4.9 Turunan tingkat tinggi Jika terdapat suatu fungsi f(x) yang differensiable, maka kita dapat mencari turunan pertamanya yaitu f’(x). Jika turunan pertama tersebut juga differensiable maka kita dapat menentukan turunan kedua dari fungsi tersebut. Secara umum jika turunan ke (n-1) differensiable maka kita dapat menentukan turunan ke n dari fungsi tersebut. Biasanya turunan kedua dan seterusnya dari suatu fungsi disebut turunan tingkat tinggi. Turunan pertama, kedua dan ketiga ditulis dengan lambang :

2

2

dx

yd ,

dxdy dan

3

3

dx

yd atau f’(x), f’’(x) dan f’’’(x). Sedangkan untuk turunan ke n,

dimana n ³4, maka kita gunakan lambang :n

n

dx

yd atau f(n)(x).

Contoh 4.37 Tentukan turunan pertama sampai dengan turunan keempat dari f(x) = (x2-4)3

Penyelesaian :

2222 )4x(x6)x2()4x(3)x('fdxdy

-=-==

)4x(x24)4x(6)4x)(x4(x6)4x(6)x(''fdx

yd 22222222

2-+-=-+-==

x288x120x48)4x(x48)4x(x24)x('''fdx

yd 33223

3-=+-+-==

288x360)x(fdx

yd 2)4(4

4-==

4.10 Differensial Pada pembahasan mengenai masalah turunan kita telah menggunakan lambang dy/dx sebagai suatu kesatuan dan merupakan lambang dari turunan pertama suatu fungsi x. Pada pasal ini kita akan membahas pengertian dy dan dx secara terpisah. Misal terdapat suatu persamaan y = f(x). Dari Gambar 4.5

didapat : x xy

y Dúû

ùêë

éDD

=D (4.68)

Jika harga Dx sangat kecil, maka Dy menjadi sangat kecil juga. Sehingga persamaan 4.68 dapat ditulis menjadi :

dx )x(fdy ¢= (4.69)

Pada persamaan 4.69 diatas dx dan dy disebut differensial dari x dan y. Differensial y atau dy adalah perubahan kecil pada peubah y akibat adanya perubahan kecil pada peubah x atau dx. Contoh 4.38 Jika y = x2 - 2x – 3, tentukan differensial y Penyelesaian : f(x) = x2 - 2x – 3 f’(x) = 2x – 2 Sehingga : dy = (2x-2) dx = 2(x-1) dx Contoh 4.39

Dx = dx l1

f(x) l

f(x + Dx) f(x)

Dy

dy

y

x x+Dx x

0

Gambar 4.5

Volume sebuah silinder adalah V = pr2h. Jika jari-jari silinder tersebut membesar 1% dari jari-jari asal, tentukan perubahan volumenya. Penyelesaian : f(r) = pr2h f’(r) = 2prh dV = f’(r) dr = 2prh (0,01r) = 0,02 pr2h Jadi perubahan volume silinder adalah sebesar 0,02 pr2h

4.11 Turunan fungsi implisit

Pada pasal-pasal sebelumnya kita telah mempelajari turunan fungsi-fungsi eksplisit, yaitu fungsi yang mempunyai bentuk y =f(x). Akan tetapi tidak semua fungsi mempunyai bentuk eksplisit. Sebagian mempunyai bentuk implisit, yaitu fungsi yang mempunyai bentuk F(x,y) = 0. Untuk mencari turunan fungsi implisit kita gunakan aturan sebagai berikut : 1. Jika pada F(x,y) = 0 mengandung suku g(x), maka :

)x('g)x(gdxd

= (4.70)

2. Jika pada F(x,y) = 0 mengandung suku h(y), maka :

dxdy

)y('h)y(hdxd

= (4.71)

3. Jika pada F(x,y) = 0 mengandung suku u(x) dan v(y), maka :

[ ]dxdy

)y('v).x(u)y(v).x('u)y(v).x(udxd

+= (4.72)

= Contoh 4.40

Tentukan dxdy

dari : x2 – 3xy +y2 = 4

Penyelesaian : x2 – 3xy +y2 = 4 ® x2 – 3xy +y2 – 4 = 0

2x – 3y – 3xdxdy

+ 2ydxdy

- 0 = 0

( 2y – 3x )dxdy

= 3y - 2x ® xyxy

dxdy

3223

--

=

Contoh 4.41

Tentukan dxdy dari : x2y + xy2 = 6 pada titik (1,2)

Penyelesaian : x2y + xy2 = 6 ® x2y + xy2 - 6 = 0

2xy + x2dxdy

+ y2 + 2xydxdy

= 0

(x2 + 2xy)dxdy

= -(2xy + y2) ® )xy2x(

)yxy2(dxdy

2

2

+

+-= ®

58

dxdy

2y1x

-=

==

4.12 Turunan fungsi parameter Fungsi parameter adalah fungsi yang mempunyai bentuk :

x = f(t) dan y = g(t) , dengan t adalah parameter (4.73)

Untuk menentukan turunan pertama atau dy/dx dari fungsi parameter, terlebih dahulu kita tentukan dx/dt dan dy/dt. Serlanjutnya dy/dx dicari dengan rumus:

dt/dxdt/dy

dxdy

= (4.74)