f(x) x t periode = t gambar 1. fungsi...

DERET dan TRANSFORMASI FOURIER 1

BAB I DERET FOURIER

Tujuan Instruksional: • Mampu memahami konsep Fungsi Periodik, Harmonisa, Analisanya • Mampu memahami Deret Fourier bentuk Trigonometri • Mampu memahami Deret Fourier pada Fungsi Genap-Ganjil dan Fungsi

Periode=T • Mampu memahami Penguraian Setengah Kisaran

1.1 Fungsi Periodik Fungsi f(x) dikatakan periodik jika nilai-nilai fungsinya berulang secara berkala pada suatu interval tertentu. Nilai interval tertentu disebut periode f(x). f(x) dengan periode T dituliskan sebagai:

f(x)=f(x+T), T = periode f(x), dengan nilai konstanta positif.

f(x)

x

Periode = T

T

Gambar 1. Fungsi Periodik

1.2 Fungsi Sinusoida (a) f(x) = sin x Salah satu contoh sinyal periodik adalah f(x)= sin x seperti tampak pada Gambar 2. Nilai fungsi ini akan selalu berulang setelah interval 3600 atau 2π. Periode sin x (satu siklus penuh)= 2π dan Amplitudo sin x =1. Fungsi sin x mempunyai periode 2π, sin x juga dapat mempunyai periode 4π, 6π,.. Karena sin (x+2π), sin (x+4π), sin (x+6π),... sama dengan sin x maka 2π adalah periode terkecil atau periode sin x.


f(x)

periode = 2π

2π

1

π

-1

amplitudo

amplitudo

Gambar 2. Fungsi sin x

(b) f(x) = 5sin2x

Seperti tampak pada Gambar, fungsi ini mempunyai 2 siklus penuh pada 00-3600 , jadi periode = 1800 atau 2π/2. Amplitudo =5.

f(x)

2π

5

π

-5 Gambar 3. Fungsi 5sin 2x

(b) f(x) = Asin nx Dari dua contoh sebelumnya dapat disimpulkan bentuk umum fungsi Asin nx mempunyai periode 2π/n dan amplitudo= A. Bentuk Acos nx juga berlaku sama. Latihan Untuk soal berikut tentukan a. Amplitudo b. Periode ! 1. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠5𝑥𝑥 2. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠3𝑥𝑥 3. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥

2 4. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥

5. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠4𝑥𝑥 6.𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 7. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠6𝑥𝑥 8. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 6𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2𝑥𝑥

3


1.3 Fungsi Harmonik Fungsi f(x) periodik sembarang dapat dinyatakan sebagai jumlah fungsi sinusoida. Jumlah fungsi sinuoida yang dimaksud adalah jumlah fungsi sinusoida dan harmonisanya (kelipatan periode T). Contoh: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐴𝐴1 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 adalah fungsi sin x harmonisa ke-1 atau fundamental 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐴𝐴2 sin 2𝑥𝑥 adalah fungsi sin x harmonisa ke-2 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐴𝐴3 sin 3𝑥𝑥 adalah fungsi sin x harmonisa ke-3, dst Secara umum fungsi 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 dan harmonisanya dapat dituliskan sebagai

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐴𝐴𝑠𝑠 sin𝑠𝑠𝑥𝑥 dengan 𝐴𝐴𝑠𝑠 = amplitudo dan 2𝜋𝜋

𝑠𝑠 = periode

Fungsi sinusoida dan cosinusoida adalah fungsi periodik yang sederhana. Jika sebarang fungsi periodik dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi ini maka permasalahan sulit sebarang fungsi periodik dapat disederhanakan. 1.4 Fungsi Periodik Non-Sinusoida Fungsi periodik dapat berupa non sinuosida. Beberapa gambar berikut adalah contoh fungsi periodik non-sinusoida.

f(t)

4

6-4

8 1414 16 t(det) (a)

f(t)

3

2 5 86 11 t(det) (b)

f(t)

2

2 5 87 11(c)

t(det) 3

4

Periode = ...

Periode = ...

Periode = ...

Gambar 4. Fungsi Periodik Non Periodik


1.5 Analisa Grafik Fungsi Periodik Analisa grafik fungsi periodik adalah pembentukan rumus matematik yang dianalisa dari grafik periodik. Beberapa contoh analisa pada grafik fungsi periodik dijelaskan sbb. Contoh 1.

f(x)

3

4 6 10 12 x0

a. Rentang antara x=0 dan x=4, y=3 maka ditulis sbg f(x)=3 0<x<4 b. Rentang antara x=4 dan x=6, y=0 maka ditulis sbg f(x)=0 4<x<6 c. Periode = 6 maka ditulis sbg f(x+6)=f(x) Jadi analisa grafik periodik di atas berupa fungsi, yaitu:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �3 0 < 𝑥𝑥 < 40 4 < 𝑥𝑥 < 6

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 6) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

rumus terakhir menunjukkan f(x) mempunyai periode 6 Contoh 2.

f(x)

2

2 6 8 12 x0

a. Rentang antara 𝑥𝑥 = 0 dan 𝑥𝑥 = 2 ,𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 ; 0 < 𝑥𝑥 < 2 b. Rentang antara 𝑥𝑥 = 0 dan 𝑥𝑥 = 2 , 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥

2+ 3 → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥

2+ 3 ; 2 < 𝑥𝑥 < 6

c. Periode = 6 → 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 6) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) Jadi analisa grafik periodik di atas berupa fungsi:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑥𝑥 0 < 𝑥𝑥 < 23 −

𝑥𝑥2

2 < 𝑥𝑥 < 6�

𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 6) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) Contoh 3.


f(x)

5

8 16 x0

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =5𝑥𝑥8 ; 0 < 𝑥𝑥 < 8

𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 8) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) Latihan Untuk grafik periodik berikut tentukan analisa fungsinya!


Latihan Gambarkan grafik untuk model fungsi berikut:

1. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �4 ; 0 < 𝑥𝑥 < 50 ; 5 < 𝑥𝑥 < 8

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 8) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 2. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2; 0 < 𝑥𝑥 < 3 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 3) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

3. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 ; 0 < 𝑥𝑥 < 𝜋𝜋0 ; 𝜋𝜋 < 𝑥𝑥 < 2𝜋𝜋

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 2𝜋𝜋) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

4. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �

𝑥𝑥2 ; 0 < 𝑥𝑥 < 𝜋𝜋

𝜋𝜋 −𝑥𝑥2

; 𝜋𝜋 < 𝑥𝑥 < 2𝜋𝜋�

𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 2𝜋𝜋) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

5. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �

𝑥𝑥2

4 ; 0 < 𝑥𝑥 < 44 ; 4 < 𝑥𝑥 < 60 ; 6 < 𝑥𝑥 < 8

�

𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 8) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 1.6 Integral Beberapa Fungsi Periodik Khusus Integral beberapa fungsi periodik khusus adalah integral fungsi yang akan banyak ditemukan pada pembahasan deret Fourier. Integrasi dilakukan pada fungsi sinusoida dan cosinusoida pada rentang satu periode mulai –π - π (periode 2π).

1. �𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋

= 𝑥𝑥 � 𝜋𝜋−𝜋𝜋� = 𝜋𝜋 − (−𝜋𝜋) = 2𝜋𝜋

2. � cos𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋

=sin𝑠𝑠𝑥𝑥𝑠𝑠

� 𝜋𝜋−𝜋𝜋� =

1𝑠𝑠

(sin𝑠𝑠𝜋𝜋 − (sin(−𝑠𝑠𝜋𝜋))

=1𝑠𝑠 (sin𝑠𝑠𝜋𝜋 + sin𝑠𝑠𝜋𝜋) = 0

karena sin nπ = 0 untuk n = 1,2,3, …


3. � sin𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋

=−cos𝑠𝑠𝑥𝑥

𝑠𝑠� 𝜋𝜋−𝜋𝜋

�

=1𝑠𝑠

(−cos𝑠𝑠𝜋𝜋 − (−cos(−𝑠𝑠𝜋𝜋))

=1𝑠𝑠 (−cos𝑠𝑠𝜋𝜋 + cos𝑠𝑠𝜋𝜋) = 0

karena cos(− nπ) = cos nπ

4. � cos2 𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋

=sin 2𝑠𝑠𝑥𝑥

4𝑠𝑠� 𝜋𝜋−𝜋𝜋

� +12 𝑥𝑥 � 𝜋𝜋−𝜋𝜋

�

=12 𝑥𝑥 � 𝜋𝜋−𝜋𝜋

� = 𝜋𝜋 karena sin 2𝑠𝑠𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠 sin−2𝑠𝑠𝜋𝜋 = 0

cos2 𝑠𝑠𝑥𝑥 =cos 2𝑠𝑠𝑥𝑥 + 1

2

5. � sin2 𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋


� −sin 2𝑠𝑠𝑥𝑥

4𝑠𝑠� 𝜋𝜋−𝜋𝜋

� karena sin2 𝑠𝑠𝑥𝑥

=1 − cos 2𝑠𝑠𝑥𝑥

2


� = 𝜋𝜋 karena sin 2𝑠𝑠𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠 sin−2𝑠𝑠𝜋𝜋 = 0

6. � 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋

=12� [𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 (𝑚𝑚 + 𝑠𝑠)𝑥𝑥 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 (𝑚𝑚− 𝑠𝑠)𝑥𝑥 ]𝑑𝑑𝑥𝑥 𝜋𝜋

−𝜋𝜋

=12�𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝑚𝑚 + 𝑠𝑠)

(𝑚𝑚 + 𝑠𝑠)+𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝑚𝑚− 𝑠𝑠)

(𝑚𝑚 − 𝑠𝑠)�𝜋𝜋

−𝜋𝜋 𝑚𝑚 ≠ 𝑠𝑠

=12�𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝑚𝑚 + 𝑠𝑠)𝜋𝜋

(𝑚𝑚 + 𝑠𝑠)+𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝑚𝑚− 𝑠𝑠)𝜋𝜋

(𝑚𝑚 − 𝑠𝑠)�

− �𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝑚𝑚 + 𝑠𝑠) (−𝜋𝜋)

(𝑚𝑚 + 𝑠𝑠)+𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑚𝑚− 𝑠𝑠)(−𝜋𝜋)

(𝑚𝑚− 𝑠𝑠)�

= 0 , karena 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐴𝐴𝜋𝜋 = 0 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠 sin𝐴𝐴(−𝜋𝜋) = −𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝐴𝐴𝜋𝜋 = 0


𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝐴𝐴 + 𝐵𝐵) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝐵𝐵 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝐴𝐴𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝐵𝐵 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝐴𝐴 − 𝐵𝐵) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝐵𝐵 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝐴𝐴𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝐵𝐵 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝐵𝐵 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝐴𝐴 + 𝐵𝐵) + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝐴𝐴 − 𝐵𝐵)

7. � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋

=12� [𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 (𝑚𝑚 − 𝑠𝑠)𝑥𝑥 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 (𝑚𝑚 + 𝑠𝑠)𝑥𝑥 ]𝑑𝑑𝑥𝑥 𝜋𝜋

−𝜋𝜋

=12�𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝑚𝑚− 𝑠𝑠)

(𝑚𝑚 − 𝑠𝑠)−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝑚𝑚 + 𝑠𝑠)

(𝑚𝑚 + 𝑠𝑠)�𝜋𝜋


=12 �𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝑚𝑚 − 𝑠𝑠)𝜋𝜋

(𝑚𝑚 − 𝑠𝑠) −𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝑚𝑚 + 𝑠𝑠)𝜋𝜋

(𝑚𝑚 + 𝑠𝑠) �

− �𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝑚𝑚 − 𝑠𝑠) (−𝜋𝜋)

(𝑚𝑚− 𝑠𝑠) −𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑚𝑚 + 𝑠𝑠)(−𝜋𝜋)

(𝑚𝑚 + 𝑠𝑠)�

= 0 karena 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐴𝐴𝜋𝜋 = 0 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐴𝐴(−𝜋𝜋) = −𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐴𝐴𝜋𝜋 = 0 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝐴𝐴 − 𝐵𝐵) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝐵𝐵 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝐴𝐴𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝐵𝐵 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝐴𝐴 + 𝐵𝐵) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝐵𝐵 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝐴𝐴𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝐵𝐵 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝐴𝐴𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝐵𝐵 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝐴𝐴 − 𝐵𝐵) − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝐴𝐴 + 𝐵𝐵)

8. � 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋

=12� [𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝑚𝑚 + 𝑠𝑠)𝑥𝑥 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝑚𝑚− 𝑠𝑠)𝑥𝑥 ]𝑑𝑑𝑥𝑥 𝜋𝜋

−𝜋𝜋

=12�𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 (𝑚𝑚 + 𝑠𝑠)

(𝑚𝑚 + 𝑠𝑠)−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 (𝑚𝑚 − 𝑠𝑠)

(𝑚𝑚− 𝑠𝑠)�𝜋𝜋


=12 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 (𝑚𝑚 + 𝑠𝑠)𝜋𝜋

(𝑚𝑚 + 𝑠𝑠) −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 (𝑚𝑚 − 𝑠𝑠)𝜋𝜋

(𝑚𝑚− 𝑠𝑠) �

− �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 (𝑚𝑚 + 𝑠𝑠) (−𝜋𝜋)

(𝑚𝑚 + 𝑠𝑠) −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑚𝑚 − 𝑠𝑠)(−𝜋𝜋)

(𝑚𝑚 − 𝑠𝑠)�

= 0 karena 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝐴𝐴 + 𝐵𝐵) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝐴𝐴𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝐵𝐵 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝐵𝐵 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝐴𝐴 − 𝐵𝐵) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝐴𝐴𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝐵𝐵 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝐵𝐵 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝐴𝐴𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝐵𝐵 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝐴𝐴 + 𝐵𝐵) + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝐴𝐴 − 𝐵𝐵)


9. �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋

=12� [𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥 ]𝑑𝑑𝑥𝑥 𝜋𝜋

−𝜋𝜋

=−cos𝑠𝑠𝑥𝑥

𝑠𝑠� 𝜋𝜋−𝜋𝜋

�

=1𝑠𝑠

(−cos𝑠𝑠𝜋𝜋 − (−cos(−𝑠𝑠𝜋𝜋))

=1𝑠𝑠

(−cos𝑠𝑠𝜋𝜋 + cos𝑠𝑠𝜋𝜋) = 0 karena 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(2𝐴𝐴) = 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝐴𝐴𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝐴𝐴

Hasil yang sama akan diperoleh, tidak peduli dimana titik akhir asal periode 2π yang dapat dijelaskan sbb:

� cos 𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑘𝑘+2𝜋𝜋

𝑘𝑘

=sin𝑠𝑠𝑥𝑥𝑠𝑠

�𝑘𝑘 + 2𝜋𝜋𝑘𝑘

�

=1𝑠𝑠 (sin𝑠𝑠(𝑘𝑘 + 2𝜋𝜋) − (sin(𝑠𝑠𝑘𝑘))

= 0, karena sin(𝑠𝑠𝑘𝑘 + 2𝑠𝑠𝜋𝜋) = sin(𝑠𝑠𝑘𝑘)

1.7 Fungsi Orthogonal Jika terdapat dua fungsi yaitu f(x) dan g(x) pada interval a≤x≤b dimana:

�𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑑𝑑

= 0

maka f(x) saling tegak lurus (orthogonal) terhadap g(x) pada interval a≤x≤b Beberapa contoh fungsi orthogonal sbb:

� 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋

= 0 untuk 𝑚𝑚 ≠ 𝑠𝑠


� 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋

= 0 untuk 𝑚𝑚 ≠ 𝑠𝑠

� 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋

= 0

1.8 Deret Fourier Jika suatu fungsi f(x) terdifinisi pada interval (-π, π) dan f(x)=f(x+2πn), n= bilangan bulat positif. Maka f(x) dapat dinyatakan dalam deret Fourier sebagai

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =𝑑𝑑0

2 + �(𝑑𝑑𝑠𝑠 cos𝑠𝑠𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑠𝑠 sin𝑠𝑠𝑥𝑥)∞

𝑠𝑠=1

a0, an dan bn disebut koefisien fourier yang dinyatakan sebagai

𝑑𝑑0 =1𝜋𝜋� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋

𝑑𝑑𝑠𝑠 =1𝜋𝜋� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) cos𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋

𝑏𝑏𝑠𝑠 =1𝜋𝜋� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) sin𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋

a0, an dan bn di atas dapat dibuktikan dengan penjelasan berikut. Untuk mendapatkan a0 maka kedua ruas diintegralkan pada rentang (-π, π).

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋= � �

𝑑𝑑0


𝑠𝑠=1

� 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝜋𝜋

−𝜋𝜋= �

𝑑𝑑0

2

𝜋𝜋

−𝜋𝜋𝑑𝑑𝑥𝑥 + �� (𝑑𝑑𝑠𝑠 cos𝑠𝑠𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑠𝑠 sin𝑠𝑠𝑥𝑥)

𝜋𝜋

−𝜋𝜋

∞

𝑠𝑠=1

𝑑𝑑𝑥𝑥

karena ∫ (𝑑𝑑𝑠𝑠 cos𝑠𝑠𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑠𝑠 sin𝑠𝑠𝑥𝑥)𝜋𝜋

−𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0, maka


� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋= �

𝑑𝑑0

2 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋=𝑑𝑑0

2 𝜋𝜋 − �−𝑑𝑑0

2 𝜋𝜋�

= 𝑑𝑑0𝜋𝜋 Jadi


−𝜋𝜋

Untuk mendapatkan an maka kedua ruas dikalikan cos𝑚𝑚𝑥𝑥 , dengan m= sembarang bilangan bulat positif dan diintegralkan pada rentang (-π, π), sehingga

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) cos𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋= � �

𝑑𝑑0


𝑠𝑠=1

� cos𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋

setelah mengintegralkan ruas kanan suku demi suku, ruas kanannya didapatkan 𝑑𝑑0

2� cos𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋+ �� (𝑑𝑑𝑠𝑠 cos𝑠𝑠𝑥𝑥 cos𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑠𝑠 sin 𝑠𝑠𝑥𝑥 cos𝑚𝑚𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

𝜋𝜋

−𝜋𝜋

∞

𝑠𝑠=1

suku pertama = nol, karena ∫ cos𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋 = 0 diketahui bahwa � cos𝑠𝑠𝑥𝑥 cos𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 =𝜋𝜋

−𝜋𝜋

12� cos(𝑠𝑠 + 𝑚𝑚)𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋+

12� cos(𝑠𝑠 − 𝑚𝑚)𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋

� sin 𝑠𝑠𝑥𝑥 cos𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 =𝜋𝜋

−𝜋𝜋

12� sin(𝑠𝑠 + 𝑚𝑚)𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋+

12� sin(𝑠𝑠 −𝑚𝑚)𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋

Pengintegralan keempat suku di atas menghasilkan nol kecuali untuk m=n

12� cos(𝑠𝑠 −𝑚𝑚)𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋=

12� cos(0𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋=

12� 1𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋

=12 𝑥𝑥

� 𝜋𝜋−𝜋𝜋� =

12�𝜋𝜋 − (−𝜋𝜋)� = 𝜋𝜋

Jadi � 𝑓𝑓(𝑥𝑥) cos𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋= 𝑑𝑑𝑠𝑠𝜋𝜋

𝑑𝑑𝑠𝑠 =1𝜋𝜋� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) cos𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋


Untuk mendapatkan bn maka kedua ruas dikalikan sin 𝑚𝑚𝑥𝑥 , dengan m= sembarang bilangan bulat positif dan diintegralkan pada rentang (-π, π), sehingga

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) sin𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋= � �

𝑑𝑑0


𝑠𝑠=1

� sin𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋

setelah mengintegralkan ruas kanan suku demi suku, ruas kanannya didapatkan 𝑑𝑑0

2� sin𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋+ �� (𝑑𝑑𝑠𝑠 cos𝑠𝑠𝑥𝑥 sin𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑠𝑠 sin𝑠𝑠𝑥𝑥 sin𝑚𝑚𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

𝜋𝜋

−𝜋𝜋

∞

𝑠𝑠=1

suku pertama = nol, karena ∫ sin𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋−𝜋𝜋 = 0.

diketahui bahwa � cos𝑠𝑠𝑥𝑥 sin𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 =𝜋𝜋

−𝜋𝜋

12� sin(𝑠𝑠 + 𝑚𝑚)𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋+

12� sin(𝑠𝑠 − 𝑚𝑚)𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋

� sin 𝑠𝑠𝑥𝑥 sin𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 =𝜋𝜋

−𝜋𝜋

12� cos(𝑠𝑠 − 𝑚𝑚)𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋−

12� cos(𝑠𝑠 + 𝑚𝑚)𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋

Pengintegralan keempat suku di atas menghasilkan nol kecuali untuk m=n

12� cos(𝑠𝑠 −𝑚𝑚)𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋=

12� cos(0𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋=

12� 1𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋= 𝜋𝜋

Jadi jika ditulis kembali menjadi � 𝑓𝑓(𝑥𝑥) sin𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋= 𝑏𝑏𝑠𝑠𝜋𝜋

𝑏𝑏𝑠𝑠 =1𝜋𝜋� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) sin𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

−𝜋𝜋

Contoh 1. Tentukan deret Fourier dari grafik fungsi periodik berikut

Jawab. Analisa grafik fungsi periodik adalah


𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

⎩⎪⎨

⎪⎧0 − 𝜋𝜋 < 𝑥𝑥 < −

𝜋𝜋2

4 −𝜋𝜋2 < 𝑥𝑥 <

𝜋𝜋2

0 𝜋𝜋2 < 𝑥𝑥 < 𝜋𝜋

�

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 2𝜋𝜋) dari rumus deret Fourier didapat



𝑠𝑠=1


−𝜋𝜋

=1𝜋𝜋�� 0𝑑𝑑𝑥𝑥

−𝜋𝜋/2

−𝜋𝜋+ � 4𝑑𝑑𝑥𝑥 +

𝜋𝜋/2

−𝜋𝜋/2� 0𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

𝜋𝜋/2�

=4𝜋𝜋�𝑥𝑥 � 𝜋𝜋/2

−𝜋𝜋/2�� = 4


−𝜋𝜋

=1𝜋𝜋�� 0 cos𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

−𝜋𝜋/2

−𝜋𝜋

+ � 4 cos𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 +𝜋𝜋/2

−𝜋𝜋/2� 0 cos𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

𝜋𝜋/2�

=4𝜋𝜋�� cos𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

𝜋𝜋/2

−𝜋𝜋/2� =

4𝜋𝜋�sin𝑠𝑠𝑥𝑥𝑠𝑠

� 𝜋𝜋/2−𝜋𝜋/2

��

=4𝜋𝜋�sin𝑠𝑠𝜋𝜋/2

𝑠𝑠+

sin𝑠𝑠𝜋𝜋/2𝑠𝑠

� =8𝑠𝑠𝜋𝜋

sin(𝑠𝑠𝜋𝜋2 )

jika kita substitusi nilai n dengan bilangan bulat postif maka 𝑑𝑑𝑠𝑠untuk n= genap 8

𝑠𝑠𝜋𝜋sin(𝑠𝑠𝜋𝜋

2) = 0

𝑑𝑑𝑠𝑠untuk n=1,5,9,... 8𝑠𝑠𝜋𝜋

sin(𝑠𝑠𝜋𝜋2

) = 8𝑠𝑠𝜋𝜋




) = − 8𝑠𝑠𝜋𝜋


−𝜋𝜋

=1𝜋𝜋�� 0 sin𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

−𝜋𝜋2

−𝜋𝜋+ � 4 sin𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 +

𝜋𝜋2

−𝜋𝜋2

� 0 sin𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

𝜋𝜋2

�

=4𝜋𝜋�� sin𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

𝜋𝜋/2

−𝜋𝜋/2� =

4𝜋𝜋�− cos𝑠𝑠𝑥𝑥

𝑠𝑠� 𝜋𝜋/2−𝜋𝜋/2

��

=4𝜋𝜋�− cos𝑠𝑠𝜋𝜋/2

𝑠𝑠+

cos𝑠𝑠𝜋𝜋/2𝑠𝑠

� = 0 Jadi koefisien Fouriernya adalah 𝑑𝑑0 = 4; 𝑏𝑏𝑠𝑠 = 0 dan 𝑑𝑑𝑠𝑠untuk n= genap 8

𝑠𝑠𝜋𝜋sin(𝑠𝑠𝜋𝜋

2) = 0



) = 8𝑠𝑠𝜋𝜋



) = − 8𝑠𝑠𝜋𝜋

sehingga deret Fourier dari f(x)



𝑠𝑠=1

=𝑑𝑑0

2 + �(𝑑𝑑𝑠𝑠 cos𝑠𝑠𝑥𝑥)∞

𝑠𝑠=1

; 𝑘𝑘𝑑𝑑𝑘𝑘𝑘𝑘𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑏𝑏𝑠𝑠 = 0

= 2 +8𝜋𝜋�cos 𝑥𝑥

1−

cos 3𝑥𝑥3 +

cos 5𝑥𝑥5 −

cos 7𝑥𝑥7 + ⋯�

Pada contoh ini didapatkan deret Fourier dengan dua komponen yaitu komponen konstan (𝑑𝑑0

2) dan deret

cosinusoida (∑ (𝑑𝑑𝑠𝑠 cos𝑠𝑠𝑥𝑥)∞𝑠𝑠=1 )

Evaluasi hasil deret Fourier pada contoh ini ditunjukkan pada Gambar 5. Tampak bahwa jawaban deret Fourier mampu merepresentasikan grafik fungsi pada contoh. Untuk jumlah


harmonisa/deret/n yang makin besar tampilan deret Fourier semakin mendekati grafik fungsi.

Gambar 5. Evaluasi Deret Fourier Gel. Persegi n=20, n=100

Gambar 5 dihasilkan dari program Matlab sbb: %Evaluasi Hasil Deret Fourier gelombang persegi %Gambar 5 %oleh: sigit kusmaryanto clear all; clc; x = linspace(-2*pi,2*pi,10000); a0 = 2; f1=0; f2=0; n=input ('Jumlah Deret n= ');


% Grafik Gelombang persegi 1 X=[-2*pi, -1.5*pi, -1.5*pi, -0.5*pi, -0.5*pi, 0.5*pi, 0.5*pi, 1.5*pi, 1.5*pi, 2*pi]; Y=[4,4,0,0,4,4,0,0,4,4]; line(X,Y,'color','k','linewidth',3) grid on;hold on; % Deret Fourier Gelombang gigi gergaji for k=1:4:n f1 =f1+(8/pi)*cos(k*x)*(1/k); end for h=3:4:n f2 = f2+(8/pi)*cos(h*x)*(1/h); end f3 =a0+ f1 - f2; plot(x, f3, 'red','linewidth',2); grid on; xlabel('x'); ylabel('f(x)'); title(['Evaluasi Hasil Deret Fourier gelombang persegi dengan n = ',num2str(n)]) Contoh 2. Tentukan deret Fourier grafik fungsi periodik berikut:

Jawab. Analisa grafik fungsi periodik: Persamaan garis fungsi pada rentang 0 < 𝑥𝑥 < 2𝜋𝜋 adalah

𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1

𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1=𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1

𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1 →

𝑦𝑦 − 0𝜋𝜋 − 0 =

𝑥𝑥 − 02𝜋𝜋 − 0

𝑦𝑦 =𝑥𝑥2

jadi analisa grafik fungsi periodik adalah 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

𝑥𝑥2 0 < 𝑥𝑥 < 2𝜋𝜋

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 2𝜋𝜋)


dari rumus deret Fourier didapat


2 + �(𝑑𝑑𝑠𝑠 cos 𝑠𝑠𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑠𝑠 sin𝑠𝑠𝑥𝑥)∞

𝑠𝑠=1

𝑑𝑑0 =1𝜋𝜋� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

2𝜋𝜋

0

=1𝜋𝜋�

𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥

2𝜋𝜋

0=

14𝜋𝜋

[𝑥𝑥2]2𝜋𝜋0

= 𝜋𝜋

𝑑𝑑𝑠𝑠 =1𝜋𝜋� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) cos𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

2𝜋𝜋

0

=1

2𝜋𝜋� 𝑥𝑥 cos𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

2𝜋𝜋

0

dengan menerapkan integral bagian demi bagian yaitu

� 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑢𝑢.𝑑𝑑 −�𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢

� 𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 → 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥; 𝑑𝑑𝑑𝑑 = cos𝑠𝑠𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

� 𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 =𝑥𝑥𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥 −

1𝑠𝑠�𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

=𝑥𝑥𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥 −

1𝑠𝑠2 [−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥]

sehingga

12𝜋𝜋

� 𝑥𝑥 cos𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥2𝜋𝜋

0=

12𝜋𝜋

�𝑥𝑥

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥 −

1

𝑠𝑠2[−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥]�

2𝜋𝜋

0

=1

2𝜋𝜋�(

2𝜋𝜋𝑠𝑠

sin 2𝑠𝑠𝜋𝜋 − 0) −1

𝑠𝑠2[−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 2𝑠𝑠𝜋𝜋 − (−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠0)]�

=1

2𝜋𝜋�(0 − 0) −

1

𝑠𝑠2[−1 − (−1)]� = 0

𝑏𝑏𝑠𝑠 =1𝜋𝜋� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

2𝜋𝜋

0


=1

2𝜋𝜋� 𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

2𝜋𝜋

0

dengan menerapkan integral bagian demi bagian yaitu

� 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑢𝑢.𝑑𝑑 −�𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢

� 𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 → 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥; 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

� 𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 = −𝑥𝑥𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥 +

1𝑠𝑠� 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

= −𝑥𝑥𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥 +

1𝑠𝑠2 [𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥]

sehingga

12𝜋𝜋

� 𝑥𝑥 sin𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥2𝜋𝜋

0=

12𝜋𝜋

�−𝑥𝑥𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥 +

1𝑠𝑠2 [𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥]�

2𝜋𝜋

0

=1

2𝜋𝜋��−

2𝜋𝜋𝑠𝑠

cos 2𝑠𝑠𝜋𝜋 − 0� +1

𝑠𝑠2[𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2𝑠𝑠𝜋𝜋 − (sin 0)]�

=1

2𝜋𝜋�(−

2𝜋𝜋𝑠𝑠− 0) −

1

𝑠𝑠2[0 − 0]� = −

1𝑠𝑠

Jadi koefisien Fourier 𝑑𝑑0 = 𝜋𝜋,𝑑𝑑𝑠𝑠 = 0, 𝑏𝑏𝑠𝑠 = − 1

𝑠𝑠

Sehingga deret Fourier f(x) adalah



𝑠𝑠=1

=𝑑𝑑0

2 + �(𝑏𝑏𝑠𝑠 sin𝑠𝑠𝑥𝑥)∞

𝑠𝑠=1

; 𝑘𝑘𝑑𝑑𝑘𝑘𝑘𝑘𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑠𝑠 = 0

=𝜋𝜋2− �

sin𝑥𝑥1

+sin 2𝑥𝑥

2 +sin 3𝑥𝑥

3 + ⋯� Evaluasi hasil deret Fourier gelombang gigi gergaji ditunjukkan pada Gambar 6.


Gambar 6. Evaluasi Hasil Deret Fourier Fungsi Gigi Gergaji n=5, n=50

%Evaluasi Hasil Deret Fourier gelombang %gigi gergaji Gambar 6 %oleh: sigit kusmaryanto clear all; clc; x = linspace(0,4*pi,10000); a0 = pi/2; f1=0; n=input ('Jumlah Deret n= '); % Grafik Gelombang gigi gergaji X=[0,2*pi, 2*pi, 4*pi, 4*pi ]; Y=[0,pi,0,pi,0 ]; line(X,Y,'color','k','linewidth',3) grid on;hold on; % Deret Fourier Gelombang gigi gergaji for k=1:1:n f1 =f1+sin(k*x)*(1/k);


end f3 =a0- f1 ; plot(x, f3, 'red','linewidth',2); grid on; xlabel('x(rad)'); ylabel('f(x)'); title(['Evaluasi Hasil Deret Fourier gelombang gigi gergaji dengan ',... 'n = ',num2str(n)])

Contoh 3. Tentukan deret Fourier untuk grafik fungsi periodik berikut:

Jawab. Analisa grafik fungsi periodik: Persamaan garis fungsi pada rentang −𝜋𝜋 < 𝑥𝑥 < 0 adalah

𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1

𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1=𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1

𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1 →

𝑦𝑦 − 𝜋𝜋0 − 𝜋𝜋 =

𝑥𝑥 + 𝜋𝜋0 + 𝜋𝜋

𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 Persamaan garis fungsi pada rentang 0 < 𝑥𝑥 < 𝜋𝜋 adalah

𝑦𝑦 = 0 jadi analisa grafik fungsi periodik adalah

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �−𝑥𝑥 − 𝜋𝜋 < 𝑥𝑥 < 0 0 0 < 𝑥𝑥 < 𝜋𝜋

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 2𝜋𝜋)

dari rumus deret Fourier didapat



𝑠𝑠=1


−𝜋𝜋=

=1𝜋𝜋� −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

0

−𝜋𝜋=

1𝜋𝜋�−𝑥𝑥2

2� 0𝜋𝜋


=1𝜋𝜋�0 −

−𝜋𝜋2

2� =

𝜋𝜋2


−𝜋𝜋

=1𝜋𝜋� −𝑥𝑥 cos𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

0

−𝜋𝜋

= −1𝜋𝜋� 𝑥𝑥 cos𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

0

−𝜋𝜋

= −1𝜋𝜋��𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥�

−𝜋𝜋

0−

1𝑠𝑠� sin𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

0

−𝜋𝜋�

= −1𝜋𝜋�[0 − 0] −

1𝑠𝑠�−

1𝑠𝑠

cos𝑠𝑠𝑥𝑥�−𝜋𝜋

0�

= −1𝜋𝜋�−

1𝑠𝑠2 (−1 + cos(−𝑠𝑠𝜋𝜋))�

=−2𝜋𝜋𝑠𝑠2 𝑢𝑢𝑠𝑠𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑠𝑠 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑠𝑠𝑔𝑔𝑠𝑠𝑔𝑔 ; = 0 𝑢𝑢𝑠𝑠𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑠𝑠 𝑔𝑔𝑘𝑘𝑠𝑠𝑑𝑑𝑔𝑔


−𝜋𝜋

=1𝜋𝜋� −𝑥𝑥 sin𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

0

−𝜋𝜋

= −1𝜋𝜋�−𝑥𝑥 cos𝑠𝑠𝑥𝑥

𝑠𝑠�−𝜋𝜋

0+ �� cos𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

0

−𝜋𝜋�

= −1𝜋𝜋�0 −

𝜋𝜋 cos𝑠𝑠𝜋𝜋𝑠𝑠

� + �1𝑠𝑠

sin𝑠𝑠𝑥𝑥�−𝜋𝜋

0

=cos 𝑠𝑠𝜋𝜋𝑠𝑠

= − 1𝑠𝑠 untuk n ganjil, = 1

𝑠𝑠 untuk n genap

Jadi



2 + �(𝑑𝑑𝑠𝑠 cos 𝑠𝑠𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑠𝑠 sin𝑠𝑠𝑥𝑥)∞

𝑠𝑠=1

=𝜋𝜋4 −

2𝜋𝜋�cos𝑥𝑥 +

19

cos 3𝑥𝑥 +1

25 cos 5𝑥𝑥 + ⋯�

+ �−sin𝑥𝑥 +12 sin 2𝑥𝑥 −

13 sin 3𝑥𝑥 +

14 sin 4𝑥𝑥

+ ⋯�

Pada contoh ini, didapatkan deret fourier dengan tiga komponen yaitu komponen konstan, deret cosinusoida dan sinusoida. Evaluasi hasil deret Fourier pada contoh ini ditunjukkan pada Gambar 7.

Gambar 7. Evaluasi Hasil Deret Fourier Fungsi Gigi Gergaji n=5, n=50


%Evaluasi Hasil Deret Fourier Gambar 7 %oleh: sigit kusmaryanto clear all; clc; x = linspace(-2*pi,2*pi,10000); a0 = pi/4; f1=0; f2=0; f3=0; n=input ('Jumlah Deret n= '); % Grafik Gelombang gigi gergaji X=[-2*pi,-pi,-pi,0,pi,pi,2*pi]; Y=[0,0,pi,0,0,pi,0]; line(X,Y,'color','k','linewidth',3) grid on;hold on; % Deret Fourier Gelombang gigi gergaji for k=1:2:n f1 =f1+(cos(k*x)*(1/k)*(1/k)); end for k=2:2:n f2 =f2+((1/k)*sin(k*x)); end for k=1:2:n f3 =f3+((1/k)*sin(k*x)); end f4 =(a0)-((2/pi)*f1)+f2-f3 ; plot(x, f4, 'red','linewidth',2); grid on; xlabel('x(rad)'); ylabel('f(x)'); title(['Evaluasi Hasil Deret Fourier dengan n = ',num2str(n)])

1.9 Syarat Dirichlet Fungsi f(x) dapat dinyatakan dalam deret Fourier jika memenuhi syarat Dirichlet, yaitu:

1. f(x) mempunyai periodik terbatas serta terdefinisi dan bernilai tunggal

2. f(x) dan f’(x) pada tiap periodenya dapat mempunyai nilai diskontinya terbatas dengan jumlah yang terbatas pula.


Latihan Jika fungsi berikut periodik (f(x)=f(x+2π). Apakah fungsi berikut memenuhi syarat Dirichlet. 1. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 2.𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥 − 5 3. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2

𝑥𝑥 4. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1

𝑥𝑥−5

5. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = tan 𝑥𝑥 6.𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑠𝑠𝑚𝑚𝑑𝑑𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 9 1.10 Fungsi dengan periode T Jika f(x) terdifinisi pada range -T/2 s.d. T/2 dan mempunyai periode T maka deret Fourier f(x) dapat diperoleh dari difinisi deret Fourier f(x) pada periode 2π. Jika didefinisikan ω=2π/T dan T=2π/ω maka untuk x dalam radian pada waktu t adalah x=ωt. Sehingga jika kita substitusi dalam rumus deret Fourier maka:



𝑠𝑠=1

=𝑑𝑑0

2 + �(𝑑𝑑𝑠𝑠 cos 𝑠𝑠𝑛𝑛𝑢𝑢 + 𝑏𝑏𝑠𝑠 sin𝑠𝑠𝑛𝑛𝑢𝑢)∞

𝑠𝑠=1

=𝑑𝑑0

2 + ��𝑑𝑑𝑠𝑠 cos2𝑠𝑠𝜋𝜋𝑢𝑢𝑇𝑇 + 𝑏𝑏𝑠𝑠 sin

2𝑠𝑠𝜋𝜋𝑢𝑢𝑇𝑇

�∞

𝑠𝑠=1

dari Rumus Deret Fourier di atas maka koefisien Fourier menjadi (buktikan!):

𝑑𝑑0 =2𝑇𝑇� 𝑓𝑓(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢𝑇𝑇

0=𝑛𝑛𝜋𝜋� 𝑓𝑓(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢

2𝜋𝜋/𝑛𝑛

0

𝑑𝑑𝑠𝑠 =2𝑇𝑇� 𝑓𝑓(𝑢𝑢) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑛𝑛𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢𝑇𝑇

0=𝑛𝑛𝜋𝜋� 𝑓𝑓(𝑢𝑢) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠


𝑑𝑑𝑢𝑢2𝜋𝜋/𝑛𝑛

0

𝑏𝑏𝑠𝑠 =2𝑇𝑇� 𝑓𝑓(𝑢𝑢) sin𝑠𝑠𝑛𝑛𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢𝑇𝑇

0=𝑛𝑛𝜋𝜋� 𝑓𝑓(𝑢𝑢) sin


𝑑𝑑𝑢𝑢2𝜋𝜋/𝑛𝑛

0

Batas integrasi ditentukan dalam satu periode atau satu siklus T yang dapat bervariasi misal 0 s.d. T atau –T/2 s.d. T/2 atau


-π/ω s.d. π/ω atau 0 s.d. 2π/ω atau yang lain asalkan diambil pada range satu periode T. Contoh. Tentukan deret Fourier fungsi periodik berikut

𝑓𝑓(𝑢𝑢) = �2(1 + 𝑢𝑢) − 1 < 𝑢𝑢 < 00 0 < 𝑢𝑢 < 1

� 𝑓𝑓(𝑢𝑢 + 2) = 𝑓𝑓(𝑢𝑢)

Jawab.

𝑓𝑓(𝑢𝑢) =𝑑𝑑0

2 + ��𝑑𝑑𝑠𝑠 cos2𝑠𝑠𝜋𝜋𝑢𝑢𝑇𝑇 + 𝑏𝑏𝑠𝑠 sin


�∞

𝑠𝑠=1

=𝑑𝑑0

2 + �(𝑑𝑑𝑠𝑠 cos 𝑠𝑠𝜋𝜋𝑢𝑢 + 𝑏𝑏𝑠𝑠 sin𝑠𝑠𝜋𝜋𝑢𝑢) ;𝑇𝑇 = 2∞

𝑠𝑠=1

𝑑𝑑0 =2𝑇𝑇� 𝑓𝑓(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢𝑇𝑇/2

−𝑇𝑇/2

= � 2(1 + 𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢0

−1+ � 0𝑑𝑑𝑢𝑢

1

0

= [2𝑢𝑢 + 𝑢𝑢2]−10 = 1

𝑑𝑑𝑠𝑠 =2𝑇𝑇� 𝑓𝑓(𝑢𝑢) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠


𝑑𝑑𝑢𝑢𝑇𝑇/2

−𝑇𝑇/2

= � 2(1 + 𝑢𝑢) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑠𝑠𝜋𝜋𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢0

−1= 2� (1 + 𝑢𝑢) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑠𝑠𝜋𝜋𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢

0

−1

= 2 ��1𝑠𝑠𝜋𝜋 sin𝑠𝑠𝜋𝜋𝑢𝑢�

−1

0�

+ 2 ��𝑢𝑢𝑠𝑠𝜋𝜋 sin𝑠𝑠𝜋𝜋𝑢𝑢�

−1

0−

1𝑠𝑠𝜋𝜋

� 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝜋𝜋𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢0

−1�


= 0 + 2 �0 −1

𝑠𝑠2𝜋𝜋2 [−cos𝑠𝑠𝜋𝜋𝑢𝑢]−10 �

= −2

𝑠𝑠2𝜋𝜋2 (−1 − cos𝑠𝑠𝜋𝜋)

=4

𝑠𝑠2𝜋𝜋2 𝑢𝑢𝑠𝑠𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑠𝑠 𝑔𝑔𝑘𝑘𝑠𝑠𝑑𝑑𝑔𝑔 , = 0 𝑢𝑢𝑠𝑠𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑠𝑠 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑠𝑠𝑔𝑔𝑠𝑠𝑔𝑔

𝑏𝑏𝑠𝑠 =2𝑇𝑇� 𝑓𝑓(𝑢𝑢) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠


𝑑𝑑𝑢𝑢𝑇𝑇/2

−𝑇𝑇/2

= � 2(1 + 𝑢𝑢) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝜋𝜋𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢0

−1= 2� (1 + 𝑢𝑢) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝜋𝜋𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢

0

−1

= 2 ��−1𝑠𝑠𝜋𝜋 cos𝑠𝑠𝜋𝜋𝑢𝑢�

−1

0�

+ 2 ��−𝑢𝑢𝑠𝑠𝜋𝜋 cos𝑠𝑠𝜋𝜋𝑢𝑢�

−1

0+

1𝑠𝑠𝜋𝜋

� 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑠𝑠𝜋𝜋𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢0

−1�

= 2 �(1 + 𝑢𝑢)−cos𝑠𝑠𝜋𝜋𝑢𝑢

𝑠𝑠𝜋𝜋�−1

0+

2𝑠𝑠2𝜋𝜋2 [sin𝑠𝑠𝜋𝜋𝑢𝑢]−1

0

= 2 ��(1 + 0)−1𝑠𝑠𝜋𝜋

� − �(1 − 1)−cos𝑠𝑠𝜋𝜋𝑠𝑠𝜋𝜋 ��

+2

𝑠𝑠2𝜋𝜋2 [sin 0 + sin𝑠𝑠𝜋𝜋𝑢𝑢]

=−2𝑠𝑠𝜋𝜋

jadi

𝑓𝑓(𝑢𝑢) =12 +

4𝜋𝜋2 �cos𝜋𝜋𝑢𝑢 +

19

cos 3𝜋𝜋𝑢𝑢 +1

25 cos 5𝜋𝜋𝑢𝑢 + ⋯�

−2𝜋𝜋�sin𝜋𝜋𝑢𝑢 +

12

sin 2𝜋𝜋𝑢𝑢 +13

sin 4𝜋𝜋𝑢𝑢 + ⋯� Deret Fourier


2 + �(𝑑𝑑𝑠𝑠 cos𝑠𝑠𝑛𝑛𝑢𝑢 + 𝑏𝑏𝑠𝑠 sin𝑠𝑠𝑛𝑛𝑢𝑢)∞

𝑠𝑠=1

dapat dinyatakan dalam bentuk:


𝑓𝑓(𝑢𝑢) =𝐴𝐴0

2 + �𝐵𝐵𝑠𝑠 sin(𝑠𝑠𝑛𝑛𝑢𝑢 + ∅𝑠𝑠)∞

𝑠𝑠=1

dimana 𝐴𝐴0 = 𝑑𝑑0 ; 𝐵𝐵𝑠𝑠 sin(∅𝑠𝑠) = 𝑑𝑑𝑠𝑠 ; 𝐵𝐵𝑠𝑠 cos(∅𝑠𝑠) = 𝑏𝑏𝑠𝑠

𝐵𝐵𝑠𝑠 = �𝑑𝑑𝑠𝑠2 + 𝑏𝑏𝑠𝑠2 ; ∅𝑠𝑠 = 𝑑𝑑𝑘𝑘𝑐𝑐𝑢𝑢𝑑𝑑𝑠𝑠 �𝑑𝑑𝑠𝑠

𝑏𝑏𝑠𝑠�

𝐵𝐵1 sin(𝑛𝑛𝑢𝑢 + ∅1) disebut sebagai harmonik pertama atau fundamental 𝐵𝐵2 sin(𝑛𝑛𝑢𝑢 + ∅2) disebut sebagai harmonik kedua 𝐵𝐵𝑠𝑠 sin(𝑛𝑛𝑢𝑢 + ∅𝑠𝑠) disebut sebagai harmonik ke-n Pada deret konvergen maka nilai 𝐵𝐵𝑠𝑠 akan menurun, 𝐵𝐵𝑠𝑠 →0 untuk 𝑠𝑠 → ∞ 1.11 Deret Fourier Fungsi Genap - Ganjil Fungsi Genap Ganjil Fungsi Genap adalah fungsi dimana nilai fungsi pada x negatif sama dengan nilai fungsi pada x positif.

𝑓𝑓(−𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) Contoh.

Gambar 8. Fungsi Genap 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 dan 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑥𝑥

Pada Gambar Fungsi 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 dikatakan Fungsi Genap karena

𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 𝑓𝑓(−2) = (−2)2; 𝑓𝑓(2) = 22 → 𝑓𝑓(−2) = 𝑓𝑓(2) 𝑓𝑓(−3) = (−3)2; 𝑓𝑓(3) = 32 → 𝑓𝑓(−3) = 𝑓𝑓(3)

dst. Pada Gambar Fungsi 𝑦𝑦 = cos 𝑥𝑥 dikatakan Fungsi Genap karena 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = cos𝑥𝑥 𝑓𝑓(−𝑑𝑑) = cos(−𝑑𝑑) = cos 𝑑𝑑 ; 𝑓𝑓(𝑑𝑑) = cos 𝑑𝑑 → 𝑓𝑓(−𝑑𝑑) = 𝑓𝑓(𝑑𝑑)


Fungsi Ganjil adalah fungsi dimana nilai fungsi pada x negatif sama dengan nilai negatif fungsi pada x positif.

𝑓𝑓(−𝑥𝑥) = −𝑓𝑓(𝑥𝑥) Contoh.

Gambar 9. Fungsi Ganjil 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥3 dan 𝑦𝑦 = sin(𝑥𝑥)

Pada Gambar Fungsi 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥3 dikatakan Fungsi Ganjil karena 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 𝑓𝑓(−2) = (−2)3 = −8;−𝑓𝑓(2) = −(23) = −8 → 𝑓𝑓(−2) = −𝑓𝑓(2) 𝑓𝑓(−3) = (−3)3 = −27;−𝑓𝑓(3) = −(33) = −27 → 𝑓𝑓(−3) = −𝑓𝑓(3)

dst. Pada Gambar Fungsi 𝑦𝑦 = sin 𝑥𝑥 dikatakan Fungsi Ganjil karena 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = sin 𝑥𝑥 𝑓𝑓(−𝑑𝑑) = sin(−𝑑𝑑) = −sin𝑑𝑑 ; −𝑓𝑓(𝑑𝑑) = −sin𝑑𝑑 → 𝑓𝑓(−𝑑𝑑) = −𝑓𝑓(𝑑𝑑) Fungsi Genap jika 𝑓𝑓(−𝑑𝑑) = 𝑓𝑓(𝑑𝑑) dimana grafik fungsi akan simetri pada sumbu . Fungsi Ganjil jika 𝑓𝑓(−𝑑𝑑) = −𝑓𝑓(𝑑𝑑) dimana grafik fungsi simetri pada titik pusat. Latihan Tentukan fungsi genap/ganjil pada grafik fungsi berikut:


1.12 Perkalian Fungsi Ganjil-Genap Fungsi Genap x Fungsi Genap 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥).𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑘𝑘𝑠𝑠𝑔𝑔𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑓𝑓𝑢𝑢𝑠𝑠𝑔𝑔𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑔𝑔𝑘𝑘𝑠𝑠𝑑𝑑𝑔𝑔 maka 𝐹𝐹(−𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(−𝑥𝑥).𝑔𝑔(−𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥).𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑘𝑘𝑑𝑑𝑘𝑘𝑘𝑘𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑓𝑓𝑢𝑢𝑠𝑠𝑔𝑔𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑔𝑔𝑘𝑘𝑠𝑠𝑑𝑑𝑔𝑔 𝐹𝐹(−𝑥𝑥) = 𝐹𝐹(𝑥𝑥) Jadi fungsi genap x fungsi genap = fungsi genap Fungsi Genap x Fungsi Ganjil atau sebaliknya 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥).𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑘𝑘𝑠𝑠𝑔𝑔𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑓𝑓.𝑔𝑔𝑑𝑑𝑠𝑠𝑔𝑔𝑠𝑠𝑔𝑔 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑓𝑓.𝑔𝑔𝑘𝑘𝑠𝑠𝑑𝑑𝑔𝑔 maka 𝐹𝐹(−𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(−𝑥𝑥).𝑔𝑔(−𝑥𝑥) = −𝑓𝑓(𝑥𝑥).𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑘𝑘𝑑𝑑𝑘𝑘𝑘𝑘𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑓𝑓𝑢𝑢𝑠𝑠𝑔𝑔𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑠𝑠𝑔𝑔𝑠𝑠𝑔𝑔 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑓𝑓𝑢𝑢𝑠𝑠𝑔𝑔𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑔𝑔𝑘𝑘𝑠𝑠𝑑𝑑𝑔𝑔 𝐹𝐹(−𝑥𝑥) = −𝐹𝐹(𝑥𝑥) Jadi fungsi genap x fungsi ganjil atau sebaliknya = fungsi ganjil


Fungsi Ganjil x Fungsi Ganjil 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥).𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑘𝑘𝑠𝑠𝑔𝑔𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑓𝑓𝑢𝑢𝑠𝑠𝑔𝑔𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑠𝑠𝑔𝑔𝑠𝑠𝑔𝑔 maka 𝐹𝐹(−𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(−𝑥𝑥).𝑔𝑔(−𝑥𝑥) = −𝑓𝑓(𝑥𝑥).−𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑘𝑘𝑑𝑑𝑘𝑘𝑘𝑘𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑓𝑓𝑢𝑢𝑠𝑠𝑔𝑔𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑠𝑠𝑔𝑔𝑠𝑠𝑔𝑔 𝐹𝐹(−𝑥𝑥) = 𝐹𝐹(𝑥𝑥) Jadi fungsi ganjil x fungsi ganjil = fungsi genap Latihan Tentukan fungsi Ganjl /Genap pada fungsi berikut 1. 𝑥𝑥2 sin 2𝑥𝑥 2. 𝑥𝑥3 cos 2𝑥𝑥 3. cos 2𝑥𝑥 cos 3𝑥𝑥 4. 𝑥𝑥 sin𝑠𝑠𝑥𝑥 5. 3 sin𝑥𝑥 cos 4𝑥𝑥 6. (2𝑥𝑥 + 3) sin 4𝑥𝑥 7. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥 cos 3𝑥𝑥 8. 𝑥𝑥3𝑘𝑘𝑥𝑥 Integral Fungsi Genap

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑

−𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 = 2� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

𝑑𝑑

0𝑑𝑑𝑥𝑥

Integral Fungsi Ganjil

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑

−𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0

TEOREMA 1 Jika f(x) terdifinisi pada interval -π s.d. π dan f(x) fungsi genap maka


deret Fourier dari f(x) adalah deret cosinus dan konstanta.


2 + �𝑑𝑑0 cos𝑠𝑠𝑥𝑥∞

𝑠𝑠=1

Hal ini disebabkan


−𝜋𝜋=

2𝜋𝜋� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

0


−𝜋𝜋

=2𝜋𝜋� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) cos𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

0 ; 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑔𝑔𝑘𝑘𝑠𝑠𝑑𝑑𝑔𝑔, cos𝑠𝑠𝑥𝑥 = 𝑔𝑔𝑘𝑘𝑠𝑠𝑑𝑑𝑔𝑔


−𝜋𝜋= 0 ; 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

= 𝑔𝑔𝑘𝑘𝑠𝑠𝑑𝑑𝑔𝑔 , sin𝑠𝑠𝑥𝑥 = 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑠𝑠𝑔𝑔𝑠𝑠𝑔𝑔 Contoh. Tentukan deret Fourier pada fungsi Genap berikut:

Jawab.


2 + �𝑑𝑑0 cos𝑠𝑠𝑥𝑥∞

𝑠𝑠=1


−𝜋𝜋=

2𝜋𝜋� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

0=

2𝜋𝜋� 4𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋/2

0

=2𝜋𝜋

[4𝑥𝑥]0𝜋𝜋/2 = 4


−𝜋𝜋=

2𝜋𝜋� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) cos𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

0

=2𝜋𝜋� 4 cos𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋/2

0=

8𝜋𝜋�1𝑠𝑠

sin𝑠𝑠𝑥𝑥�0

𝜋𝜋/2


=8𝜋𝜋𝑠𝑠

sin𝑠𝑠𝜋𝜋2

=8𝜋𝜋𝑠𝑠 ,𝑠𝑠 = 1, 5, 9, … ; = −

8𝜋𝜋𝑠𝑠 ,𝑠𝑠 = 3, 7, 11, … ; = 0,𝑠𝑠 = 𝑔𝑔𝑘𝑘𝑠𝑠𝑑𝑑𝑔𝑔

jadi

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2 +8𝜋𝜋�cos 𝑥𝑥 −

13

cos 3𝑥𝑥 +15 cos 5𝑥𝑥 −

17 cos 7𝑥𝑥 + … �

TEOREMA 2 Jika f(x) terdifinisi pada interval -π s.d. π dan f(x) fungsi ganjil sinus maka deret Fourier dari f(x) adalah deret sinus.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑏𝑏𝑠𝑠 sin𝑠𝑠𝑥𝑥∞

𝑠𝑠=1

Hal ini disebabkan


−𝜋𝜋= 0 ; 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔𝑑𝑑𝑠𝑠𝑔𝑔𝑠𝑠𝑔𝑔


−𝜋𝜋= 0


−𝜋𝜋=

=2𝜋𝜋� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) sin𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

0 ; 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑠𝑠𝑔𝑔𝑠𝑠𝑔𝑔, sin𝑠𝑠𝑥𝑥 = 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑠𝑠𝑔𝑔𝑠𝑠𝑔𝑔

Contoh. Tentukan deret Fourier grafik fungsi ganjil berikut:

Jawab.


𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑏𝑏𝑠𝑠 sin𝑠𝑠𝑥𝑥∞

𝑠𝑠=1


−𝜋𝜋=

=2𝜋𝜋� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) sin𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

0=

2𝜋𝜋� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) sin𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

0

=2𝜋𝜋� 6 sin𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

0=

12𝜋𝜋𝑠𝑠

[− cos𝑠𝑠𝑥𝑥]0𝜋𝜋 =

12𝜋𝜋𝑠𝑠

(− cos𝑠𝑠𝜋𝜋 + 1)

=24𝜋𝜋𝑠𝑠

,𝑠𝑠 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑠𝑠𝑔𝑔𝑠𝑠𝑔𝑔; = 0,𝑠𝑠 𝑔𝑔𝑘𝑘𝑠𝑠𝑑𝑑𝑔𝑔 jadi

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =24𝜋𝜋�sin𝑥𝑥 +

13

sin 3𝑥𝑥 +15 sin 5𝑥𝑥 + … �

Contoh. Tentukan deret Fourier pada grafik fungsi berikut:

Jawab. Grafik di atas bukan fungsi genap atau ganjil sehingga 𝑑𝑑0,𝑑𝑑𝑠𝑠 , 𝑏𝑏𝑠𝑠 harus ditentukan. Dan deret Fouriernya menjadi



𝑠𝑠=1

𝑑𝑑0 =1𝜋𝜋� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

2𝜋𝜋

0=

1𝜋𝜋�

2𝑥𝑥𝜋𝜋𝑑𝑑𝑥𝑥

𝜋𝜋

0+

1𝜋𝜋� 2𝑑𝑑𝑥𝑥

2𝜋𝜋

𝜋𝜋

=1𝜋𝜋�𝑥𝑥2

𝜋𝜋�

0

𝜋𝜋

+ 2 = 3

𝑑𝑑𝑠𝑠 =1𝜋𝜋� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) cos𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

2𝜋𝜋

0


=1𝜋𝜋�

2𝑥𝑥𝜋𝜋

cos𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

0+

1𝜋𝜋� 2 cos𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

2𝜋𝜋

𝜋𝜋

= 0,𝑠𝑠 𝑔𝑔𝑘𝑘𝑠𝑠𝑑𝑑𝑔𝑔; = −4𝜋𝜋2𝑠𝑠2 ,𝑠𝑠 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑠𝑠𝑔𝑔𝑠𝑠𝑔𝑔 , buktikan!

𝑏𝑏𝑠𝑠 =1𝜋𝜋� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) sin𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

2𝜋𝜋

0

=1𝜋𝜋�

2𝑥𝑥𝜋𝜋

sin𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

0+

1𝜋𝜋� 2 cos𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

2𝜋𝜋

𝜋𝜋

=−2𝜋𝜋𝑠𝑠

Jadi deret Fourier dari grafik pada contoh adalah

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =32 −

4𝜋𝜋2 �cos 𝑥𝑥 +

19

cos 3𝑥𝑥 +1

25 cos 5𝑥𝑥 + ⋯�

−2𝜋𝜋�sin𝑥𝑥 +

12

sin 2𝑥𝑥 +13 sin 3𝑥𝑥 + ⋯�

Kesimpulan: Jika fungsi f(x) genap maka deret Fourier f(x) tidak akan ada bentuk deret sinus Jika fungsi f(x) ganjil maka deret Fourierf(x) hanya berbentuk deret sinus Jika fungsi f(x) bukan ganjil atau genap maka deret Fourier f(x) berbentuk rumus definisi umum

Gambar 10. Evaluasi Hasil Deret Fourier n=5, n=100 %Evaluasi Hasil Deret Fourier Gambar 10 %oleh: sigit kusmaryanto


clear all; clc; x = linspace(-2*pi,3*pi,10000); a0 = 3/2; f1=0; f2=0; f3=0; n=input ('Jumlah Deret n= '); % Grafik Gelombang gigi gergaji X=[-2*pi,-2*pi,-pi,0,0,pi,2*pi,2*pi,3*pi]; Y=[2,0,2,2,0,2,2,0,2]; line(X,Y,'color','k','linewidth',3) grid on;hold on; % Deret Fourier Gelombang gigi gergaji for k=1:2:n f1 =f1+(cos(k*x)*(1/k^2)); end for k=1:1:n f2 =f2+((1/k)*sin(k*x)); end f3 =(a0)-((4/pi^2)*f1)+((-2/pi)*f2) ; plot(x, f3, 'red','linewidth',2); grid on; xlabel('x(rad)'); ylabel('f(x)'); title(['Evaluasi Hasil Deret Fourier dengan n = ',num2str(n)])

1.13 Penguraian Setengah Kisaran Seringkali f(x) yang berperiode 2π hanya terdefinisi pada interval 0 - π atau disebut sebagai ”setengah kisaran” pada satu periode. Kita dapat menyatakan deret Fourier fungsi ”setengah kisaran” ini dengan cara menguraikannya. Proses ini disebut sebagai ”Penguraian Setengah Kisaran”. Penguraian setengah kisaran dapat dilakukan dalam deret sinus (fungsi ganjil) atau deret cosinus (fungsi genap).

Gambar 11. Fungsi y terdifinisi pada interval 0 - π dg periode 2π


Deret Fourier pada Gambar 7 dinyatakan

𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =𝑑𝑑0


𝑠𝑠=1

Pada Gambar 7. di atas jika diuraikan dalam deret sinus (fungsi ganjil) atau penguraian setengan kisaran sinus menjadi

Gambar 12. Penguraian Setengah Kisaran Sinus

𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑏𝑏𝑠𝑠 sin𝑠𝑠𝑥𝑥∞

𝑠𝑠=1

Sedangkan jika diuraikan dalam deret cosinus atau penguraian setengah kisaran cosinus menjadi

Gambar 13. Penguraian Setengah Kisaran Cosinus


2 + �𝑑𝑑𝑠𝑠 cos𝑠𝑠𝑥𝑥∞

𝑠𝑠=1

Contoh. Jika fungsi berikut berperiode 2π. Tentukan penguraian setengah kisaran cosinus grafik fungsi berikut.


Jawab. Analisa fungsi pada grafik

𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 2𝜋𝜋) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

Grafik fungsi penguraian setengah kisaran cosinus/genap

Rumus penguraian setengah kisaran cosinus/genap



𝑠𝑠=1


0=

2𝜋𝜋� 2𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

0=

2𝜋𝜋

[𝑥𝑥2]0𝜋𝜋 = 2𝜋𝜋


0=

2𝜋𝜋� 2𝑥𝑥 cos𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

0

=4𝜋𝜋��𝑥𝑥

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥�

0

𝜋𝜋−

1

𝑠𝑠� sin𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜋𝜋

0�

=4𝜋𝜋�(0 − 0) −

1

𝑠𝑠2[−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑥𝑥]�

𝜋𝜋

0

=4𝜋𝜋�−

1

𝑠𝑠2[−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑠𝑠𝜋𝜋 + 1]�

𝜋𝜋

0

= 0 𝑔𝑔𝑠𝑠𝑘𝑘𝑑𝑑 𝑠𝑠 𝑔𝑔𝑘𝑘𝑠𝑠𝑑𝑑𝑔𝑔; = −8𝜋𝜋𝑠𝑠2 𝑔𝑔𝑠𝑠𝑘𝑘𝑑𝑑 𝑠𝑠 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑠𝑠𝑔𝑔𝑠𝑠𝑔𝑔

jadi penguraian setengah kisaran genap adalah




𝑠𝑠=1

= 𝜋𝜋 + �cos 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 +19

cos 3𝑥𝑥 +1

25 cos 5𝑥𝑥 + ⋯�


BAB II TRANSFORMASI FOURIER

2.1 Bentuk Polar dan Eksponensial Bilangan Kompleks Setiap bilangan kompleks yang berbentuk z = a + jb bisa dinyatakan dalam bentuk polar. Bentuk polar tersebut bisa dinyatakan dalam bentuk:

z = r (cos θ + j sin θ)= rejθ, r adalah modulus dari z θ adalah argumen dari z

dari persamaan bentuk polar didapatkan

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐 + 𝑔𝑔𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐 = 𝑘𝑘𝑔𝑔𝑐𝑐 cos(−𝑐𝑐) + 𝑔𝑔𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(−𝑐𝑐) = 𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑢𝑢𝑑𝑑𝑢𝑢

cos(𝑐𝑐) − 𝑔𝑔𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑐𝑐) = 𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑐𝑐 sehingga

cos(𝑐𝑐) =𝑘𝑘𝑔𝑔𝑐𝑐 + 𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑐𝑐

2

sin(𝑐𝑐) =𝑘𝑘𝑔𝑔𝑐𝑐 − 𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑐𝑐

2𝑔𝑔

2.2 Bentuk Eksponensial Kompleks Deret Fourier Untuk fungsi 𝑓𝑓(𝑢𝑢) dengan 𝑓𝑓(𝑢𝑢) = 𝑓𝑓(𝑢𝑢 + 𝑇𝑇). Didapatkan persamaan deret Fourier yaitu

Gambar 14. Bidang Kompleks



2 + �(𝑑𝑑𝑠𝑠 cos𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢 + 𝑏𝑏𝑠𝑠 sin𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢)∞

𝑠𝑠=1

; 𝑛𝑛0 =2𝜋𝜋𝑇𝑇

𝑑𝑑0 =2𝑇𝑇� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑢𝑢𝑇𝑇/2

−𝑇𝑇/2

𝑑𝑑𝑠𝑠 =2𝑇𝑇� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) cos𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢𝑇𝑇/2

−𝑇𝑇/2

𝑏𝑏𝑠𝑠 =2𝑇𝑇� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) sin𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢𝑇𝑇/2

−𝑇𝑇/2

dengan substitusi bentuk eksponensial kompleks deret menjadi

=𝑑𝑑0

2 + ��𝑑𝑑𝑠𝑠𝑘𝑘𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢 + 𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑠𝑠 𝑛𝑛0𝑢𝑢

2

∞

𝑠𝑠=1

+ 𝑏𝑏𝑠𝑠𝑘𝑘𝑔𝑔𝑠𝑠 𝑛𝑛0𝑢𝑢 − 𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢

2𝑔𝑔�

=𝑑𝑑0

2 + ��𝑑𝑑𝑠𝑠𝑘𝑘𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢 + 𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑠𝑠 𝑛𝑛0𝑢𝑢

2

∞

𝑠𝑠=1

+ 𝑏𝑏𝑠𝑠−𝑔𝑔𝑘𝑘𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢 + 𝑔𝑔𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢

2�

=𝑑𝑑0

2 + ��𝑑𝑑𝑠𝑠 − 𝑔𝑔𝑏𝑏𝑠𝑠

2� 𝑘𝑘𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢 + �

𝑑𝑑𝑠𝑠 + 𝑔𝑔𝑏𝑏𝑠𝑠2

� 𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑠𝑠 𝑛𝑛0𝑢𝑢�∞

𝑠𝑠=1

jika 𝑑𝑑𝑠𝑠 − 𝑔𝑔𝑏𝑏𝑠𝑠

2 = 𝑐𝑐𝑠𝑠 ; 𝑑𝑑𝑠𝑠 + 𝑔𝑔𝑏𝑏𝑠𝑠

2 = 𝑐𝑐𝑠𝑠∗ maka


2 + ��𝑑𝑑𝑠𝑠 − 𝑔𝑔𝑏𝑏𝑠𝑠

2� 𝑘𝑘𝑔𝑔𝑠𝑠 𝑛𝑛0𝑢𝑢 + �

𝑑𝑑𝑠𝑠 + 𝑔𝑔𝑏𝑏𝑠𝑠2

� 𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢�∞

𝑠𝑠=1

= 𝑐𝑐0 + ��𝑐𝑐𝑠𝑠𝑘𝑘𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢 + 𝑐𝑐𝑠𝑠∗𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢�∞

𝑠𝑠=1

; 𝑐𝑐0 =𝑑𝑑0

2


= 𝑐𝑐0 + ��𝑐𝑐𝑠𝑠𝑘𝑘𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢�∞

𝑠𝑠=1

+ ��𝑐𝑐𝑠𝑠∗𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢�∞

𝑠𝑠=1

jika 𝑐𝑐𝑠𝑠∗ ditulis sebagai 𝑐𝑐−𝑠𝑠 maka 𝑑𝑑𝑠𝑠 + 𝑔𝑔𝑏𝑏𝑠𝑠

2 = 𝑐𝑐𝑠𝑠∗ = 𝑐𝑐−𝑠𝑠 → 𝑑𝑑𝑠𝑠 = 𝑑𝑑−𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠 −𝑏𝑏𝑠𝑠 = 𝑏𝑏−𝑠𝑠 sehingga

𝑓𝑓(𝑢𝑢) = 𝑐𝑐0 + ��𝑐𝑐𝑠𝑠𝑘𝑘𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢�∞

𝑠𝑠=1

+ ��𝑐𝑐𝑠𝑠∗𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢�∞

𝑠𝑠=1


𝑠𝑠=1

+ ��𝑐𝑐−𝑠𝑠𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢�∞

𝑠𝑠=1

jika n range dari 1 s.d ∞ maka –n range adalah -∞ s.d -1 sehingga persamaan di atas menjadi


𝑠𝑠=1

+ � �𝑐𝑐𝑠𝑠𝑘𝑘𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢�−∞

𝑠𝑠=−1

= � �𝑐𝑐𝑠𝑠𝑘𝑘𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢�−1

𝑠𝑠=−∞

+ 𝑐𝑐0 + ��𝑐𝑐𝑠𝑠𝑘𝑘𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢�∞

𝑠𝑠=1

= � �𝑐𝑐𝑠𝑠𝑘𝑘𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢�∞

𝑠𝑠=−∞

dengan

𝑐𝑐𝑠𝑠 =𝑑𝑑𝑠𝑠 − 𝑔𝑔𝑏𝑏𝑠𝑠

2

=�2𝑇𝑇 ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) cos𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢𝑇𝑇/2

−𝑇𝑇/2 � − 𝑔𝑔 �2𝑇𝑇 ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) sin 𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢𝑇𝑇/2−𝑇𝑇/2 �

2

=2𝑇𝑇 ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)[cos𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢 − 𝑔𝑔 sin𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢 ]𝑑𝑑𝑢𝑢

𝑇𝑇/2−𝑇𝑇/2

2

=1𝑇𝑇� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)�𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢�𝑑𝑑𝑢𝑢𝑇𝑇/2

−𝑇𝑇/2

Contoh 1. Tentukan deret Fourier eksponensial komplek fungsi berikut


𝑓𝑓(𝑢𝑢) = �0 − 𝑇𝑇/2 < 𝑢𝑢 < −𝑑𝑑/21 − 𝑑𝑑/2 < 𝑢𝑢 < 𝑑𝑑/2 0 𝑑𝑑/2 < 𝑢𝑢 < 𝑇𝑇/2

�

𝑓𝑓(𝑢𝑢) = 𝑓𝑓(𝑢𝑢 + 𝑇𝑇)

Jawab: Rumus deret Fourier

𝑓𝑓(𝑢𝑢) = � �𝑐𝑐𝑠𝑠𝑘𝑘𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢�∞

𝑠𝑠=−∞

𝑐𝑐𝑠𝑠 =1𝑇𝑇� 𝑓𝑓(𝑢𝑢)�𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢�𝑑𝑑𝑢𝑢𝑇𝑇/2

−𝑇𝑇/2

𝑐𝑐𝑠𝑠 =1𝑇𝑇� 1�𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢�𝑑𝑑𝑢𝑢𝑑𝑑/2

−𝑑𝑑/2

= �1

−𝑇𝑇𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑠𝑠 𝑛𝑛0𝑢𝑢�

−𝑑𝑑/2

𝑑𝑑/2

=1

−𝑇𝑇𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0�𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑑𝑑/2 − 𝑘𝑘𝑔𝑔𝑠𝑠 𝑛𝑛0𝑑𝑑/2�

=1

−2𝑔𝑔𝑠𝑠𝜋𝜋�𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑑𝑑/2 − 𝑘𝑘𝑔𝑔𝑠𝑠 𝑛𝑛0𝑑𝑑/2� ; 𝑛𝑛0 =

2𝜋𝜋𝑇𝑇

=1𝑠𝑠𝜋𝜋

�𝑘𝑘𝑔𝑔𝑠𝑠 𝑛𝑛0𝑑𝑑/2 − 𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑑𝑑/2�2𝑔𝑔

=sin 𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑑𝑑/2

𝑠𝑠𝜋𝜋 =sin𝑠𝑠𝜋𝜋𝑑𝑑/𝑇𝑇

𝑠𝑠𝜋𝜋 ; 𝑛𝑛0 =2𝜋𝜋𝑇𝑇

=𝑑𝑑𝑇𝑇�

sin𝑠𝑠𝜋𝜋𝑑𝑑/𝑇𝑇𝑠𝑠𝜋𝜋𝑑𝑑/𝑇𝑇

�

sehingga


𝑓𝑓(𝑢𝑢) = � �𝑑𝑑𝑇𝑇�


� 𝑘𝑘𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢�∞

𝑠𝑠=−∞

untuk n=0

𝑐𝑐0 =1𝑇𝑇� 𝑓𝑓(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢𝑑𝑑/2

−𝑑𝑑/2=𝑑𝑑𝑇𝑇

jadi

𝑓𝑓(𝑢𝑢) =𝑑𝑑𝑇𝑇

+ � �𝑑𝑑𝑇𝑇�


� 𝑘𝑘𝑔𝑔𝑠𝑠 𝑛𝑛0𝑢𝑢�∞

𝑠𝑠=−∞𝑠𝑠≠0

Contoh 2 Tentukan deret Fourier eksponensial komplek fungsi berikut

𝑓𝑓(𝑢𝑢) = �1 0 < 𝑢𝑢 < 𝑑𝑑0 𝑑𝑑 < 𝑢𝑢 < 𝑇𝑇

� 𝑓𝑓(𝑢𝑢) = 𝑓𝑓(𝑢𝑢 + 𝑇𝑇)

f(t)

1

a T t0-a

Jawab: Rumus deret Fourier


𝑠𝑠=−∞


−𝑇𝑇/2

𝑐𝑐𝑠𝑠 =1𝑇𝑇� 1�𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢�𝑑𝑑𝑢𝑢𝑑𝑑

0

= �1

−𝑇𝑇𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑠𝑠 𝑛𝑛0𝑢𝑢�

0

𝑑𝑑


=1

−𝑇𝑇𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0�𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑑𝑑 − 1�

=1

−𝑔𝑔2𝑠𝑠𝜋𝜋�𝑘𝑘−𝑔𝑔2𝑠𝑠𝜋𝜋𝑑𝑑 /𝑇𝑇 − 1� ; 𝑛𝑛0 =

2𝜋𝜋𝑇𝑇

=1𝑠𝑠𝜋𝜋

�−𝑘𝑘−𝑔𝑔2𝑠𝑠𝜋𝜋𝑑𝑑 /𝑇𝑇 + 1�2𝑔𝑔

= 1𝑠𝑠𝜋𝜋 𝑘𝑘

−𝑔𝑔𝑠𝑠𝜋𝜋𝑑𝑑 /𝑇𝑇 �−𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑠𝑠𝜋𝜋𝑑𝑑 /𝑇𝑇 + 𝑘𝑘𝑔𝑔𝑠𝑠𝜋𝜋𝑑𝑑 /𝑇𝑇�

2𝑔𝑔

=1𝑠𝑠𝜋𝜋 𝑘𝑘

−𝑔𝑔𝑠𝑠𝜋𝜋𝑑𝑑 /𝑇𝑇 sin𝑠𝑠𝜋𝜋𝑑𝑑/𝑇𝑇 = 𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑠𝑠𝜋𝜋𝑑𝑑 /𝑇𝑇 sin𝑠𝑠𝜋𝜋𝑑𝑑/𝑇𝑇𝑠𝑠𝜋𝜋

jika dibuat bentuk lain

=𝑑𝑑𝑇𝑇 𝑘𝑘

−𝑔𝑔𝑠𝑠𝜋𝜋𝑑𝑑 /𝑇𝑇 sin𝑠𝑠𝜋𝜋𝑑𝑑/𝑇𝑇𝑠𝑠𝜋𝜋𝑑𝑑/𝑇𝑇

sehingga

𝑓𝑓(𝑢𝑢) = � �𝑑𝑑𝑇𝑇𝑘𝑘


� 𝑘𝑘𝑔𝑔𝑠𝑠 𝑛𝑛0𝑢𝑢∞

𝑠𝑠=−∞

untuk n=0

𝑐𝑐0 =1𝑇𝑇� 𝑓𝑓(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢𝑑𝑑

0=𝑑𝑑𝑇𝑇

jadi


+ � �𝑑𝑑𝑇𝑇 𝑘𝑘


�𝑘𝑘𝑔𝑔𝑠𝑠 𝑛𝑛0𝑢𝑢∞


2.3 Spektra Diskrit Pada contoh 1 dan 2, 𝑐𝑐𝑠𝑠 dapat berbentuk riil atau kompleks. Secara umum bentuk kompleks 𝑐𝑐𝑠𝑠 adalah

𝑐𝑐𝑠𝑠 = |𝑐𝑐𝑠𝑠|𝑘𝑘𝑔𝑔𝑠𝑠 ∅𝑠𝑠 Bentuk 𝑐𝑐𝑠𝑠 tersebut di atas disebut sebagai spektra diskrit koefisien Foerier untuk contoh 2


|𝑐𝑐𝑠𝑠 | =𝑑𝑑𝑇𝑇�sin𝑠𝑠𝜋𝜋𝑑𝑑/𝑇𝑇𝑠𝑠𝜋𝜋𝑑𝑑/𝑇𝑇

�

∅𝑠𝑠 = −𝑠𝑠𝜋𝜋𝑑𝑑/𝑇𝑇 |𝑐𝑐𝑠𝑠| disebut sebagai spektra amplitudo dan 𝑘𝑘𝑔𝑔𝑠𝑠 ∅𝑠𝑠 disebut sebagai spektra fasa.

Gambar 15. Spektra Amplitudo dan Fasa Cn fungsi n

pada Contoh 2. dengan a=5, T=50

Gambar 16. Spektra Cn fungsi n


Perolehan Gambar 15. dari program Matlab berikut %Spektra Amplitudo dan Fasa Cn fungsi n %oleh sigit kusmaryanto clear all; clc; for n=-30:30 a(n+30+1)=jumlah_cn(n,5,50); %a=1, T=2 fasa_n(n+30+1)=deret_fasa(n,5,50); %a=1, T=2 end figure; subplot(2,1,1) stem(-30:30,abs(a),'.') xlabel('n');ylabel('abs(c_n)') title('Koefisisen Fourier abs(C_n)','Fontsize',14) subplot(2,1,2) stem(-30:30,fasa_n,'.') xlabel('n');ylabel('fasa(c_n)') title('Koefisisen Fourier Fasa(C_n)','Fontsize',14) %Function Rumus: jumlah_cn function cn=jumlah_cn(n,a,T) if n==0 cn=a/T; else cn=(a/T)*sin(n*pi*a/T)/(n*pi*a/T); end Perolehan Gambar 16. dari program Matlab berikut %Spektra Cn fungsi n %oleh sigit kusmaryanto clear all; clc; for n=-30:30 a(n+30+1)=jumlah_cn(n,5,50); fasa_n(n+30+1)=deret_fasa(n,5,10); end figure; stem(-30:30,a,'.')


xlabel('n');ylabel('c_n') title('Spektra C_n fungsi n','Fontsize',14)

2.4 Teorema Integral Fourier Pada contoh 1 dinyatakan bahwa deret Fourier untuk fungsi berikut

𝑓𝑓(𝑢𝑢) = �0 − 𝑇𝑇/2 < 𝑢𝑢 < −𝑑𝑑/21 − 𝑑𝑑/2 < 𝑢𝑢 < 𝑑𝑑/2 0 𝑑𝑑/2 < 𝑢𝑢 < 𝑇𝑇/2

�

𝑓𝑓(𝑢𝑢) = 𝑓𝑓(𝑢𝑢 + 𝑇𝑇)

adalah


+ � �𝑑𝑑𝑇𝑇�


� 𝑘𝑘𝑔𝑔𝑠𝑠 𝑛𝑛0𝑢𝑢�∞


dengan

𝑐𝑐𝑠𝑠 =𝑑𝑑𝑇𝑇�


� ; 𝑛𝑛0 =2𝜋𝜋𝑇𝑇

jika 𝑇𝑇 → ∞ maka 𝑛𝑛0 → 0.

f(t)

1

a/2 T/2-T/2 t0-a/2

f(t)

1

a/2 t0-a/2

𝑠𝑠𝑛𝑛0 dapat dinyatakan sebagai 𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛, untuk 𝑇𝑇 → ∞ maka 𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛 = 𝑛𝑛. 𝑛𝑛 disebut sebagai variabel frekuensi kontinyu. Pengaruh terhadap deret Fourier adalah



𝑠𝑠=−∞


−𝑇𝑇/2

subsitusi 𝑐𝑐𝑠𝑠 pada 𝑓𝑓(𝑢𝑢)

𝑓𝑓(𝑢𝑢) = � �1𝑇𝑇� 𝑓𝑓(𝑢𝑢)�𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑠𝑠 𝑛𝑛0𝑢𝑢�𝑑𝑑𝑢𝑢𝑇𝑇/2

−𝑇𝑇/2� �𝑘𝑘𝑔𝑔𝑠𝑠 𝑛𝑛0𝑢𝑢�

∞

𝑠𝑠=−∞

𝑓𝑓(𝑢𝑢) = � �1𝑇𝑇� 𝑓𝑓(𝑢𝑢)[𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢 ]𝑑𝑑𝑢𝑢𝑇𝑇2

−𝑇𝑇2

� (𝑘𝑘𝑔𝑔𝑠𝑠 𝑛𝑛0𝑢𝑢)∞

𝑠𝑠=−∞

; 𝑢𝑢

= 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑘𝑘𝑠𝑠𝑑𝑑𝑏𝑏𝑘𝑘𝑔𝑔 𝑑𝑑𝑢𝑢𝑚𝑚𝑚𝑚𝑦𝑦 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑘𝑘. 𝑢𝑢

𝑓𝑓(𝑢𝑢) = � �1

2𝜋𝜋� 𝑓𝑓(𝑢𝑢)�𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢�𝑑𝑑𝑢𝑢𝑇𝑇2

−𝑇𝑇2

�𝑛𝑛0�𝑘𝑘𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛0𝑢𝑢�∞

𝑠𝑠=−∞

; 𝑛𝑛0

=2𝜋𝜋𝑇𝑇

𝑓𝑓(𝑢𝑢) = � �1

2𝜋𝜋� 𝑓𝑓(𝑢𝑢)�𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑢𝑢 �𝑑𝑑𝑢𝑢∞

𝑢𝑢=−∞� �𝑘𝑘𝑔𝑔𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑢𝑢 �𝑛𝑛𝑛𝑛

∞

𝑠𝑠=−∞

; 𝑇𝑇

→ ∞ 𝑚𝑚𝑑𝑑𝑘𝑘𝑑𝑑 𝑛𝑛0 = 𝑛𝑛𝑛𝑛 Untuk limit 𝑇𝑇 → ∞ maka 𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 dan 𝑛𝑛𝑛𝑛 = 𝑑𝑑𝑛𝑛 sehingga

� 𝑛𝑛𝑛𝑛

∞

𝑠𝑠=−∞

→ � 𝑑𝑑𝑛𝑛∞

𝑛𝑛=−∞

maka

𝑓𝑓(𝑢𝑢) = � �1

2𝜋𝜋� 𝑓𝑓(𝑢𝑢)[𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑛𝑛𝑢𝑢 ]𝑑𝑑𝑢𝑢∞

𝑢𝑢=−∞� (𝑘𝑘𝑔𝑔𝑛𝑛𝑢𝑢 )𝑑𝑑𝑛𝑛

∞

𝑛𝑛=−∞

=1√2𝜋𝜋

� �1√2𝜋𝜋

� 𝑓𝑓(𝑢𝑢)[𝑘𝑘−𝑔𝑔𝑛𝑛𝑢𝑢 ]𝑑𝑑𝑢𝑢∞

𝑢𝑢=−∞� (𝑘𝑘𝑔𝑔𝑛𝑛𝑢𝑢 )𝑑𝑑𝑛𝑛

∞

𝑛𝑛=−∞

=𝟏𝟏

√𝟐𝟐𝟐𝟐� [𝑭𝑭(𝝎𝝎)](𝒆𝒆𝒋𝒋𝝎𝝎𝒋𝒋)𝒅𝒅𝝎𝝎∞

𝝎𝝎=−∞ ; 𝑭𝑭(𝝎𝝎) =

𝟏𝟏√𝟐𝟐𝟐𝟐

� 𝒇𝒇(𝒖𝒖)[𝒆𝒆−𝒋𝒋𝝎𝝎𝒖𝒖]𝒅𝒅𝒖𝒖∞

𝒖𝒖=−∞

Bentuk rumus di atas disebut sebagai Teorema integral Fourier


Berikut akan diilustrasikan pengaruh nilai T pada koefisien 𝑐𝑐𝑠𝑠 .

Gambar 17. Pengaruh Nilai T pada Koefisien Cn Fungsi n

Gambar 18. Pengaruh Nilai T pada Koefisien Cn Fungsi 𝑠𝑠𝑛𝑛

Gambar 17. didapatkan dari program Matlab berikut: %Pengaruh nilai T(periode) pada Cn fungsi n


%oleh sigit kusmaryanto clear all; clc; for n=-30:30 a1(n+30+1)=jumlah_cn(n,1,2); a2(n+30+1)=jumlah_cn(n,1,5); a3(n+30+1)=jumlah_cn(n,1,10); fasa_n1(n+30+1)=deret_fasa(n,1,2); fasa_n2(n+30+1)=deret_fasa(n,1,5); fasa_n3(n+30+1)=deret_fasa(n,1,10); end figure; subplot(3,2,1) stem(-30:30,abs(a1),'.') xlabel('n');ylabel('abs(c_n)') title('Spektra Amplitudo C_n dg T=2','Fontsize',14) subplot(3,2,2) stem(-30:30,fasa_n1,'.') xlabel('n');ylabel('fasa(c_n)') title('Spektra Fasa C_n dg T=2','Fontsize',14) subplot(3,2,3) stem(-30:30,abs(a2),'.') xlabel('n');ylabel('abs(c_n)') title('Spektra Amplitudo C_n dg T=5','Fontsize',14) subplot(3,2,4) stem(-30:30,fasa_n2,'.') xlabel('n');ylabel('fasa(c_n)') title('Spektra Fasa C_n dg T=5','Fontsize',14) subplot(3,2,5) stem(-30:30,abs(a3),'.') xlabel('n');ylabel('abs(c_n)') title('Spektra Amplitudo C_n dg T=10','Fontsize',14) subplot(3,2,6) stem(-30:30,fasa_n3,'.') xlabel('n');ylabel('fasa(c_n)')


title('Spektra Fasa C_n dg T=10','Fontsize',14) %Function Rumus: jumlah_cn function cn=jumlah_cn(n,a,T) if n==0 cn=a/T; else cn=(a/T)*sin(n*pi*a/T)/(n*pi*a/T); end Gambar 18. didapatkan dari program Matlab berikut: %Pengaruh nilai T pada c_n fungsi omega %oleh sigit kusmaryanto clear all; clc; for n=-30:30 a(n+30+1)=jumlah_cn(n,1,3); b(n+30+1)=jumlah_cn(n,1,5); c(n+30+1)=jumlah_cn(n,1,10); end figure; subplot(3,1,1) stem((-30:30)*2*pi/5,a,'.');%omega0=2pi/T atau T=2pi/omega0 xlim([-6*pi,6*pi]) % x-axis from –6pi to 6pi xlabel('n\omega\o');ylabel('C_n') Title('C_n dengan T=3','Fontsize',14) subplot(3,1,2) stem((-30:30)*2*pi/10,b,'.'); xlim([-6*pi,6*pi]) % x-axis from -6pi to 6pi xlabel('n\omega\o');ylabel('C_n') Title('C_n dengan T=5','Fontsize',14) subplot(3,1,3) stem((-30:30)*2*pi/20,c,'.'); xlim([-6*pi,6*pi]) % x-axis from -6pi to 6pi xlabel('n\omega\o');ylabel('C_n') Title('C_n dengan T=10','Fontsize',14) %Function Rumus: jumlah_cn function cn=jumlah_cn(n,a,T) if n==0


cn=a/T; else cn=(a/T)*sin(n*pi*a/T)/(n*pi*a/T); end 2.5 Transformasi Fourier Transformasi Fourier dari 𝑓𝑓(𝑢𝑢) dinyatakan sebagai

𝑭𝑭(𝝎𝝎) =𝟏𝟏

√𝟐𝟐𝟐𝟐� 𝒇𝒇(𝒋𝒋)[𝒆𝒆−𝒋𝒋𝝎𝝎𝒋𝒋]𝒅𝒅𝒋𝒋∞

𝒋𝒋=−∞

Contoh 1. Tentukan Transformasi Fourier fungsi berikut

𝑓𝑓(𝑢𝑢) = �0 𝑢𝑢 < −𝑑𝑑/21 − 𝑑𝑑/2 < 𝑢𝑢 < 𝑑𝑑/2 0 𝑑𝑑/2 < 𝑢𝑢

�

f(t)

1

a/2 t0-a/2

Jawab. 𝑭𝑭(𝝎𝝎) =

𝟏𝟏√𝟐𝟐𝟐𝟐

� 𝒇𝒇(𝒋𝒋)[𝒆𝒆−𝒋𝒋𝝎𝝎𝒋𝒋]𝒅𝒅𝒋𝒋∞

𝒋𝒋=−∞

=𝟏𝟏

√𝟐𝟐𝟐𝟐� 𝟏𝟏[𝒆𝒆−𝒋𝒋𝝎𝝎𝒋𝒋]𝒅𝒅𝒋𝒋𝒂𝒂/𝟐𝟐

𝒋𝒋=−𝒂𝒂/𝟐𝟐

=𝟏𝟏

√𝟐𝟐𝟐𝟐�𝟏𝟏

−𝒋𝒋𝝎𝝎𝒆𝒆−𝒋𝒋𝝎𝝎𝒋𝒋�−𝒂𝒂/𝟐𝟐

𝒂𝒂/𝟐𝟐

=𝟏𝟏

√𝟐𝟐𝟐𝟐�𝒆𝒆𝒋𝒋𝝎𝝎𝒂𝒂/𝟐𝟐 − 𝒆𝒆−𝒋𝒋𝝎𝝎𝒂𝒂/𝟐𝟐

𝒋𝒋𝝎𝝎�

=𝟐𝟐

√𝟐𝟐𝟐𝟐�𝒆𝒆𝒋𝒋𝝎𝝎𝒂𝒂/𝟐𝟐 − 𝒆𝒆−𝒋𝒋𝝎𝝎𝒂𝒂/𝟐𝟐

𝟐𝟐𝒋𝒋(𝝎𝝎)�

=𝟐𝟐

√𝟐𝟐𝟐𝟐�𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝝎𝝎𝒂𝒂/𝟐𝟐

𝝎𝝎 �

=𝒂𝒂

√𝟐𝟐𝟐𝟐�𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝝎𝝎𝒂𝒂/𝟐𝟐𝝎𝝎𝒂𝒂/𝟐𝟐 �


ternyata transformasi fourier dari fungsi f(t) di atas menghasilkan spektra amplitudo kontinyu fungsi frekuensi, 𝐹𝐹(𝑛𝑛) =

𝒂𝒂


𝝎𝝎𝒂𝒂/𝟐𝟐 �.

Gambar 19. Spektra Amplitudo Kontinyu 𝐹𝐹(𝑛𝑛) = 𝒂𝒂


𝝎𝝎𝒂𝒂/𝟐𝟐 �

Contoh 2. Tentukan Transformasi Fourier fungsi berikut:

𝑓𝑓(𝑢𝑢) = �1 0 < 𝑢𝑢 < 𝑑𝑑

0 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦𝑑𝑑�

Jawab.

𝑭𝑭(𝝎𝝎) =𝟏𝟏

√𝟐𝟐𝟐𝟐� 𝒇𝒇(𝒋𝒋)[𝒆𝒆−𝒋𝒋𝝎𝝎𝒋𝒋]𝒅𝒅𝒋𝒋∞

𝒋𝒋=−∞

=𝟏𝟏

√𝟐𝟐𝟐𝟐� 𝟏𝟏[𝒆𝒆−𝒋𝒋𝝎𝝎𝒋𝒋]𝒅𝒅𝒋𝒋𝒂𝒂

𝟎𝟎

=𝟏𝟏

√𝟐𝟐𝟐𝟐�𝒆𝒆−𝒋𝒋𝝎𝝎𝒋𝒋

−𝒋𝒋𝝎𝝎�𝟎𝟎

𝒂𝒂

=𝟏𝟏

√𝟐𝟐𝟐𝟐𝒆𝒆−𝒋𝒋𝝎𝝎𝒂𝒂 − 𝟏𝟏−𝒋𝒋𝝎𝝎

=𝟐𝟐

√𝟐𝟐𝟐𝟐𝒆𝒆−𝒋𝒋𝝎𝝎𝒂𝒂/𝟐𝟐 �

𝒆𝒆−𝒋𝒋𝝎𝝎𝒂𝒂/𝟐𝟐 − 𝒆𝒆𝒋𝒋𝝎𝝎𝒂𝒂/𝟐𝟐

−𝟐𝟐𝒋𝒋𝝎𝝎 �


=𝟐𝟐

√𝟐𝟐𝟐𝟐𝒆𝒆−

𝒋𝒋𝝎𝝎𝒂𝒂𝟐𝟐 �

𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝝎𝝎𝒂𝒂𝟐𝟐𝝎𝝎 �

=𝒂𝒂

√𝟐𝟐𝟐𝟐𝒆𝒆−

𝒋𝒋𝝎𝝎𝒂𝒂𝟐𝟐 �

𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝝎𝝎𝒂𝒂𝟐𝟐𝝎𝝎𝒂𝒂/𝟐𝟐 �

=𝒂𝒂

√𝟐𝟐𝟐𝟐𝒆𝒆−

𝒋𝒋𝝎𝝎𝒂𝒂𝟐𝟐 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔

𝝎𝝎𝒂𝒂𝟐𝟐

Tidak seperti Contoh 1, pada Contoh 2 ini bentuk transformasi Fourier berupa fungsi komplek sehingga spektra terdiri atas spektra amplitudo dan fasa. Secara umum bentuk komplek dari transformasi Fourier adalah:

𝐹𝐹(𝑛𝑛) = |𝐹𝐹(𝑛𝑛)|𝒆𝒆𝒋𝒋𝒋𝒋(𝝎𝝎) Pada Contoh 2. ini spektra amplitudo |𝐹𝐹(𝑛𝑛)| = 𝒂𝒂

√𝟐𝟐𝟐𝟐𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝝎𝝎𝒂𝒂

𝟐𝟐

dan spektra fasa 𝒆𝒆𝒋𝒋𝒋𝒋(𝝎𝝎) = 𝒆𝒆−𝒋𝒋𝝎𝝎𝒂𝒂𝟐𝟐

Gambar 20. Spektra Amplitudo dan Fasa

DERET dan TRANSFORMASI FOURIER

DAFTAR ISI BAB I DERET FOURIER ............................................................................. 1

1.1 FUNGSI PERIODIK .............................................................................. 1 1.2 FUNGSI SINUSOIDA ............................................................................ 1 1.3 FUNGSI HARMONIK ........................................................................... 3 1.4 FUNGSI PERIODIK NON-SINUSOIDA ....................................................... 3 1.5 ANALISA GRAFIK FUNGSI PERIODIK ....................................................... 4 1.6 INTEGRAL BEBERAPA FUNGSI PERIODIK KHUSUS ...................................... 6 1.7 FUNGSI ORTHOGONAL ........................................................................ 9 1.8 DERET FOURIER............................................................................... 10 1.9 SYARAT DIRICHLET ........................................................................... 23 1.10 FUNGSI DENGAN PERIODE T ............................................................. 24 1.11 DERET FOURIER FUNGSI GENAP - GANJIL ............................................ 27 1.12 PERKALIAN FUNGSI GANJIL-GENAP ................................................... 29 1.13 PENGURAIAN SETENGAH KISARAN .................................................... 35

BAB II TRANSFORMASI FOURIER........................................................... 39

2.1 BENTUK POLAR DAN EKSPONENSIAL BILANGAN KOMPLEKS ...................... 39 2.2 BENTUK EKSPONENSIAL KOMPLEKS DERET FOURIER ............................... 39 2.3 SPEKTRA DISKRIT ............................................................................. 44 2.4 TEOREMA INTEGRAL FOURIER ............................................................ 47 2.5 TRANSFORMASI FOURIER .................................................................. 52

DERET dan TRANSFORMASI FOURIER

DAFTAR GAMBAR GAMBAR 1. FUNGSI PERIODIK ......................................................................... 1 GAMBAR 2. FUNGSI SIN X .............................................................................. 2 GAMBAR 3. FUNGSI 5SIN 2X........................................................................... 2 GAMBAR 4. FUNGSI PERIODIK NON PERIODIK..................................................... 3 GAMBAR 5. EVALUASI DERET FOURIER GEL. PERSEGI N=20, N=100 ..................... 15 GAMBAR 6. EVALUASI HASIL DERET FOURIER FUNGSI GIGI GERGAJI N=5, N=50 ...... 19 GAMBAR 7. EVALUASI HASIL DERET FOURIER FUNGSI GIGI GERGAJI N=5, N=50 ...... 22 GAMBAR 8. FUNGSI GENAP 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 DAN 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑥𝑥 ..................................... 27 GAMBAR 9. FUNGSI GANJIL 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥3 DAN 𝑦𝑦 = SIN(𝑥𝑥) ..................................... 28 GAMBAR 10. EVALUASI HASIL DERET FOURIER N=5, N=100 ............................... 34 GAMBAR 11. FUNGSI Y TERDIFINISI PADA INTERVAL 0 - π DG PERIODE 2π ............... 35 GAMBAR 12. PENGURAIAN SETENGAH KISARAN SINUS ....................................... 36 GAMBAR 13. PENGURAIAN SETENGAH KISARAN COSINUS ................................... 36 GAMBAR 14. BIDANG KOMPLEKS .................................................................. 39 GAMBAR 15. SPEKTRA AMPLITUDO DAN FASA CN FUNGSI N PADA CONTOH 2. DENGAN

A=5, T=50...................................................................................... 45 GAMBAR 16. SPEKTRA CN FUNGSI N............................................................... 45 GAMBAR 17. PENGARUH NILAI T PADA KOEFISIEN CN FUNGSI N ........................... 49 GAMBAR 18. PENGARUH NILAI T PADA KOEFISIEN CN FUNGSI 𝑠𝑠𝑛𝑛 ....................... 49 GAMBAR 19. SPEKTRA AMPLITUDO KONTINYU 𝐹𝐹(𝑛𝑛) = 𝒂𝒂𝟐𝟐𝟐𝟐𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝝎𝝎𝒂𝒂/𝟐𝟐𝝎𝝎𝒂𝒂/𝟐𝟐 . 53

f(x) x t periode = t gambar 1. fungsi...

Documents