materi 4 penyelesaian spl tiga atau lebih variabel

Aljabar Linier dan Matriks

Prodi Teknik Informatika STKIP PGRI Sumenep

Muhammad Kamarudin, S.Pd.

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)

TIGA ATAU LEBIH VARIABEL

Menaksir Nilai Variabel Sebuah SPL

Pada bagian sebelumnya, telah dibahas beberapa kemungkinan bentuk geometris dari sebuah

sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV), yaitu :

1. Dikatakan bahwa persamaan dalam sistem dependent jika kedua persamaan linier berupa

garis-garis yang berimpit. Artinya SPL tersebut mempunyai banyak solusi.

2. Dikatakan bahwa persamaan dalam sistem inconsisten jika kedua persamaan linier berupa

garis-garis yang paralel dan tidak berpotongan. Artinya SPL tersebut tidak mempunyai

solusi.

3. Dikatakan bahwa persamaan dalam sistem consisten jika kedua persamaan linier berupa

garis-garis yang saling berpotongan di satu titik. Artinya SPL tersebut mempunyai sebuah

solusi.

Selanjutnya dari bentuk SPL berikut :

a11x1 + a12x2 + a13x3 +…+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 +…+ a2nxn = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 +…+ a3nxn = b3

..........................................................

..........................................................

am1x1 + am2x2 + am3x3 +…+ amnxn = bm

Dari bentuk SPL di atas juga memiliki 3 kemungkinan solusi atau nilai variabel-variabel

bebas yaitu :

1. Solusi banyak (dependent)

Contoh :

x1+2x2+x3 = 2

2x1+4x2+2x3 = 4

-2x1-4x2-2x3 = -2

Jika SPL di atas dikerjakan dengan menggunakan cara eleminasi, maka akan

menghasilkan bentuk pada ruas kiri maupun ruas kanan sama-sama bernilai nol (0).

Misalnya eleminasi pers. 1 dan pers 2

x1+2x2+x3 = 2 x2 2x1+4x2+2x3 = 4

2x1+4x2+2x3 = 4 x1 2x1+4x2+2x3 = 4 –

0 = 0

Jadi salah satu ciri suatu SPL memiliki banyak solusi adalah ketika dikerjakan dengan

menggunakan cara eleminasi, maka akan menghasilkan bentuk pada ruas kiri maupun ruas

kanan sama-sama bernilai nol (0).

2. Solusi tidak ada (inconsisten)

Contoh :

3x1-x2-x3 = 1

-3x1+x2+x3 = 3

6x1-2x2-2x3 = 1




Jika SPL di atas dikerjakan dengan menggunakan cara eleminasi, maka akan

menghasilkan bentuk pada ruas kiri bernilai nol (0) dan ruas kanan bernilai k (konstanta).

Misalnya eleminasi pers. 1 dan pers 3

3x1-x2-x3 = 1 x2 6x1-2x2-2x3 = 2

6x1-2x2-2x3 = 1 x1 6x1-2x2-2x3 = 1 –

0 = 1

Jadi salah satu ciri suatu SPL yang tidak memiliki solusi adalah ketika dikerjakan dengan

menggunakan cara eleminasi, maka akan menghasilkan bentuk pada ruas kiri bernilai nol

(0) dan ruas kanan bernilai k (konstanta).

3. Solusi unik/memiliki satu solusi (consisten)

Pada umumnya, untuk menentukan solusi (tupel) dari suatu SPL dikerjakan dengan cara

campuran (eleminasi dan substitusi)

Contoh 1 :

Tentukan tupel dari SPL berikut

3x1-x2-x3 = 0

x1+3x2+2x3 = 5

x1+2x2+x3 = 2

Penyelesaian :

3x1-x2-x3 = 0 ... pers.1

x1+3x2+2x3 = 5 ... pers.2

x1+2x2+x3 = 2 ... pers.3

eleminasi x1 pada pers.2 dan pers.3

x1+3x2+2x3 = 5

x1+2x2+x3 = 2 –

x2+x3 = 3 ... pers.4


3x1-x2-x3 = 0 x1 3x1 - x2 - x3 = 0

x1+3x2+2x3 = 5 x3 3x1+9x2+6x3 = 15 –

-10x2-7x3 = -15 ... pers.5


x2+ x3 = 3 x10 10x2+10x3 = 30

-10x2-7x3 = -15 x1 -10x2- 7x3 = -15 +

3x3 = 15

x3 = 5

substitusi x3=5 ke pers.4 (boleh ke pers.5)

x2+x3 = 3 x2+5 = 3

x2 = -2

substitusi x2=-2 dan x3=5 ke pers.1 (boleh ke pers.2 atau pers.3)




3x1-x2-x3 = 0 3x1-(-2)-5 = 0

3x1-3 = 0

3x1 = 3

x1 = 1

Jadi tupel dari SPL di atas adalah (1,-2,5)

Contoh 2 :

Tentukan tupel dari SPL berikut

2x1+x2+2x3+x4 = 1 ... pers.1

-x1-x2-2x3 = 2 ... pers.2

-2x1-3x2+x3-2x4 = -2 ... pers.3

Penyelesaian :


2x1 + x2+2x3+ x4 = 1 x2 4x1+2x2+4x3+2x4 = 2

-2x1-3x2+ x3 -2x4 = -2 x1 -2x1-3x2+ x3 - 2x4 = -2 +

2x1-x2+5x3 = 0 ... pers.4

eleminasi x2 dan x3 pada pers.1 dan pers.2

2x1+x2+2x3+x4 = 1

-x1 -x2 -2x3 = 2 +

x1+x4 = 3

x4 = 3-x1

substitusi x4=3-x1 ke pers.3

-2x1-3x2+x3-2x4 = -2 -2x1-3x2+x3-2x4 = -2

-2x1-3x2+x3-2(3-x1) = -2

-2x1-3x2+x3-6+2x1 = -2

-3x2+x3 = 4 ... pers.5


2x1-x2+5x3 = 0 x3 6x1-3x2+15x3 = 0

-3x2+x3 = 4 x1 -3x2+ x3 = 4 –

6x1+14x3 = -4 ... pers.6


-x1-x2- 2x3 = 2

2x1-x2+5x3 = 0 –

-3x1-7x3 = 2 ... pers.7


6x1+14x3 = -4 x1 6x1+14x3 = -4

-3x1-7x3 = 2 x2 -6x1-14x3 = 4 +

0 = 0

Karena cara eleminasi menghasilkan bentuk pada ruas kiri maupun ruas kanan

sama-sama bernilai nol (0), maka SPL di atas memiliki banyak solusi.




Catatan :

- Bentuk 0 = 0 atau 0 = k harus berlaku bagi semua persamaan yang tersedia agar dapat

disimpulkan bahwa SPL mempunyai banyak solusi atau tidak mempunyai solusi.

- Menyelesaikan SPL tiga atau lebih variabel dengan cara campuran tentu membutuhkan

langkah yang panjang dan membutuhkan penalaran tingkat tinggi. Pada pertemuan

selanjutnya akan diperkenalkan langkah-langkah penyelesaian yang lebih sistematis dan

logis, diantaranya dengan menggunakan Metode Gauss (Eleminasi Gauss)

LATIHAN

1. Jumlah tiga buah bilangan adalah 75. Bilangan pertama lima lebihnya dari jumlah bilangan

lain. Bilangan kedua sama dengan 1

4 dari jumlah bilangan yang lain. Bilangan pertamanya

adalah …

Jawaban : 40

2. Diketahui tiga tahun lalu, umur A sama dengan 2 kali umur B. Sedangkan dua tahun yang

akan datang, 4 kali umur A sama dengan umur B ditambah 36 tahun. Umur A sekarang

adalah … tahun

Jawaban : 9

3. Tentukan tupel dari SPL berikut :

3x + 7y + 2z = 8

4x + 2y – 5z = -19

6y – 4z = 14

Jawaban : (-5,3,1)

4. Tentukan tupel dari SPL berikut :

x2 – x4 + 2x1 – 3x3 = – 4

x2 + 8x4 + 2x1 = – 7

– 3x3 + 2x4 – 4x1 – 2x2 = – 10

– x1 + 4x2 – x3 + 4x4 = – 2

Jawaban : (0,1,2,-1)

5. Tentukan nilai k agar SPL berikut memiliki sebuah solusi :

2x1 + 4x2 – 2x3 = k

– x1 – x2 – x3 = −5

8

x1 – 2x2 + 4x3 = 7

4

Jawaban : k = 0

materi 4 penyelesaian spl tiga atau lebih variabel

Science