mata kuliah : matematika rekayasa lanjut kode mk : tks ... · fungsi genap dan fungsi ganjil...

12/4/2015

1

Sesi XI

FUNGSI dan GRAFIK

e-Mail : [email protected]

www.zacoeb.lecture.ub.ac.id

Hp. 081233978339

Mata Kuliah : Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb

FUNGSI

Secara intuitif, y dapat dipandang sebagai fungsi dari x, jika

terdapat aturan dimana nilai y (tunggal) menghubungkan

nilai x.

Contoh :

1. 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓

2. 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟗

12/4/2015

2

FUNGSI (Lanjutan)

Definisi :

Suatu fungsi adalah suatu himpunan

pasangan terurut (x,y) dimana

himpunan semua nilai x disebut

daerah asal (domain) dan himpunan

semua nilai y = f(x) disebut daerah

hasil (ko-domain) dari fungsi.

(Notasi : f : A → B)

FUNGSI (Lanjutan)

Untuk contoh 1, mendefinisikan suatu fungsi (namakan

fungsi itu f). Fungsi f adalah himpunan pasangan terurut

(x,y) sehingga x dan y memenuhi :

f = {(x,y)2x2 + 5}

Fungsi f ini memuat pasangan terurut (0,5); (1,7); (-1,7);

(2,13); (-2,13); …; (10,205), dan f memuat tak berhingga

banyak pasangan terurut.

x 0 1 -1 2 -2 … 10

y 5 7 7 13 13 … 205

12/4/2015

3

1. Himpunan : A, B

2. Fungsi : y = f(x)

x peubah bebas

y peubah tak bebas,

bergantung pada x

3. Daerah asal fungsi:

Df = A = {x | fungsi f terdefinisi}

4. Daerah hasil fungsi:

Wf = {y є B | y = f(x), x Df}

5. Grafik fungsi:

{(x,y) | x Df, y = f(x)}

FUNGSI (Lanjutan)

Catatan :

PENYAJIAN FUNGSI

Ada beberapa cara penyajian suatu fungsi yaitu :

a. Secara verbal : dengan uraian kata-kata.

b. Secara numerik : dengan tabel

c. Secara visual : dengan grafik

d. Secara aljabar : dengan aturan/rumusan eksplisit

12/4/2015

4

PENYAJIAN FUNGSI (Lanjutan)

a. Secara verbal

Contoh biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons

adalah B(w).

Aturan yang digunakan di Kantor Pos adalah sebagai

berikut :

Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,00 untuk berat

sampai satu ons, ditambah Rp 250,00 untuk setiap

ons tambahan sampai 5 ons.

b. Secara numerik

Contoh biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan

pada Tabel berikut :

Berat w

(dalam Ons)

Biaya B(w)

(dalam Rupiah)

0 < w 1 1000

1 < w 2 1250

2 < w 3 1500

3 < w 4 1750

4 < w 5 2000


12/4/2015

5

c. Secara visual

Contoh biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan

dalam grafik berikut :


d. Secara aljabar

Contoh biaya pengiriman surat tercatat dinyatakan

oleh fungsi berikut :

𝑩 𝒘 =

𝟏. 𝟎𝟎𝟎, jika 𝟎 < 𝒘 ≤ 𝟏𝟏. 𝟐𝟓𝟎, jika 𝟏 < 𝒘 ≤ 𝟐𝟏. 𝟓𝟎𝟎, jika 𝟐 < 𝒘 ≤ 𝟑𝟏. 𝟕𝟓𝟎, jika 𝟑 < 𝒘 ≤ 𝟒𝟐. 𝟎𝟎𝟎, jika 𝟒 < 𝒘 ≤ 𝟓


12/4/2015

6

JENIS FUNGSI

1. Fungsi linear

Bentuk umum :

y = f(x) = ax + b, a dan b konstanta

a = kemiringan garis

b = perpotongan garis dengan sumbu-y

Daerah asal, Df = dan daerah hasil, Wf =

Grafik :

JENIS FUNGSI (Lanjutan)

2. Polinomial

Bentuk umum :

y = f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x

2 + a1x + a0

an, an-1, …, a1, a0 = konstanta

n = derajad polinom (an0)

Daerah asal, Df =

Grafik :

12/4/2015

7

3. Fungsi Pangkat

Bentuk umum :

y = f(x) = xn, n N

Daerah asal, Df =

Grafik :


4. Fungsi Akar

Bentuk umum :

y = f(x) = 𝒙𝒏, n = 2, 3, 4, …

Daerah asal dan daerah hasil :

Df = [0,), Wf = [0,), jika n genap

Df = , Wf = , jika n ganjil

Grafik :


12/4/2015

8

5. Fungsi Kebalikan

Bentuk umum :

𝒚 =𝟏

𝒙, 𝒙 ≠ 𝟎


Df = - {0}, Wf = - {0}

Grafik :


6. Fungsi Rasional

Bentuk umum : 𝒚 =𝑷(𝒙)

𝑸(𝒙), dengan : P, Q adalah polinom

Daerah asal :

Df = - {xQ(x) = 0}

7. Fungsi Aljabar

Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat

dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu:

penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan

penarikan akar, yang dimulai dengan polinom.


12/4/2015

9

Catatan :

Fungsi linear, polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, fungsi

balikan dan fungsi rasional adalah fungsi aljabar.

8. Fungsi Trigonometri

a. Fungsi Sinus

b. Fungsi Cosinus

c. Fungsi Tangen

d. Fungsi trigonometri lainnya.


9. Fungsi Eksponensial

Bentuk umum :

𝒚 = 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙, a > 0


Df = , Wf = (0,)

Grafik :


12/4/2015

10

10. Fungsi Logaritma

Bentuk umum :

𝒚 = 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝒂x, a > 0


Df = (0,), Wf =

Grafik :


11. Fungsi Transenden

Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi

aljabar. Himpunan fungsi transenden mencakup fungsi

trigonometri, invers trigonometri, eksponensial dan

logaritma.

12. Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong

(piecewise function)

Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong

adalah fungsi dengan banyak aturan, dimana setiap

aturan berlaku pada bagian tertentu dari daerah asal.


12/4/2015

11

13. Fungsi genap dan fungsi ganjil

Definisi: jika fungsi f memenuhi f(-x) = f(x) untuk

setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi

genap.

Catatan:

Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-y.


Definisi: Jika fungsi f memenuhi f(-x) = -f(x) untuk

setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi

ganjil.

Catatan :

Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal.


12/4/2015

12

14. Fungsi naik dan fungsi turun

Definisi: 1. Fungsi f disebut naik pada selang I, jika

f(x1) < f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I.

2. Fungsi f disebut turun pada selang I, jika

f(x1) > f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I.


Secara umum fungsi mengatur hubungan antara variabel

bebas dan variabel terikat. Hubungan antara satu variabel

dengan variabel lain atau antara kumpulan variabel dengan

satu variabel lain banyak dijumpai dalam bidang teknik

sipil, seperti contoh beberapa fungsi berikut :

BIDANG TEKNIK SIPIL

1. Hubungan antara momen lentur (Mx) suatu penampang

dengan absis penam-pang tersebut (x) pada balok

sederhana sepanjang bentang (L) dengan beban merata

(q) yang diberikan oleh fungsi :

𝑴𝒙 =𝟏

𝟐𝒒𝑳𝒙 −

𝟏

𝟐𝒒𝒙𝟐

12/4/2015

13

2. Hubungan antara tegangan () dan regangan () suatu

bahan yang bermodulus elastis (E) dalam batas elastis

diberikan oleh fungsi :

𝝈 = 𝑬. 𝜺

BIDANG TEKNIK SIPIL (Lanjutan)

3. Hubungan antara kecepatan aliran air (v) pada saluran

terbuka yang memiliki keliling basah (R), koefisien

kekasaran dinding (c) dan kemiringan dasar saluran (i),

diberikan oleh fungsi :

𝒗 = 𝒄 𝑹. 𝒊

Grafik fungsi adalah presentasi fungsi menggunakan

gambar dengan mengacu pada sistem koordinat tertentu,

misalnya koordinat kartesius, koordinat polar dan

sebagainya.

Dengan grafik fungsi, perilaku fungsi lebih mudah

diamati misalnya, apakah fungsi naik, fungsi turun,

mencapai maksimum/minimum atau mencapai nol.

Disamping itu dengan memahami bentuk-bentuk grafik

fungsi dapat membantu menemukan persamaan fungsi

dari peristiwa alam yang diketahui datanya secara

diskrit.

GRAFIK FUNGSI

12/4/2015

14

Berikut ini diberikan contoh-contoh grafik fungsi yang

digunakan dalam bidang teknik sipil :

GRAFIK FUNGSI (Lanjutan)

1. Grafik fungsi gaya lintang pada balok sederhana yang

mendapat beban terbagi merata sepanjang batang

seperti gambar berikut :


12/4/2015

15

2. Grafik fungsi momen lentur pada balok kantilever yang

mendapat beban terbagi terbagi merata seperti gambar

berikut :


3. Grafik hubungan antara defleksi puncak frame dua

batang yang dianalisis secara non-linier geometri

seperti gambar berikut :


12/4/2015

16

4. Grafik hubungan antara kadar air dan volume tanah

pada batas-batas konsistensi seperti gambar berikut :


1. Fungsi digunakan dalam bidang teknik sipil untuk

menyatakan hubungan antara variabel bebas dengan

variabel terikat.

2. Fungsi-fungsi tersebut digunakan dalam berbagai

kajian bidang teknik sipil seperti rekayasa struktur,

rekayasa geoteknik, rekayasa keairan, rekayasa

transportasi, manajemen konstruksi, dan lain-lain.

3. Grafik fungsi digunakan untuk mempresentasikan

fungsi secara visual dalam bentuk gambar.

RANGKUMAN

12/4/2015

17

LATIHAN

Gambarkan grafik dari fungsi SPL berikut :

1. 𝑥 + 2𝑦 = 1

3𝑥 − 𝑦 = 10

2. 4𝑥 + 𝑦 = 17

3𝑥 − 4𝑦 = 27

3. 4𝑥 + 5𝑦 = 2

11𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 3

𝑥 + 5𝑦 + 2𝑧 = 1

4. 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 1

2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2

𝑥 − 2𝑦 − 4𝑧 = −4

Thanks for your kind attention!

mata kuliah : matematika rekayasa lanjut kode mk : tks ... · fungsi genap dan fungsi ganjil...

Documents