1

MATHEMATICAL PROBLEM POSING:

RASIONAL, PENGERTIAN, PEMBELAJARAN

DAN PENGUKURANNYA

Utari Sumarmo, STKIP Siliwangi Bandung, UPI Bandung 2015

Alamat Website: utari-sumarmo@dosen.stkipsiliwangi.ac,id

Alamat e-mail: utari.sumarmo@gmail.com

A. Rasional Pentingnya Mathematical Problem Posing dalam Pembelajaran

Kurikulum matematika pada banyak negara menekankan pentingnya

pembahasan pemecahan masalah matematik (mathematical problem solving disingkat

MPS), yang dilukiskan dengan pernyataan bahwa pemecahan masalah matematik

merupakan tujuan umum pembelajaran matematika bahkan merupakan jantungnya

matematika (Branca, 1994 dalam Sumarmo 2005). Berbeda dengan besarnya perhatian

terhadap pembahasan pemecahan masalah matematik, kurikulum matematika belum

banyak memberi perhatian yang besar pada pembahasan pengajuan masalah

matematik (mathematical problem posing disingkat MPP). Pada dasarnya tema

problem posing adalah isu yang sudah lama. Singer, Elerton, dan Cai, (2013)

mengemukakan suatu yang baru berkenaan dengan problem posing adalah kesadaran

berbagai pihak terkait terhadap perlunya konten problem posing dimuat dalam

kurikulum matematika di semua jenjang sekolah, baik sebagai perangkat pembelajaran

maupun sebagai objek pembelajaran. Kilpatrick (1987 dalam Bonotto, 2013)

mengemukakan bahwa problem posing merupakan konten yang esensial dalam

matematika dan hakekat berpikir matematik, serta merupakan bagian penting dari

MPS. Seseorang tidak dapat menyelesaikan masalah jika masalah tersebut tidak

dirumuskan atau diajukan dengan baik oleh penyusun masalah. Demikian pula

Einstein (Shriki, 2013) mengemukakan pentingnya problem posing yang diungkapkan

dalam pernyataan bahwa Formulasi masalah adalah lebih esensial daripada

solusinya. Memunculkan masalah baru, kemungkinan baru, memandang masalah

lama dari sudut pandang yang baru membutuhkan imaginasi kreatif dan menandai

kemajuan nyata dalam sains.

Pentingnya pengajuan masalah atau pengajuan pertanyaan dalam pemecahan

masalah matematik antara lain terlukis dalam saran Polya (1994 dalam Sumarmo,

2005) untuk membantu siswa dalam mengatasi kesulitan mereka ketika menyelesaikan

masalah, yaitu: a) berikan pertanyaan yang mengarahkan siswa untuk menyelesaikan

masalah, b) bantu siswa menggali pengetahuannya dan menyusun pertanyaan pada

dirinya sendiri sesuai dengan kebutuhan masalah, c) berikan isyarat yang bermakna

untuk menyelesaikan masalah dan bukan langkah-langkah menyelesaikan masalah, d)

bantu siswa mengatasi kesulitannya sendiri. Pentingnya MPP juga terkandung dalam

pernyataan Ellerton dan Clarkson (1996) bahwa pengembangan kemampuan

matematik membutuhkan kemampuan berimaginasi kreatif matematik yang antara lain

terkembangkan ketika memunculkan pertanyaan baru, menciptakan peluang baru, dan

memandang pertanyaan lama dari sudut pandang baru.

Rasional tentang perlu dan pentingnya pengembangan kemampuan MPP pada

siswa, mahasiswa calon guru, dan guru matematika tersirat dalam saran NCTM (2000)

yang menganjurkan bahwa siswa harus dilatih untuk merumuskan masalah atau

pertanyaan berdasarkan situasi yang disajikan baik dalam atau di luar matematika.

Siswa juga disarankan agar diberi kesempatan menyusun sendiri masalah atau

pertanyaan, menemukan konjektur, serta menggeneralisasi dan memperluas masalah

dengan cara menyusun pertanyaan berikutnya dari pertanyaan yang sudah ada dan

2

kemudian menyelesaikan masalah yang diajukannya. Pentingnya kemampuan

menyusun masalah, soal, atau pertayaan dalam pembelajaran matematika sesuai

dengan salah satu saran dari Berman (Costa, Ed. 2001) yaitu: ajarkan kepada siswa

cara bertanya atau menyusun pertanyaan yang baik dan bukan melatih siswa cara

menjawab atau menghapal cara penyelesaian masalah. Melalui analisis yang cermat

terhadap pertanyaan atau masalah yang diajukan siswa maka guru akan memperoleh

gambaran kedalaman dan keluasan pengetahuan matematika yang berkaitan dengan

masalah matematik yang diajarkannya.

Dalam pendekatan pembelajaran matematika apapun guru matematika harus

menyajikan soal, masalah, atau pertanyaan matematik yang mendorong siswa belajar,

menstimulus siswa berpikir kritis dan kreatif. Misalnya, dalam pendekatan

pembelajaran kontekstual dan pembelajaran berbasis masalah, pembelajaran

matematika di awali dengan penyajian masalah kontekstual yang sesuai dengan

konsep matematika yang akan diajarkan dan sesuai dengan pengetahuan matematika

yang telah dimiliki siswa. Kemudian selama pembelajaran, guru juga harus memilih

soal, masalah, atau tugas latihan matematika yang relevan dengan kemampuan

matematik yang akan dikembangkan. Bila masalah matematik yang diajukan kurang

baik, lebih bersifat prosedural, atau kurang mendorong siswa berpikir lebih lanjut

maka siswa hanya akan memiliki pengetahuan yang prosedural atau mekanikal saja

dan kurang peluang untuk memiliki kemampuan matematik tingkat tinggi (high order

mathematical thinking).

Selain MPP yang berkaitan dengan MPS, pada dasarnya dalam proses belajar

mengajar matematika, guru pasti mengajukan soal atau masalah matematik kepada

siswanya baik ketika akan memahamkan masalah atau ketika siswa melaksanakan

latihan untuk memahami konsep matematika tertentu. Kualitas soal atau masalah yang

diajukan oleh guru akan mempengaruhi kemampuan berpikir matematik siswa.

Sebagai contoh misalnya, bila guru memberikan latihan soal atau masalah yang

bersifat rutin maka siswa hanya akan mehamami konsep matematika secara hapal,

prosedural, mekanikal, atau komputasional saja. Namun bila guru memberikan atau

menyajikan soal atau masalah yang menantang dan menuntut siswa berpikir maka

situasi tersebut memberi peluang lebih besar kepada siswa untuk berpikir lebih tinggi

misalnya berpikir kritis, kreatif, reflektif, dan intuitif. Uraian tersebut, melukiskan

pentingnya guru matematika memiliki kemampuan MPP atau pengajuan masalah

matematik yang baik.

Salah satu pakar, da Ponte dan Henriques (2013), menguraikan pendapat Silver

dan English sebagai berikut. Silver mengemukakan bahwa MPP mendorong berpikir

matematik siswa. Demikian pula English mengemukakan bahwa MPP mendorong

dan memperkaya konsep dasar matematik siswa, menggenerasi berpikir lebih luwes

dan lebih beragam serta mengembangkan kemampuan MPS siswa. Selanjutnya, Silver

dan English menyatakan bahwa siswa yang bekerja dengan MPP mengembangkan

sikap positif terhadap matematika, menjadi lebih bertanggung kawab dan termotivasi

untuk belajar. Dari sudut pandang pembelajaran, MPP dapat menjadi alat untuk

mengakses pemahaman guru dalam mengembangkan proses kognitif siswa,

menemukan miskonsepsi, dan memperoleh informasi tentang tingkat belajar siswa

untuk memajukan proses belajar-mengajar. Selain dari itu, beberapa studi menemukan

bahwa proses kognitif yang memuat kegiatan siswa menyusun MPP ketika mereka

menyelesaikan masalah mendorong kemampuan MPP yang produktif.

Sejumlah pakar mengemukakan bahwa kemampuan MPP berelasi dengan

kemampuan matematik lainnya, misalnya dengan pemahaman konsep matematik

(English, 1997 dalam Harpen dan Presmeg, 2013), dengan kemampuan berpikir kreatif

3

matematik (Cai dan Cefarelli, 1994, Silver, 1994, 1997, Singer, dan Mascovisi, 2008,

dalam Bonotto, 2013). Silver (1998, dalam Bonotto, 2013) mengemukakan bahwa

MPP membantu mengembangkan: berpikir matematik, keterampilan MPS, sikap dan

rasa percaya diri dalam belajar matematika dan memecahkan masalah serta

memperluas pemahaman konsep matematik. Cai (2003), mengemukakan bahwa MPP

adalah salah satu komponen kunci dari eksplorasi matematik. Dalam inkuri sains,

merumuskan suatu masalah dengan baik adalah lebih signifikan dari pada

menemukan solusi masalah yang bersangkutan. Oleh karena itu, memusatkan pada

cara siswa melakukan MPP membantu menemukan cara berpikir siswa dipandang

dari berbagai persepektif.

Dalam problem posing terkandung kegiatan menyusun masalah baru, atau

mereformulasi masalah semula berdasarkan serangkaian data atau informasi yang

disajikan. Ditinjau dari banyaknya kemungkinan respons atau jawab dan kualitasnya,

tugas MPP bersifat open-ended yang berarti terdapat beragam respons dan beragam

kualitas respons. Tiap individu dapat memberikan banyak respons dengan kualitas

yang sama atau mungkin juga dengan kualitas yang beragam. Selain itu, kualitas

masalah yang dihasilkan seorang individu mungkin akan berbeda dengan yang

dihasilkan individu lainnya, bergantung pada seluas mana penguasaan konsep

matematik yang berelasi dengan masalah yang bersangkutan. Individu dengan

kemampuan matematik yang baik atau kuat diperkirakan akan menghasilkan MPP

yang lebih banyak, lebih beragam, dan lebih tinggi kualitasnya dibandingkan dengan

MPP dari siswa dengan kemampuan matematik yang lebih rendah. Perkiraan tersebut

dapat dipahami karena individu dengan kemampuan matematik yang tinggi mampu

mengkaitkan pengetahuan matematika yang telah dimilikinya dan memunculkan

pertanyaan yang bagus, non rutin, dan menantang. Berkaitan dengan analisis tersebut,

maka pengembangan kemampuan MPP pada siswa, mahasiswa calon guru, dan guru

matematika menjadi sangat relevan dan perlu diusahakan pelaksanaannya.

Menurut Jay dan Perkins, 1997 dalam Harpen dan Sriraman, 2013), kegiatan

menemukan dan memformulasi masalah merupakan aspek kunci dalam berpikir

kreatif matematik dan keterampilan kreatif dalam bidang lainnya, bahkan lebih

penting daripada menyelesaikan masalah. Silver (1997 dalam Harpen dan Presmeg,

2013) dan Harpen dan Sriraman (2013) mengemukakan bahwa pembelajaran

matematika yang memuat tugas dan kegiatan MPP dan MPS akan membantu siswa

mengembangkan dimensi kreatif matematiknya, yaitu kelancaran, keluwesan dan

keaslian (Presmeg, 1986, Torrance, 1988, dalam Xianwei dan Sriraman, 2012). Pakar

lain, Bonotto (2013) mengemukakan bahwa MPP memberi peluang untuk

menginterpretasi dan menganalisis suatu realita secara kritis sehingga: a) siswa dapat

membedakan data yang signifikan dari yang tidak nyata; b) mereka menemukan relasi

antar data tersebut; c) mereka menetapkan informasi mana yang cocok untuk

menyelesaikan masalah; d) mereka menemukan data numerik dan atau data

konstekstual yang koheren.

B. Pengertian Mathematical Problem Posing

Suatu kondisi atau situasi dikatakan sebagai suatu problem atau masalah bila

penyelesaian kondisi tersebut tidak segera dapat ditemukan. Ditinjau dari segi sifatnya,

masalah dapat bersifat tertutup atau disebut masalah tertutup (closed problem), dan

masalah dapat bersifat terbuka atau disebut masalah terbuka (opened problem). Suatu

masalah dikatakan tertutup bila memiliki satu jawaban dan atau satu cara

penyelesaian. Masalah dikatakan terbuka bila memiliki beragam cara penyelesaian dan

4

atau jawaban atau solusi. Ditinjau dari segi susunan komponennya, masalah dapat

bersifat terstruktur baik (well structured) dan kurang terstruktur (ill structured). Suatu

masalah dinamakan well structured bila seluruh komponen yang diperlukan untuk

penyelesaian masalah sudah tersedia, sedang masalah dinamakan ill-structured bila

untuk penyelesaian masalah diperlukan data, unsur, atau informasi lain terlebih

dahulu. Untuk memajukan berpikir kritis dan kreatif siswa, melengkapi data yang

diperlukan, dan memilih alternatif strategi penyelesaian disertai alasannya sebaiknya

siswa banyak dihadapkan pada masalah terbuka (opened-problem) dan masalah yang

kurang terstruktur (ill-structured).

Berikut ini disajikan beberapa contoh masalah tertutup, masalah terbuka,

masalah terstruktur, dan masalah kurang terstruktur.

1) Contoh masalah tertutup (closed problem). a) Tentukan gradien garis singgung di titik x = c terhadap fungsi f dengan

f(x)= x3 + 1.

Cara penyelesaian dan solusi masalah ini tunggal yaitu:

Persamaan gradien garis singgung di titik x= c terhadap f(x)= x3 + 1, adalah

turunan pertama f di x=c yaitu f (c)= 3c2.

b) Diketahui ABC dengan cos A = . Hitung besar sudut A. Penyelesaian masalah dan solusinya tunggal yaitu sebagai berikut.

cos A = jadi A = 600 + k. 3600. Karena A sudut dalam segitiga maka

A = 600

2) Contoh masalah terbuka (opened problem). a) Hitunglah akar-akar persamaan ax2 + bx + c = 0

Cara penyelesaian masalah ini dapat dengan rumus abc atau dengan cara

memfaktorkan, dan solusinya beragam bergantung pada nilai diskriminan (D)

persamaan ax2 + bx + c = 0. Akan diperoleh dua solusi yang berbeda

bila D > 0, diperoleh satu solusi tunggal bila D = 0, dan tidak ada solusi bila

D < 0. Ditinjau dari segi tingkat kesukarannya, meskipun masalah ini

tergolong masalah terbuka namun dari segi proses penyelesaiannya tergolong

sederhana dan rutin.

b) Tentukan ekstrim dan jenisnya fungsi f dengan persamaan f(x) = 2x2 - 3x + 1. Cara penyelesaian masalah ini beragam yaitu:

b.1) Dengan menggunakan syarat ekstrim suatu fungsi yaitu turunan pertama

dan turunan kedua sebagai berikut f(x) = 0 atau

f (x) = 4x 3 = 0 atau x =

f (x) = 4 > 0. Jadi f() = 2 ()2 - 3() + 1= -1/8 adalah ekstrim minimum.

b.2) Dengan menggunakan syarat ekstrim suatu fungsi yaitu turunan pertama

dan perubahan tanda furunan pertama, sebagai berikut:

f (x) = 4x 3 = 0 atau x =

- - - + + +

x =

Bila x maka f (x) 0 berarti f turun

Bila x > maka f (x) > 0 berarti f naik

Jadi pada titik x = terjadi perubahan fungsi turun ke fungsi naik. Ini

berarti pada x = terjadi ektrim minimum yaitu f() = -1/8 b.3) Dengan mengubah f(x) = 2x2 - 3x + 1 ke dalam bentuk kuadrat sebagai

berikut: f(x) = 2x2 - 3x + 1 = 2 (x- ) 2 + 1 2. ()2= 2 (x- ) 2 - 1/8 Jadi f mencapai ekstrim di x = dengan ekstrim minimum f() = -1/8 .

5

Masalah ini mempunyai beberapa cara penyelesaian namun solusinya

tunggal. Masalah seperti ini tergolong terbuka dan dari segi cara

penyelesaiannya dapat sederhana atau sukar bergantung pada kekompleksan

bentuk persamaan fungsi f.

3. Contoh masalah terstruktur (well structured)

Contoh pada no 1 dan no 2 di atas adalah contoh masalah terstruktur karena dapat

segera diselesaikan tanpa menambah informasi tambahan atau penyelesaian antara.

4. Contoh masalah kurang terstruktur (ill structured)

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Hitunglah jarak F ke

bidang ACH.

Masalah ini tergolong kurang terstruktur (ill structured) karena tidak dapat segera

diselesaikan, harus digambar dulu sketsa situasi di atas dan digambar dulu jarak yang

ditanyakan dan kemudian baru dilakukan perhitungan jarak tersebut. Satu alternatif

penyelesaian masalah tersebut adalah sebagai berikut.

Pertama, gambar kubus ABCD. Kedua, untuk

menghitung jarak F ke bidang ACH berarti titik F harus

diproyeksikan ke bidang ACH yaitu menggambar garis

dari F tegak lurus bidang ACH.

Pada bidang BDHF, Q titik tengah BD. Tarik FR tegak

lurus HQ pada bidang BDHF

AC tegak lurus BD dan AC tegak lurus BF. Jadi AC

tegak lurus bidang BDHF. Jadi AC tegak lurus FR

FR tegak lurus AC dan FR tegak lurus HQ. Jadi FR

tegak lurus bidang ACH. Jadi FR adalah jarak F ke

bidang ACH. HQ = (64 +32) = 96 = 4 6

Pada segitiga HFQ, FS = HS =42 dan QS = 8. FR x QH = FH x QS

FR x 46 = 82 x 8.

Jadi FR = (642) : 46 = 16/3 3

Jadi jarak F ke bidang ACH adalah FR = 16/3 3

Dalam beberapa studi, istilah problem posing didefinisikan dalam perspektif

yang berbeda. Beberapa artikel memuat beberapa istilah yang berelasi dengan istilah

problem posing yaitu: problem finding (menemukan masalah), problem sensing

(merasakan adanya masalah), problem formulating (merumuskan masalah), creative

problem discovery (menemukan masalah kreatif), problem creating (mengkreasi

masalah), problematizing (menyusun masalah), dan problem envisaging

(membayangkan masalah) (Diltone, 1982, Yaj and Perkins 1997 dalam Singer dan

Voica, 2013). Bila dicermati lebih seksama, istilah-istilah problem posing tersebut

memuat arti mengekstraksi atau mengidentifikasi masalah baru atau pertanyaan baru

dari serangkaian data atau informasi yang tersedia. Problem posing dipandang sebagai

penekanan pada formulasi masalah kunci yang akan memicu kegiatan matematik yang

F S H

H

8

A B Q 4V2 D

D D D

R

A B

G H

Q

C D

F E

6

lebih luas dan produktif daripada menyelesaikan masalah untuk menemukan

solusinya. Problem posing juga dipandang sebagai proses mengajukan pertanyaan

yang memicu berlangsungnya kegiatan matematik dan menghasilkan pertanyaan

kunci dan pertanyaan sekunder berikutnya

Pakar lain, mendefinisikan problem posing sebagai menurunkan masalah

(Dunker, 1945; Silver, 1994 dalam Bonotto, 2013), sebagai mereformulasi masalah

lama ke dalam bentuk baru, dari informasi yang disajikan kemudian mengkreasi

masalah baru dalam bentuk yang lebih terstruktur (English dalam Bonotto, 2013).

English mengartikan problem posing sebagai bentuk kegiatan kreatif individu yang

berlangsung dalam suatu konteks yang berhubungan dengan pengalaman masa lalu

yang kemudian terjadi interaksi antara individu dengan pengetahuan yang telah

dimilikinya. Pandangan tersebut, memuat arti bahwa investigasi matematik memberi

peluang besar untuk memunculkan problem posing (da Ponte dan Matos, 1992, dalam

da Ponte dan Henriques, 2013)

Bonotto (2013) memandang MPP sebagai proses yang berdasarkan

pengalaman matematikanya siswa mengkonstruk interpretasi situasi konkrit yang

dihadapinya dan memformulasi masalah matematika yang bermakna (Stoyanova dan

Ellerton, 1996, dalam Bonotto 2013). Dengan demikian MPP memberi peluang untuk

menginterpretasi dan menganalisis suatu realita secara kritis sehingga: a) siswa dapat

membedakan data yang signifikan dari yang tidak nyata; b) mereka menemukan relasi

antar data tersebut; c) mereka menetapkan informasi mana yang cocok untuk

menyelesaikan masalah; d) mereka menemukan data numerik dan atau data

konstekstual yang koheren. Beberapa pakar mengemukakan bahwa MPP memberikan

pengaruh positif terhadap kemampuan menyelesaikan soal ceritera. Selanjutnya,

English (1998, dalam Bonotto, 2013) menambahkan bahwa MPP memajukan berpikir

siswa, ketrampilan problem solving, dan memperluas pemahaman konsep matematika

siswa. Beberapa peneliti menerapkan kegiatan MPP dan MPS untuk memajukan dan

mengevaluasi kreativitas matematik.

Silver (1994, dalam Bonotto, 2013) mengklasifikasi problem posing yang

dikaitkan dengan tahap-tahap problem solving yang dikemukakan Polya yaitu:

problem posing sebelum, selama, dan sesudah penyelesaian masalah. Problem posing

sebelum penyelesaian masalah, adalah masalah yang digenerasi dari situasi atau

kondisi tertentu (suatu ceritera, suatu gambar, suatu representasi dst.) Problem posing

selama pemecahan masalah adalah penyederhanaan masalah atau merinci masalah asal

ke dalam sub-masalah dalam rangka menyelesaikan masalah asal. Problem posing

sesudah penyelesaian masalah adalah mengembangkan masalah baru dengan cara

memodifikasi situasi masalah lama dengan menambahkan situasi baru.

Berkaitan dengan proses problem solving, Polya (1994) memberikan arahan

pada tiap langkah penyelesaian masalah melalui, pertanyaan, tugas, atau problem

posing sebagai berikut.

1) Problem posing ketika memahami masalah. Kegiatan ini dapat dipandu melalui

beberapa pertanyaan: a) Data apa yang tersedia?; b) Apa yang tidak diketahui dan

atau apa yang ditanyakan?; c) Bagaimana kondisi soal? Mungkinkah kondisi

dinyatakan dalam bentuk persamaan atau hubungan lainnya? Apakah kondisi

yang ditanyakan cukup untuk mencari yang ditanyakan? Apakah kondisi itu tidak

cukup atau kondisi itu berlebihan atau kondisi itu saling bertentangan?

2) Problem posing pada kegiatan merencanakan atau merancang strategi pemecahan

masalah. Kegiatan ini dipandu melalui beberapa pertanyaan: a) Pernahkah ada

soal serupa sebelumnya. Atau pernahkah ada soal serupa atau mirip dalam bentuk

lain?; c) Teori mana yang dapat digunakan dalam masalah ini; d) Pernahkah ada

7

pertanyaan yang sama atau serupa? Dapatkah pengalaman dan atau cara lama

digunakan untuk masalah baru yang sekarang? Dapatkah metode yang cara lama

digunakan untuk masalah baru? Apakah harus dicari unsur lain? Kembalilah pada

definisi; e) Andaikan strategi belum ditemukan, coba pikirkan soal serupa dan

selesaikan.

3) Problem posing selama kegiatan melaksanakan strategi dan perhitungan. Kegiatan

ini meliputi: a) melaksanakan rencana strategi pemecahan masalah pada butir; b)

memeriksa tiap langkahnya. Periksalah apakah tiap langkah perhitungan sudah

benar; c) Bagaimana membuktikan atau memeriksa bahwa langkah yang dipilih

sudah benar?

4) Problem posing pada kegiatan memeriksa kembali kebenaran hasil atau solusi.

Kegiatan ini diidentifikasi dengan: a) Bagaimana cara memeriksa kebenaran hasil

yang diperoleh?; b) Dapatkah diajukan sanggahannya?; c) Dapatkah solusi itu

dicari dengan cara lain?; d) Dapatkah hasil atau cara itu digunakan untuk masalah

lain?

Problem posing yang termuat dalam pedoman Polya di atas, dapat berbentuk

pertanyaan atau dalam bentuk tugas atau perintah yang membantu menyelesaikan

masalah yang bersangkutan. Dengan kata lain individu diminta menyusun pertanyaan,

perintah atau sub-masalah untuk membantu menyelesaikan MPS.

Dihubungkan dengan problem solving, Leung (1994) mengemukakan MPP

sebagai memformulasi masalah baru atau memformulasi kembali (reformulation)

masalah lama menjadi masalah baru atau unik (novel problem). Selanjutnya ia

membahas empat karakteristik MPP. Pertama, MPP dapat bersifat idiosyncratic.

Ketika seseorang menghadapi informasi yang diberikan kemudian ia mengajukan

pertanyaan atau masalah dengan cara menghubungkan informasi tersebut ke satu

tujuan tertentu. Misalnya, informasi yang diberikan adalah: Di satu kelas terdapat 10

anak laki-laki dan 20 anak perempuan. Seseorang mengajukan pertanyaan, Berapa

banyak anak di kelas tersebut? orang yang lain mengajukan pertanyaan: Berapa

rasio antara anak laki-laki dan anak perempuan?. Kedua, MPP memuat penalaran

yang masuk akal. Misalnya, Andaikan anak laki-laki ada 12 orang dan banyaknya

anak di kelas sama, berapa rasio antara anak laki-laki dan anak perempuan?. Ketiga,

MPP dapat diajukan pada awal, selama, dan sesudah penyelesaian masalah; Misalkan,

setelah mengajukan masalah dan memperoleh jawaban banyaknya anak di kelas,

diajukan MPP setelah penyelesaian masalah: Berapa persen banyaknya anak laki -laki

di kelas tersebut? Keempat, masalah yang diajukan tidak memiliki solusi, karena data

tidak cukup atau tidak mungkin. Misalnya: Andaikan 25 botol susu dibagikan kepada

10 anak laki-laki dan 20 anak perempuan dan tiap anak mendapat satu botol. Berapa

banyak botol susu yang tersisa?.

Leung (1994) dengan merujuk studi Kilpatrick (1978, dalam Leung, 1994)

dalam MPS, ia membahas MPP berdasarkan variabel tugas dan subyek. Misalnya,

MPP berdasarkan variabel tugas konten tertentu seperti soal ceritera tentang operasi

perkalian dan pembagian atau menyusun MPP yang sederhana atau yang sulit tentang

persen. Peneliti lain (Tsubota, 1987 dalam Leung, 1994) mengemukakan bahwa

terdapat enam jenis MPP dalam variabel tugas yaitu: algoritma, teks, gambar atau

tabel, topik matematika, jawab/solusi dan masalah matematika. Beberapa variabel

subyek dalam MPP di antaranya adalah: gender, kemampuan, kelompok budaya, dan

tingkat kelas siswa. Dalam pembelajaran sehari-hari, variabel jenjang kelas siswa

sering dihadirkan oleh guru sebagai variabel subyek. Oleh karena itu, guru dalam

menyusun MPP perlu memahami tugas yang sesuai untuk siswa pada jenjang kelas

8

tertentu dan sesuai dengan tujuan kurikuler dalam konten matematika tertentu. Berikut

ini disajikan beberapa contoh jenis MPP berdasarkan variabel tugas.

Diberikan informasi harga satu buku matematika Rp. 30.000,00 dan satu buku IPA Rp.

35.000,00. Susunlah beberapa pertanyaan atau masalah berkaitan dengan informasi di

atas.

1) Contoh MPP dengan variabel tugas: algoritma Berapa harga yang harus dibayar untuk membeli 2 buah buku matematika dan 3

buku IPA?

MPP tersebut berkaitan dengan algoritma operasi perkalian dan penjumlahan.

MPP tersebut memadai untuk siswa SD kelas 3 SD, namun MPP tersebut terlalu

sederhana untuk siswa kelas 6 SD.

2) Contoh MPP dengan variabel tugas: gambar atau tabel. Susunlah tabel kemungkinan banyaknya buku matematika dan banyaknya buku

IPA yang dapat dibeli dengan uang Rp. 400.000,00 dalam bentuk tabel atau

gambar.

MPP bersifat opened-problem, situasi masalah bebas, well-structured, viable (ada

solusi), dengan tingkat kesulitan memadai untuk siswa SMP.

3) Contoh MPP dengan variabel tugas: teks. Manakah yang lebih banyak uang yang harus disediakan antara untuk membayar

4 buku matematika dan 2 buku IPA dan untuk membayar 3 buku matematika dan

3 buku IPA.

MPP di atas dalam bentuk teks (ceritera) yang memuat algoritma operasi kali,

tambah, dan membandingkan.

4) Contoh MPP dengan variabel tugas: konten atau topik matematika Berapa perbandingan harga buku matematika dan harga buku IPA?

MPP di atas berkenaan dengan topik matematika proporsi, atau perbandingan.

MPP ini tergolong tertutup, well-structured, dan tergolong sederhana.

5) Contoh MPP dengan variabel tugas: solusi/masalah matematika Harga 2 buku matematika dan 3 buku IPA lebih murah dari harga 3 buku

matematika dan 2 buku IPA. Benarkah pernyataan di atas? Coba jelaskan.

(masalah matematika, menilai kebenaran suatu pernyataan)

Dalam hal kondisi atau situasi yang dihadapi berbentuk serangkaian data atau

informasi dan belum memuat masalah atau tugas yang jelas, maka problem posing

yang diajukan dapat merupakan problem finding, problem sensing, problem

formulating, creative problem discovery, problem creating, problematizing, problem

envisaging, mengidentifikasi masalah baru atau pertanyaan baru, menurunkan

masalah. Dalam hal data atau informasi sudah disertai dengan masalah yang jelas,

maka problem posing dapat merupakan mereformulasi masalah lama ke dalam bentuk

baru dari informasi yang disajikan (Stoyanova dan Ellerton, 1996, dalam Bonotto,

2013).

Ditinjau dari situasi dalam MPP, Stoyanova dan Ellerton (1996, dalam

Bonotto, 2013) mengidentifikasi tiga jenis situasi problem posing yaitu: free (bebas),

semi-structured (semi-terstruktur), atau structured (terstruktur). Dalam situasi MPP

bebas, siswa dihadapkan pada data atau informasi yang terlepas dan siswa diminta

9

mengajukan masalah tanpa batas, ia dapat mengajukan masalah yang sukar atau yang

mudah sesukanya. Situasi MPP yang semi-terstruktur melukiskan situasi terbuka yaitu

informasi yang tidak lengkap kemudian siswa diminta mengeksplor struktur situasi

tersebut, serta melengkapinya dengan menggunakan pengetahuannya, ketrampilannya,

konsep, dan hubungannya dengan pengalaman matematik sebelumnya. Situasi MPP

yang terstruktur melukiskan situasi dengan informasi lengkap dan siswa diminta

mengajukan masalah dengan merefomulasi masalah yang sudah terselesaikan atau

meragamkan kondisi atau pertanyaan dari masalah yang diberikan.

Berikut ini diberikan contoh ketiga jenis situasi problem posing yang diajukan

dalam studi Harpen dan Presmeg (2013).

1) Contoh situasi MPP bebas: Terdapat 10 siswa perempuan dan 10 anak laki-laki berdiri berderetan. Susunlah masalah sebanyak yang kamu dapat dari informasi

tersebut. Contoh situasi MPP bebas hampir serupa dengan contoh masalah terbuka

yang menghasilkan solusi (respons atau MPP) yang sangat beragam mulai dari

yang paling sederhana (MPP yang idiosyncratic) sampai dengan yang kompleks.

2) Contoh situasi MPP semi-terstruktur: Berikut ini disajikan gambar sebuah segitiga dan

lingkaran dalamnya. Susunlah masalah sebanyak

yang kamu dapat berdasarkan gambar tersebut.

Dalam situasi ini sudah ada hubungan antara

informasi yang diberikan, informasi hubungan

tersebut belum eksplisit.

Situasi MPP semi-terstruktur serupa dengan kondisi pada masalah yang kurang

terstruktur (ill-structured). Untuk mencari solusi MPP yang diajukan harus ada

tambahan informasi baru yang berkaitan dengan MPP yang bersangkutan.

3) Contoh situasi MPP terstruktur: Kemarin malam ada pesta di rumah teman dan bel berbunyi sebanyak 10 kali.

Pada bel pertama hanya seorang tamu yang datang. Tiap bel berbunyi terdapat tiga

tamu lebih banyak dari tamu yang datang sebelumnya.

i) Berapa banyak tamu yang datang pada bunyi bel kesepuluh? ii) Susunlah sebanyak pertanyaan yang kamu dapat susun berelasi dengan

masalah tersebut.

MPP pada i) dapat segera diselesaikan berdasarkan informasi yang diberikan, dan

respons MPP pada ii) mungkin ada bersifat idiosyncratic, ada yang diajukan

sebelum, selama, dan sesudah MPS, dan mungkin ada yang tidak dapat

diselesaikan atau tidak ada solusinya.

Setelah siswa menyusun MPP dari ketiga situasi (bebas, semi-terstruktur, dan

terstruktur) MPP dianalisis kelayakannya yaitu MPP yang mempunyai solusi dan

dilengkapi dengan informasi yang cukup. Untuk MPP yang tidak memenuhi kriteria

maka MPP tersebut dieliminasi pada analisis selanjutnya. Misalnya siswa mengajukan

MPP pada tugas 1): i) Berapa banyak anak-anak yang berdiri berderetan? (soal sangat

sederhana); ii) Andai siswa diminta berdiri dalam dua baris, berapa banyak siswa

perempuan pada baris pertama? Tanpa informasi lain untuk menjawab pertanyaan

tersebut. Pada tugas-2): Berapa luas daerah lingkaran dalam atau luas daerah segitiga?

Tanpa informasi ukuran jejari lingkaran atau ukuran sisi-sisi segitiga. Contoh-contoh

MPP di atas diklasifikasikan sebagai MPP yang tidak layak oleh karena itu

dieliminasi dalam analisis berikutnya. Pada analisis selanjutnya, kualitas MPP yang

diajukan siswa dianalisis berdasarkan dimensi kreatif: kelancaran, keluwesan, dan

keaslian. Kelancaran MPP menunjukkan banyaknya MPP yang diajukan seorang

10

siswa. Keluwesan MPP menunjukkan banyaknya katagori MPP yang berbeda yang

diajukan siswa. Keaslian MPP ditetapkan berdasarkan kelangkaan MPP yang diajukan

siswa. Dalam studi ini MPP diklasifikasikan asli bila MPP tersebut diajukan oleh

kurang dari 10% dari seluruh siswa.

Contoh lain dari ketiga jenis situasi masalah dikemukakan Stoyanova (1998,

dalam Harpen dan Sriraman, 2013) sebagai berikut.

1) Contoh situasi masalah bebas: Susunlah beberapa masalah yang berkaitan dengan segitiga siku-siku.

2) Contoh situasi masalah semi-terstruktur: Kemarin malam ada pesta di rumah teman dan bel berbunyi sebanyak 10 kali. Pada bel pertama hanya seorang tamu

yang datang. Tiap bel berbunyi terdapat tiga tamu lebih banyak dari tamu yang

datang pada bunyi bel sebelumnya.

i) Berapa banyak tamu yang datang pada bunyi bel kesepuluh? ii) Susunlah sebanyak pertanyaan yang kamu dapat berelasi dengan masalah

tersebut.

Catatan: Contoh situasi MPP pada no 2) di atas dalam studi Harpen dan Presmeg

(2013), digolongkan pada situasi MPP terstruktur.

3) Contoh situasi MPP terstruktur: Beberapa bilangan bulat disusun seperti berikut 1

2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

i) Tuliskan bilangan ketiga dari kiri pada baris ke-89 pada pola bilangan segitiga di atas.

ii) Tulislah beberapa pertanyaan bermakna yang lainnya. Contoh lain dari ketiga jenis situasi masalah dikemukakan dalam studi Harpen

dan Sriraman (2013) sebagai berikut.

1) Contoh situasi MPP bebas: Terdapat 10 perempuan dan 10 anak laki-laki berbaris dalam satu baris. Susunlah sebanyak mungkin pertanyaan dari informasi tersebut.

2) Contoh situasi MPP semi-terstruktur: Diberikan suatu segitiga dan lingkaran dalamnya seperti pada gambar di bawah ini. Susunlah

sebanyak mungkin pertanyaan yang berelasi dengan

gambar tersebut. Pertanyaan dapat pula sebagai

masalah dalam kehidupan sehari-hari. Jangan batasi

jawabanmu pada pertanyaan yang pernah kamu lihat

atau dengar, dan usahakan sebanyak mungkin

pertanyaan dan pertanyaan yang menantang.

Contoh ini serupa dengan contoh pada studi Harpen dan Presmeg (2013), namun

contoh di atas lebih rinci tugas pertanyaannya.

3) Contoh situasi MPP yang terstruktur: Kemarin malam ada pesta di rumah teman dan bel berbunyi sebanyak 10 kali. Pada bel pertama hanya seorang tamu yang

datang. Tiap bel berbunyi terdapat tiga tamu lebih banyak dari tamu yang datang

pada bunyi bel sebelumnya.

i) Berapa banyak tamu yang datang pada bunyi bel kesepuluh? ii) Susunlah sebanyak pertanyaan yang kamu dapat berelasi dengan masalah

tersebut.

Catatan: Contoh situasi MPP pada no 3) di atas dalam studi Harpen dan Presmeg,

(2013) digolongkan pada situasi MPP semi terstruktur.

11

Memperhatikan beberapa contoh atau instrumen yang digunakan dalam

beberapa studi, terdapat keserupaan tugas MPP yang diajukan. Keadaan tersebut

sangat mungkin karena beberapa studi mengacu pada sumber yang sama. Misalnya

dalam tugas menyusun MPP dengan stituasi: bebas, semi-terstruktur, dan terstruktur

mengacu pada studi Stoyanova (1998, dalam Bonoto, 2013). Stoyanova dan Ellerton

(1996, dalam Bonotto, 2013) memandang problem posing sebagai proses di mana

berdasarkan pengalaman lamanya, siswa mengkonstruksi interpretasi situasi konkrit

dan memformulasikannya menjadi MPP yang lebih terstruktur. Dalam jenis situasi

bebas, tugas problem posing bersifat terbuka, dan problem posing yang dihasilkan

memiliki keragaman tingkat kognitif mulai dari yang sangat sederhana sampai

dengan yang kompleks. Tingkat kekompleksan MPP yang dihasilkan bergantung

pada kedalaman penguasaan konten dan proses matematik individu yang

bersangkutan. Studi Ellerton (1986, dalam Bonotto, 2013) menemukan bahwa siswa

yang pandai dalam matematika dapat menyusun MPP yang memuat perhitungan

yang lebih sukar misalnya memuat perhitungan yang lebih kompleks dibandingkan

MPP yang disusun oleh siswa yang kurang pandai. Pakar lain, (Presmeg, 1986,

Silver, 1997, Torrance, 1988 dalam dalam Bonotto, 2013) mengemukakan bahwa

pembelajaran matematika yang memuat tugas dan kegiatan MPP dan MPS akan

membantu siswa mengembangkan dimensi kreatif matematiknya misalnya

kelancaran, keluwesan dan keaslian.

Berdasarkan uraian tentang pengertian problem posing dari sejumlah pakar,

berikut ini dirangkumkan beberapa pengertian mathematical problem posing sebagai

berikut:

1) Problem finding, problem sensing, problem formulating, problematizing 2) Mathematical creative problem discovery (menemukan masalah kreatif),

mathematical problem creating

3) Mathematical problem posing (MPP) sebelum, selama, dan sesudah MPS. 4) Mathematical problem sensing (merasakan adanya masalah); Mathematical

problem envisaging

5) Mathematical problem posing (MPP) yang dikaitkan dengan variabel tugas dan atau variabel subyek

(Butir 5 dapat digabung pada butir 1 )

Berikut ini disajikan ilustrasi tiap pengertian di atas, disertai contoh berkenaan

dengan topik matematika dan jenis kemampuan matematik atau proses berpikir

matematik tertentu.

1) Problem finding, problem sensing, problem formulating, problematizing:

mengidentifikasi masalah/pertanyaan/ perintah, menyusun masalah matematik;

mengkonstruk/memformulasi masalah/ pertanyaan terhadap informasi atau situasi

matematika yang diberikan.

Contoh 1.

Perhatikan informasi/data di bawah ini (informasi/situasi masalah semi bebas).

Diketahui f (x) = 2 g(x) dalam selang [-3, 4].

Tugas menyusun MPP:

a) Susun beberapa masalah /pertanyaan terhadap informasi/data/situasi di atas.

12

Catatan: i) MPP ini sangat terbuka dan memiliki tingkat kesulitan yang berragam

mulai dari yang sederhana sampai yang kompleks

ii) MPP dapat berhubungan dengan variabel tugas (gambar/tabel/grafik/

prosedur/algoritma/koten matematika; dapat juga berhubungan dengan

subyek (budaya/ jenjang sekolah)

b) Dari respons pada butir susun a) susun beberapa masalah /pertanyaan baru lanjutan dari masalah/pertanyaan pada butir a)

Contoh 2.

Perhatikan data/informasi/situasi di bawah ini.

Dalam suatu kotak tertutup A terdapat 6 buah kelereng merah dan 12 kelereng putih.

Kemudian diambil 2 kelereng sekali gus.

Tugas menyusun MPP:

a) Susun/tulis masalah/pertanyaan dari informasi/data/situasi di atas. (MPP sangat terbuka, dapat sederhana/perhitungan rutin atau yang kompleks, dapat diajukan

untuk beragam variabel tugas dan jenjang sekolah subyek)

b) Andaikan sudah disusun masalah (respons) pada butir a), susun masalah baru lainnya sebagai lanjutan dari masalah pada a) (mengkreasi masalah lanjutan/baru)

Contoh 3.

Diberikan suatu fungsi dengan persamaan f(x) = x2 -2x +5 dalam selang (-2, 5)

Tugas menyusun MPP:

a) Susun/tulis masalah/pertanyaan dari informasi/data/situasi di atas. b) Tambahkan informasi baru, lalu susun masalah/pertanyaan dari situasi yang baru (Catatan: MPP sangat terbuka, dapat sederhana/perhitungan rutin atau yang kompleks,

dapat memuat variabel tugas: prosedur/grafik/tabel/konten matematika; dan dapat

diajukan untuk variabel subyek: beragam budaya dan jenjang sekolah subyek)

2) Mathematical creative problem discovery (menemukan masalah kreatif),

mathematical problem creating (mengkreasi masalah matematik): mereformulasi

masalah lama ke dalam bentuk baru; mengkreasi/memformulasi/mengkonstruk

masalah/pertanyaan baru; menginterpretasi dan menganalisis suatu realita

matematika secara kritis; menemukan relasi antar data tersebut; menetapkan

informasi yang cocok untuk menyelesaikan masalah; dan menemukan data

numerik dan atau data konstekstual yang koheren.

Contoh:

Perhatikan soal di bawah ini (situasi masalah yang terstruktur dan bersifat tertutup)

Diketahui ABCD suatu persegipanjang, dengan perbandingan panjang dan lebarnya

adalah 8 : 3 dan memiliki keliling 44 cm. Titik E dan F terletak pada sisi CD, dengan

CF =DE = 3 cm.

1) Ilustrasikan situasi tersebut dalam bentuk gambar sehingga mudah dipahami! 2) Susun model matematika untuk menghitung luas daerah ABFE dan selesaikan!

Tugas menyusun MPP:

a) Rumuskan tugas pada no 1. dan no 2. dalam bentuk baru dengan makna yang sama (mereformulasi masalah/pertanyaan lama)

13

b) Susun beberapa sub-masalah/pertanyaan untuk memeriksa kecukupan informasi agar soal dapat diselesaikan (merinci masalah/pertanyaan utama ke dalam

masalah/pertanyaan bagiannya).

c) Susun beberapa masalah/pertanyaan baru lain berikutnya seandainya pertanyaan no 2 sudah terjawab (menyusun masalah/pertanyaan baru/lanjutan).

3) Mathematical problem posing (MPP): Mengajukan masalah/pertanyaan/

perintah yang dikaitkan dengan mathematical problem solving (MPS) yaitu:

sebelum, selama, dan sesudah MPS.

a) MPP sebelum MPS yaitu: mengajukan masalah/pertanyaan/perintah yang

digenerasi dari situasi atau kondisi tertentu;

b) MPP selama MPS yaitu: merinci masalah utama ke dalam sub-masalah untuk

menyelesaikan masalah asal.

c) MPP sesudah MPS yaitu: mengembangkan masalah baru dengan cara

memodifikasi situasi masalah lama dengan menambahkan situasi baru.

Contoh

Perhatikan soal di bawah ini (situasi masalah terstruktur dan tertutup)

Pada empat kali tes matematika Deni mendapat nilai 82, 63, 78, dan 65, sedangkan

Wati mendapat nilai 79, 86, 77, dan 88. Tes akan dilakukan satu kali lagi. Nilai B

(baik) mensyaratkan rata-rata nilai mulai dari 70 sampai dengan 85 dan A (amat baik)

bila rata-rata lebih dari 85 dalam skala 0 100.

1) Nyatakan situasi di atas dalam model matematika yang sesuai.

2) Peluang Deni mendapat nilai B lebih besar dari peluang Wati memperoleh nilai

A. Benarkah perkiraan tersebut? Konsep apa yang digunakan dan sertakan proses

perhitungannya.

Tugas menyusun MPP:

a) Susun beberapa pertanyaan lain yang memiliki makna yang sama dengan pertanyaan kunci pada no 1) dan no 2) (mereformulasi masalah yang ada)

b) Susun beberapa pertanyaan lain yang baru (selain pertanyaan 1) dan no 2)) dari informasi pada soal di atas (MPP baru sebelum MPS)

c) Susun beberapa sub-pertanyaan (pertanyaan antara) untuk membantu menjawab pertanyaan kunci pada no 2) (MPP sebelum MPS)

d) Susunlah beberapa pertanyaan untuk memeriksa kebenaran langkah pengerjaan pada tugas no b (MPP selama MPS)

e) Susun beberapa pertanyaan baru berikutnya setelah memperoleh solusi pada pertanyaan no 2). Boleh dengan menambah informasi baru (MPP setelah MPS)

4) Mathematical problem sensing (merasakan adanya masalah); Mathematical

problem envisaging (membayangkan masalah matematik): merinci masalah

utama ke dalam masalah komponennya; mengidentifikasi masalah/ pertanyaan/

perintah terhadap informasi atau situasi matematika yang diberikan.

Contoh

Perhatikan situasi di bawah ini (situasi masalah yang semi-terstruktur dan bersifat

tertutup)

Diberikan suatu fungsi dengan persamaan f(x) = x2 -2x +5. Berapakah x agar f(x) 3?

14

Tugas menyusun MPP:

Tuliskan beberapa masalah/pertanyaan yang muncul (termuat) dalam pertanyaan

utama di atas, dan sertakan konsep matematika yang termuat dalam masalah-masalah

tersebut.

5) Mathematical problem posing (MPP) yang dikaitkan dengan variabel tugas

(algoritma, teks, gambar, tabel, topik matematika, jawab/solusi dan masalah

matematika) dan subyek (gender, kemampuan, kelompok budaya, dan tingkat

kelas siswa)

Contoh

Dalam contoh ini disajikan masalah matematika dengan situasi masalah semi-

terstruktur, dan bersifat terbuka. MPP dikaitkan dengan variabel tugas (topik

matematika: grafik garis lurus), dan variabel subyek (tingkat kelas: siswa SMA)

Perhatikan grafik di bawah ini.

Tugas menyusun MPP :

a) Susunlah beberapa pertanyaan yang sesuai untuk siswa SMA berdasarkan informasi pada grafik di atas (MPP terbuka, tingkat kesukaran bervariasi dapat

melibatkan beragam kemampuan/proses berpikir matematik)

b) Andaikan pertanyaan pada no a) sudah terjawab, susun beberapa masalah/pertanyaan lanjutan yang berkaitan dengan tiap pertanyaan pada no a)

Berikut ini diajukan beberapa butir contoh lain tugas mathematical problem

posing (MPP). Berdasarkan pengertian Mathematical Problem Posing (MPP) yang

telah dikemukakan oleh beberapa pakar sebelumnya (Diltone, 1982, Yaj and Perkins

1997 dalam Singer dan Voica, 2013, English dalam Bonotto, 2013, Stoyanova dan

Ellerton, 1996, dalam Bonotto, 2013), dapat dirangkumkan beberapa indikator

Mathematical Problem Posing (MPP) sebagai berikut:

1) Mengajukan atau menyusun pertanyaan atau masalah dari serangkaian informasi matematik yang semi terstruktur berkenaan konten dan kemampuan matematik

serta tingkat kelas subyek tertentu.

2) Menyatakan suatu pertanyaan atau masalah matematik ke dalam bentuk lain yang baru dengan makna yang sama.

Sumbu Y

Sumbu X

m

k

l

O

m

15

3) Menyusun atau mengajukan masalah baru terhadap suatu situasi yang terstruktur (serangkaian informasi yang sudah memuat masalah atau pertanyaan matematik)

berkenaan konten dan kemampuan matematik serta tingkat kelas subyek tertentu.

4) Merinci masalah utama dari suatu soal matematik yang tidak sederhana ke dalam masalah-masalah bagiannya yang lebih sederhana.

5) Menyusun atau mengajukan masalah sebelum, selama, dan sesudah pemecahan masalah terhadap situasi yang terstruktur (serangkaian informasi yang sudah

memuat masalah atau pertanyaan matematik).

Selanjutnya dengan mengacu pada indikator MPP di atas, berikut ini disajikan

beberapa contoh model butir tes MPP yang masih terbuka dan belum memuat konten

matematika tertentu. Contoh-contoh berikut dapat dikembangkan dan dimodifikasi

sesuai dengan konten dan kemampuan matematik yang akan diteliti atau

dikembangkan.

Contoh butir soal:

1. Disajikan suatu informasi matematik yang semi terstruktur (belum ada masalahnya) dalam materi atau konten matematika tertentu.

Tugas Mathematical Problem Posing (MPP):

1) Ajukan atau susun beberapa pertanyaan atau masalah terhadap informasi matematik di atas (berkenaan kemampuan matematik tertentu). Kemudian pilih

satu pertanyaan dan selesaikan disertai dengan penjelasan rumus atau aturan

yang digunakan.

2) Nyatakan pertanyaan dalam no1) dalam bentuk lain yang memiliki makna yang sama.

2. Disajikan serangkaian informasi matematik yang terstruktur (sudah memuat masalah yang tidak sederhana) berkenaan kemampuan matematik dan dalam

materi dan konten matematika tertentu.

Tugas Mathematical Problem Posing (MPP):

1) Nyatakan atau susun masalah atau pertanyaan utama dari soal di atas dengan kata-kata sendiri.

2) Nyatakan masalah atau pertanyaan utama tadi dalam bentuk lain yang baru yang memiliki makna yang sama.

3) Rincikan masalah utama dari soal semula ke dalam beberapa sub-masalah untuk membantu menyelesaikan masalah semula. Kemudian selesaikanlah

masalah semula tersebut.

4) Ajukan atau susun beberapa pertanyaan atau masalah baru di luar masalah utama yang sudah ada terhadap informasi matematik di atas. Kemudian pilih

satu pertanyaan yang baru tersebut dan selesaikan disertai dengan penjelasan

rumus dan aturan yang digunakan.

3. Disajikan serangkaian informasi matematik yang terstruktur (sudah memuat masalah utama yang tidak sederhana) berkenaan dengan kemampuan matematik

tertentu) dan dalam materi atau konten matematika tertentu.

Tugas Mathematical Problem Posing (MPP):

1) Susun masalah atau pertanyaan utama dari rangkaian informasi di atas dengan kata-kata sendiri sehingga jelas untuk diselesaikan.

2) Ajukan beberapa pertanyaan atau masalah terhadap rangkaian informasi di atas, sebelum anda menyelesaikan masalah utama yang bersangkutan.

3) Ajukan beberapa pertanyaan atau masalah ketika anda menyelesaikan masalah utama tadi. Kemudian selesaikan atau jawablah pertanyaan tersebut.

16

4) Andaikan anda sudah memperoleh solusi atau jawab, ajukan atau susun masalah atau pertanyaan baru berkenaan dengan informasi semula dan jawab yang

diperoleh. Kemudian jawablah pertanyaan baru tersebut.

C. Mengembangkan dan Mengukur Kemampuan Mathematical Problem Posing

Pada dasarnya kemampuan MPP siswa dapat dikembangkan melalui

pendekatan pembelajaran matematika apapun. Pengembangan kemampuan MPP

antara lain dengan memberikan tugas latihan matematik yang baik selama

pembelajaran. Tugas matematik tersebut antara lain menyusun pertanyaan/masalah

matematik yang relevan dengan konten matematika yang sedang dipelajari, mencapai

belajar bermakna, menstimuli kemampuan pemecahan dan penalaran matematik,

mendorong motivasi formulasi masalah dan tumbuhnya disposisi matematik, serta

menciptakan suasana belajar yang kondusif (Berman dalam Costa, Ed. 2001).

Pernyataan di atas sesuai dengan pendapat Rowland, Huckstep, and Thwaites, 2003,

dalam Singer dan Voica, 2013) bahwa dalam pembelajaran matematika guru

hendaknya menampilkan tugas pemecahan masalah yang baik atau paling sedikit

merumuskan ulang susunan kata dalam suatu soal sesuai dengan tujuan pembelajaran.

Guru hendaknya memiliki kemampuan mengajukan masalah atau memodifikasi

masalah yang sudah ada untuk memperoleh susunan kata yang lebih sesuai untuk

belajar siswa.

Hendriana (2002) mengembangkan MPP siswa SMU dengan menerapkan

pembelajaran berbalik (reciprocal teaching). Dalam studi ini Hendriana menganalisis

MPP dalam hubungannya dengan MPS yaitu MPP sebelum, selama, dan sesudah

melakukan MPS (Silver, Mamona-Downs, Leung, Kenney dalam Kadir, 2000).

Pemberian skor MPP menggunakan kriteria seperti pada Tabel 1.

Tabel 1

Pemberian skor MPP

(Hendriana, 2002)

No. Bentuk dan muatan MPP Skor

1. Respons PP sebelum MPS

a) Respons PP berbentuk pernyataan 0

b) Respons PP berbentuk pertanyaan non matematik 0

c) Respons PP berbentuk pertanyaan matematik tidak bersolusi (MPP tidak bersolusi)

0

2. MPP bersolusi sebelum dan selama MPS

a) Kualifikasi rendah (proses solusi sederhana/rutin/prosedural) b) Kualifikasi tinggi (proses solusi kompleks/non rutin)

1

2

3. MPP bersolusi setelah MPS (MPP lanjutan)

a) Kualifikasi rendah (tanpa informasi baru) b) Kualifikasi tinggi (dengan informasi baru, perlu pemahaman konsep

baru)

1

2

Beberapa studi (Chang, Wu, Weng, dan Sung, 2012, Elerton, 2013, Harpen

dan Sriraman, 2013, Harpen dan Presmeg, 2013, Rosli, Goldsby dan Capraro, 2013,

Shriki, 2013) menganalisis dan memberi skor MPP berdasarkan dimensi kreatif

matematik. Sebelum kualitas MPP dianalisis lebih rinci berdasarkan dimensi

kreatifnya, MPP dianalisis dulu kelayakannya melalui struktur masalah yang termuat

dalam MPP tersebut seperti tercantum pada Diagram 1 (disarikan dari: Bonotto, 2013,

Silver dan Cai, 1996, dan Yuan dan Sriraman, 2010, dalam Rosli, Goldsby dan

Capraro, 2013).

17

Selanjutnya, MPP yang rasional atau memiliki solusi (Diagram1, langkah 3)

dan dilengkapi dengan informasi yang cukup (Diagram1, langkah 4) dianalisis

kesesuaian tingkat berpikir yang termuat dalam MPP yang bersangkutan sesuai dengan

tingkat berpikir siswa (Diagram 1, langkah 5). Bila MPP hanya memuat tugas terlalu

sederhana untuk siswa tingkat kelas tertentu maka MPP tersebut dieliminasi dalam

analisis selanjutnya. Kemudian MPP yang telah memenuhi kelayakan (berbentuk

pertanyaan atau masalah matematik yang memiliki solusi, dengan data relevan dan

kekompleksan memadai) dianalisis dan diberi skor dimensi kreatifnya berdasarkan

dimensi kreatif dari Guilford yaitu: kelancaran, keluwesan, keaslian, dan organisasi

atau generalisasi.

Analisis kualitas MPP lainya ditawarkan oleh Chang, Wu, Weng, dan Sung

(2012). Chang dkk (2012) melakukan studi dengan disain pretest-postest dengan

memberikan kegiatan problem posing berbantuan ICT untuk menilai kemampuan

MPS dan MPP siswa kelas 5 dan 6 SD. Instrumen untuk mengukur MPP disusun

dalam bentuk tugas menyusun soal matematik yaitu: 5 MPP bebas dan 5 MPP semi-

struktural. Selanjutnya, MPP yang disusun siswa dianalisis berdasarkan dimensi

kreatif yaitu: ketepatan, keluwesan, elaborasi, dan keaslian dengan kriteria seperti

tercantum pada Tabel 2.

(2)

Diagram 1: Analisis kualitas bentuk masalah dari guru dan

Respon terhadap tugas

problem posing (PP)

Masalah non matematik

(non MPP)

Berbentuk pernyataan

MPP datanya tidak

cukup

.

Apakah MPP

rasional (ada solusinya) ?

Problem posing (PP) berbentuk masalah?

Apakah PP itu masalah

matematik (MPP)?

Analisis kualitas MPP dikaitkan dengan dimensi berpikir kreatif.

Kualitas MPP tidak

dinilai

MPP tidak rasional

(tidak bersolusi)

Apakah MPP

datanya cukup?

Apakah tingkat berpikir

MPP memadai ?

Tingkat berpikir

MPP terlalu rendah

Tidak

Tidak

Tidak

Tidak

Ya

Ya

Ya

Ya

Ya

(1)

(2)

(3)

(4)

(6)

(5)

Tidak

18

Harpen dan Sriraman (2013) melakukan studi dengan subyek siswa SMA kelas

11 dan kelas 12 dari tiga budaya yang berbeda (Amerika, China, dan Jiaozhou). Studi

dilaksanakan dengan menggunakan kerangka kerja MPP dalam tiga situasi masalah

yaitu: bebas, semi terstruktur, dan terstruktur (Stoyanova, Ellerton, 1996, dalam

Harpen dan Sriraman, 2013). Tes MPP dikembangkan berdasarkan studi Stoyanova

(1997, dalam Harpen dan Sriraman (2013)) dan Cai (2000, dalam Harpen dan

Sriraman (2013)). Pada ketiga tugas situasi masalah, siswa diminta menyusun

sebanyak-banyaknya soal sesuai dengan situasi dan informasi yang diberikan.

Selanjutnya MPP yang diajukan siswa dianalisis berdasarkan dimensi kreativitas yaitu:

kelancaran, keluwesan, dan keaslian. Sebelum MPP dianalisis berdasarkan dimensi

kreativitas, MPP yang dianalisis adalah MPP yang berupa pertanyaan matematik yang

masuk akal atau mempunyai solusi, disertai dengan informasi yang cukup dan

memiliki tingkat kesulitan memadai (MPP yang viable dan nontrivial). Selain itu,

MPP yang tidak memenuhi syarat di atas dieliminasi dalam analisis berikutnya.

Penilaian ketiga dimensi kreatif MPP didasarkan pada banyaknya MPP yang disusun

(kelancaran), pada banyaknya MPP yang berbeda katagori (keluwesan), dan keaslian

MPP dinilai berdasarkan kriteria MPP diajukan oleh 10% dari banyaknya peserta tes.

Dalam studi ini analisis dimensi kreatif MPP tidak ditujukan pada perorangan siswa,

namun untuk kelompok dari ketiga budaya. Pemberian skor dimensi kreatif MPP yang

disusun siswa menggunakan kriteria seperti pada Diagram 1 dan Tabel 3.

Tabel 2

Kriteria Pemberian Skor Dimensi Kreatif MPP

(Dirangkum dari Studi Chang dkk, 2013)

Dimensi Kreatif Kriteria

Ketepatan Dimensi ketepatan MPP dinilai berdasarkan kebenaran MPP yang diajukan.

Tiap MPP yang benar/tepat, ketepatannya diberi skor 1, dan MPP tidak

benar/tepat diberi skor 0.

Keluwesan Dimensi keluwesan MPP dinilai berdasarkan banyaknya ragam MPP berbeda yang diajukan. MPP yang memuat satu masalah berbeda diberi

skor 1, dan MPP yang memuat lebih dari satu ragam masalah dinilai lebih

luwes dan diberi skor 2. MPP yang tidak benar/tepat, dimensi

keluwesannya tidak dinilai. Elaborasi Dimensi elaborasi MPP dinilai dari banyaknya langkah atau proses

penyelesaian yang berbeda dalam MPP yang diajukan. MPP yang memuat

satu langkah penyelesaian diberi skor 1, dan yang lebih banyak memuat

langkah penyelesaian atau lebih kompleks proses penyelesaian diberi skor

2. MPP yang tidak benar/tepat, dimensi elaborasi- nya tidak dinilai. Keaslian Keaslian MPP dinilai dari banyaknya ragam MPP berbeda yang diajukan

oleh sejumlah siswa. Bila suatu MPP diajukan oleh lebih dari 5% dari

seluruh siswa, maka MPP tersebut diberi skor 1; bila MPP diajukan oleh

2% - 5% dari seluruh siswa, maka MPP tersebut diberi skor 2, dan bila

MPP diajukan oleh kurang dari 2% dari seluruh MPP maka MPP tersebut

diberi skor 3. MPP yang tidak benar/tepat dimensi keasliannya tidak

dinilai.

Dalam studi Harpen dan Sriraman (2013), dimensi fluency berkaitan dengan

istilah viable dan trivial. Suatu MPP yang viable adalah MPP yang sesuai dan

19

informasinya lengkap. Suatu MPP trivial adalah MPP yang jawabannya sudah

tergambar langsung dalam informasi yang diberikan.

Contoh: Disajikan informasi seperti pada gambar di bawah ini.

Misalkan MPP yang diajukan adalah: Berapa luas daerah

dalam segitiga di luar daerah lingkaran? MPP tersebut tidak

dapat diselesaikan karena informasinya tidak lengkap. MPP

seperti itu adalah contoh MPP nonviable, dan dalam analisis

selanjutnya MPP tersebut dieliminasi.

Setelah MPP nonviable dieliminasi, semua MPP yang viable dianalisis sifat trivial-

nya. Misalkan diajukan MPP: Andai diameter suatu lingkaran adalah 32, berapakah

kelilingnya? Dengan menggunakan rumus keliling lingkaran, MPP tersebut langsung

dapat dijawab, yaitu 32. MPP seperti di atas adalah contoh MPP yang trivial, dan

dalam analisis selanjutnya MPP yang trivial juga dieliminasi. Selanjutnya, skor

dimensi fluency (kelancaran) MPP dinyatakan dalam persentase banyaknya MPP

viable dan nontrivial terhadap banyaknya MPP yang diajukan. Tiap MPP yang viable

dan nontrivial, dimensi kelancaran MPP diberi skor 1. Sedangkan prosentase jenis-

jenis MPP (viable dan nontrivial) dihitung seperti pada contoh berikut.

Misalkan A mengajukan m buah MPP dan diantaranya terdapat n MPP viable.

Prosentase MPP viable dihitung dengan rumus p = n/m x 100%. Misalkan dari MPP viable tersebut terdapat k buah MPP nontrivial. Prosentase MPP nontrivial dihitung

dengan rumus: q = k/n x n/m x 100% = k/m x 100%. Dimensi flexibility (keluwesan) MPP ditetapkan berdasarkan banyaknya MPP

dengan katagori yang berbeda. Misalkan diajukan MPP sebagai berikut:

MPP 1: Misalkan diketahui sisi-sisi suatu segitiga adalah 3, 4, dan 5; tentukan luas

segitiga.

MPP 2: Misalkan diketahui sisi-sisi suatu segitiga adalah 6, 8, dan 10; tentukan luas

segitiga

Kedua MPP di atas diklasifikan mempunyai katagori yang sama, misalnya dinyatakan

sebagai satu MPP: Misalkan diberikan ketiga sisi suatu segitiga, tentukan luas segitiga.

Tiap MPP yang memiliki katagori yang berbeda, dimensi MPP keluwesannya diberi

skor 1.

Berbeda dengan pemberian skor dimensi kelancaran dan keluwesan, pemberian

skor dimensi originality (keaslian) MPP dibandingkan dengan respon MPP yang

diajukan oleh individu lainnya. MPP dikatakan memiliki keaslian bila MPP tersebut

diajukan oleh kurang dari 10% dari seluruh peserta. Tiap MPP yang diajukan oleh

kurang dari 10% peserta diberi skor 1 dalam dimensi keaslian. Pemberian skor tiap

dimensi kreatif MPP (kelancaran, keluwesan, dan keaslian) dirangkum seperti pada

Tabel 3.

Analisis dan pemberian skor dimensi kreatif MPP pada Tabel 3 juga

digunakan dalam studi Harpen dan Presmeg (2013) dengan subyek yang sama.

Perbedaan kedua studi tersebut adalah dalam tujuan studi. Studi Harpen dan Sriraman

(2013) memusatkan analisisnya pada kaitan antara kemampuan MPP dan penguasaan

konten matematika siswa, sedangkan studi Harpen dan Presmeg (2013) menekankan

analisisnya pada peranan kultur dan kurikulum subyek dengan kemampuan MPP-nya.

20

Tabel 3.

Kriteria Pemberian Skor Dimensi Kreatif MPP

(Disarikan dari Harpen dan Presmeg, 2013 dan Harpen dan Sriraman, 2013).

Dimensi

Kreatif

Kriteria Pemberian Skor

Kelancaran

(fluency)

Kelancaran MPP didasarkan pada banyaknya MPP yang viable dan

nontrivial yang diajukan oleh siswa. Tiap MPP yang viable dan

nontrivial, dimensi kelancaran MPP diberi skor 1.

Keluwesan

(flexibility)

Keluwesan MPP didasarkan pada banyaknya MPP berbeda katagori

yang diajukan. Tiap MPP yang viable dan nontrivial dengan katagori

yang berbeda, dimensi keluwesan MPP diberi skor 1.

Keaslian

(originality)

Keaslian MPP ditetapkan bila MPP diajukan oleh kurang dari 10 % dari

seluruh siswa. Tiap MPP yang diajukan oleh kurang dari 10% seluruh

peserta dimensi keasliannya diberi skor 1.

Peneliti lain, Elerton (2013) menawarkan pengembangan kemampuan MPP

melalui pembelajaran dengan proyek tugas menyusun MPP pada subyek calon guru

matematika SM. Kerangka kerja pembelajaran dengan proyek tugas menyusun MPP

terlukis pada Gambar 1.

Gambar 1 . Kerangka Kerja Menempatkan Mathematical Problem Posing di kelas (Elerton,

2013)

Kerangka Kerja Proyek Mathematical Problem Posing

Kegiatan kelas

Kegiatan siswa Keterlibatan siswa pasif Keterlibatan siswa aktif

Keterlibatan guru aktif Fasilitasi guru

Konten matematika baru

Model

contoh dari guru

Guru

memilih contoh dari buku teks /

internet

Siswa me-

netapkan

contoh

Siswa me-

nyelesaika

n masalah

model

Siswa me-

ngajukan

masalah

dengan

struktur

masalah

yang sama

dengan

masalah

asal

Diskusi

kelas

dan me-

nyele-

saikan

masalah

dari

siswa

Mende-

ngarkan,

meniru, menginga

t

Meng-

amati

mulai

bekerja

Meniru, mencari,

mema-

hami

Meniru, mengingat

lagi,memin

-ta bantuan

Refleksi

eksperi-

mentasi,

sumbang

ide

Mengkri

tik, ber-

tanya

menjelas

-kan

21

Pembelajaran dalam proyek ini dilaksanakan dalam dua tahap yaitu: a)

Kegiatan MPP rutin. Siswa dihadapkan pada satu masalah semi-struktural. Kemudian

mereka diminta menyusun pertanyaan yang serupa atau inversnya dalam konteks yang

sama; b) Kegiatan proyek MPP. Siswa dihadapkan pada suatu masalah matematik

semi-struktural. Kemudian siswa secara berpasangan diminta menyusun dua bentuk

masalah lain dengan konten matematik yang sama tetapi dalam konteks yang berbeda.

Bentuk masalah pertama dalam tipe jawaban singkat dan masalah kedua dalam tipe

pilihan ganda. Tiap pasangan siswa diminta menyelesaikan masalah yang disusunnya,

dan menyajikannya di depan kelas, dan siswa lainnya memberikan sumbang pendapat.

Kemudian siswa menyusun refleksi secara tertulis tentang seluruh pengalamannya.

Dalam kegiatan ini, guru tidak memberikan petunjuk langsung kegiatan yang harus

dikerjakan siswa.

Klasifikasi kelancaran MPP dalam studi Elerton (2013) didasarkan pada

banyaknya masalah yang diajukan dalam waktu tertentu. Penetapan keluwesan MPP

didasarkan pada banyaknya masalah yang berbeda yang diajukan dalam waktu

tertentu. MPP diklasifikasikan asli, bila MPP tersebut diajukan oleh kurang dari 10%

banyaknya siswa. Analisis MPP dalam studi Elerton (2013), serupa dengan pada studi

Harpen dan Sriraman (2013) dan Harpen dan Presmeg (2013) yaitu berpedoman pada

Tabel 3. Selain itu Elerton (2013) mengajukan penilaian pendapat siswa terhadap

tugas menyusun MPP dengan menggunakan skala pendapat yang terdiri dari lima

aspek MPP disertai dengan kesan dan saran siswa seperti pada Tabel 4.

Tabel 4

Contoh Skala Pendapat Siswa terhadap Tugas Menyusun Masalah Matematik (MPP)

(Disarikan dari studi Elerton (2013)

Petunjuk: Bubuhkan tanda V pada kolom yang sesuai dengan pendapat anda

Keterangan: SS : sangat setuju N : netral TS: tidak setuju

S : setuju STS: sangat tidak setuju

No. Pernyataan SS S N TS STS

1. Tugas mengajukan masalah matematik lebih

menantang daripada tugas menyelesaikan masalah.

2. Tugas mengajukan masalah matematik membantu

memahami konsep matematik yang sedang dipelajari.

3. Tugas mengajukan masalah matematik menghambat

penyelesaian masalah matematik yang dihadapi.

4. Tugas mengajukan masalah matematik melatih

pengembangan berpikir kreatif matematik .

5. Saya senang mengajukan masalah matematik.

6. Saya percaya dapat mengajukan masalah matematik

dari data/situasi yang disajikan.

7. Tugas mengajukan masalah matematik mencemaskan

8. Saya senang mendapat kesempatan lebih banyak

mengajukan masalah matematik

9. Saya menghindar dari tugas mengajukan masalah

matematika

10. Saya memilih tugas menyelesaikan masalah dari pada

tugas menyusun masalah.

Catatan: Untuk pernyataan positif, respon SS bernilai 5; respon S bernilai 4; respon N bernilai 3; respon TS bernilai 2; dan respon STS bernilai 1. Untuk pernyataan negatif: respon

SS bernilai 1; respon S bernilai 2; respon N bernilai 3; respon Untuk pernyataan

negatif:TS bernilai 4; dan respon STS bernilai 5

22

Tuliskan pendapat, kesan atau komentar anda terhadap tugas menyusun masalah

dalam pembelajaran matematika pada tempat yang tersedia di bawah ini.

..........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

Analisis dan pemberian skor dimensi kreatif yang lain dilakukan dalam studi

Shriki (2013) yang mengambil subyek siswa SMA kelas 11 dan kelas 12 dari tiga

budaya yang berbeda yaitu Amerika, China, dan Jiaozhou. Studi ini, bertujuan

menganalisis kemampuan kreatif matematik siswa ditinjau dari kualitas MPP yang

diajukan oleh siswa. Analisis dimensi kreatif dilakukan setelah MPP memenuhi syarat

MPP yang rasional, data lengkap, dan tingkat berpikir memadai (Diagram 1, langkah

6). Dalam studi ini, dimensi kreatif MPP dikelompokkan dalam 4 komponen yaitu:

kelancaran, keluwesan, keaslian, dan generalisasi. Tiap dimensi kreatif MPP memiliki

skor total dan skor relatif masing-masing. Kriteria pemberian skor tiap dimensi kreatif

MPP tercantum pada Tabel 5 (disarikan dari kriteria Shriki, 2013).

Tabel 5.

Kriteria Pemberian Skor Dimensi Kreatif MPP

(Disarikan dari Shriki, 2013).

Dimensi

Kreatif

Kriteria Pemberian Skor

Kelancaran Kelancaran MPP didasarkan pada banyaknya MPP yang diajukan.

Misalnya, siswa A mengajukan MPP paling banyak (m) di antara

teman-temannya. Maka A mendapat skor total kelancaran m dan skor

relatif 100. Siswa lain, B mengajukan MPP sebanyak n. Maka B

mendapat skor total kelancaran n dan skor relatif kelancaran sebesar n/m x 100.

Keluwesan Keluwesan MPP didasarkan pada banyaknya MPP berbeda katagori

yang diajukan. Siswa A mengajukan MPP berbeda katagori paling

banyak (misalnya m) di antara teman-temannya. Maka A mendapat

skor total keluwesan m dan skor relatif keluwesan 100. Siswa lain, B

mengajukan MPP berbeda katagori sebanyak n. Maka B mendapat

skor total keluwesan n dan skor relatif keluwesan sebesar n/m x 100

Keaslian Keaslian MPP ditetapkan bila MPP diajukan oleh kurang sepertiga

atau 33 % seluruh siswa. Siswa A mengajukan paling banyak (misal

m) MPP asli. Maka A mendapat skor total keaslian m dan skor relatif

keaslian 100. Siswa lain, B mengajukan MPP berbeda katagori

sebanyak n. Maka B mendapat skor total keaslian n dan skor relatif

keaslian sebesar n/m x 100

Organisasi

(Generalisasi)

Generalisasi MPP ditetapkan bila MPP memuat masalah generalisasi.

Misal siswa A mengajukan MPP generalisasi yang paling banyak (m)

di antara teman-temannya. Jadi A mendapat skor total MPP

generalisasi sebesar m dan skor relatifnya 100. Siswa B mengajukan n

MPP generalisasi. Jadi B mendapat skor total MPP generalisasi n dan

skor relatif generalisasi adalah n/m x 100

Kemudian penetapan skor dimensi kreatif MPP secara keseluruhan didasarkan

pada bobot tiap dimensi kreatif yang ditetapkan oleh guru yang bersangkutan. Satu

kriteria misalnya, skor MPP keseluruhan dimensi kreatif dinyatakan oleh rerata dari

keempat skor dimensi kreatif MPP atau jumlah skor relatif tiap dimensi kreatif dibagi

4. Selanjutnya, karena budaya siswa berbeda mempengaruhi MPP yang dihasilkan

23

siswa, maka analisis dimensi kreatif dilakukan pada tiap kelompok budaya, dan tidak

dibandingkan untuk seluruh kondisi budaya.

Pakar lain, Silver (Shriki, 2013) menyarankan strategi What-If-Not (WIN)

untuk mengembangkan MPP. Strategi WIN menuntut siswa menyusun masalah baru

berdasarkan pada masalah yang telah diselesaikan, melalui proses meragamkan

kondisi dari masalah asal. Implementasi strategi ini mendukung pengembangan

kreativitas matematik siswa. Strategi WIN membimbing siswa melalui tiga tahap

inkuiri yaitu pertama: siswa diminta menghasilkan suatu daftar sifat-sifat masalah atau

kondisi. Langkah kedua, siswa fokus pada tiap sifat pada daftar yang telah disusunnya

dan kemudian menyarankan alternatif lain dari sifat tersebut. Langkah ketiga:

mengajukan masalah dan pertanyaan baru berdasarkan pada alternatif yang muncul

dalam langkah kedua. Pendekatan ini juga mendorong siswa mempertimbangkan

makna suatu masalah dari pada memusatkan pada menemukan solusinya.

Selanjutnya, analisis MPP yang rasional dan dilengkapi informasi yang cukup

dilanjutkan dengan analisis jenis tugas yang termuat dalam MPP yang bersangkutan

apakah memiliki kekompleksan yang memadai dengan tingkat berpikir siswa.

Misalnya MPP yang memuat tugas terlalu sederhana untuk siswa tingkat kelas tertentu

maka MPP tersebut dieliminasi dalam analisis selanjutnya. Kemudian analisis dan

pemberian skor dimensi kreatif MPP dari Guilford yaitu: kelancaran, keluwesan,

keaslian, dan generalisasi menggunakan kriteria seperti tercantum pada Tabel 3.

Berikut ini disajikan beberapa contoh menganalisis MPP yang diajukan siswa

dan pemberian skor dimensi kreatif MPP dengan mengacu pada kriteria pada studi

tertentu.

1) Contoh situasi masalah bebas: Susunlah beberapa masalah yang berkaitan dengan segitiga siku-siku (Stoyanova 1998, dalam Harpen dan Sriraman, 2013). Andaikan

diperoleh respons (yang diajukan siswa) seperti berikut.

a) Segitiga siku-siku adalah suatu segitiga yang besar satu sudutnya sama dengan 900. Berdasarkan kriteria dalam Diagram 1, respon tersebut adalah pernyataan

matematik, respon tersebut tidak memuat masalah. Dengan demikian respons

tersebut dogolongkan sebagai bukan MPP, dan dieliminasi dalam analisis

selanjutnya.

b) Apakah segitiga yang memiliki sisi-sisi, 3, 4, 5 satuan panjang membentuk segitiga siku-siku? Jelaskan jawabanmu. Respons ini merupakan pertanyaan,

memiliki solusi dan informasi yang cukup. Dengan demikian respons tersebut

digolongkan pada MPP. Bila MPP ini diajukan oleh siswa SD atau SMP kelas

awal maka MPP tersebut digolongkan memadai dan dapat dianalisis dimensi

kreatif (kelancaran). Namun, bila MPP tersebut diajukan oleh siswa SMA atau

kelas yang lebih tinggi, maka MPP tersebut terlalu sederhana dan dieliminasi

untuk analisis selanjutnya.

c) Apakah segitiga dengan sisi 6, 8, dan 10 satuan panjang (atau sisi-sisi kelipatan dari 3, 4, 5) membentuk segitiga siku-siku? Jelaskan jawabanmu.

Respons tersebut sebenarnya adalah trivial dengan respons pada no b).

Dengan demikian respons a) dan respons b) dinilai sebagi respons yang sama

(satu respons) dalam dimensi kelancaran dan keluwesan (respons yang sama).

Untuk menilai dimensi keasliannya perlu dilihat seberapa banyak siswa

memberikan respons b) atau c). Kalau respons tersebut diajukan oleh kurang

dari 10% seluruh siswa (Harpen dan Presmeg, 2013, dan Harpen dan

Sriraman, 2013), maka respons tersebut diberi skor 1 untuk dimensi keaslian.

Jika respons di atas diajukan oleh lebih dari 10% siswa maka respons tersebut

24

tidak tergolong asli. Dalam studi Skriki (2013), kriteria dimensi kreatif

keaslian menggunakan dasar 33% dari seluruh siswa.

d) Apakah segitiga dengan sisi 6, 8, dan 10 satuan panjang dan segitiga dengan sisi-sisi 5, 12, 13 satuan panjang merupakan dua segitiga yang konkuren?

Jelaskan jawabanmu. Respons ini memuat dua MPP yang berbeda, meskipun

keduanya membentuk segitiga siku-siku keduanya tidak konkruen. Dengan

demikian, MPP no c) dan MPP no d) masing-masing diberi skor 1 dalam

dimensi kelancaran. Bila respons lainnya tidak serupa dengan MPP no d),

maka dimensi keluwesan MPP no d) diberi skor 1. Cara pemberian skor

keaslian MPP no d) serupa dengan MPP pada no c).

2) Contoh situasi MPP semi-terstruktur: Diberikan suatu segitiga dan lingkaran dalamnya seperti pada

gambar di samping ini. Susunlah sebanyak mungkin

pertanyaan yang berelasi dengan gambar tersebut

Pertanyaan dapat pula sebagai masalah dalam

kehidupan sehari-hari.

Jangan batasi jawabanmu pada pertanyaan yang pernah kamu lihat atau dengar,

dan usahakan sebanyak mungkin pertanyaan dan pertanyaan yang menantang

(Harpen dan Sriraman, 2013).

Dalam studi ini subyek berasal dari tiga budaya yang berbeda, demikian pula

dengan kurikulum, buku teks, suasana kelas yang berbeda. Oleh karena itu,

pedoman pemberian skor yang awal kemudian direvisi dan diberlakukan untuk

kelompok siswa dengan budaya yang sama. Total banyaknya total MPP yang

diajukan siswa menunjukkan skor kelancaran MPP siswa. Total banyaknya

katagori MPP yang diajukan siswa menunjukkan skor keluwesan MPP siswa dan

tidak perlu sama dengan skor kelancaran MPP. Kemudian keaslian MPP

ditentukan oleh kelangkaan MPP yang diajukan siswa pada kelompok budaya

yang sama dan tidak dapat diperbandingan antar budaya, dengan kriteria MPP

yang sesuai tingkat berpikirnya tersebut diajukan oleh kurang dari 10% dari

seluruh siswa dalam kelompok budaya. Jadi meskipun satu MPP diajukan oleh

kurang dari 10%, namun terlalu mudah maka MPP tersebut tidak digolongkan

pada dimensi keaslian.

Andai terdapat beberapa MPP sebagai berikut.

i) Hitunglah luas daerah dalam segitiga dan di luar lingkaran dalam dan tidak ada informasi tentang ukuran masing-masing. MPP di atas tergolong memiliki solusi

namun data tidak mencukupi. Oleh karena itu MPP ini dieliminasi dalam analisis

dimensi kreatif MPP.

ii) Andai lingkaran dalam tersebut memiliki jejari 5 satuan panjang. Berapa luas dan keliling lingkaran dalam tersebut? MPP tersebut memiliki solusi dan dengan

data mencukupi. Namun, tugas dalam MPP tersebut terlalu mudah untuk siswa

SMA, oleh karena itu MPP itu juga dieliminasi untuk analisis dimensi kreatif

siswa SMA.

iii) Misal MPP pertama: Diberikan panjang ketiga sisi suatu segitiga adalah 3, 4. 5 satuan panjang. Hitunglah luas lingkaran dalamnya (atau: Berapa luas lingkaran

dalamnya?)

iv) Misal MPP kedua: Diberikan ketiga sisi segitiga tersebut adalah 5, 6, 7 satuan panjang. Hitunglah luas lingkaran dalamnya (atau: Berapa luas lingkaran

dalamnya?). Kedua MPP tersebut tergolong dalam satu katagori, karena MPP

tersebut dapat dinyatakan sebagai: Diketahui panjang ketiga sisi suatu segitiga.

25

Hitunglah luas lingkaran dalamnya. Jadi kedua respons tersebut dinilai memiliki

satu dimensi keluwesan MPP yang sama.

v) Misal diajukan MPP: a) Berapa keliling segitiga jika diameter lingkaran dalamnya 1? b) Dalam segitiga siku-siku ABC, A (0,3), B (4,0), dilukis lingkaran dalam

segitiga. Andaikan titik P bergerak dari titik B ke titik A. Kalau PC dan PB

mencapai maksimum, berapa koordinat P?

c) Andaikan dua sisi segitiga adalah 3 dan 6. Hitunglah keliling segitiga jika luas lingkaran dalam mencapai nilai maksimum.

Ketiga MPP di atas tergolong kreatif, karena masing-masing memiliki tugas yang

tidak biasa. Bila MPP tersebut diajukan oleh kurang dari 10% dari jumlah siswa

pada masing-masing kelompok budaya maka MPP tersebut digolongkan asli.

Cara pemberian skor MPP yang lain dikemukakan oleh Rosli, Goldsby,

Capraro (2013) yang didasarkan pada empat komponen MPP yaitu: pemahaman

konsep, solusi masalah, kekreatifan masalah, dan solusi masalah dari partner.

Pemberian skor tiap komponen berdasarkan kriteria seperti pada Tabel 6.

Tabel 6

Kriteria Pemberian Skor Dimensi Kreatif MPP

(Dirangkum dari studi Rosli, Goldsby, Capraro, 2013)

Pemahaman

Konsep

Solusi

Masalah

Kekreatifan

Masalah

Solusi masalah

Partner

Baik : skor 4 Semua benar: skor 4

Sangat berbeda: skor 4 Semua benar: skor 4

Sedang: skor 2 Sebagian benar: skor 2

Sebag. berbeda: skor 2

Sebag.benar: skor 2

Kurang :skor 1 Sedikit benar: skor 1

Sedikit berbeda: skor 1 Sedikit benar: skor 1

D. Beberapa Penelitian yang Relevan

Hendriana (2002) melakukan studi tentang MPP terhadap siswa SMU dengan

menerapkan pembelajaran berbalik (reciprocal teaching). Dalam studi ini Hendriana

menganalisis MPP dalam hubungannya dengan MPS yaitu MPP sebelum, selama, dan

sesudah melakukan MPS (Silver, Mamona-Downs, Leung, Kenney dalam Kadir,

2000). Analisis kualitas MPP mirip seperti pada Diagram 1 (Bonotto, 2013, Silver dan

Cai, 1996, dan Yuan dan Sriraman, 2010 dalam Rosli, Goldsby dan Capraro, 2013).

Pemberian skor MPP tidak dikaitkan dengan dimensi kreatif, namun dengan kriteria

seperti pada Tabel 1. Studi menemukan bahwa kemampuan dan peningkatan MPP

siswa dalam ketiga aspek MPP (sebelum, selama, dan sesudah MPS) yang mendapat

pembelajaran terbalik lebih baik dari MPP siswa yang mendapat pembelajaran

konvensional. Demikian pula kemampuan MPS siswa yang mendapat pembelajaran

terbalik lebih baik dari MPS siswa yang mendapat pembelajaran konvensional.

Singer, Ellerton, dan Cai (2013) membahas secara mendalam beberapa studi

berkenaan problem posing. Mereka mengupas temuan beberapa studi di antaranya:

masalah yang diajukan siswa memajukan kreativitas siswa (Silver, 1997; Yuan dan

Sriraman, 2011, dalam Singer, Ellerton, dan Cai, 2013); kegiatan problem posing

siswa mendukung perolehan dalam reading comprehension (Rosenshine, Meister, dan

Chapman, 1996 dalam Singer, Ellerton, dan Cai, 2013); kegiatan problem posing

26

memberikan pengaruh positif terhadap belajar siswa (Cai dan Hwang, 2002, dalam

Singer, Ellerton, dan Cai, 2013); kemampuan mengajukan masalah yang kompleks

mendukung tumbuhnya kemampuan problem solving (Cai dan Hwang, 2002, dalam

Singer, Ellerton, dan Cai (2013).

Beberapa studi berkenaan dengan MPP mengkaitkannya dengan kemampuan

MPS (Elerton, 2013, Cang dkk., 2012, Rosli, Goldsby, Capraro, 2013, Singer, dan

Voica, 2013), dengan penguasaan pada konten matematika (Harpen dan Presmeg,

2013, KESAN, KAYA, dan GVERCN, 2010), dengan dimensi kreatif matematik

(Harpen dan Presmeg, 2013, Bonotto, 2013, Shriki, 2013, Harpen, Sriraman, 2013);

dengan kurikulum dan pembelajaran matematika (Cai dkk, 2013, Leung, 2013, Singer,

Ellerton, Cai, 2013).

Studi Chang, K-E , Wu, L-J, Weng, S-E, Sung, Y-T. (2012) dengan disain

pretes-postes menerapkan kegiatan problem posing dengan bantuan komputer

terhadap 92 siswa kelas V SD untuk menelaah kemampuan mathematical problem

solving (MPS) dan kemampuan mathematical problem posing (MPP). Beberapa

temuan studi Chang dkk di antaranya adalah: 1) Tidak terdapat perbedaan kemampuan

MPS siswa dalam pretes dan postes antara kelas eksperimen dan kelas kontrol; dan

MPS siswa tergolong cukup baik (sekitar 75% dari skor total). 2) Tidak terdapat

perbedaan kemampuan MPP siswa dalam pretes antara kelas eksperimen dan kelas

kontrol, dan MPP siswa pada tiap dimensi (ketepatan, keluwesan, elaborasi, dan

keaslian). Secara keseluruhan, pretes MPP siswa tergolong rendah. Setelah

pembelajaran, pada tiap dimensi MPP dan keseluruhan, MPP siswa dengan kegiatan

problem posing lebih tinggi dari pada MPP siswa kelas kontrol. Temuan tersebut

menunjukkan bahwa pembelajaran dengan kegiatan MPP lebih efektif meningkatkan

kemampuan MPP siswa.

Studi lain, Elerton (2013) mengeksperimenkan pembelajaran matematika

dengan menggunakan proyek menyusun MPP pada mahasiswa calon guru matematika

SMP. Elerton melaporkan beberapa temuan di antaranya: a) Secara keseluruhan (n =

154) mahasiswa cenderung lebih suka menyelesaikan masalah matematik dari pada

mengajukan masalah matematik; b) Tugas menyusun MPP merupakan pengalaman

pertama bagi mahasiswa, mereka perlu mendapat kesempatan yang lebih besar untuk

menyusun MPP. Mahasiswa memberikan banyak respons terhadap kuesioner tentang

MPP. Beberapa respons terhadap tugas MPP yang dilaporkan Elerton (2013) di

antaranya adalah: a) Mahasiswa mengemukakan bahwa dengan mengkreasi masalah

sendiri akan membantu memahami konsep lebih baik; b) Selanjutnya mahasiswa

mengemukakan bahwa seseorang tidak dapat menyusun masalah jika ia tidak

memahami konsep yang bersangkutan; c) Masalah rutin yang diajukan siswa jarang

dipoles dan sering memuat kata-kata yang kurang sempurna atau kurang logis; d)

Mahasiswa lebih suka dengan tugas menyelesaikan masalah (MPS) daripada tugas

menyusun masalah (MPP); e) Dalam tugas MPP rutin, kebanyakan mahasiswa

memberikan MPP dengan benar baik dalam konteks yang serupa maupun inversnya; f)

Dalam tugas proyek MPP, mahasiswa mengemukakan bahwa: Merancang konteks

yang berbeda untuk suatu masalah yang memiliki struktur yang serupa dengan

masalah asal merupakan tugas yang menantang.

Bonotto (2013) melakukan studi terhadap siswa kels 6 SD untuk menemukan

bahwa proses MPP merupakan satu bentuk inkuiri matematik yang sesuai untuk

diterapkan dalam kegiatan kelas paling tidak dalam soal ceritera. Tugas-tugas MPP

yang kurang terstruktur, terbuka akan mendorong berpikir luwes, memajukan

kemampuan MPS, dan menyiapkan siswa mengatasi masalah di luar kelas. Studi ini

juga menyarankan penelitian lanjut agar: a) menemukan korelasi antara kemampuan

27

akademik dan kemampuan kreatif siswa; b) Sejauh mana pembelajaran dan

pengalaman guru mempengaruhi proses kreatif siswa. Selanjutnya, peneliti menaruh

perhatian lebih dalam terhadap pengembangan MPP siswa dan mengembangkan

metoda untuk menganalisis MPP yang dapat digunakan guru di kelas untuk

mengidentifikasi dan menilai kegiatan MPP dan kreativitas siswa.

Studi Shriki (2013) menerapkan strategi WIN (What-If-Not) terhadap siswa

SMA dan mahasiswa calon guru matematika, memberikan beberapa kesimpulan

sebagai berikut: 1) Studi tidak merumuskan definisi kreativitas secara konklusif. Guru

perlu diberi beragam informasi, alat, dan sumber agar mereka mampu

mengkonsolidasikan pandangan mereka terhadap isu-isu, dan memberi mereka

kesempatan menentukan pendekatan yang lebih sesuai dengan tujuan pembelajaran,

dan nilai dan keyakinan mereka; 2) Skor akhir kreativitas tidak memberikan informasi

secara khusus untuk tiap komponennya, namun lebih disukai skor relatifnya; 3)

Pendekatan MPP melalui strategi WIN dapat diadopsi untuk bidang studi lainnya, dan

model yang diusulkan untuk mengases pengembangan kreativitas dalam konteks

problem posing dapat diterapkan pada semua bidang studi tidak hanya dalam

matematika saja.

Studi Harpen dan Presmeg (2013) dengan subyek sejumlah siswa SMA dari

tiga jenis budaya yang berbeda yaitu budaya Amerika, budaya China, dan budaya

Jiaozhou dan memberikan dua jenis tes yaitu tes kemampuan matematik, dan tes MPP.

Beberapa kesimpulannya di antaranya adalah: 1) Keterbatasan studi ini di antaranya

adalah bahwa Tes MPP yang diajukan kepada ketiga budaya siswa tidak meminta

siswa menyusun MPP yang viable. Hal itu merupakan salah satu kelemahan studi ini;

Siswa berlatar belakang budaya Jiaozhou mencapai hasil tes konten matematika lebih

baik dari siswa dari budaya Amerika dan budaya China; namun dalam tes MPP siswa

budaya Jiaozhou menunjukkan hasil yang rendah dibandingkan hasil tes MPP siswa

Amerika dan siswa China; Hal tersebut menunjukkan bahwa hasil tes konten

matematika tidak menjamin hasil yang baik dalam tes MPP; 2) Dalam kelancaran dan

keluwesan MPP dalam konten kalkulus siswa budaya Jiaozhou dan Amerika

mengajukan lebih banyak MPP daripada siswa China, meskipun kalkulus belum

diajarkan pada ketiga kelompok siswa. Hal tersebut, menyarankan bahwa siswa harus

menguasai konten matematika dulu baru mereka dapat menyusun MPP dalam konten

tersebut; 3) Studi ini tidak memfokuskan MPP pada dimensi keaslian, namun MPP

keaslian yang diajukan oleh ketiga kelompok siswa menunjukkan konten matematika

yang kuat. Namun ditinjau dari persentase MPP