TeORi GeLoMBaNg

TeORi GeLoMBaNg

GELOMBANG

Gelombang adalah Suatu energi getaran yang merambat dari suatu tempat ke tempat lainnya memerlukan medium ataupun tidak.

Gelombang Mekanik

Memerlukan medium

Contoh:

Gelombang Bunyi

Gelombang Laut

Gelombang Seismik

Gelombang Non Mekanik

Tidak memerlukan

Medium

Contoh:

Gelombang Cahaya

Infrared

JENIS - JENIS GELOMBANG

GEL. MENURUT PERAMBATANNYA

Gelombang Transversal

Gelombang yang arah penjalarannya tegak lurus terhadap simpangannya.

Gelombang Longitudinal

Gelombang yang arah penjalarannya searah dengan simpangannya.

GEL. MENURUT PERAMBATANNYA

f= frekuensi

v= cepat rambat Gelombang

= Panjang gelombang

A= Amplitudo

T= perioda

y= simpangan

BESARAN GELOMBANG

y = f(x)

x = vt

Bergerak ke kiri

y = f(x + vt)

Bergerak ke kanan

y = f(x - vt)

y

v

y = f(x)

y = f(x vt)

y = A sin (getaran)

(getaran tidak merambat)

y = f (x,t)

FUNGSI GELOMBANG

y

t1 = 0

x

x

t2 = t

x = t

x =v.t

y = f (x,t)

y = f(x)

y = f(x)

y = f (x vt) y = A sin (wt kx)

Jika sebuah tali kedua ujungnya terikat dan tali diberikan gaya tegangan sebesar F maka akan timbul getaran dan tali bergetar sedemikian rupa.

Akhirnya getaran tersebutmerambat bolak-balik dari ujung yang satu keujung yang lainnya.

PERSAMAAN DIFFERENSIAL GELOMBANG PADA TALI

x

F

F

Untuk mendapatkan bentuk energi dari elastisitas getaran dapat dikatakan sebagai berikut:

Dimana:

F

dl

dx

dv

F + (F/ x) y

dengan perluasan teorema binomial maka didapat:

Dimana: y = simpangan dari fungsi x dan t

Untuk itu dL dapat ditulis:

Oleh karena itu

Dapat disimpulkan:

Ep = Energi potensial

Sekarang akan ditentukan bagaimana bentuk persamaan differensial gelombang pada tali tersebut.

. . . (1)

untuk getaran yg kecil

Dari persamaan 1

Dengan pengembangan deret taylor

F

. . . (2)

Dgn mensubstitusikan ke pers (2)

Dengan hukum Newton

Dengan ketentuan adalah gaya gesekan dari dawai yg digetarkan.

Sedangkan adalah massa persatuan panjang dari bagian tali yng diketahui.

adalah percepatan bagian dawai yg mengalami

perambatan

Jadi dapat diambil kesimpulan :

Dimana gaya gesekan = 0

pers. Differensial gel. Pada tali

= massa persatuan panjang

Maka:

Dimana A1 dan A2 adalah konstanta yg berubah

maka persamaan diatas ditulis sbb:

Dalam hal ini f1(x) dan f2(x) adalah pengganti konstanta A1 dan A2 sebgai fungsi yg berubah2.

Untuk menjelaskan fungsi f1(x) dan f2(x) dapat digunakan pengembangan deret taylor

deret taylor

Gelombang stasioner (diam ) atau gelombang tegak , dihasilkan oleh inteferensi / superposisi antara gelombang datang dengan gelombang pantul.

Persaman gelombang stasioner :

Gelombang datang : yd = ym sin (kX t )

Gelombang pantul : yp = ym sin ( kX + t )

y = yd + yp = ym [ sin ( t - kx ) + sin ( t + kx)

y = 2 ym [ sin kx ] cos t

Posisi puncak gelombang tak berubah terhadap kedudukan (x) ,

disebut gelombang stationer .

Gelombang Stasioner

- Titik-titik dengan simpangan besar disebut titik perut (anti .

node AN )

- Titik-titik dengan simpangan nol disebut titik simpul (node-N)

- Jarak antara dua titik simpul berdekatan = jarak antara dua .

titik perut berdekatan = /2

- Amplitudo gelombang stationer = 2ym sin (kX)

Amplitudo ini akan maksimum bila :

sin (kX) = 1 ; yaitu untuk :

kX = /2 , 3 /2 , 5 /2 , ..

atau : X = /2 , 2/2 , 3/2 , 5/2 ,

Untuk dapat menyelesaikan pers diatas dengan gesekan= 0. pers. Ini menjadi

Dalam memandang bentuk kejadian gelombang tersebut dapat dianggap gelombang yang terjadi pada tali.

Persamaan Differensial gelombang

Dalam keadaan ini syarat batas pada x=0, x=L. Dan jika kita misalkan, t=0 maka simpangan dan kecepatan setiap titik pada dawai dapat dinyatakan sebagai berikut:

t=0 y=y(x,t)=y0(x)

Dimana: y0(x) dan V0(x) adalah simpangan dan kecepatan mula-mula dawai pada saat t=0

Untuk mendapatkan sifat dari getaran dawai tersebut kita simpulkan bentuk solusinya sebagai berikut:

Dimana: V(x)= fungsi x itu sendiri

= nilai yag akan ditentukan

Maka untuk itu dapat kita cari sbb:

Dengan mensubstitusikan persamaan ini ke persamaan gelombang maka setelah beberapa penguraian didapat:

pers. Differensial biasa

Penyelesaian umum dari persamaan diatas dapat dinyatakan sebagai berikut

Dimana: A,B=konstanta

v= kecepatan

Karena dawai terikat pada x=0, x=L, maka akan didapat syarat batas berikutnya V=0

x=0

v=0

B=0

x=L

Dalam hal ini A tidak sama dengan 0

Berdasarkan persamaan diatas maka didapatkan harga sbb:

k=0,1,2,....

Untuk menghitung harga k kita dapat menuliskan persamaannya

Sebagai konsekuensi dari persamaan menjadi

Dimana Ak= konstanta berubah2

Persamaan ini merupakan penyelesaian persamaan gelombang tanpa gaya gesekan. Dengan syarat batas x=0, x=L, t=0, y=0, V=0

Persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk lain

Dimana Ak= konstanta berubah-2

Dengan menjumlahkan semua harga k diatas lalu didapat penyelesaian umum sebagai berikut

Harga konstanta Ck dan Dk dapat ditentukan dari keadaan syarat batas pada persamaan tadi jika kita dapatkan pada t=0 maka

Gelombang bunyi dalam udara/gas adalah gelombang yang disebabkan oleh getaran-getaran partikel udara yang searah dengan rambatannya

Gelombang bunyi jika tidak terhalang akan menyebar ke segala arah dan persoalannya akan berganti dalam tiga dimensi.

Untuk menyelesaikan 3 dimensi ini kita hindari persoalan 3 dimensi yang ruwet ini,kita tinjau gelombang dalam pipa (untuk 1 dimensi)

GELOMBANG BUNYI

Dari gambar pipa dipasang sebuah pipa pada ujungnya dan digerakkan piston dalam pipa tadimaka terjadilah perubahan tekanan di dalam udara tersebut.

Dari perubahan tekanan dalam pipa tersebut maka terjadilah gerakan yang menghasilkan bunyi

Untuk mendapatkan persamaan gelombang bunyi dalam tabung (1 dimensi) dapat di turunkan sbb:

Dimana Ak=suatu konstanta yang berubah dengan menjumlahkan semua harga k diatas lalu di dapat penyelesaian umum sbb:

Ambilah sumbu x yang memanjang dan kita pandang suatu unsur ,panjang gas dalam pipa yang di batasi oleh kordinat x dan x

Pada saat gas dalam keadaan setimbang yaitu pada tekanan P0. untuk menyatakan simpangan yang telah di beri tekanan dinyatakan dengan y dan tekanan menjadi P0+P

Tekanan mutlak pada unsur merupakan P0+P dan P0+P+P. Jika luas penampang adalah (A) maka gaya pada permukaan unsur yang disebelah kanan ialah:

F=-(P0+P+P)A

Sedangkan gaya pada permukaan sebelah kiri gaya yang ditimbulkan adalah:

F=(P0+P)A

Jadi gaya pemulihnya ialah:

F= -A.P

Andaikan rapat gas pada tekanan kestimbangan tekanan P0 adalah P0 maka unsur gas adalah

m=P0.A.

Berdasarkan hukum newton ke 2 f=m.a maka:

-A.P=0.A.x

Atau

Dalam limit x mendekati 0,sehingga persamaan di atas dapat ditulis dengan (x+x+yy) dan kordinat disebelah kiri unsurnya adalah (x+y)

Pada unsur yang mengalami simpangan ini adalah

(x+x+y+y)-(x+y)=x+y

Jadi perubahan volumenya adalah:

(x+y)A-x.A=.y

Berdasarkan defenisi umum tentang konversibilitas suatu gas adalah

atau

harga limit x 0

Jika didefenisikan:

. . . . . . .(1)

Jika pernyataan ini dimasukkan ke pers.(1)

(1) maka:

. . . . . . . . (2)

(2) persamaan differensial gelombang. Gelombang bunyi udara

p=F/A

y y

VARIASI TEKANAN DAN SIMPANGAN

PADA GELOMBANG BUNYI

T=1/f

Berdasarkan persamaan gas ideal bahwa:

PV=nRT

Dari persamaan gas ideal tersebut dapat dinyatakan bahwa kecepatan bunyi dalam gas dapat dinyatakan:

T= suhu

Mr= massa relatif

Pembuktian:

PV=nRT =

P=nRT/V

=RT/Mr

Maka kecepatan gelombang bunyi

Telah kita ketahui bahwa k=kompresibilitas adiabatik suatu gas adalah:

=Cp/Cv

Cp = tekanan tetap

Cv = volume tetap

Dari persamaan tadi dapatlah ditulis lebih sederhana yaitu:

Dimana: P = tekanan kesetimbangan mutlak

= kerapatan gas

= konstanta udara

Untuk menggambarkan bentuk dari kecepatan bunyi dalam udara/gas, maka udara tsb dapat dianggap sebagai gas yg sempurna.

Intensitas = energi dibagi satuan luas

Telah kita ketahui bahwa gelombang bunyi memindahkan energi dari suatu tempat ketempat lain.

Perpindahan energi gelombang ini dapat dinyatakan dalam bentuk intensitas (I) gelombang.

Ataupun intensitas dapat didefinisikan sbb:

I = energi rata-rata yang dipindahkan oleh gelombang persatuan luas.

I = P/A ; A = luas penampang

INTENSITAS GELOMBANG BUNYI

Perbandingan intensitas pada suatu titik berjarak R2

dan R1 dari sumber adalah :

Untuk gel bunyi sinusoidal y = A sin (t-kx). Jika diturunkan terhadap t:

y = A sin (t-kx)

dy = Vy (x,t) = A cos (t-kx)

dt

Sehingga

P(x,t) . Vy(x,t) = P cos (t-kx) . A cos (t-kx)

= P A cos2 (t-kx)

Menurut definisi diatasw merupakan harga dari P(x,t) . Vy(x,t) untuk sebaran nilai x dapat ditulis sbb:

I = P(x,t) . Vy(x,t) = cos2 (t-kx)

Pada satu periode

Dimana T = periode (T=2 /)

Yang nilainya = sehingga

I= P A dimana P = Amplitudo tekanan

P = 2 A/

Dalam bentuk lain dapat dinyatakan:

Tingkat intensitas gelombang bunyi pada daerah yang dilaluinya berbeda-beda yang disebut dengan Tingkat Intensitas (TI).

TARAF INTENSITAS GELOMBANG BUNYI

Contoh soal

Gelombang bunyi diudara pada T=20 mempunyai Amplitudo tekanan P= 3 x 10-2 Pa. Jika massa jenis udara = 1,2 Kg/ dan laju gelombang bunyi V= 344 m/s. Berapakah intensitas gelombang bunyi tersebut.

Suara paling lemah yang dapat ditangkap oleh telinga manusia adalah f=1000 Hz. Frekwensi ini sesuai dengan intensitas bunyi sekitar w/m2. jika massa jenis = 1,2 Kg/ . Hitunglah:

a. Amplitudo tekanan (P)

b. Amplitudo pergeseran yang sesuai (A)

Gelombang transmisi

Perambatan gelombang listrik dalam suatu saluran transmisi yng berbentuk konduktor (kabel)

Saluran transmisi digunakan untuk mengirim energi atau isyarat dari suatu titik ke titik lain saluran transmisi itu dapat berupa kabel biasa,kabel koaksial atau untuk gelombang mikro menggunakan saluran gelombang atau disebut wave guide.

Dalam kategori saluran transmisi ini kita tidak membicarakan cara mengirimkan isyarat gelombang elektromagnetik melalui pemancar.

GELOMBANG ELEKTROMAGNET

Secara sketsa /angkat saluran transmisi dapat digambarkan sebagai berikut:

C0

Sifat listrikdari kabel itu dinyatakan dengan 2 besaran yaitu kapasitansi (Co) dan induksi diri / konduktor(L0)

Besaran ini merupakan fungsi dari panjang kabel. Sebenarnya komponen ini diparalelkan dengan resistor.

sifat-sifat penjalaran gelombang

Kapasitansi (Co) menujukkan perilaku listrik kabel tersebut pada saat ada perubahan tegangan sumber pada terminal kedua kabel tersebut

Sedangkan (Lo) berkaitan dengan perilaku listrik bila terjadi perubahan arus didalamnya.

Pada frekuensi tinggi keduanya berpengaruh lebih besar pada benda.

Xc = XL=2

Xc= Z=

Untuk menentukan penjalaran gelombang transmisi di dalam saluran transmisi ini dapat dilukiskan cara kerjanya sbb:

Ambil harga x meningkat kekanan dalam gambar tersebut saluran gelombang harga-harganya berlaku suatu saat harga t tertentu

Dalam kasus ini anggap hambatan listrik tidak ada,dengn demikian perubahan potensial sepanjang elemen x hanya berasal dari induksi diri saja (L0.x) jadi persamaan nya :

=L

Ungkapan ini memberikan hubungan antara tegangan arus sebagai berikut:

perubahan harga arus diujung kanan elemen x sebagai arus yang masuk ke kiri dari elemen x tersebut untu mengisi kapasitor (c0.x)dengan muatan :

dQ=d(C0.x)v

Q=CV

Ungkapan diatas memberikan hubungn dengan :

I=

kecepatan gelombang

Kedua persamaan diatas memberikan gelombang potensial dan gelombang arus yang meambat sepanjang kabel dengan kecepatan rambat

2

1

2

2

R

R

=

2

1

I

I

2

V

l

w

pr

w

l

pr

2

2

2

2

2

1

A

V

I

A

A

V

I

=

=

V

P

I

r

2

2

=

2

2

1

kA

I

bw

=

V

k

w

=

gr

b

=

r

b

=

V

3

m

12

10

-