5. PERSAMAAN LINIER

1. Persamaan Linier

Persamaan linier adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu.

Disamping persamaan linier ada juga persamaan non linier.

Contoh :

a) 2x + 3y -4z = 5 (linier, karena x, y dan z berpangkat satu)

b) 2x + 3y2 - 4z

1/2 = 5 (tidak linier, karena y dan z tidak berpangkat satu)

c) 4xz + 3y – 2x = 7 (tidak linier, karena ada perkalian antara variabel x & z)

Persamaan aljabar linier mempunyai bentuk sbb :

a11 x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 , dimana a11, a12, ..., a1n dan b1 adalah konstanta. Jika

persamaan aljabar linier tersebut jumlahnya lebih dari satu, dan dikumpulkan, maka

himpunan dari persamaan-persamaan tersebut disebut Sistem Persamaan Linier (SPL).

Contoh :

1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel.

x1 – 3x2 + x3 = 4

3x1 + 2x2 - 5x3 = -2

2x1 – x2 + 3x3 = 8

x1 – 7x3 = 6

SPL di atas dapat diungkapkan dalam bentuk matriks koefisien berikut :

[

] [

] [

] atau Ax = b

Dimana:

A = [

] x = [

] b = [

]

Yaitu: A : matriks koefisien berordo m x n

x : vektor kolom berordo n x 1 dari bilangan tak diketahui (variabel)

b : vektor kolom berordo m x 1 dari konstanta

Atau bisa dinyatakan dalam bentuk matriks Augmented (matriks lengkap) yaitu matriks

yang terdiri dari koefisien-koefisien x dan nilai b

[ ] [

]

Bentuk matriks koefisien

[

]

Bentuk matriks Augmented (matriks lengkap)

[

]

2. SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 4 variabel.

x1 + x2 + 2x3 – 5x4 = 3

2x1 + 5x2 – x3 - 9x4 = -3

2x1 + x2 - x3 – 3x4 = -11

x1 - 3x2 + 2x3 + 7x4 = -5

Bentuk matriks koefisien

[

]

Bentuk matriks Augmented (matriks lengkap)

[

]

Bila matriks b ≠ 0, persamaan tersebut disebut sebagai sistem persamaan linier

nonhomogen. Sebaliknya, bila matriks b = 0, disebut sebagai sistem persamaan linier

homogen. Ada 3 hal penting yang dapat dijumpai pada persamaan di atas, yaitu:

1. m > n (jumlah persamaan lebih besar dari pada jumlah variabel)

2. m < n (jumlah persamaan lebih kecil dari pada jumlah variabel)

3. m = n (jumlah persamaan sama dengan jumlah variabel)

Pada kasus ini ada tiga kemungkinan yang bisa terjadi, yaitu:

1. sistem mempunyai solusi unik (tunggal, hanya ada satu solusi)

2. sistem tidak mempunyai solusi (inkonsisten)

3. sistem mempunyai banyak solusi

Sebagai gambaran akan dijelaskan secara grafik, bagaimana bentuk grafik dari SPL yang

mempunyai solusi tunggal, SPL yang tidak mempunyai solusi (inkonsisten) dan SPL

yang mempunyai solusi banyak.

Gambar grafik dari ketiga SPL tersebut adalah:

1. SPL punya solusi tunggal

tampak pada grafik di atas bahwa SPL yang pertama terdapat satu titik potong.

Artinya SPL tersebut hanya mempunyai satu solusi unik.

2. SPL tidak punya solusi

Pada kedua grafik tersebut tidak ada titik potong, sehingga sistem ini disebut SPL

yang tidak punya solusi atau inkonsisten.

3. SPL punya solusi banyak

Terdapat banyak titik potong sehingga SPL semacam ini mempunyai solusi yang

banyak.

2. Eksistensi dan Keunikan SPL Nonhomogen

Eksistensi dan keunikan dari SPL digunakan jika kita ingin menentukan apakah solusi dari

SPL tersebut ada atau tidak. Kalau solusinya tidak ada, kita tidak perlu menyelesaikan

persamaan tersebut. Untuk menentukan ada atu tidaknya solusi dari SPL digunakan Operasi

Baris Elementer (OBE), yaitu sebuah matriks dikenai transformasi elementer baris

secara berkali-kali sehingga diperoleh matriks identitas I.

Dalam OBE kita harus merubah matriks ini menjadi matriks indentik dengan 3 cara yaitu :

A. Menukar posisi baris yang satu dengan yang lain,

B. Mengkali suatu baris dengan bilangan real kecuali 0, dan

C. Menjumlahkan suatu baris dengan hasil dari kali suatu baris lain dengan bilangan real

kecuali 0.

a. Kasus m > n

Perhatikan SPL nonhomogen Ax = b, yang terdiri dari m persamaan dan n variabel. Jika

matriks A, bisa direduksi menjadi matriks identitas I berordo n x n, sehingga (m-n) baris

yang bernilai nol, maka sistem Ax =b, mempunyai solusi yang unik.

Contoh:

x + y = 6

2x – y = 3

7x -2y = 15

Jelaskan apakah sistem ini punya solusi atau tidak.

Jawab:

Matriks augmented dari sistem tersebut adalah: [

]

Operasi Baris Elementer (OBE):

[

] H21-2

, H31-7

→ [

] H32-3

→ [

]

[

] H2-1/3

→ [

] H12-1

→ [

]

Hasil matriks augmented:

[

]

Pada contoh ini matriks 3x2 direduksi menjadi matriks identitas I ordo 2x2, dan (3 – 2)

elemen baris yang lain adalah nol. Sistem ini punya solusi unik, yaitu x = 3 dan y = 3.

Latihan:

Jelaskan apakah sistem ini punya solusi atau tidak:

1. 2x + 4y = 8

x + 2y = 4

7x + 14 y = 28

2. 2x + y = 4

x – 3y = 3

3x + 2y = 12

b. Kasus m < n

Pada kasus ini, sistem mempunyai banyak solusi.

Contoh:

x + 2y + z = 2

4x + 9y +6z = 9

Jelaskan apakah sistem ini punya solusi atau tidak.

Jawab:

Matriks augmented dari sistem tersebut adalah: [

]

Operasi Baris Elementer (OBE):

[

]H21-4

→ [

]

Pada contoh ini diperoleh persamaan berikut:

y + 2z = 1 atau y = 1 – 2z

x + 2y + z = 2 atau x = 2 - 2y – z

Bila diambil nilai z = λ, (λ bilangan riil) maka diperoleh persamaan berikut:

y = 1 - 2λ

x = 3λ

artinya, disini didapat banyak solusi untuk sistem persamaan tersebut.

c. Kasus m = n

Pada kasus ini digunakan konsep determinan dan invers untuk melihat ada atau tidaknya

solusi. Jika besar m = n, berarti matriks ini adalah matriks bujursangkar yang bisa

dihitung nilai determinannya.

1. Jika det(A) ≠ 0, berati invers matriks A ada, sehingga Ax = b punya solusi unik.

2. Jika det(A) = 0, berati invers matriks A tidak ada, sehingga Ax = b tidak punya solusi

atau mempunyai solusi banyak.

Contoh:

Jelaskan apakah sistem ini mempunyai solusi atau tidak.

x + y + 6z = 17

4x – 3y - 2z = 4

2x + 3y + z = -1

Jawab:

Matriks A dari sistem tersebut adalah: [

]

det(A) = |

| = 103

karena det(A) ≠ 0, persamaan tersebut punya solusi unik x =1, y = -2, z = 3

Latihan soal:

Jelaskan apakah sistem ini punya solusi atau tidak:

2x + y – z = 0

x + 4z = 0

3x + y + 3z = 0

3. Solusi Sistem Persamaan Linier

Beberapa metode yang dapat digunakan untuk mencari solusi sistem persamaan linier antara

lain:

1. Aturan Cramer

2. Metode Invers Matriks

3. Eliminasi Gauss

4. Metode Eliminasi Gauss Jordan

3.1. Aturan Cramer

Apabila Ax = b maka nilai x dapat dicari dengan:

| |

| |

Dimana:

| | adalah harga determinan unsur-unsur matriks bujur sangkar A dengan kolom ke k

diganti unsur-unsurnya oleh unsur b.

| | adalah harga determinan matriks bujur sangkar A

Contoh:

Hitunglah nilai x, y, dan z untuk sistem persamaan berikut.

2x + y – z = 3

3x + 2y - 4z = 1

x + 4y + z = 15

Matriks: A = [

] Ax = [

] Ay = [

] Az = [

]

det(A) = |

| = 19 det(Ax) = |

| = 19

det(Ay) = |

| = 57 det(Az) = |

| = 38

x =

y =

z =

b b b

Latihan soal:

1. 2x + 3y + 4z = 5

5x + 2y – z = 7

-11y + 18z = -11

2. 2x – y + 3z = 15

x + 2y + z = 8

3x + 4y + 2z = 18

3.2. Metode Invers Matriks

Kita tinjau persamaan berikut:

Ax = b

Kedua ruas dikalikan dengan A-1

(invers matriks A) dari sebelah kiri diperoleh

A-1

Ax = A-1

b

x = A-1

b

Contoh:

Hitunglah nilai x, y, dan z untuk sistem persamaan berikut.

2x + y – z = 3

3x + 2y - 4z = 1

x + 4y + z = 15

jawab:

Matriks: A = [

], A-1

= [

] b = [

]

x = A-1

b

x = [

] [

] = [ ]

Jadi x = 1, y = 3, dan z = 2

3.3. Metode Eliminasi Gauss

Prosedur penyelesaian dari metode ini adalah mengubah matriks lengkap (matriks

Augmented) menggunakan Operasi Baris Elementer (OBE) berkali-kali sehingga diperoleh

sebuah matriks lengkap yang baru berupa matriks segitiga atas yang diagonal utama

elemennya bernilai 1.

Contoh:

Hitunglah nilai x, y, dan z untuk sistem persamaan berikut.

2x + y – z = 3

3x +2y -4z = 1

x +4y + z = 15

Matriks lengkap = [

]

[

]H21-3/2

, H31-1/2

→ [

]H2

(2), H3

(2) →

[

]H32-7

→ [

]H3(1/38)

, H1(1/2)

→ [

]

Berdasarkan matriks hasil OBE, diperoleh:

z = 2 → z =2

y - 5z = -7 → y = 3

x + 1/2y – 1/2z = 3/2 → x = 1

3.4. Metode Eliminasi Gauss – Jordan

Metode ini hampir sama dengan metode eliminasi Gauss. Metode eliminasi Gauss-Jordan

merupakan perluasan dari metode Gauss, hanya saja matriks k=lengkap yang dikenai OBE

diubah sedemikian hingga menjadi matriks satuan I. Selain untuk menyelesaikan sistem

persamaan linier, metode ini juga dapat digunakan untuk menghitung matriks invers.

Contoh:

Hitunglah nilai x, y, dan z untuk sistem persamaan berikut.

2x + y – z = 3

3x +2y -4z = 1

x +4y + z = 15

Jawab:

Matriks lengkap = [

]

[

]H21-3/2

, H31-1/2

→ [

]H2

(2), H3

(2) →

[

]H32-7

→ [

]H3(1/38)

, H1(1/2)

→ [

]

[

]H131/2

, H235 → [

]H32-1/2

→[

]

Berdasarkan matriks hasil OBE, diperoleh: x = 1, y = 3, dan z = 2

Latihan:

Hitunglah nilai x1, x2, x3, dan x4 untuk sistem persamaan berikut:

x1 + x2 + 2x3 - 5x4 = 3

2x1 + 5x2 - x3 - 9x4 = -3

2x1 + x2 - x3 + 3x4 = -11

x1 - 3x2 + 2x3 + 7x4 = -5

Latihan soal:

1. Kelompokkan SPL berikut termasuk konsisten atau inkonsisten. Jika konsisten apakah

mempunyai solusi tunggal atau solusi banyak. Jelaskan juga mengapa SPL tersebut masuk ke

dalam kelompok yang anda sebutkan.

a. 2x1 + 3x2 = 9 dan 3x1 + 41/2x2 = 13

b. 3x1 + 4x2 = 7 dan 9x1 +12x2 = 21

c. 2x1 + 3x2 = 8 dan 3x1 + 4x2 = 11

d. Ax = b, dimana A = [

] dan b = [

]

e. Ax = b, dimana A = [

] dan b = [

]

f. Ax = b, dimana A = [

] dan b = [

]

2. Tentukan himpunan solusi dari SPL berikut (bila ada) menggunakan metode Cramer, metode

invers matriks, metode eliminasi Gauss, dan metode eliminasi Gauss Jordan.

2w +3x -5y + 4z =20

w + 2x + 7y – z = 9

w – 5x + 4y + 8z = -4

5w – x - 2y - 4z = 2