terdiri dari m baris dan n kolom.
.
Penjumlahan Matriks
Jika A = 𝑎𝑖𝑗 dan B = 𝑏𝑎𝑖𝑗 betipe/berdimensi mxn
maka C = A ± B = 𝑎𝑖𝑗 ± 𝑏𝑎𝑖𝑗 = 𝑐𝑖𝑗 juga bertipe mxn
Contoh : A = 1 2 34 5 6
dan B = 10 12 1314 15 16
C = A + B = 1 2 34 5 6
+ 10 12 1314 15 16
= 11 14 1618 20 22
Perkalian 2 Matriks.
Perkalian 2 matriks dapat dilakukan jika, banyaknya elemen kolom matriks pertama sama
dengan banyaknya elemen baris matriks kedua.
A x B = 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛
x 𝑏𝑗𝑘 𝑛𝑥𝑝
= 𝑐𝑖𝑘 𝑚𝑥𝑝
= C
Contoh 1 : A = 1 2 34 5 6
dan B = 7 108 119 12
A x B = 1 2 34 5 6
x 7 108 119 12
= 1 7 + 2 8 + 3(9) 1 10 + 2 11 + 3(12)
4 7 + 5 8 + 6(9) 4 10 + 5 11 + 6(12)
= 50 68
122 167
Contoh 2 : A = 1 2 34 5 6
dan B = 4 5 67 8 91 2 3
Invers Matrik.
Matrik A-1
disebut invers dari matrik A, jika A.A-1
= A-1
. A = I
Dimana I = 1 00 1
atau 1 0 00 1 00 0 1
dst
Contoh 1 :
Matrik A = 2 −13 −4
dan A-1
= - 1
5
−4 1−3 2
A-1
merupakan invers dari A, sebab A. A-1
= - 1
5
2 −13 −4
−4 1−3 2
= - 1
5
2 −4 + −1 (−3) 2 1 + −1 2
3 −4 + −4 (−3) 3 1 + −4 2 = -
1
5
−5 00 −5
= 1 00 1
Contoh 2 :
Matrik A = 1 3 31 4 31 3 4
dan A-1
= 7 −3 −3
−1 1 0−1 0 1
A-1
merupakan invers dari A, sebab A. A-1
= 1 3 31 4 31 3 4
7 −3 −3
−1 1 0−1 0 1
= 1 0 00 1 00 0 1
Mencari Invers Matrik.
Contoh 1 : Cari Invers Matrik A = 2 −13 −4
Jawab :
2 −13 −4
1 00 1
baris 1 dikalikan (1/2)
1 −1/23 −4
1/2 0
0 1 baris 1 dikalikan (-3) ditambahkan ke baris 2
1 −1/20 −5/2
1/2 0
−3/2 1 baris 2 dikalikan (-2/5)
1 −1/20 1
1/2 03/5 −2/5
baris 2 dikalikan (1/2) ditambahkan ke baris 1
1 00 1
4/5 −1/53/5 −2/5
jadi A-1
= 4/5 −1/53/5 −2/5
= - 1
5
−4 1−3 2
Contoh 2 : Cari Invers Matrik A = 1 3 31 4 31 3 4
Jawab :
1 3 31 4 31 3 4
1 0 00 1 00 0 1
baris 2 – baris 1 ; baris 3 – baris 1
1 3 30 1 00 0 1
1 0 0
−1 1 0−1 0 1
baris 2 dikalikan (–3) ditambahkan ke baris 1
1 0 30 1 00 0 1
4 −3 0
−1 1 0−1 0 1
baris 3 dikalikan (–3) ditambahkan ke baris 1
1 0 00 1 00 0 1
7 −3 −3
−1 1 0−1 0 1
dan A-1
= 7 −3 −3
−1 1 0−1 0 1
Contoh 3 : Cari Invers Matrik A = 2 −3 44 3 −11 2 −4
Jawab :
2 −3 44 3 −11 2 −4
1 0 00 1 00 0 1
baris 1 dikalikan 1
2
1 −3/2 24 3 −11 2 −4
1/2 0 0
0 1 00 0 1
baris 1 dikalikan (-4) ditambahkan ke baris 2; baris 1 dikalikan (-1) ditambahkan ke baris 3.
1 −3/2 20 9 −90 7/2 −6
1/2 0 0−2 1 0
−1/2 0 1
Baris 2 dikalikan (1/9)
1 −3/2 20 1 −10 7/2 −6
1/2 0 0
−2/9 1/9 0−1/2 0 1
Baris 2 dikalikan (3/2) ditambahkan ke baris 1; baris 2 dikalikan (-7/2) ditambahkan ke baris
3.
1 0 1/20 1 −10 0 −5/2
3/18 3/18 0−2/9 1/9 05/18 −7/18 1
baris 3 dikalikan (-2/5)
1 0 1/20 1 −10 0 1
3/18 3/18 0−2/9 1/9 0
−10/90 14/90 −2/5
Penyebut disamakan menjadi per-90
1 0 1/20 1 −10 0 1
15/90 15/90 0
−20/90 10/90 0−10/90 14/90 −36/90
Baris 3 ditambahkan ke baris 2; baris 3 dikalikan (-1/2) ditambahkan ke baris 1.
1 0 00 1 00 0 1
20/90 8/90 18/90
−30/90 24/90 −36/90−10/90 14/90 −36/90
Jadi dan A-1
= 20/90 8/90 18/90
−30/90 24/90 −36/90−10/90 14/90 −36/90
= 1
90
20 8 18−30 24 −36−10 14 −36
Sistem Persamaan Linier.
a11 x1 + a12 x2 + ........ + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ........ + a2n xn = b2
am1 x1 + am2 x2 + ........ + amn xn = bn
dapat ditulis dalam bentuk matrik :
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
… . 𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚𝑛
𝑥1
𝑥2
𝑥𝑛
=
𝑏1
𝑏2
𝑏𝑛
Contoh 1 : Diberikan sistem persamaan linier
x1 + 2x2 + x3 = 2
3x1 + x2 – 2x3 = 1
4x1 – 3x2 – x3 = 3
Cari x1 ; x2 ; x3.
Jawab :
1 2 13 1 −24 −3 −1
213 baris 1 dikalikan (-3) ditambahkan ke baris 2
1 2 10 −5 −54 −3 −1
2
−53
baris 1 dikalikan (-4) ditambahkan ke baris 3
1 2 10 −5 −50 −11 −5
2
−5−5
baris 2 dikalikan (-11/5) ditambahkan ke baris 3
1 2 10 −5 −50 0 6
2
−56
baris 2 dikalikan (-11/5) ditambahkan ke baris 3
x1 + 2x2 + x3 = 2
- 5x2 – 5x3 = -5
6x3 = 6, jadi x3 = 1 ; x2 = 0 ; x1 = 1
Atau :
1 2 10 −5 −50 0 6
2
−56
baris 2 dikalikan (-1/5) didapat
1 2 10 1 10 0 6
216
baris 2 dikalikan (-2) ditambahkan ke baris 1 didapat
1 0 −10 1 10 0 6
016
Baris 3 dikalikan (1/6) didapat
1 0 −10 1 10 0 1
011
Baris 3 dikalikan (-1) ditambahkan ke baris 2 ; baris 3 ditambakan ke baris 1.
1 0 00 1 00 0 1
101 jadi x1 = 1 ; x2 = 0 ; dan x3 = 1
Contoh 2 : Seorang yang tinggal pada satu perumahan, memilih alat transportasi untuk pergi
ke tempat kerjanya yakni dengan taksi, angkot dan bus. Adapun karakteristik dari ke-tiga
moda adalah sebagai berikut :
Taksi (x1 ) Angkot (x2) Bus (x3)
Waktu tempuh 1/3 ½ 1
Jumlah tempat henti 0 2 7
Biaya 4 1 1/2
Dalam satu bulan orang tersebut menghabiskan waktu 14 jam,76 kali berhenti, biaya 26
rupiah. Hitung berapa kali orang tersebut menggunakan setiap moda.
Jawab :
Waktu tempuh : 1/3 x1 + ½ x2 + x3 = 14
Jumlah henti : 2x2 + 7x3 = 76
Biaya : 4x1 + x2 + 1/2x3 = 26
1/3 1/2 1
0 2 74 1 1/2
147626
baris 1 dikalikan (-12) ditambahkan ke baris 3
1/3 1/2 1
0 2 70 −5 −23/2
1476
−142 baris 2 dikalikan (5/2) ditambahkan ke baris 3
1/3 1/2 1
0 2 70 0 6
147648
baris 2 dikalikan (5/2) ditambahkan ke baris 3
1/3 x1 + ½ x2 + x3 = 14
2x2 + 7x3 = 76
6x3 = 48, maka x3 = 8 ; x2 = 10 ; x1 = 3
Jadi orang tersebut untuk pergi ke tempat kerja 3 kali naik taksi 10 naik angkot dan 8 kali
naik bus.
Buku Acuan :
Amrinsyah Nasution & Hasballah Zakaria, Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil,
Penerbit ITB Bandung.
Budi Murtiyasa, 2012, Matriks & Sistem Persamaan Linear, Muhammadiyah University Pres,
Surakarta.
Bambang Triatmodjo, 2002, Metode Numerik, Beta Offset, Yogyakarta.
PROGRAM LINIER
Program Linier merupakan salah satu model dari Riset Operasi, dimana Riset Operasi
ini merupakan alat untuk menjawab masalah, yakni mengoptimalkan atau meminimalkan
suatu fungsi, yakni fungsi sasaran dengan syarat-syarat tertentu yang harus dipenuhi.
Jika fungsi sasaran dan syarat-syaratnya linier maka Program Linier dapat digunakan untuk
menyelesaikan masalah tersebut.
Permasalah Program Linier :
Fungsi Tujuan : f(x) = a1x1 + a2x2 + ..... + anxn
Syarat-syarat : a11x1 + a12x2 + ..... + a1nxn ≤ b1
a21x1 + a22x2 + ..... + a2nxn ≤ b2
.............................
am1x1 + am2x2 + ..... + amnxn ≤ bm
dan xi ≥ 0 ; untuk setiap i = 1 .... n
Masalah Program Linier dan Penyelesaian Cara Grafik.
Contoh 1 : Suatu industri rumah tangga pembuat kerudung. Ada 2 macam model yang dibuat
yakni model A dan model B. Ada 3 karyawan yang bekerja, karyawan 1 perminggu
hanya bekerja 8 jam, karyawan 2 selama 15 jam, dan karyawan 3 selama 30 jam. Proses
pembuatan kerudung setiap 1 losin (12 biji) untuk model A dikerjakan oleh karyawan 1
selama 2 jam, karyawan 3 selama 6 jam, sedangkan model B dikerjakan oleh karyawan 2
selama 3 jam dan karyawan 3 selama 5 jam.. Jika setiap penjualan 1 losin kerudung
Model A memberi keuntungan 30.000 dan 1 losin model B memberi keuntungan 50.000.
Maka berapa lusin model A dan model B harus dibuat agar keuntungannya maksimal.
Jawab :
Model A Model B Jam Kerja
Karyawan 1
Karyawan 2
Karyawan 3
2
0
6
0
3
5
8
15
30
Keuntungan x . 10000 3 5
Fungsi tujuan : f = 3x + 5y
Syarat-syarat : 1) 2x ≤ 8
2) 3y ≤ 15
3) 6x + 5y ≤ 30
Untuk fungsi tujuan : f = 3x + 5y didapatkan hasil :
Untuk titik A(4,0) → f = 12
B(4, 6/5) → f = 12 + 6 = 18
C(5/6 , 5) → f = 5/2 + 25 = 27,5
D(0,5) → f = 25
Jadi, model A = 5/6 lusin, model 5 lusin dan keuntungan 275.000.
Contoh 2 : Seorang petani memiliki 16 ha tanah yang akan padi dan jagung. Adapun datanya
sebagai berikut :
Sarana Padi Jagung bi satuan
Tanah
Modal
Air
1/5
3
12
2/5
2
0
16
120
360
Ha
Ribu rupiah
jam
2 1 Ribu rupiah
Jawab :
Fungsi tujuan : f = 2x + y
Syarat-syarat : 1) 1/5 x + 2/5 y ≤ 16
2) 3x + 2y ≤ 120
3) 12x ≤ 360
Disederhanakan menjadi : 1) x + 2 y ≤ 80
2) 3x + 2y ≤ 120
3) x ≤ 30
Untuk fungsi tujuan : f = 2x + y didapatkan hasil :
Untuk titik A(30,0) →
B(30, 15) → f = 60 + 15 = 75
C(20, 30) → f = 40 + 30 = 70
D(0,40) → f = 40
Untuk syarat-syarat didapatkan hasil :
Untuk titik :
A(30,0) → 1) 1/5 x + 2/5 y ≤ 16 → 6 ≤ 16
2) 3x + 2y ≤ 120 → 90 ≤ 120
3) 12x ≤ 360 → 360 ≤ 360
B(30, 15) → 1) 1/5 x + 2/5 y ≤ 16 → 6+6 = 12 ≤ 16
2) 3x + 2y ≤ 120 → 90+30 = 120 ≤ 120
3) 12x ≤ 360 → 360 ≤ 360
C(20, 30) → 1) 1/5 x + 2/5 y ≤ 16 → 4 + 12 = 16 ≤ 16
2) 3x + 2y ≤ 120 → 60+60 = 120 ≤ 120
3) 12x ≤ 360 → 360 ≤ 360
D(0,40) → 1) 1/5 x + 2/5 y ≤ 16 → 16 ≤ 16
2) 3x + 2y ≤ 120 → 80 ≤ 120
3) 12x ≤ 360 → 0 ≤ 360
Masalah Program Linier dan Penyelesaian Metode Simplex.
Jawab 1 :
Fungsi tujuan : f = 3x + 5y
Syarat-syarat : 1) 2x ≤ 8
2) 3y ≤ 15
3) 6x + 5y ≤ 30
Langkah-langkah penyelesaian :
1. Mengubah fungsi tujuan dan syarat-syarat menjadi sebagai berikut :
Fungsi tujuan : f = 3x + 5y diubah menjadi f – 3x – 5y = 0
Syarat-syarat : 1) 2x ≤ 8 diubah menjadi 2x + s1 = 8
2) 3y ≤ 15 diubah menjadi 3y + s2 = 15
3) 6x + 5y ≤ 30 diubah menjadi 6x + 5y + s3 = 30
2. Disusun pada tabel awal simplex sebagai berikut :
f x y s1 s2 s3 bi
F
s1
s2
s3
1
0
0
0
-3 -5 0 0 0
2 0 1 0 0
0 3 0 1 0
6 5 0 0 1
0
8
15
30
3. Pilih kolom kunci; yakni kolom dengan nilai yang terkecil dari fungsi tujuan,
didapat (-5) ; maka didapat kolom kunci (kolom y) : 035
4. Pilih baris kunci; (lihat 2) baris s1 ada nilai = 8
0 = ~ ; baris s2 =
15
3 = 5;
baris s3 = 30
5 = 6. Ambil baris kunci dengan nilai terkecil yakni baris s2 =
15
3 = 5.
f x y s1 s2 s3 bi
F
s1
s2
s3
1
0
0
0
-3 -5 0 0 0
2 0 1 0 0
0 3 0 1 0
6 5 0 0 1
0
8
15
30
F
s1
y
s3
1
0
0
0
0 3 0 1 0
15
5. Baris kunci dikalikan 1/3 didapat
f x y s1 s2 s3 bi
F
s1
s2
s3
1
0
0
0
-3 -5 0 0 0
2 0 1 0 0
0 3 0 1 0
6 5 0 0 1
0
8
15
30
F
s1
y
s3
1
0
0
0
0 1 0 1/3 0
5
6. Pada kolom y, setiap barisnya dibuat 0 (nol)
a) Baris y dikalikan 5 (0 5 0 5/3 0 25), kemudian ditambahkan ke baris f.
b) Baris y dikalikan (-5) (0 -5 0 -5/3 0 -25), ditambahkan ke baris s3.
f x y s1 s2 s3 bi
F
s1
s2
s3
1
0
0
0
-3 -5 0 0 0
2 0 1 0 0
0 3 0 1 0
6 5 0 0 1
0
8
15
30
F
s1
y
s3
1
0
0
0
-3 0 0 5/3 0
2 0 1 0 0
0 1 0 1/3 0
6 0 0 -5/3 1
25
8
5
5
7. Kembali ke langkah 3 yakni :
f x y s1 s2 s3 bi
F
s1
y
s3
1
0
0
0
-3 0 0 5/3 0
2 0 1 0 0
0 1 0 1/3 0
6 0 0 -5/3 1
25
8
5
5
Pilih kolom kunci; yakni kolom dengan nilai yang terkecil dari fungsi tujuan, didapat
(-3) ; maka didapat kolom kunci (kolom x) : 206
8. Pilih baris kunci; (lihat 7) baris s1 ada nilai = 8
2 = 4 ; baris y =
5
0 = ~ ; baris s3 =
5
6 .
Ambil baris kunci dengan nilai terkecil yakni baris s3 = 5
6 .
f x y s1 s2 s3 bi
F
s1
y
s3
1
0
0
0
-3 0 0 5/3 0
2 0 1 0 0
0 1 0 1/3 0
6 0 0 -5/3 1
25
8
5
5
F
s1
y
x
1
0
0
0
6 0 0 -5/3 1
5
9. Baris kunci dikalikan 1/6 didapat :
f x y s1 s2 s3 bi
F
s1
y
s3
1
0
0
0
-3 0 0 5/3 0
2 0 1 0 0
0 1 0 1/3 0
6 0 0 -5/3 1
25
8
5
5
F
s1
y
x
1
0
0
0
1 0 0 -5/18 1/6
5/6
10. Pada kolom x, setiap barisnya dibuat 0 (nol)
a) Baris x dikalikan 3 (3 0 0 -5/6 1/2 5/2), kemudian ditambahkan ke baris f.
b) Baris x dikalikan (-2) (-2 0 0 5/9 -1/3 -5/3), ditambahkan ke baris s1.
f x y s1 s2 s3 bi
F
s1
y
s3
1
0
0
0
-3 0 0 5/3 0
2 0 1 0 0
0 1 0 1/3 0
6 0 0 -5/3 1
25
8
5
5
F
s1
y
x
1
0
0
0
0 0 0 5/6 1/2
0 0 1 5/9 -1/3
0 1 0 1/3 0
1 0 0 -5/18 1/6
27,5
19/3
5
5/6
Jadi, didapat x = 5/6 ; y = 5 dan f = 27,5
Jawaban Contoh 2 :
Fungsi tujuan : f = 2x + y
Syarat-syarat : 1) 1/5 x + 2/5 y ≤ 16
2) 3x + 2y ≤ 120
3) 12x ≤ 360
Disederhanakan menjadi : 1) x + 2 y ≤ 80
2) 3x + 2y ≤ 120
3) x ≤ 30
Langkah-langkah penyelesaian :
1. Mengubah fungsi tujuan dan syarat-syarat menjadi sebagai berikut :
Fungsi tujuan : f = 2x + y diubah menjadi f – 2x – y = 0
Syarat-syarat : 1) x + 2y ≤ 80 diubah menjadi x + 2y + s1 = 80
2) 3x + 2y ≤ 120 diubah menjadi 3x + 2y + s2 = 120
3) x ≤ 30 diubah menjadi x + s3 = 30
2. Disusun pada tabel awal simplex sebagai berikut :
f x y s1 s2 s3 bi
F
s1
s2
s3
1
0
0
0
-2 -1 0 0 0
1 2 1 0 0
3 2 0 1 0
1 0 0 0 1
0
80
120
30
3. Pilih kolom kunci; yakni kolom dengan nilai yang terkecil dari fungsi tujuan,
didapat (-2) ; maka didapat kolom kunci (kolom x) : 131
4. Pilih baris kunci; (lihat 2) baris s1 ada nilai = 8
1 = 80 ; baris s2 =
120
3 = 40;
baris s3 = 30
1 = 30. Ambil baris kunci dengan nilai terkecil yakni baris s3 =
30
1 = 30.
f x y s1 s2 s3 bi
F
s1
s2
s3
1
0
0
0
-2 -1 0 0 0
1 2 1 0 0
3 2 0 1 0
1 0 0 0 1
0
80
120
30
F
s1
s2
x
1
0
0
0
1 0 0 0 1
30
5. Baris kunci dikalikan, nilai pada kolom pertama 1.
6. Pada kolom x, setiap barisnya dibuat 0 (nol)
a) Baris x dikalikan 2 (2 0 0 0 2 60), kemudian ditambahkan ke baris f.
b) Baris x dikalikan (-1) (-1 0 0 0 -1 -30), ditambahkan ke baris s1.
c) Baris x dikalikan (-3) (-3 0 0 0 -3 -90), ditambahkan ke baris s2.
f x y s1 s2 s3 bi
F
s1
s2
s3
1
0
0
0
-2 -1 0 0 0
1 2 1 0 0
3 2 0 1 0
1 0 0 0 1
0
80
120
30
F
s1
s2
x
1
0
0
0
0 -1 0 0 2
0 2 1 0 -1
0 2 0 1 -3
1 0 0 0 1
60
50
30
30
7. Kembali ke langkah 3 yakni :
f x y s1 s2 s3 bi
F
s1
s2
x
1
0
0
0
0 -1 0 0 2
0 2 1 0 -1
0 2 0 1 -3
1 0 0 0 1
60
50
30
30
Pilih kolom kunci; yakni kolom dengan nilai yang terkecil dari fungsi tujuan, didapat
(-1) ; maka didapat kolom kunci (kolom y) : 220
8. Pilih baris kunci; (lihat 7) baris s1 ada nilai = 50
2 = 25 ; baris s2 =
30
2 = 15 ; baris x
= 30
0 = ~ . Ambil baris kunci dengan nilai terkecil yakni baris s2 =
30
2 = 15.
f x y s1 s2 s3 bi
f
s1
s2
x
1
0
0
0
0 -1 0 0 2
0 2 1 0 -1
0 2 0 1 -3
1 0 0 0 1
60
50
30
30
f
s1
y
x
1
0
0
0
0 2 0 1 -3
30
9. Baris kunci dikalikan 1/2 didapat :
f x y s1 s2 s3 bi
f
s1
s2
x
1
0
0
0
0 -1 0 0 2
0 2 1 0 -1
0 2 0 1 -3
1 0 0 0 1
60
50
30
30
f
s1
y
x
1
0
0
0
0 1 0 1/2 -3/2
15
10. Pada kolom y, setiap barisnya dibuat 0 (nol)
a) Baris y dikalikan 1 (0 1 0 1/2 -3/2 15), kemudian ditambahkan ke baris
f.
b) Baris x dikalikan (-2) (0 -2 0 -1 3 -30), ditambahkan ke baris s1.
f x y s1 s2 s3 bi
f
s1
s2
x
1
0
0
0
0 -1 0 0 2
0 2 1 0 -1
0 2 0 1 -3
1 0 0 0 1
60
50
30
30
f
s1
y
x
1
0
0
0
0 0 0 ½ 1/2
0 0 1 -1 2
0 1 0 1/2 -3/2
1 0 0 0 1
75
20
15
30
Jadi, didapat x = 30 ; y = 15 dan f = 75
ANALISA NETWORK
Analisa Network biasanya disusun untuk memudahkan pengurutan kegiatan yang
kompleks, dimana kegiatan tersebut saling berhubungan.
Contoh 1 :
Suatu proyek kegiatan direncanakan sebagai berikut :
Kegiatan Keterangan Kegiatan yang
mendahului
Waktu (minggu)
A
B
C
D
E
F
G
Merencanakan
Memesan mesin
Menyesuaikan mesin
Pesan material
Buat rangka
Finishing rangka
Pasang mesin pada rangka
-
A
B
A
D
E
C, F
11
3
9
5
4
2
6
Tentukan waktu tercepat menyelesaikan proyek tersebut.
Perencanaan tersebut disusun Network sbb :
Kemudian mencari jalur kritis sbb:
A
B
2
D E F
G
7
C
3
0 A,11 11
11 B,3 14 11 D,5 16
14
2
C,9 23 16 E,4 20
20 F,2 22
23 G,6 29
Jadi waktu penyelesaian proyek 29 minggu.
Contoh 2 :
Suatu proyek kegiatan direncanakan sebagai berikut :
Kegiatan Kegiatan yang
mendahului
Waktu
(minggu)
A
B
C
D
E
F
G
H
-
-
A
B
C
C
D,E
F,G
3
4
3
5
5
3
5
3
Tentukan waktu tercepat menyelesaikan proyek tersebut.
Perencanaan tersebut disusun Network sbb :
Kemudian mencari jalur kritis sbb:
A
B
C E
D
F
G
H
0 B,4 4 0 A,3 3
4 D,5 9 3 C,3 6
6 E,5 11 6 F,3 9
G,5 11 16
H,3 16 19
MODEL TRANSPORTASI
Model Transportasi merupakan model yang berkaitan dengan pendistribusian barang dari
pusat penyediaan barang (sumber) ke tempat-tempat penerimaan barang (tujuan). Adapun
persoalan yang akan dipecahakan pada model transportasi yakni menentukan pengiriman
barang dari sumber ke tujuan dengan meminimalkan biaya.
Contoh 1 :
Seorang saudagar beras memiliki 3 gudang, yang akan mengirimkan berasnya ke 3 kota
tujuan Solo, Yogya, Semarang. Adapun kapasitas masing-masing gudang, permintaan dari 3
lokasi, serta biaya pengiriman terlihat pada tabel berikut :
Kapasitas masing-masing Gudang
Gudang Kapasitas Gudang
A 100
B 70
C 60
Total 230
Permintaan masing-masing Kota
Permintaan Kapasitas Gudang
Solo 60
Yogya 120
Semarang 50
Total 230
Biaya pengiriman dari gudang ke lokasi.
Dari Biaya
Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang
Gudang A 22 7 10
Gudang B 17 22 12
Gudang C 27 12 21
Jawab :
Metode Sudut Barat Laut (North West Corner Method)
Tabel awal :
Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas
Gudang
Gudang A 22 7 10 100
Gudang B 17 22 12 70
Gudang C 27 12 21 60
Permintaan
Beras
60 120 50 230
Penyelesaian berdasarkan tabel awal :
Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas
Gudang
Gudang A 60 22 40 7 10 100
a b
Gudang B 17 70 22 12 70
c
Gudang C 27 10 12 50 21 60
d e
Permintaan
Beras
60 120 50 230
Jadi biaya pengiriman = 60(22) + 40(7) + 70(22) + 10(12) + 50(21) = 4310
Perbaiki tabel dengan coba-coba.
Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas
Gudang
Gudang A 22 100 7 10 100
a b
Gudang B 60 17 10 22 12 70
c
Gudang C 27 10 12 50 21 60
d e
Permintaan
Beras
60 120 50 230
Jadi biaya pengiriman = 100(7) + 60(17) + 10(22) + 10(12) + 50(21) = 3110
Perbaiki tabel dengan coba-coba yang ke dua.
Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas
Gudang
Gudang A 22 50 7 50 10 100
a b
Gudang B 60 17 10 22 12 70
c
Gudang C 27 60 12 21 60
d e
Permintaan
Beras
60 120 50 230
Jadi biaya pengiriman = 50(7) + 50(10) + 60(17) + 10(22) + 60(12) = 2810
Dengan memilih biaya minimal lebih dulu.
Tabel awal :
Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas
Gudang
Gudang A 22 7 10 100
Gudang B 17 22 12 70
Gudang C 27 12 21 60
Permintaan
Beras
60 120 50 230
Pengerjaan :
Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas
Gudang
Gudang A 22 100 7 10 100
a
Gudang B 20 17 22 50 12 70
c b
Gudang C 40 27 20 12 21 60
e d
Permintaan
Beras
60 120 50 230
Jadi biaya pengiriman = 100(7) + 20(17) + 50(12) + 40(27) + 20(12) = 2960.
Contoh 2 :
Perusahaan air minum memiliki sumber air di 3 lokasi yakni Boyolali, Klaten dan Sarangan,
yang akan mengirimkan produknya ke 3 kota tujuan Solo, Yogya, Semarang. Adapun
kapasitas masing-masing sumber air dan permintaan dari 3 kota, serta biaya pengiriman
terlihat pada tabel berikut :
Kapasitas masing-masing Gudang
Sumber Kapasitas Produksi
Boyolali 5000
Klaten 6000
Sarangan 7000
Total 18000
Permintaan masing-masing Kota
Permintaan Kapasitas Bak Air
Solo 6000
Yogya 5500
Semarang 6500
Total 18000
Biaya pengiriman dari gudang ke lokasi.
Dari Biaya
Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang
Boyolali 6 7 9
Klaten 8 5 10
Sarangan 7 4 5
Jawab :
Metode Sudut Barat Laut (North West Corner Method)
Tabel awal :
Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas
Produksi
Boyolali 6 7 9 5000
Klaten 8 5 10 6000
Sarangan 7 4 5 7000
Kapasitas
Bak air
6000 5500 6500 18000
Penyelesaian berdasarkan tabel awal :
Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas
Produksi
Boyolali 5000 6 7 9 5000
a
Klaten 1000 8 5000 5 10 6000
b c
Sarangan 7 500 4 6500 5 7000
d e
Kapasitas
Bak air
6000 5500 6500 18000
Jadi biaya pengiriman = 5000(6) + 1000(8) + 5500(5) + 500(4) + 6500(5) = 100.000
Dengan memilih biaya minimal lebih dulu.
Tabel awal :
Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas
Produksi
Boyolali 6 7 9 5000
Klaten 8 5 10 6000
Sarangan 7 4 5 7000
Kapasitas
Bak air
6000 5500 6500 18000
Pengerjaan :
Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas
Produksi
Boyolali 6 7 5000 9 5000
d
Klaten 6000 8 5 10 6000
c
Sarangan 7 5500 4 1500 5 7000
a b
Kapasitas
Bak air
6000 5500 6500 18000
Jadi biaya pengiriman = 6000(8) + 5500(4) + 5000(9) + 1500(5) = 122.500.
MODEL PENUGASAN.
Model ini digunakan untuk masalah-masalah penugasan, yakni pemberian tugas dari
pimpinan kepada karyawannya. Tujuannya untuk meminimalkan biaya atau memaksimalkan
keuntungan.
Contoh 1 :
Suatu perusahaan mendapatkan 3 poyek, maka diperlukan 3 karyawannya yang bertanggung
jawab untuk menyelesaikan masing-masing proyek. Sehubungan dengan keahlian masing-
masing karyawan, maka ada tabel penggajian untuk setiap karyawannya sebagai berikut :
Karyawan Proyek
A B C
1 13 16 8
2 10 12 13
3 11 14 9
Bagaimana alokasi penugasan terhadap ke tiga karyawan tersebut harus dilakukan, agar biaya
yang dikeluarkan seminimal mungkin.
Jawab :
1. Matriks awal :
Karyawan Proyek
A B C
1 13 16 8
2 10 12 13
3 11 14 9
2. Kurangilah setiap elemen baris dengan angka terkecil dari baris tersebut.
Karyawan Proyek
A B C
1 5 8 0
2 0 2 3
3 2 5 0
3. Lihat matriks no 2, apakah setiap kolom sudah ada angka 0 (nol). Pada kolom B
belum ada angka 0, maka kurangilah setiap elemen kolom B dengan angka terkecil
dari kolom tersebut.
Karyawan Proyek
A B C
1 5 6 0
2 0 0 3
3 2 3 0
4. Buat garis yang melingkupi semua angka nol ( seminimal mungkin )
Karyawan Proyek
A B C
1 5 6 0
2 0 0 3
3 2 3 0
Jika banyak garis yang melingkupi angka 0 sama dengan banyak baris (kolom) maka
penugasan sudah maksimal, jika belum maka perlu memperbaiki matriksnya.
Jadi ada 2 garis yang melingkupi angka 0. Maka perlu memperbaiki matriks.
5. Pilih angka terkecil dari matriks no 4, yang belum terliput garis. Didapat angka 2,
kemudian angka ini digunakan untuk mengurangi semua elemen dari matriks yang
belum terliput garis.
Karyawan Proyek
A B C
1 3 4 0
2 0 0 3
3 0 1 0
6. Buat garis yang melingkupi semua angka nol ( seminimal mungkin )
Karyawan Proyek
A B C
1 3 4 0
2 0 0 3
3 0 1 0
Jadi ada 3 garis yang melingkupi angka 0. Berarti banyak garis = banyak baris, maka
penugasan sudah optimal.
7. Kesimpulan :
Karyawan 1 ditugaskan ke proyek C dengan gaji 8. Karyawan 2 ditugaskan ke proyek B
dengan gaji 12, dan Karyawan 3 ditugaskan ke proyek A dengan gaji 11.
Jadi total pengeluaran = 31.
Contoh 2 :
Suatu perusahaan mendapatkan 4 poyek, maka diperlukan 4 karyawannya yang bertanggung
jawab untuk menyelesaikan masing-masing proyek. Sehubungan dengan keahlian masing-
masing karyawan, maka ada tabel penggajian untuk setiap karyawannya sebagai berikut :
Karyawan Proyek
A B C D
1 18 23 21 25
2 17 19 24 20
3 28 23 26 23
4 20 21 21 19
Bagaimana alokasi penugasan terhadap ke tiga karyawn tersebut harus dilakukan, agar biaya
yang dikeluarkan seminimal mungkin.
Jawab :
1. Matriks awal :
Karyawan Proyek
A B C D
1 18 23 21 25
2 17 19 24 20
3 28 23 26 23
4 20 21 21 19
2. Kurangilah setiap elemen baris dengan angka terkecil dari baris tersebut.
Karyawan Proyek
A B C D
1 0 5 3 7
2 0 2 7 3
3 5 0 3 0
4 1 2 2 0
3. Lihat matriks no 2, apakah setiap kolom sudah ada angka 0 (nol). Pada kolom C
belum ada angka 0, maka kurangilah setiap elemen kolom C dengan angka terkecil
dari kolom tersebut.
Karyawan Proyek
A B C D
1 0 5 1 7
2 0 2 5 3
3 5 0 1 0
4 1 2 0 0
4. Buat garis yang melingkupi semua angka nol ( seminimal mungkin )
Karyawan Proyek
A B C D
1 0 5 1 7
2 0 2 5 3
3 5 0 1 0
4 1 2 0 0
Jika banyak garis yang melingkupi angka 0 sama dengan banyak baris (kolom) maka
penugasan sudah maksimal, jika belum maka perlu memperbaiki matriksnya.
Jadi ada 3 garis yang melingkupi angka 0. Maka perlu memperbaiki matriks.
5. Pilih angka terkecil dari matriks no 4, yang belum terliput garis. Didapat angka 1,
kemudian angka ini digunakan untuk mengurangi semua elemen dari matriks yang
belum terliput garis. DAN DITAMBAHKAN KE ELEMEN YANG MEMPUNYAI
GARIS BERSILANGAN.
Karyawan Proyek
A B C D
1 0 4 0 6
2 0 1 4 2
3 6 0 1 0
4 2 2 0 0
6. Buat garis yang melingkupi semua angka nol ( seminimal mungkin )
Karyawan Proyek
A B C D
1 0 4 0 6
2 0 1 4 2
3 6 0 1 0
4 2 2 0 0
Jadi ada 4 garis yang melingkupi angka 0. Berarti banyak garis = banyak baris, maka
penugasan sudah optimal.
7. Kesimpulan :
Karyawan 1 ditugaskan ke proyek C dengan gaji 21 (kalau ke-proyek A, maka karyawan 2
tak punya pekerjaan). Karyawan 2 ditugaskan ke proyek A dengan gaji 17, kemudian
Karyawan 3 ditugaskan ke proyek B dengan gaji 23, dan karyawan 4 ditugaskan ke proyek D
dengan gaji 19.
Jadi total pengeluaran = 80.
Contoh 3 :
Suatu perusahaan memiliki 4 karyawan, yang akan menyelesaikan 4 proyek yang diperoleh
tahun ini. Sehubungan dengan keahlian masing-masing karyawan, maka karyawan tersebut
harus ditugaskan dengan tepat agar perusahaan mendapatkan keuntungan semaksimal
mumgkin. Berikut adalah tabel perkiraan keuntungan yang didapat perusahaan :
Karyawan Proyek
A B C D
1 40 80 70 75
2 80 50 100 95
3 100 120 110 100
4 85 100 95 90
Bagaimana alokasi penugasan terhadap 4 karyawan tersebut harus dilakukan, agar diperoleh
keuntungan yang semaksimal mungkin.
Jawab :
1. Matriks awal :
Karyawan Proyek
A B C D
1 40 80 70 75
2 80 50 100 95
3 100 120 110 100
4 85 100 95 90
2. Cari angka terbesar dari setiap baris, kemudian angka tersebut dikurangi dengan
angka pada setiap elemen baris tersebut.
Karyawan Proyek
A B C D
1 40 0 10 5
2 20 50 0 5
3 20 0 10 20
4 15 0 5 10
3. Lihat matriks no 2, apakah setiap kolom sudah ada angka 0 (nol). Pada kolom A dan
kolom D belum ada angka 0, maka kurangilah setiap elemen kolom A dengan angka
terkecil dari kolom tersebut. Demikian juga, kurangilah setiap elemen kolom D
dengan angka terkecil dari kolom tersebut.
Karyawan Proyek
A B C D
1 25 0 10 0
2 5 50 0 0
3 5 0 10 15
4 0 0 5 5
4. Buat garis yang melingkupi semua angka nol ( seminimal mungkin )
Karyawan Proyek
A B C D
1 25 0 10 0
2 5 50 0 0
3 5 0 10 15
4 0 0 5 5
Jika banyak garis yang melingkupi angka 0 sama dengan banyak baris (kolom) maka
penugasan sudah maksimal, jika belum maka perlu memperbaiki matriksnya.
Jadi ada 4 garis yang melingkupi angka 0. Maka penugasan sudah optimal.
5. Kesimpulan :
Karyawan 1 ditugaskan ke proyek D dengan keuntungan 75 (kalau ke-proyek B, maka
karyawan 3 tak punya pekerjaan). Karyawan 2 ditugaskan ke proyek C dengan keuntungan
100, kemudian Karyawan 3 ditugaskan ke proyek B dengan keuntungan 110, dan karyawan 4
ditugaskan ke proyek A dengan keuntungan 85.
Jadi total keuntungan = 370.
Contoh 4 :
Suatu perusahaan memiliki 5 karyawan, yang akan menyelesaikan 5 proyek yang diperoleh
tahun ini. Sehubungan dengan keahlian masing-masing karyawan, maka karyawan tersebut
harus ditugaskan dengan tepat agar perusahaan mendapatkan keuntungan semaksimal
mumgkin. Berikut adalah tabel perkiraan keuntungan yang didapat perusahaan :
Karyawan Proyek
A B C D E
1 20 22 20 18 25
2 24 20 19 25 23
3 19 18 17 18 22
4 23 25 18 26 21
5 20 23 24 21 27
Bagaimana alokasi penugasan terhadap 4 karyawan tersebut harus dilakukan, agar diperoleh
keuntungan yang semaksimal mungkin.
Jawab :
1. Matriks awal :
Karyawan Proyek
A B C D E
1 20 22 20 18 25
2 24 20 19 25 23
3 19 18 17 18 22
4 23 25 18 26 21
5 20 23 24 21 27
2. Cari angka terbesar dari setiap baris, kemudian angka tersebut dikurangi dengan
angka pada setiap elemen baris tersebut.
Karyawan Proyek
A B C D E
1 5 3 5 7 0
2 1 5 6 0 2
3 3 4 5 4 0
4 3 1 8 0 5
5 7 4 3 6 0
3. Lihat matriks no 2, apakah setiap kolom sudah ada angka 0 (nol). Pada kolom A dan
kolom B, dan kolom C belum ada angka 0, maka kurangilah setiap elemen kolom A
dengan angka terkecil dari kolom tersebut. Demikian juga, kolom-kolom yang lainnya
Karyawan Proyek
A B C D E
1 4 2 2 7 0
2 0 4 3 0 2
3 2 3 2 4 0
4 2 0 5 0 5
5 6 3 0 6 0
4. Buat garis yang melingkupi semua angka nol ( seminimal mungkin )
Karyawan Proyek
A B C D E
1 4 2 2 7 0
2 0 4 3 0 2
3 2 3 2 4 0
4 2 0 5 0 5
5 6 3 0 6 0
Jika banyak garis yang melingkupi angka 0 sama dengan banyak baris (kolom) maka
penugasan sudah maksimal, jika belum maka perlu memperbaiki matriksnya.
Jadi ada 4 garis yang melingkupi angka 0. Maka penugasan sudah optimal.
5. Pilih angka terkecil dari matriks no 4, yang belum terliput garis. Didapat angka 2,
kemudian angka ini digunakan untuk mengurangi semua elemen dari matriks yang
belum terliput garis. DAN DITAMBAHKAN KE ELEMEN YANG MEMPUNYAI
GARIS BERSILANGAN.
Karyawan Proyek
A B C D E
1 2 0 0 5 0
2 0 4 3 0 4
3 0 1 0 2 0
4 2 0 5 0 7
5 6 3 0 6 0
6. Buat garis yang melingkupi semua angka nol ( seminimal mungkin )
Karyawan Proyek
A B C D E
1 2 0 0 5 0
2 0 4 3 0 4
3 0 1 0 2 0
4 2 0 5 0 7
5 6 3 0 6 2
Jadi ada 5 garis yang melingkupi angka 0. Berarti banyak garis = banyak baris, maka
penugasan sudah optimal.
7. Kesimpulan :
Karyawan Proyek Untung Karyawan Proyek Untung
1 B 22 1 E 25
2 A 24 2 D 25
3 E 22 3 A 19
4 D 26 4 B 25
5 C 24 5 C 24
TOTAL 118 TOTAL 118
Buku Acuan:
B. Susanta, Program Linier, PMIPA, Univ. Gadjah Mada, Yogyakarta.
Hamdy A. Taha, Riset Operasi, Binarupa Aksara, Jakarta.
Pangestu Subagyo, Marwan Asri, T.Hani Handoko, Dasar-Dasar Operations
Research, BPFE, Yogyakarta.
Richard Bronson Ph.D, 1996, Teori Dan Soal Operation Research, Penerbit Erlangga,
Jakarta.
Sukanto Reksohadiprodjo, Manajemen Produksi Dan Operasi, BPFE, Yogyakarta
Siswato, 2006, Operations Researc