fungsi naik dan turunocw.upj.ac.id/files/textbook-inf206-text-book-turunan... · web viewfungsi...
TRANSCRIPT
TURUNAN FUNGSI (3)
Turunan Fungsi ImplisitFungsi implisit adalah fungsi yang berbentuk f (x,y)= 0 atau f(x,y)=c. Maka cara mencari dy/dx dari fungsi implicit adalah sebagai berikut:Untuk memudahkan pemahaman , maka akan langsung diberikan beberapa
contoh.
Contoh:
1) x2 + y2= 25 (fungsi Implisit)
dydx
=2 x+2 y dydx
=0
2 x+2 y dydx
=0
2 y dydx
=−2 x
dydx
=−2 x2 y
dydx
=−xy
2) jika x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0
tentukan
dydx
dan d2 ydx2
di titik
x=3y=2
Jawab :
x2 + y2 – 2x – 6y + 5 =0
2x + 2y
dydx
−2−6 dydx
=0
(2y - 6)
dydx =2 – 2x
52
2 (y-3)
dydx =2(1-x)
dydx =
1−xy−3
di (3,2)
dydx
=−2−1
=2
d2 ydx2 = d
dx ( 1−xy−3 )
=( y−3 )(−1)−(1−x )(1)
dydx
( y−3 )2
¿(3− y )−(1−x )
dydx
(2−3)2
¿(3−2)−(1−3 ) .2(2−3)2
¿1−(−2)2
1=5
3) f(x,y)= x + xy2 – x sin y
(atau, x + xy2 = x sin y)
cari
dydx dan
d2 ydx2
Jawab : (Coba sendiri yah, buat latihan .... )
Penurunan dengan Bantuan Logaritma
Untuk menurunkan Fungsi yang berpangkat Fungsi, dapat digunakan penurunan
dengan bantuan logaritma.
Jika diketahui z = f(u,v)= uv, dimana u,v adalah fungsi dalam x maka
dfdx dapat
dicari dengan 2 cara:
1. z = uv
53
ln z = ln uv
ln z = v ln u
diturunkan ke-x:
1z
dzdx
=dvdx
. ln u+vu
dudx
dzdx
=uv (dvdx
ln u+vu
dudx )
2. z = uv
z = eln uv
=ev ln u
dzdx
=ev lnu ( dvdx
ln u vu
dudx )
uv( dvdx
lnu+ vu
dudx )
contoh:
Diketahui z = xx
Cara pertama:
z = xx
ln z = ln xx
ln = x ln x
1z
dzdx
=1 . ln x+ xx
dzdx =xx (ln x +1)
Cara kedua:
z = xx
z = eln X X
=ex ln x
dzdx
=ex ln x(1 ln x+ xx )
e x ln x ( ln x+1 )xx ( ln x+1 )
54
TURUNAN FUNGSI (4)
Mendeferensialkan Persamaan Bentuk Parameter
x= f ( t )y=g ( t ) t = parameter
dydx
= limΔx−0
ΔyΔx
= limΔt−0
Δy / ΔtΔx / Δt
=limΔt−0
Δy / Δt
limΔt−0
Δx / Δt=dy /dt
dx /dt
Jika
dydx
= y '
dydt
=Y¿
dxdt
=X¿
y’=
Y¿
X¿
maka
d2 ydx2 = d
dx (dy
dtdx
dt)= d
dt (dy
dtdx
dt) . dt
dx
=
dxdt
d2 ydt 2−
dydt
d2 xdt2
1dx
dt
( dxdt )
2
= y = { { {x} cSup { size 8{ cdot } } {y - {}} cSup { size 8{ cdot cdot } } {y} cSup { size 8{ cdot } } {x} cSup { size 8{ cdot cdot } } } over { left ( {x} cSup { size 8{ cdot } } right ) rSup { size 8{3} } } } } { ¿ y '= y
¿
x¿
Contoh:
1) x= 2 – t
y=t2 – 6t + 5
55
maka y’ =
dydx
= y¿
x¿
dxdt
= y¿=2 t−6
dxdt
=x∘=−1
y '=dydx
=2 t−6−1
=6−2t=2 (2−t )+2
= 2x+2
= 2(x+1)
Mendeferensialkan Fungsi dengan Peubah Lebih Dari Satu
Secara umum jika diketahui z adalah funsi dari u1, u2, u3, …, un, dan u1, u2,
u3, …, un adalah fungsi dari x, maka
dzdx
= ∂ z∂ u1
.du1
dx+ ∂ z
∂u2.
du2
dx+. . .+ ∂ z
∂ un.dun
dx
∂ z∂u = derifatif parsiil pertama dari z ke u
artinya peubah lain kecuali u dianggap konstan.
Contoh:
z = x2+y3+x2y3
dzdx
=z '=2 x+3 y2 dydx
+2 xy 3+3 y2 x2 dydx
∂ z∂ x
=zx=2 x+2 xy3
∂ z∂ y
=zy=3 y2+3 y2 x2
56
2)
x=t−sin ty=1−cos t 0<t<
x∘=dx
dt=1−cos t
y∘=dy
dt=sin t
y '=sin t1−cos t
=sin ty
sin t dinyatakan dalam y
y= 1 – cos t
cos t = 1 – y (sin2t + cos2t = 1)
sin t = √1−cos2 t
√1−(1− y )2=√1−(1−2 y+ y2)
√1−1+2 y− y2=√2 y− y2
y’=
1y √2 y− y2
57
TURUNAN FUNGSI: BEBERAPA APLIKASI (5)
FUNGSI NAIK DAN TURUN
Definisi :
Suatu fungsi f(x) dikatakan naik di titik x = x0 , jika dapat ditunjukkan
bilangan pos kecil h sedemikian, sehingga untuk setiap titik tertentu x1 < x2 yang
terletak dalam interval (x0-h , x0+h) berlaku : f(x1) < f(x2) .
Suatu fungsi f(x) dikatakan turun di titik x = x0 , jika dapat ditunjukkan
bilangan pos kecil h sedemikian, sehingga untuk setiap titik tertentu x1 > x2 yang
terletak dalam interval (x0-h , x0+h) berlaku : f(x1) > f(x2) .
Untuk pemudahkan pemahamannyad diberikan skema pada gambar 3.1.
Skema :
x0-h x1 x0 x2 x0+h
x0-h x1 x0 x2 x0+h
Gambar 3.1. Skema Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Dalil :
fs turun
fs naikfs naikfs naikfs naikfs naikfs naikfs naikfs naikfs naikfs naikfs naikfs naikfs naikfs naikfs naikfs naikfs naikfs naikfs naik
fs turunfs turunfs turunfs turunfs turunfs turunfs turunfs turunfs turunfs turunfs turunfs turunfs turunfs turunfs turunfs turunfs turunfs turun
58
Jika f ' ( x0) > 0 y = f (x) naik di x = x0
f ' ( x0) < 0 y = f (x) turun di x = x0
f ' ( x0) = 0 titik stasioner dari fungsi f tercapai
f } } \( x rSub { size 8{0} } \) `<`0} {¿¿¿ maka titik (x0 , f(x0)) titik maksimum
f } } \( x rSub { size 8{0} } \) `>`0} {¿¿¿ maka titik (x0 , f(x0)) titik minimum
Contoh :
f ( x )=2 x4−4 x2+3
Tentukan semua ekstrim relatif dari fungsi f
Jawab :
f (x) = 2x4 – 4x2 + 3
f’ (x) = 8x3 – 8x
= 8x (x2 – 1)
f” (x) = 24x2 – 8
Titik stasioner tercapai jika f’’(x) = 0
f’ (x) = 8x (x2 – 1) = 0
= 8x (x+1) (x-1) = 0
x1 = 0 ; x2 = 1 ; x3 = -1
f(0) = 3 ; f(1) = 1 ; f(-1) = 1
-1 0 1
f” (0) = -8 < 0 maka (0, 3) titik maksimum
f” (1) = 16 > 0 maka (1, 1) titik minimum
- + - +
59
f” (-1) = 16 > 0 maka (-1, 1) titik minimum
Sebelum mempelajari soal-soal lebih lanjut, akan diberikan terlebih dahulu
teorema-teorema yang mendukung fungsi naik maupun fungsi turun.
Teorema Uji Keturunan Kedua untuk Kecekungan
Misal f fungsi yang mempunyai turunan kedua pada selang I (terbuka)
1. Jika f } } \( x \) `>`0} {¿ ¿¿ Grafik f cekung ke atas pada I
2. Jika f } } \( x \) `<`0} {¿ ¿¿ Grafik f cekung ke bawah pada I
Definisi Titik Belok (Ekstrim)
f fungsi kontinu pada selang terbuka I a ∈ I . Titik (a , f (a )) dikatakan titik belok
jika dipenuhi 2 syarat berikut :
1. Terdapat perubahan kecekungan dari grafik fungsi f disekitar x = a
2. Terdapat garis singgung pada grafik fs f di (a , f (a ))
Contoh :
f ( x )=5 x3−3x5+2
f ' ( x )=−15 x4+15 x2=0
x2(15−15 x2 )
(a) Tentukan selang f cekung ke atas dan f cekung ke bawah
(b) Tentukan semua titik ekstrimnya
Jawab :
f ( x )=5 x3−3 x5+2 , x ∈ R
f ' ( x )=15 x2−15 x4 , x ∈ R
f } } \( x \) ``=30 x - 60 x rSup { size 8{3} } ~,`x` func `R} {∈ ¿¿¿
= −60 x ( x2−1
2)
60
= −60 x ( x+ 1
2 √2) (x−12 √2
x1=0 x2=−12 √2 x3=
12 √2
f (0)=2 ;f (−1
2 √2)=2−78 √2
;f ( 1
2 √2 )=2+ 78 √2
0
−12 √2
12 √2
x<−12 √2 −1
2 √2< x<0 x>12 √2
(a) f cekung ke atas :
(−n , −12 √2) ; (0 , 1
2 √2)f cekung ke bawah :
(−12 √2 , 0) ; ( 1
2 √2 , n)
(b) Karena f”(x) ada di x ∈ R dan disekitar x=− 1
2 √2 , x=0 , x=12 √2
ada perubahan kecekungan, maka titik ekstrimnya
(− 12 √2 , 2−7
8 √2) ; (0 , 2 ) ; ( 12 √2 , 2+ 7
8 √2)
TitikEkstrim
TitikEkstrim
TitikEkstrim
+ + - - + + - -
61
Garis singgung dan Garis Normal
Untuk menentukan garis singgung suatu kurva, dapat menggunakan teorema-
teorema berikut ini :
a. Teorema Rolle
Misalkan f memenuhi syarat :
a) Kontinu pada selang tertutup (a, b)
b) Mempunyai turunan pada selang terbuka (a, b)
c) f (a) = f (b)
Maka terdapat suatu c ∈ (a , b ) Э f’ (c) = 0
(Teorema ini menjamin adanya titik-titik pada grafik f(x) dimana f’ (x) = 0
atau garis singgung mendatar).
Skema :
f’(c) = 0
f (c)
f
f (a) = f (b)
a c b
Gambar 3.2. Skema Teorema Rolle.
b. Teorema Nilai Rata-rata
Misalkan f memenuhi syarat :
d) Kontinu pada selang tertutup (a, b)
e) Mempunyai turunan pada selang terbuka (a, b)
Maka terdapat suatu c ∈ (a , b ) sehingga f ' (c )=
f (b )− f (a )b−a
(Teorema ini menjamin adanya titik pada f yang garis singgung // dengan ruas
garis yang menghubungkan titik (a, f(a)) dengan (b, f(b)).
62
Skema :
f’(c)
f (c)
f (b)
f (a)
a c b
b – a
Gambar 3.3 Skema Teorema
Nilai Rata-rata.
c. Teorema, Rumus Tayor
Misal fungsi f mempunyai turunan ke-(n+1) pada selang terbuka I yang
memuat titik x dan x0 , maka f(x) dapat diuraikan dalam bentuk :
f(x)= f ( x0)+
f ' ( x0 )1!
( x−x0 )+ f \( x rSub { size 8{0} } \) } over {2!} } \( x - x rSub { size 8{0} } \) rSup { size 8{2} } +~ dotsaxis ~+{}} {¿¿¿
f (n)( x0 )n!
( x−x0)n+
f (n+1 )(c )(n+1)!
( x−x0 )n+1
c terletak antara x dan x0 .
Dapat ditulis :
f ( x )=Pn( x )+Rn (x )
Dimana :
Pn(x) = suku banyak Taylor berderajad n
Rn(x) =
f (n+1 )(c )(n+1 )!
( x−x0 )n+1
= suku sisa uraian Taylor
Contoh :
Deretkan dengan R. Talyor f(x) = sin x di x0 = 0
(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))
63
Jawab :
f(x) = sin x f (0) = 0
f’(x) = cos x f’(0) = 1
f”(x) = -sin x f”(0) = 0
f3(x) = -cos x f3(0) = -1
f4(x) = sin x f4(0) = 0
f5(x) = cos x f5(0) = 1
f(x)= f (0)+
f ' (0)1!
x+ f \( 0 \) } over {2!} } x rSup { size 8{2} } +~ dotsaxis } { ¿¿ ¿
= 0+1 .x+0+
(−1 )3 !
x3+ ⋯
= x− x3
3 !+ x5
5 !− ⋯
Deret Taylor dimana x0 = 0 dinamakan Deret Mac Laurin.
Contoh :
Diket : f(x)=x3-9x2+15x-5
Tentukan semua titik ekstrimnya.
Jawab:
f'(x) = 3x2-18x+15
Stasioner jika f'(x) = 0, maka 3x2-18x+15 =0 atau x2-6x+5 = 0.
Sehingga (x-5)(x-1)=0, x1 = 5, x2 = 1.
f''(x) = 6x – 18 , maka f''(5) > 0, dan f''(1) < 0.
Jadi ekstrim minimum terjadi di titik (5, 12) dan ekstrim maksimum di titik
(1,-12).
64
Bentuk-bentuk Tidak TertentuYang dinamakan bentuk-bentuk tak tertentu adalah bentuk-bentuk berikut:
00
; ∞∞ ; 0 .∞ ; ∞−∞ ; 1∞ ; 00 ; ∞0
Aturan dari de l’ Hospital :
1. Diketahui f(x) dan g(x) kontinu dan dapat dideferensialkan sebanyak n kali
disekitar x = a.
f (a )= f ' (a )=f \( a \) =` dotsaxis `=f rSup { size 8{ \( n - 1 \) } } \( a \) =0} { ¿
g(a )=g ' (a)=g \( a \) =` dotsaxis `=g rSup { size 8{ \( n - 1 \) } } \( a \) =0} { ¿Sedang f (n) (a) dan g (n) (a) salah satu atau keduanya tidak nol, maka :
limx→a
f ( x )g ( x )
=f (n)(a)g(n)( a)
2. Kecuali untuk bentuk
00 , aturan dari de l’ hospital bisa juga dipakai untuk
bentuk ∞∞ .
f (a )= f ' (a )=f \( a \) = dotsaxis =f rSup { size 8{n - 1} } \( a \) = infinity } {} # g \( a \) =g' \( a \) =g (a)=⋯=gn−1(a )=∞ ¿Sedang f (n) (a) dan g (n) (a) salah satu atau keduanya tidak tak berhingga, maka
:
limx→a
f ( x )g ( x )
=f (n)(a)g(n)( a)
Contoh:
1.lim
x→ 2
x2−x−22−x →
00
= lim
x→ 2
2 x−1−1
=−3
2.lim
x→ 0
sin x2
sin2 x →00
= lim
x→ 0
2 x cos x2
2 sin x cos x →00
65
= lim
x→ 0
2 x cos x2
sin 2 x →00
= lim
x→ 0
2 cos x2−(2 x ) (2 x )sin x2
2cos2 x
=
2. 12
=1
3.lim
x→∞
x2+x3 x2+1→
∞∞
= lim
x→∞
2 x+16 x →
∞∞ =lim
x→∞
26=1
3
=
limx→∞
2 xx
+ 1x
6 xx
=26=1
3
Contoh:
1.lim
x→ Π2
ln( x−Π2)
tan x=
limx→ π
2
1x−π /2sec2 x =
limx→ π
2
cos2 xx−π /2 =
limx→ π
2
1/2(cos2 x+1)x−π /2 =
limx→ π
2
1/2(−2 sin 2 x )1 = 0
2.limx→0
ex−1x2
= limx→0
ex
2 x=lim
x→0
ex
2=1/2
3.lim
x→∞
x2
ℓx−1
= limx→∞
2 xex
= limx→∞
2e x
=0
66
DAFTAR PUSTAKA
[1] Yusuf Yahya, D. Suryadi H.S., Agus S., Matematika Dasar untuk Perguruan Tinggi, Ghalia Indonesia, Jakarta, 1995
[2] Frank Ayres, Differential and Integral Calculus 2/ed, McGraw-Hill Book Company, NewYork, 1978.
[3] Leithold, L ., 1972, The Calculus with Analitic Geometry, Harper International Edition, Harper and Row, Publishers, New York, Hagerstown, San Francisco, London.
[4] Martono, K., 1970, Modern Control Engineering, Prentice-Hall., Englewood Cliffs, New Jersey.
Kreyzig, E., 1983, Advanced Engineering Mathematics, John Wiley and Sons, Inc, Canada.
67