a u us 1 -...

KALKULUS 1 BY: SRI ESTI

KALKULUS 1 Oleh :

SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI

082334051234

E-mail : [email protected]

Bahan Bacaan / Refferensi :

1. Frank Ayres J. R., Calculus, Shcaum’s Outline Series, Mc Graw-Hill Book

Company.

2. Yusuf Yahya, D. Suryadi H. S. Dan Agus S, Matematika untuk Perguruan

Tinggi, Gahlia Indonesia.

3. Edwin J. Purcell dan Dale Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis, Penerbit

Erlangga


1 FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

1. Pengertian Fungsi

Fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap objek x

dalam satu himpunanan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik

f(x) dari himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian

disebut daerah hasil fungsi tersebut.

Pandang himpunan A dan B. R adalah suatu cara yang menghubungkan

elemen A dengan elemen B. Dikatakan terdapat suatu relasi R antara A dan

B. Misalkan f suatu relasi antara A dan B dengan sifat f menghubungkan

setiap elemen A, dengan satu dan hanya satu elemen B; f disebut fungsi dari

A ke B, ditulis f : A → B

Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang

memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota

himpunan B

Contoh :

a) Misalkan A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3}

Definisikan suatu fungsi f : A → B sebagai berikut : a → 1, b → 3,c → 2,

d → 3 atau f(a) = 1, f(b) = 3, f(c) = 2, f(d) = 3

Gambarnya :

Dikatakan bahwa peta dari a adalah

1 atau a merupakan prapeta dari 1.

Fungsi dapat ditulis :

F = {(a, 1), (b, 3), (c, 2), (d, 3)}

A B

a

b

c

d

1

2

3


b) Yang berikut ini bukan fungsi (merupakan relasi biasa)

A B A B

Tidak semua elemen dari A Ada elemen A yang

dihubungkan dengan elemen B dihubungkan dengan lebih

dari satu elemen B

c) Misalkan f menghubungkan setiap bilangan riil dengan kuadratnya.

Jelaskan f : R → R suatu fungsi himpunan bilangan riil R ke himpunan

bilangan riil R antara lain : f(o) = 0, f(1) = 1, f(11/2) = 21/4, f(√2) = 2, f(-1) =

1, dll. Untuk menyatkan fungsi riil kita dapat mencari rumus umumnya.

Jadi secara singkat f dapat ditulis : f(x) = x2 atau y = x2 atau dapat ditulis

f = { (x, y), y = x2, x riil) atau f = { (x, y) y = x2, x riil)

Latihan soal :

1. Dari relasi berikut, manakah yang merupakan fungsi :

a) {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}

b) {(1, 2), (1, 3), (2, 4)}

c) {(x, y)│y = 2x +4}

d) {(x, y)│x + y2 = 1}

e) {(x, y)│y + x2 = 1}

f) {(x, y)│(x – 2)2 – y2 = 4}

g) {(x, y)│x + 1/y = 7}

h) {(x, y)│x =│y│}

2. Diketahui A = {0, 1, 2, 3} merupakan daerah definisi dari fungsi-fungsi

dengan rumus berikut. Tuliskan fungsi tersebut dalam bentuk himpunan

pasangan terurut.

a

b

c

d

1

2

3

1

2

3

a

b

c

d


a) f(x) = x2

b) g(x) = 2x

c) h(x) = 2x

d) j(x) = 1

3. Dari relasi dibawah ini mana yang merupakan fungsi :

a) {(1, 1)}

b) {(1, 1), (1, 2)

c) {(-2, 2), (2, 2), (3, -2), (-2, 3)}

d) {(a, b), (1, b), (2, 2), (b, 1)}

2. Daerah Definisi dan Daerah Nilai

Pandang suatu fungsi f : A → B. Himpunan A disebut daerah definisi

(domain) dari f, ditulis A = Df. Himpunan B disebut codomain dari f.

Rf ={ y│y = f(x), x ϵ A}. Suatu himpunan bagian dari B merupakan himpunan

semua peta dari f. Himpunan Rf disebut daerah nilai (range) dari fungsi t.

Pada diagram panah berikut :

Himpunan A = {1 , 2 , 3 } dinamakan Domain / daerah asal

Himpunan B = { a , b , c } dinamakan Kodomain / daerah kawan

Himpunan { a , b } dinamakan Range / daerah hasil

Pemasangan yang terjadi oleh fungsi f adalah :

Fungsi f memetakan semua anggota himpunan A dengan tepat satu anggota

himpunan B,yaitu :

f : 1 → b

f : 2 → a

f : 3 → b


Notasi dan Rumus Fungsi

Jika suatu fungsi f memetakan setiap x anggota himpunan A ke y anggota

himpunan B, maka dapat ditulis dengan notasi fungsi yaitu: f : x → y

Fungsi f seperti dalam notasi tersebut di atas dapat juga dituliskan rumus

fungsinya, yaitu: f(x) = y

Contoh :

Diketahui himpunan A = { 1, 2, 3 } dan B = { 4, 5, 6,7,8 }.

Fungsi f memetakan setiap x anggota A ke x + 4 anggota B.

a. Nyatakan fungsi tersebut dengan diagram panah

b. Nyatakan notasi fungsi tersebut

c. Nyatakan rumus fungsi tersebut

d. Nyatakan daerah asal

e. Nyatakan daerah kawan

f. Nyatakan daerah hasil

Jawaban :

Fungsi f memetakan setiap x anggota A ke x + 4 anggota B.

a. diagram panah

A B

b. notasi fungsi adalah f : x → x + 4

c. rumus fungsi adalah f (x) = x + 4

d. daerah asal adalah { 1, 2, 3 }

e. daerah kawan adalah { 4, 5, 6, 7, 8 }

f. daerah hasil adalah { 5, 6, 7 }

1

2

3

4

5

6

7

8


P = Himpunan bilangan bulat positif = {1, 2, 3, …}

N = Himpunan bilangan asli = {1, 2, …}

Z = Himpunan bilangan bulat = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

Q = Himpunan bilangan rasioanal (bilangan dalam bentuk a/b, dengan a dan

b anggota bilangan bulat dan b ≠ 0)

R = Himpunan bilangan riil (bilangan yang merupakan gabungan dari

bilangan rasioanal dan bilangan irrasioanal sendiri). Bilangan irrasional

adalah bilangan-bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan,

atau bilangan yang bukan bilangan rasional.

Contohnya : √2, √3, √5

C = Himpunan bilangan kompleks (bilangan yang berbentuk a + bi)

Contoh :

a) f : R →R dimana x → x2. Maka Df = R, sedangkan Rf = {y│y ≥ 0} =

himpunan bilangan nonnegatif.

b) Diketahui suatu fungsi riil dengan rumus f(x) = y = √1-x2

Maka Df = { x│1-x2 ≥ 0} atau interval -1 ≤ x ≤ 1

Rf = { y│0 ≤ y ≤ 1}, karena harga dibawah tanda akar harus ≥ 0.

Grafik f merupakan setengah lingkaran diatas sumbu x, pusat (0, 0), jari-

jari 1

Latihan Soal :

1. Carilah Df dan Rf dari fungsi berikut :

a) {(1, 1)}

b) {(a, b), (1, b), (2, 2), (b, 1)}

c) {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}

d) {(1, 2),(2, 4), (3, 3), (4, 4)}

2. Carilah Df dari

a) f(x) = √ √

b) f(x) =

√| |


c) √

3. Jika diketahui

, tentukan:

a. f(0) b. f(-1) c. f(2a) d. f(1/x) e. f(x+h)

4. Jika f(x) = 24, tunjukkan bahwa:

a. f(x+3) – f(x-1) =

b.

5. Tentukan domain dari fungsi-fungsi:

a. √

b. √

c.

d.

e.

6. Untuk f(x) = 3x3 + x, hitunglah masing-masing nilai.

a. F(-6) d. F(1/2)

b. F(3,2) e. F(√ )

c. F( ) f. F(1/x)

3. Grafik Fungsi

Suatu fungsi dapat digambar grafiknya dengan cara menggambar pasangan-

pasangan terurut dari fungsi tersebut.

Contoh :

a) B c) y

3

2

1

a b c d A -1 1 x

f = {(a, 1), (b, 3), (c, 2), (d, 3)} Y = x2


Grafik hanya pada interval tertentu

Contoh :

a) Grafik y = x2 pada -1 ≤ x ≤ 2

y

4

x

b) Grafik y ={

y

0 2 x

Grafik yang mengandung harga mutlak

Untuk menggambarnya kita ingat definisi harga mutlak sebagai berikut:

| | {

Contoh :

a) Grafik y = | |

{

y

0 x

b) Grafik | |

4

Untuk x ˂ o grafik berbentuk

garis lurus sedangkan untuk x

≥ o grafik berbentuk parabola


{

y

4

o 2 4 x

c) | | | |

Misalkan y = y1 + y2 di mana | |, | |

{

{

–

Daerah terdefinisi terbagi 3 interval yaitu :

x < -1, -1 ≤ x < 1, x ≥ 1

Untuk x < -1 : y = (-x – 1) + (-x + 1) = -2x

-1 ≤ x < 1 : y = (x + 1) + (-x + 1) = 2

x ≥ 1 : y = (x + 1) + (x - 1) = 2x

y

2

-1 0 1 x

Latihan Soal :

a. Gambarlah grafiknya :

1) y = {


2) {

3) {

4) {

5) {

6) | |

7) | | | |

8) | |

9) | |

10) | | | |

b. Gambarlah grafik-grafik dari fungsi-fungsi berikut, dan tentukan domain

dan rangenya:

1) f(x) = -x2 + 1

2) {

3)

4)

5) √

4. Bentuk Fungsi

a) Fungsi Eksplisit

Kalau rumus suatu fungsi ditulis dengan y dinyatakan secara langsung

oleh x : y = f(x), dimana variabel y dan x terpisah pada ruas kiri dan

kanan, maka fungsi disebut berbentuk eksplisit.

Contoh :

y = x2 + 3x -2

y = -3x3 + cos x

y = x ex, dll.

b) Fungsi Implisit


Adalah suatu fungsi dimana variabel y dan x terdapat dalam satu ruas.

Contoh :

yx2 + 3x = 4

sin (x + y) = e-2x2y + xy, dll.

Suatu fungsi implisit kadang-kadang sukar (bahkan tidak bisa) diubah

ke bentuk eksplisit. Untuk mempermudah kita sebut saja fungsi

berharga banyak.

Contoh :

3x – 2y2 + 4 = 0

Y2 = 11/2x + 2

Bentuk ini bukan fungsi, hanya relasi biasa, karena misalnya

untuk x = 4 → y = ±√8. Bentuk ini kita sebut fungsi berharga

dua.

Contoh lainnya fungsi berharga dua :

x2 + y2 = 9

y2 - 4x2 =16

y2 = 4

c) Fungsi Parameter

y = f(x) dinyatakan dalam parameter t sebagai :

{

, yang mana pelenyapan t menghasilkan y = f(x)

Contoh :

{

→ x2 + y2 = 9 sin2 t + 9 cos2 t

= 9 (sin2 t + cos2 t)

x2 + y2 = 9, pusatnya (0, 0), jari-jarinya 3

{

Dari persamaan pertama t = 1/2x yang disubstitusikan ke persamaan

kedua


y = 4(1/2x)2 – 3 (1/2x)

y = x2 - 11/2x ; suatu parabola

Fungsi kadang-kadang lebih mudah dinyatakan dalam bentuk

parameter. Beberapa contoh fungsi dalam bentuk parameter :

Sikloida

Kalau suatu lingkaran berjari-jari sama dengan a dijalankan

diatas sumbu x; suatu titik pada roda akan menjalani lintasan

berupa sikloida.

Persamaannya adalah :

{

y

2a

0 x = πa x = 2πa x

t = π t = 2π

Hiposikloida

Kalau sebuah lingkaran dijalankan pada tepi dalam lingkaran

lain yang lebih besar (jari-jat=ri a), terjadi sutu hiposikloida.

Bila a = 4b, persamaaan berbentuk :

{

atau disebut Astroida


Latihan Soal :

1. Jika f(x) = x2 -4x + 6, tentukan :

a) f(0)

b) f(3)

c) f(-2)

Tunjukkan bahwa f(1/2) = f(7/2) dan f(2-h) = f(2 +h)

2. Jika

, tentukan

a) f(0)

b) f(1)

c) f(-2)

Tunjukkan bahwa f(1/x) = -f(x) dan -f(1/x) =

3. Ubah ke bentuk biasa persamaan-persamaan berikut :

a) {

b) {

c) {

d) {

5. Jenis Fungsi

Beberapa jenis fungsi riil :

a) Fungsi Linier

Fungsi linier adalah fungsi berderajat satu

Contoh :

y = 6x + 5

y = 10x

y = 2x – 9

b) Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi berderajat dua

y = f(x) = ax + b


Contoh :

y = 3x2 + 2x + 1

y = x2 - 7x - 8

y = 2x2 + x – 5

c) Fungsi Polinom

Fungsi polinom adalah fungsi berderajat n

Dimana : a1 = bilangan riil

a0 ≠ 0

n = bilangan bulat positif

Contoh :

f(x) = 5x3 – 6x2 +2x – 8 adalah polinom berderajat 3

g(x) = 7x5 – 8x + 12 adalah polinom berderajat 5

h(x) = x4 + 3x3 – 2x + 9 adalah polinom berderajat 4

d) Fungsi Rasional

Bentuk umum fungsi rasional adalah f x=

dengan p(x) dan q(x)

merupakan fungsi polinom. Fungsi rasional f(x) tidak terdefinisi pada

nilai x yang menyebabkan penyebut sama dengan nol atau q(x) = 0.

Sedangkan pembuat nol dari pembilang atau p(x) tetapi bukan

pembuat nol penyebut merupakan pembuat nol dari fungsi rasional

f(x).

e) Fungsi Aljabar

Fungsi aljabar adalah fungsi f(x) yang memenuhi persamaan

berbentuk :

Dimana : pi(x) suatu polinom dalam x

y = f(x) = ax2

+ bx +c

y = f(x) = a0x

n

+ a1x

n-1

+ ... + an-1

x + an

p0(x)y

n

+p1(x)y

n-1

+ ... + pn-1

(x)y + pn(x) = 0


Contoh :

Tunjukkan bahwa f(x) = x + √ adalah fungsi aljabar

Penyelesaian :

F(x) = y = x + √

y – x = √

y2 -2xy + x2 = x –x2

y2 -2xy + (2x2 – x) = 0 → merupakan bentuk diatas, jadi benar

fungsi aljabar

f) Fungsi Transenden

Merupakan fungsi yang bukan fungsi alajbar :

1. Fungsi Eksponensial

f(x) = ax , a ≠ 0, 1

2. Fungsi Logaritma

F(x) = alog x, a ≠ 0, 1

Jika a = e = 2,71828

Kita tulis f(x) = elog x = ln x disebut logaritma natural dari x

Bila y = ln x maka ey = x

3. Fungsi Trigonometri

Sin x, cos x, tan x =

,

,

,

Variabel x biasanya dinyatakan dalam radian (π radian = 180o)

Beberapa sifat dari fungsi trigonometri :

sin2 x + cos2 x = 1

tg2 x + 1 = sec2 x

ctg2 x + 1 = cosec2 x

sin (x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y

cos (x ± y) = cos x cos y ± sin x sin y

tg (x ± y) =


sin (-x) = - sin x

cos (-x) = - cos x

tg (- x) = - tg x

sin ( -x) = cos x

cos ( -x) = sin x

tg ( -x) = ctg x

sin 2x = 2 sin x cos x

cos 2x = cos2x –sin2x = 2 cos2x - 1 = 1- 2 sin2 x

Sin x + sin y = (

) (

)

cos x + cos y = (

) (

)

sin x sin y = -½ [cos (x + y) – cos (x – y)]

cos x cos y = ½ [cos (x + y) + cos (x – y)

sin x cos y = ½ [sin (x + y) + sin (x – y)]

Fungsi siklometri (fungsi invers trigonometri) :

y = arc sin x artinya x = sin y

sehingga bila x = 1/2 → y = arc sin 1/2 = π/6

(harga utama –π/2 ≤ y ≤ π/2)

y = arc cos x (harga utama 0 ≤ y ≤ π)

y = arc tg x (harga utama –π/2 < y < π/2)

y = arc ctg x = π/2 – arc tg x (harga utama 0 < y < π)

y = arc sec x = arc cos 1/x (harga utama 0 ≤ y ≤ π)

y = arc cosec x = arc sin 1/x (harga utama –π/2 ≤ y ≤ π/2)

Beberapa sifat :

arc sin x + arc cos x =π/2

arc tg x + arc ctg x = π/2

arc sin x = arc cos √


arc tg x = arc ctg 1/x

KETERANGAN : td artinya tidak terdefinisi atau tidak memiliki nilai

Contoh :

1. cos (arc sin √3/2) = cos 60 = ½

2. sin (arc tg -√3) = sin (120) = sin 120 = 1/2 √3

3. ctg (arc tg √3) = ctg 60 =

√

√


Latihan soal :

1. tg (

) 7. Tg (

)

2. sec π 8. Ctg (

)

3. sec

9. Ctg( -

4. cosec (

) 10. Sec

5. ctg(

) 11. Cosec (

6. tg (-

) 12. Cos

Buktikan !

1.

2.

3.

?

4. ?

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11. (1 – cos2 x) (1 + ctg2 x) = 1

12. Sin t (cosec t – sin t) = cos2 t

13.

14.

15.

= sec2t

16.

= cosec2t

a u us 1 -...

Documents