matriks & transormasi lini r -...

MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER

STIMATA BY : SRI ESTI

MATRIKS & TRANSFORMASI

LINIER

Oleh :

SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI

082334051324

Daftar Referensi :

1. Kreyzig Erwin, Advance Engineering Mathematic, Edisi ke-7, John

wiley,1993

2. Spiegel, Murray R, Advanced Calculus, Shcaum’s Series, mc. Graw Hill,

Singapore, 1981

3. Spiegel, Murray R, Vektor Analysis, Shcaum’s Series, mc. Graw Hill,

Singapore, 1981

4. T. Sutojo, S.Si., dkk, Aljabar Linier & Matriks, Penerbit Andi, 2010



1. VEKTOR

1. Pengertian Vektor

Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah.

Besaran-besaran pada fisika banyak yang termasuk besaran vektor. Contohnya gaya,

kecepatan, percepatan, perpindahan, momen gaya dan momentum..

Vektor jika digambar dilambangkan dengan tanda panah (→). Besar vektor proporsional

dengan panjang panah dan arahnya bertepatan dengan arah panah. Vektor dapat

melambangkan perpindahan dari titik A ke B. Vektor sering ditandai sebagai

Contoh:

= notasi pada vektor AB

Titik pangkal di A

Titik ujung di B

Arah vektor dari A menuju

Besar vektor ditunjukkan oleh panjang garis AB

Vektor-vektor yang mempunyai arah dan panjang yang sama dikatakan ekivalen

Vektor yang panjangnya nol dinamakan vektor nol dan dinyatakan dengan 0.

Penjumlahan dengan vektor nol didefinisikan

0 + v = v + 0 = v

Jika v sebarang vektor tak nol, maka −v (negatif v) adalah vektor yang mempunyai

besaran sama seperti v tetapi arahnya berlawanan dengan v.

A

𝐴𝐵 B

𝐴𝐵

http://temukanpengertian.blogspot.com/2013/09/pengertian-vektor.html

http://temukanpengertian.blogspot.com/2013/09/pengertian-besaran.html

http://id.wikipedia.org/wiki/Perpindahan



Selain cara di atas, vektor bisa juga diberi lambang huruf alfabet kecil, misalkan

diberikan vektor a. Jika elemen-elemen ditulis berderet membentuk satu baris, disebut

vektor baris.

a =

[ ]

vektor kolom a = [ a1, a2, a3, …, an] vektor baris

Latihan soal:

1. Berikut adalah gambar lima buah mobil yang diamati berdasarkan ciri-ciri yang

dimilikinya yaitu massa, kecepatan, tinggi, panjang, dan harganya.

1 2 3 4 5

Misalkan data-data dari mobil tersebut adalah:

Mobil ke : Massa (kg) Kecepatan (km/jam) Tinggi (m) Panjang (m) Harga (Juta Rp)

1 2000 50 2,7 3,5 300

2 900 75 2 3 200

3 700 150 1,5 2,3 400

4 300 400 1,2 2 700

5 1000 100 2,5 2,4 550

Nyatakan data-data di atas sebagai vektor baris.

2. Ada 5 citra yang akan dikenali menggunakan komputer. Beberapa ciri untuk

mengenali citra tersebut adalah dilihat dari standar deviasi intensitas warna dalam tiap-

tiap citra σ, rata-ratanya μ, histogramnya h, dan entropinya e.

1 2 3 4 5

Maka vektor ciri 5 buah citra tersebut dapat dinyatakan sebagai …



1. Ruang Vektor

1.1 Vektor di ruang R2 dan R

3

Vektor Satuan dan Vektor Basis di Ruang R2

Tinjau vektor-vektor berikut :

Masing-masing vektor ini mempunyai panjang 1 dan terletak sepanjang sumbu

koordinat. Vektor tersebut dinamakan vektor satuan di ruang R2.

Vektor basis di ruang R2 pada sumbu x dinyatakan dengan i, vektor satuan pada

sumbu y dinyatakan dengan j, atau dalam bentuk vektor baris ditulis sebagai berikut

e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)

atau dalam bentuk vektor kolom berikut

* + *

+

Oleh karena i dan j sebagai basis di ruang R2, maka setiap vektor = (V1, V2) di

ruang R2 dapat dinyatakan dengan i dan j sebagai berikut :

= (V1, V2)

= V1(1, 0) + V2 (0, 1)

= V1i, V2j

= V1 * + + V2*

+

Contoh :

Vektor artinya sama dengan

* + [ ] ( ) ( ) *

+ *

+

Misalkan v suatu vektor pada bidang, titik awal v diletakkan pada pusat sistem

koordinat, dan titik ujung v terletak pada koordinat (𝑣1,𝑣2), maka (𝑣1,𝑣2) dinamakan

komponen dari v. Dalam hal ini ditulis v = (𝑣1,𝑣2).

y

x

j=(0, 1)

i=(1, 0)



Secara geometri 𝑣1 menyatakan komponen pada sumbu x dan 𝑣2 menyatakan

komponen pada sumbu y.

Jika v = (𝑣1,𝑣2) dan w = (𝑤1,𝑤2) adalah vektor-vektor pada bidang (𝑅2), maka v

ekivalen dengan w jika dan hanya jika 𝑣1=𝑤1 dan 𝑣2=𝑤2 .

Jika v = (𝑣1,𝑣2) dan w = (𝑤1,𝑤2), maka berlaku

1. v + w = (𝑣1+𝑤1, 𝑣2+𝑤2)

2. k v = (𝑘𝑣1,𝑘𝑣2) dengan k suatu skalar

Contoh :

Misalkan v = (−2, 1) dan w = (1, 3), maka

v + w = (−2, 1) + (1, 3) = (−2+1, 1+3) = (−1, 4)

2v = 2(−2, 1) = (2.(−2), 2.1) = (−4, 2)

v − w = (−2, 1) − (1, 3) = (−2−1, 1−3) = (−3, −2)

w − v = (1, 3) − (−2, 1) = (1−(−2), 3−1) = (3, 2)

Kadang-kadang vektor diletakkan sedemikian sehingga titik awalnya tidak terletak

pada pusat koordinat. Misalkan titik awalnya adalah 𝑃1(𝑥1,𝑦1) dan titik ujungnya

adalah 𝑃2(𝑥2,𝑦2) maka 𝑃 𝑃 = (𝑥2−𝑥1 , 𝑦2−𝑦1). Komponen 𝑃 𝑃 didapat dengan

mengurangkan koordinat tititk awal dari koordinat titik ujung. Jika dijelaskan dengan

gambar, didapat pula

𝑃 𝑃 = 𝑃 − 𝑃 = (𝑥2,𝑦2 ) − (𝑥1,𝑦1 ) = (𝑥2−𝑥1 , 𝑦2−𝑦1).



Jika v = (𝑣1,𝑣2) adalah vektor di R2 maka panjang vektor (disebut norm ) v

didefinisikan sebagai ‖𝑣‖ = √𝑣 𝑣

Jika 𝑃1(𝑥1,𝑦1) dan 𝑃2(𝑥2,𝑦2) adalah dua titik di R2, maka jarak dua titik tersebut

didefinisikan sebagai norm dari vektor 𝑃 𝑃 , yaitu

d = √((𝑥 𝑥 ) (𝑦 𝑦 ) )

Vektor Satuan dan Basis di Ruang R3

Tinjaulah vektor-vektor berikut :

Masing-masing vektor ini mempunyai panjang 1 dan terletak sepanjang sumbu

koordinat. Vektor tersebut dinamakan vektor satuan dan menjadi vektor basis di

ruang R3.

Vektor basis (vektor satuan) di ruang R3 pada sumbu x dinyatakan dengan i, vektor

satuan pada sumbu y dinyatakan dengan j, sedang vektor satuan pada sumbu z

dinyatakan dengan k, atau dalam bentuk vektor baris berikut :

e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1)

atau dalam bentuk vektor kolom berikut :

z

k=(0,0,1)

y

x i=(1,0,0)

j=(0,1,0)



e1= [ ] e2= [

] e3= [

]

Oleh karena i, j, dan k basis di ruang R3, maka setiap vektor = (V1, V2, V3) di

ruang R3 dinyatakan dengan i, j, k sebagai berikut :

= (V1, V2, V3)

= V1(1,0,0) + V2 (0,1,0) + V3(0,0,1)

= V1i, V2j, V3k

= V1[ ] + V2[

] + V3[

]

Contoh :

Vektor 𝑘 artinya sama dengan

[

] [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] [

] [

]

Vektor di ruang R2 dan R

3 diposisikan sedemikian rupa sehingga titik awalnya

berada di titik asal sistem koordinat siku-siku, dan koordinat titik terminal tersebut

dinamakan komponen-komponen vektor.

Misalkan v suatu vektor pada ruang (𝑅3), maka komponen dari v adalah (𝑣1,𝑣2,𝑣3)

yang secara geometri 𝑣1 menyatakan komponen pada sumbu x dan 𝑣2 menyatakan

komponen pada sumbu y dan 𝑣3 menyatakan komponen pada sumbu z.

Jika v = (𝑣1,𝑣2,𝑣3), dan w = (𝑤1,𝑤2,𝑤3), maka:

1. v ekivalen dengan w jika dan hanya jika 𝑣1=𝑤1,𝑣2=𝑤2,𝑣3=𝑤3.

2. v + w = (𝑣1+𝑤1,𝑣2+𝑤2,𝑣3+𝑤3)

3. k v = (𝑘𝑣1,𝑘𝑣2,𝑘𝑣3) dengan k suatu skalar

Jika P1(𝑥1,𝑦1,𝑧1) dan P2(𝑥2,𝑦2,𝑧2) adalah titik-titik di 𝑅3, maka

𝑃 𝑃 = (𝑥2−𝑥1 , 𝑦2−𝑦1, 𝑧2−𝑧1)

Jika w = (𝑤1,𝑤2,𝑤3) suatu vektor di 𝑅3, maka panjang vektor (norm) w

didefinisikan sebagai

‖ ‖ = √(𝑤 𝑤

𝑤 )



Jika (𝑥1,𝑦1,𝑧1) dan P2(𝑥2,𝑦2,𝑧2) adalah dua titik di 𝑅3, maka jarak antara dua titik

tersebut adalah norm dari vektor 𝑃 𝑃 , yaitu

d = √(𝑥 𝑥 ) (𝑦 𝑦 ) (𝑧 𝑧 )

Contoh :

Norma vektor v = (3, 4, 0) adalah ‖𝑣‖= √( )=5

Jarak di antara titik P1(2, 1, 0) dan P2(4, −3, 1) adalah

d= √(( ) ( ) ( ) )= √( ( ) )=√21.

Latihan soal:

Tentukan komponen vektor dari gambar berikut:

1.

2.

1.2 Vektor di ruang Rn

Pada saat pertama kali ilmu vektor dikembangkan , hanya dikenal vektor – vektor di

R2 dan R

3 saja, tetapi dalam perkembangannya ternyata didapatkan permasalahan

yang lebih kompleks sehingga dikembangkan vektor – vektor di ruang berdimensi 4 ,

5 atau secara umum merupakan vektor – vektor di Rn . Secara geometris memang

vektor – vektor di R4 dan seterusnya memang belum bisa digambarkan , tetapi dasar

yang digunakan seperti operasi – operasi vektor masih sama seperti operasi pada

vektor – vektor di R2 dan R

3 . Orang yang pertama kali mempelajari vektor – vektor

di Rn adalah Euclidis sehingga vektor – vektor yang berada di R

n dikenal sebagai

vektor Euclidis , sedangkan ruang vektornya disebut ruang –n Euclidis.

Y

v

j

0 i 4 x

2

6

5 i

j

k

w

z

4

y



Vektor di ruang Rn dinyatakan sebagai

[ ]

Panjang sebuah vektor disebut juga norma dinyatakan dengan :

Vektor satuan dalam arah adalah :

Contoh :

Tentukan panjang vektor = i + 2j – 3k dan vektor satuan dalam arah a adalah :

‖ ‖ √ ( ) √

[ ]

√ *

√

√

√ +

2. Jarak Euclidean Antara Dua Vektor

Jarak vektor [ ] dan vektor [ ] dinyatakan

sebagai :

Contoh :

Jarak vektor 𝑘 dan vektor 𝑘 adalah

‖ ‖ √( ) ( ) ( ) √ √

Aplikasi Jarak Euclidean dalam Pengenalan Pola Wajah

Contoh:

Diketahui tiga buah citra wajah yaitu Citra 1 (Dila), Citra 2 (Agil), dan Citra 3 (Alim)

yang akan digunakan sebagai basis data untuk pengenalan pola wajah menggunakan

komputer.

‖𝑎‖ 𝑎 𝑎

𝑎 𝑎𝑛

𝑒𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑛

‖𝑎‖

‖𝑎𝑏‖ √(𝑎 𝑏 ) (𝑎 𝑏 ) (𝑎 𝑏 ) (𝑎𝑛 𝑏𝑛)



1 2 3

Citra 1 : σ = 0,15 μ = 40 e = 1,25

Citra 2 : σ = 0,05 μ = 60 e = 2,35

Citra 3 : σ = 0,24 μ = 53 e = 0,85

Kemudian diambil satu citra lagi, yaitu citra ke-4 sebagai citra uji.

Pada citra uji dihitung nilai-nilai ciri citra tersebut, diperoleh data berikut:

Citra 4 : σ = 0,23 μ = 55 e = 0,82

Tentukan bagaimana komputer bisa mengenali citra ke-4? Dan siapakah nama dari

citra ke-4 menurut hasil pengenalan komputer?

Penyelesaian:

Komputer bisa mengenali citra ke-4 menggunakan metode jarak dari euclidean.

Pertama masing-masing basis data dari ciri citra dan citra uji dijadikan bentuk vektor

berikut.

C = [ ] C1 = [

] C2 = [

] C3 = [

] C4 = [

]

d14 = √( ) ( ) ( )

d24 = √( ) ( ) ( )

d34 = √( ) ( ) ( )

Dari hasil perhitungan jarak menunjukkan bahwa citra ke-3 dan citra ke-4

mempunyai jarak paling kecil. Artinya citra ke-4 sangat mirip dengan citra ke-3,

dibanding dengan citra ke-1 dan ke-2. Sehingga dari hasil perhitungan ini komputer

memutuskan bahwa nama dari cara uji (citra ke-4) adalah Alim.

3. Aljabar Vektor

Operasi-operasi pada vektor :

1. Kesamaan Dua Vektor

Dua vektor dan adalah sama jika mereka memiliki besar/panjang dan arah yang

sama dimanapun titik awalnya; =



2. Negatif Sebuah Vektor

Sebuah vektor dengan arah berlawanan terhadap vektor tetapi memiliki besar atau

panjang yang sama dinyatakan sebagai - .

3. Resultan Dua Buah Vektor

Jumlah atau resultan vektor dan adalah sebuah vektor yang terbentuk dengan

meletakkan titik awal pada titik akhir dan menghubungkan titik awal ke titik

akhir . Jumlah ditulis sebagai + . Definisi ini sama dengan hukum jajargenjang

untuk penjumlahan vektor.

Perluasan terhadap jumlah lebih dari dua vektor dapat dilakukan secara langsung,

contohnya :

4. Selisih vektor

Selisih vektor dan , direpresentasikan - adalah vektor yang ditambahkan ke

menghasilkan . Secara ekuivalen - dapat didefinisikan sebagai + ( ).

Jika = , maka - didefinisikan sebagai vektor kosong atau vektor nol. Vektor

ini memiliki besar nol tetapi tidak memiliki arah.

-

+

D

E

+



5. Perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar

Perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar m menghasilkan sebuah vektor m

yang memiliki besar | | kali besar dan arah sama atau berlawanan dengan

tergantung pada apakah m positif atau negatif. Jika m = 0, maka m = 0, berarti

vektor nol.

Contoh :

Diketahui dua vektor a = i + 2j –3k dan b = 2i + 5j + 4k, maka:

5a = 5 (i + 2j –3k)

= 5i + 10j – 15k

2a + 4b = 2 (i + 2j –3k) + 4 (2i + 5j + 4k)

= (2i + 4j – 6k) + (8i + 20j + 16k)

= 10i + 24j +10k

Latihan soal:

1. Diketahui vektor A = 3i + 4j, gambarlah vektor 2A dan – 1/2A

2. Momentum adalah besaran vektor yang didefinisikan oleh P = mv. Sebuah massa

10 kg bergerak dengan kecepatan v = (5i + 5j – 20k) m/s. Tentukan momentum

yang dimiliki oleh massa tersebut.

Dalil pada Operasi vektor :

1. + = hukum komutatif penjumlahan

2. + ( ) = ( ) hukum asosiatif penjumlahan

3. m(n ) = (mn) = n(m ) hukum asosiatif perkalian

4. (m + n) = m + n hukum distributif

5. m( + ) = hukum distributif

6. + 0 =

7. +(- ) = 0

8. .1 =

- +(- )



Operasi perkalian titik atau perkalian skalar :

Bila A= [

] dan B = [

] adalah vektor di Rn, ϴ adalah sudut antara dan

(0 )

Perkalian titik dari dua vektor dan , dilambangkan dengan . (dibaca dot )

didefinisikan sebagai perkalian dari besar dan dan cosinus sudut antara keduanya. Ini

dituliskan :

. = A1 B1 + A2B2 + ... + An Bn

Sedangkan sudut antara dua vektor tersebut didefinisikan oleh :

‖ ‖‖ ‖

Sifat-sifat perkalian titik :

Misalkan dan adalah vektor di ruang Rn ,

1. ‖ ‖ ‖ ‖ ( ) ⁄

2. 𝑘 𝑘 𝑣 𝑘 𝑘

𝑘 𝑦 𝑘

𝑘 𝑦 𝑘

⁄ 𝑘 𝑦 𝑘

Bukti :

1. Karena sudut di antara dan adalah 0, maka dapat diperoleh :

‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖

A= [

𝐴 𝐴 𝐴𝑛

]

B = [

𝐵 𝐵 𝐵𝑛

] 𝜃

.



2. Karena ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖‖ ‖

⁄

4. Cross Product

Operasi perkalian silang atau perkalian vektor :

Jika = (A1, A2, A3) dan = (B1, B2, B3) adalah vektor di ruang R3, maka hasil kali 𝑥

adalah vektor yang tegak lurus terhadap yang didefinisikan oleh determinan

berikut.

𝑥 | 𝑘

|

𝑥 (|

| |

| |

|)

𝑥 ( )

Contoh :

Carilah A x B dimana ( ) ( )

Jawab :

*

+

A x B = (|

| |

| |

|) ( )

𝜃



Teorema

Jika adalah vektor dalam ruang R3, maka :

1. A.(A x B) = 0

2. | 𝑥 | | | | | | | (Identitas Lagrange)

Jika adalah sudut di antara , maka A.B = | || | , sehinga identitas

Lagrange dapat dituliskan kembali sebagai :

| 𝑥 | | | | | | |

| | | | | | || | |

| | | | | | | |

| | | | ( )

| | | |

atau

| 𝑥 | | || |

Jadi besar dari hasil perkalian silang antara dua vektor sama dengan luas jajaran

genjang yang sisi-sisinya adalah panjang vektor

Sifat-sifat hasil kali silang :

1. x = -( )

2. x ( ) = ( 𝑥 ) ( 𝑥 )

3. ( + )𝑥 = ( 𝑥 ) ( 𝑥 )

4. k ( x ) = ( ) ( )

5. x 0 = 𝑥

6. x = 0

Soal-soal latihan:

1. Carilah komponen-komponen vektor yang bertitik awal di P dan terminal di Q

a. P(-4,6) dan Q(7,9) b. P(10,15,-8) dan Q(8,-8,-6)

2. Carilah vektor yang bertitik awal P(2,-4,3) yang mempunyai arah seperti v[1,3,1]

3. Carilah vektor yang bertitik terminal Q(4,0,-6) yang mempunyai arah berlawanan

dengan v=[-4,6,8]

4. Misalkan P adalah titik (3,-3,4) dan Q adalah tititk (6,5,-1)



a. Carilah titk tengah dari segmen garis yang menghubungkan P dan Q

b. Carilah titik pada segmen garis yang menghubungkan P & Q yang ¾ dari P dan Q

5. Hitunglah panjang v bila

a. v = [2,2,6] b. v = [-6,-9,4]

6. Hitunglah jarak antara P dan Q bila

a. P(4,2) dan Q(4,5) b. P(2,1,-4) dan Q(8,-4,4)

7. Diketahui tiga citra buah, yaitu Citra 1(jeruk), Citra 2(Apel), Citra 3(Pisang) yang

akan digunakan sebagai basis data untuk pengenalan pola wajah menggunakan

komputer

Beberapa ciri untuk mengenali citra tersebut adalah dilihat dari standar deviasi

intensitas warna dalam tiap-tiap citra σ, rata-ratanya μ, dan entropinya e. Setelah

ketiga ciri tersebut dihitung diperoleh data berikut:

Citra 1 : σ = 0,05 μ = 30 e = 1,42

Citra 2 : σ = 0,25 μ = 70 e = 1,65

Citra 3 : σ = 0,45 μ = 58 e = 2, 65

Kemudian diambil 1 citra lagi, yaitu citra ke-4 sebagai citra uji.

Pada citra uji dihitung nilai-nilai ciri citra tersebut, diperoleh data berikut:

Citra 4 : σ = 0,04 μ = 31 e = 1,41

Tentukan bagaimana komputer bisa mengenali citra ke-4? Dan apa nama buah dari

citra ke-4 menurut hasil pengenalan komputer?

8. Sebuah massa 20 kg bergerak dengan kecepatan v = (-2i+8j -4k) m/s. tentuakan

momentum yang dimiliki oleh massa tersebut.

9. Tentukan :

a. a.b bila a = [4,8,-9] dan b = [-8,12,-4]

b. Jarak A(4,6,6), B(-6,-8,1)

c. Jarak vektor a = [2,8] dan b = [-7,-4]

10. a. Tentukan k supaya a = [3,k,-4,1] mempunyai panjang √

b. Berapa sudut antara a = [-1,4,8,-4] dan b = [2,0,4,0]

c. Tentukan k supaya a = [2,k,-5] tegak lurus b =[0,-k,4]

matriks & transormasi lini r -...

Documents