Barisan dan Deret

Barisan adalah sebarisan bilangan yang tersusun scara teratur dan mempunyai pola tertentu.

Jenis barisan 1. Barisan hitung (barisan aritmatika)

Keterangan :Sn suku ke na suku pertama atau S1nbanyak sukubbeda/selisih sukuS2 S1Yaitu suau bilangan yang memiliki pola perubahan antara suku-suku Yng berurutan perupa perubanhan penambahan atau pengurangan , dengan besarnya penambahan atau pengurangan yang sama.

Sn = a + (n 1) b

Jika suku dari besar ke kecil terjadi penambahan ( ) pada b. jadi (b)Contoh 17, 14, 11, 8, 5 maka b = 14 17 = 3 Jika suku dari kecil ke besar maka tetap bContoh 5, 8, 11, 14, 17 maka b = 8 5 = 3

Soal. 1 mencari Sn Barisan 5 , 8 , 11 , 14 , 17. Maka b = 3Tentukan S7 Jawab Sn = a + (n 1) bS7 = 5 + (7 1) 3S7 = 5 + 6 . 3S7 = 5 + 18S7 = 23

Soal 2 mencari nJika 6 , 16 , 26 , 36 , 46 b = 10Sn = 146Tentukan n Jawab Sn = a + (n 1) b146 = 6 + (n 1) 10146 = 6 + 10n 10 146 = 10n 4 10n = 146 + 410n = 150n = n= 15

soal 3 mencari b ( beda ) jika a = 2 , n = 50 , dan S19 S7 = 30tentukan b jawab Sn = a + (n 1) bS19 = 2 + (19 1) bS19 = 2 + 18b

S7 = 2 + (7 1) bS7 = 2 + 6bMaka S19 S7 = 2 + 18b (2 + 6b)= 2 + 18b 2 6b30 = 12bb= b = 2,5soal 4 mencari a dan b S3 = 3 , S8 = 13Tentukan a dan b jawab S3 = a + (n 1) bS8 = a + (n 1) b= a + (3 1) b= a + (8 1) b= a + 2b= a + 7b

a + 2b = 3a + 7b = 13 _5b = 10 b = 2

jawab a + 2b = 3a + 2.2 = 3a = 3 4a = - 1

2. deret aritmatikajumlah dari suku- suku dalam suatu barisan aritmatika

Barisan kecil ke besar Dn = ( a + Sn ) atau Dn = Barisan besar ke kecil -bDn =

Soal 1 mencari Dn dan n2 , 5 , 8 , 11 , 14 , 17 tentukan Dn jawab Sn = a + (n 1) bS7 = 2 + (7 1) 3S7 = 2 + 6 . 3S7 = 2 + 18S7 = 20

Dn = (a + Sn )D7 = (2 + 20)D7 = 3,5 . 22D7 = 77

Jika Dn = 260 dan Sn = 38 tentukan n jawab Dn = (a + Sn ) 260 = (2 + 38) 260 = . 40 = = 6,5 n = 6,5 . 2 n = 13soal 2 mencari beda dan ajika suku diuruttkan dari kecil ke besar, D4 = 17 dan D8 = 50tentukan a dan b jawab Dn = D4 = 17 = 2 (2a + 3b) 17 = 4a + 6b

Dn = D8 = 50 = 4 (2a + 7b) 50 =8a + 28b 4a + 6b = 17 8a + 12b = 178a + 28b = 50 _ 8a + 28b = 50 _-16b = -16 b = 1 jawab 4a + 6b = 174a + 6.1 = 174a = 17 6 4a = 11a = a = 2,75

3. barisan geometrisusunan bilangan yang dibentuk menurut urutan tertentu dimana susunan bilangan diantara dua suku yang berurutan menunyai rasio yang tetap ( meimiliki pola perubahan suku berupa kelipatan tetap ).

Keterangan :Sn suku ke na suku pertama atau S1nbanyak sukurrasio = Sn = a.r (n 1)

Soal 1 mencari rJika S4 = 24, dan S9 = 768Tentukan r Jawab S4 = a . r (n 1) S9 = a . r (n 1)= a . r (4 1)= a . r (9 1)= a . r 3= a . r 8

r == = r= r= 2soal 2 mencari n a = 6 , Sn = 768 dan r = 2tentukan n JawabSn = a . r (n 1)768 = 6 .2 (n 1) = 2 (n 1)128 = 2 (n 1) log log 128 = (n 1) log 2n 1 = = n 1 = 7n = 7 + 1n = 8catatan : untuk membagi log atas dan bawah di kalkulator agar hasilnya tak berkoma 128 log tanda bagi 2 log tanda sama dengan

soal 3 mencari rS1 = 4 , S6 = 12500Tentukan r Jawab Sn = a . r (n 1)S6 = a. r512500 = 4r5= r5 3125 = r5r = r = 5

soal 4 mencari r, a, dan nS2 = 10 , S8 = 7290 , dan Sn = 21870 Tentukan r, a, dan n dari Sn Jawab r = r = = = 729 = = 3

S2 = a.r10 = a.3a = a = 3

Sn = a . r (n 1)21870 = . 3(n 1) = 3(n 1)6561 = 3(n 1) logn 1 = n 1 = 8n = 8 + 1 n = 9

4. Deret Geometri

Jika r < 1 maka Dn = Jika r > 1 maka Dn =

Soal 1 mencari DnJika barisan geometri 5 , 10 , 20 , 40 , 80 Tentukan D4Jawabr = r = r = 2maka Dn = D4 = D4 = D4 = 5 . 15 D4 = 75

Soal 2 mencari r. Sn, na = 2S4 . S6 = 26244Tentukan r, S4 , n jika Dn = 728JawabS4 = ar3 S6 = ar5ar3 . ar5 = a2r826244 = 22 . r826244 = 4 . r8r8 = r8 = 6561r = r = 3

S4 = ar3S4 = 2 . 33S4 = 2 . 27 = 54

S6 = ar5S6 = 2 . 35S6 = 2 . 243 = 486

S4 . S6 = 2624454 . 486 = 26244

Tentukan n jika Dn = 728Jawab Dn = 728 = 728 = 728 = 3n 1 728 + 1 = 3n729 = 3n loglog 729 = log 3 . nn = n = = 6

soal 3 mencari r, a, Sn dan nS2 = dan S11 : S6 = tentukan r, a, S11 , S6 dan n jika Dn = 12Jawab 1 = r5= r= r = jawab 2S2 = ar = a . a = a = jawab 3 S6 = ar5S6 = S6 = S6 = S6 = Jawab 4 S11 = ar10S11 = S11 = S11 = S11 = Jawab 5Dn = 12 = 12 = 12 = 12 = = = = = = = log n = n = n = 4soal 1perusahaan genteng menghasilkan 3000 buah genteng di bulan pertama produksi. Dengan menambah tenaga kerja perusahaan bias menambah produksi 500 buahsetiap bulan. a. Berapa buah genteng yg dihasilkan pada bulan ke 5Sn = a + (n 1)bS5 = 3000 + (5 1) 500S5 = 3000 + 4 . 500S5 = 3000 + 2000S5 = 5000b. Berpa buah genteng yang dihasilkan sampai bulan tersebutDn = n/2 (a + Sn)D5 = 5/2 (3000 + 5000)D5 = 2,5 . 8000D5 = 20.000

Soal 2 Besar penerimssn dan penjualan barang adalah Rp. 750 juta dibulan ke 5 dan RP.980 juta di bulan ke 7.a. Berapa perkembangan penerimaan per tahun ? (b)S5 = a +(n 1)b720 = a + (5 1)b720 = a + 4bDan S7 = a + (n 1)b980 = a + (7 1)b980 = a + 6bMakaa + 6b = 980 a + 4b = 720 _2b = 260b = 130

b. Berapa penerimaan di tahun pertama ? (a)S7 = a + 6b720 = a + 6 . 130720 = a + 520720 520 = aa = 200

c. Pada tahun keberapa penerimaan Rp.460 ? (n)Sn = a + (n 1)b460 =200 + (n 1) 130460 = 200 + 130n 130460 200 + 130 = 130n390 = 130nn = 390/130 = 3

model bunga majemuk

Fn = P + (1 + i )ngunanya menghitung besarnya pengembalian kredit dimasa mendatang berdasarkan tingkat bunga, atau sebaliknya mengukur nilai sekarang dari investasi yang ddioterima dimasa mendtang. KeteranganFn = future value / jumlah di masa datang dari jumlah sekarangP = jumlah sekarang ( present value)i = tinngkat bunga per tahunn = jumlah tahun

Fn = P + (1 + i/m )n .mjika tingkat bunga dibayar lebih dari satu kali dalam stahuun (misalnya m kali), maka jumlah dimasa dating menjadi keterangan m = frekuensi pembayaran tinngkat bunga dalam setahun(1 + i)n dan (1 + i/m)n.m adalah compounding interest factor.

P = . FP = .FJika Fn diketahui makaKeterangan dan disebut discount factor

soal 1seorang nassabah meinjam uang di bank Rp. 5.000.000 untuk 3 tahun dengan tingkat bunga 2% pertahuna. Berapa jumlah sluruh uang yang harus dikembalika pada saat perlunasan?Fn = P (1 + i)nF3 = 5.000.000 (1 + 0,02)3F3 = 5.000.000 (1,02)3F3 = 5.000.000 (1,061208)F3 = 5.306.040b. Jika tingkat bunga dibayar stiap semester,berapa jumlah uang yang harus dibayar saat perlunasanFn = P ( 1 + i)n.mF3 = 5.000.000 (1 + 0,02)3.2F3 = 5.000.000 (1,01)6F3 = 5.000.000 (1,06152)F3 = 5.307.600

Soal 2Tabungan tuan a menjadi 532.400 tiga tahun mendatang. Jika tingkat bunga bank beralku 10% pertahun .Berapa tabungan tuan a pada sekarang ?P = . FP = . 532.400P = . 532.400P = 0,7513 (532.400)P = 400.000

i = 1 Soal 3 jika diketahui F dan P serta jangka waktu (n) maka mencari tingkat bunga

si a meminjam uang ke bank sebesar 4.000.000bank menetapkan pembayaran uang slama 5 tahun sebesar 6.000.000berapa besar tingkat bunga pada bank ?i = 1i = 1i = 1i = 1,0845 1i = 0.0845 100 %i = 8,45%

soal 4 seseorang harus membayar 4.000.000 atas pinjaman 250.000 Beberapa tahun yang lalu. Jumlah itu konsekuensi dari bunga 100%. Berapa tahun jang waktu pinjaman tersebut ?dik : i = 100% = 1Fn = P (1 + i)n4 juta = 250 ribu (1 + 1)n = 2n16 = 2n log n = n = n = 4 maka jangka waktu 4 tahun

BAB 2 FungsiLinierPengertianFungsi Linier atau fungsi berderajat satu ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu. Sesuai namanya, setiap persamaan linier apabila digambarkan akan menghasilkan sebuah garis lurus.Bentuk umum persamaan linier adalah :y = a + bxdimana a adalah penggal garisnya pada sumbu vertikal y, sedangkan b adalah koefisien arah atau gradien garis yang bersangkutan.2.2.Pembentukan Persamaan LinierSebuah persamaan linier dapat dibentuk melalui beberapa macam cara, tergantung pada data yang tersedia. Berikut ini dicontohkan empat macam cara yang dapat ditempuh untuk membentuk sebuah persamaan linier, masing-masing berdasarkan ketersediaan data yang diketahui. Keempat cara yang dimaksud adalah :Cara dwi-koordinatDari dua buah titik dapat dibentuk sebuah persamaan linier yang memenuhi kedua titik tersebut. Apabila diketahui dua buah titik A dan B dengan koordinat masing-masing (x1,y1) dan (x2,y2),maka rumus persamaan liniernya adalah :

Contoh Soal:Misalkan diketahui titik A(2,3) dan titik B(6,5), maka persamaan liniernya:

4y -12 = 2x 4, 4y = 2x+ 8 , y = 2 + 0,5 xCara koordinat-lerengApabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat (x1,y1) dan lereng garisnya b, maka persamaan liniernya adalah :

Contoh Soal :Andaikan diketahui bahwa titik A(2,3) dan lereng garisnya adalah 0,5 maka persamaan linier yang memenuhi kedua persamaan kedua data ini adalah

Cara penggal-lerengSebuah persamaan linier dapat pula dibentuk apabila diketahui penggalnya pada salah satu sumbu (a) dan lereng garis (b) yang memenuhi persamaan tersebut, maka persamaan liniernya adalah :y=ax+b ; a = penggal, b = lerengContoh Soal :Andaikan penggal dan lereng garis y =f (x) masing-masing adalah 2 dan 0,5, maka persamaan liniernya adalah : y=2+5xCara dwi-penggalSebuah persamaan linier dapat pula dibentuk apabila diketahui penggal garis pada masing-masing sumbu, yaitu penggal pada sumbu vertikal (ketika x = 0) dan penggal pada sumbu horisontal ( ketika y = 0), maka persamaan liniernya adalah :

; a = penggal vertikal, b = penggal horisontalContoh Soal :Andaikan penggal sebuah garis pada sumbu vertikal dan sumbu horisontal masing-masing 2 dan -4 , maka persamaan liniernya adalah :

2.3.Hubungan Dua garis lurusBerimpitDua garis lurus akan berimpit apabila persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari garis yan lain. Dengan demikian , garisakan berimpit dengan garis, jika

SejajarDua garis lurus akan sejajar apabila lereng/gradien garis yang satu sama dengan lereng/gradien dari garis yang lain. Dengan demikian , garisakan sejajar dengan garis, jika

1. BerpotonganDua garis lurus akan berpotongan apabila lereng/gradien garis yang satu tidak sama dengan lereng/gradien dari garis yang lain. Dengan demikian , garisakan berpotongan dengan garis, jika

Tegak lurusDua garis lurus akan saling tegak lurus apabila lereng/gradien garis yang satu merupakan kebalikan dari lereng/gradien dari garis yang lain dengan tanda yang berlawanan. Dengan demikian , garisakan tegak lurus dengan garis, jika atau

Penerapan EkonomiFungsi Permintaan, Fungsi Penawaran dan Keseimbangan PasarFungsi PermintaanFungsi permintaan menunjukkan hubungan antara jumlah barang/jasa yang diminta oleh konsumen dengan variabel harga serta variabel lain yang mempengaruhinya pada suatu periode tertentu. Variabel tersebut antara lain harga produk itu sendiri, pendapatan konsumen, harga produk yang diharapkan pada periode mendatang, harga produk lain yang saling berhubungan dan selera konsumenBentuk Umum Fungsi Permintaan :Q = a bP atau

Dalam bentuk persamaan diatas terlihat bahwa variable P (price, harga) dan variable Q (quantity, jumlah) mempunyai tanda yang berlawanan. Ini mencerminkan, hukum permintaan yaitu apabila harga naikl jumlah yang diminta akan berkurang dan apabila harga turun jumlah yang diminta akan bertambah.Fungsi PenawaranFungsi penawaran menunjukkan hubungan antara jumlah barang/jasa yang ditawarkan oleh produsen dengan variabel harga dan variabel lain yang mempengaruhinya pada suatu periode tertentu. Variabel tersebut antara lain harga produk tersebut, tingkat teknologi yang tersedia, harga dari faktor produksi (input) yang digunakan, harga produk lain yang berhubungan dalam produksi, harapan produsen terhadap harga produk tersebut di masa mendatangBentuk Umum :Q = -a + bP atau

Dalam bentuk persamaan diatas terlihat bahwa variable P (price, harga) dan variable Q (quantity, jumlah) mempunyai tanda yang sama, yaitu sama-sama positif. Ini mencerminkan,hukum penawaran yaitu apabila harga naik jumlah yang ditawarkan akan bertambah dan apabila harga turun jumlah yang ditawarkan akan berkurang.Keseimbangan PasarPasar suatu macam barang dikatakan berada dalam keseimbangan (equilibrium) apabila jumlah barang yang diminta di pasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan.

Syarat Keseimbangan Pasar :Qd = QsQd= jumlah permintaanQs= jumlah penawaranE = titik keseimbanganPe= harga keseimbanganQe= jumlah keseimbanganContoh Soal :Fungsi permintaan ditunjukan oleh persamaan Qd= 10 5P dan fungsi penawarannya adalah Qs= 4 + 9Pa. Berapakah harga dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar ?b. Tunjukkan secara geometri !Jawab :a.) Keseimbangan pasar :Qd= Qs10 5 P = 4 + 9P14P = 14P = 1 PeQ = 10 5PQ = 5 QeHarga dan jumlah keseimbangan pasar adalah E ( 5,1 )

2.4.2.Pengaruh Pajak Terhadap Keseimbangan PasarJika produk dikenakan pajak t per unit, maka akan terjadi perubahan keseimbangan pasar atas produk tersebut, baik harga maupun jumlah keseimbangan. Biasanya tanggungan pajak sebagian dikenakan kepada konsumen sehingga harga produk akan naik dan jumlah barang yang diminta akan berkurang. Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah kena pajak dapat digambarkan sebagai berikut.

Pengenaan pajak sebesar t atas setiap unit barang yang dijual menyebabkan kurva penawaran bergeser ke atas, dengan penggal yang lebih besar pada sumbu harga. Jika sebelum pajak persamaan penawarannya P = a + bQ, maka sesudah pajak ia akan menjadi P = a + bQ + tBeban pajak yang ditanggung oleh konsumen : tk= Pe PeBeban pajak yang ditanggung oleh produsen : tp= t tkJumlah pajak yang diterima oleh pemerintah : T = t x QeContoh soal :Diketahui suatu produk ditunjukkan fungsi permintaan P = 7 + Q dan fungsi penawaranP = 16 2Q. Produk tersebut dikenakan pajak sebesar Rp. 3,-/unit1. Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak ?2. Berapa besar penerimaan pajak oleh pemerintah ?3. Berapa besar pajak yang ditanggung kosumen dan produsen ?Jawab :1. Keseimbangan pasar sebelum pajakQd= Qs7 + Q = 16 2Q P = 7 + Q3Q = 9 P = 7 + 3Qe= 3 Pe= 10Jadi keseimbangan pasar sebelum pajak E ( 3,10 )Keseimbangan pasar sesudah pajakFungsi penawaran menjadi :P = 16 2Q + t= 16 2Q + 3= 19 2Q Os = Qd19 2Q = 7 + Q3Q = 12Qe = 4P = 19 2Q= 19 8Pe = 11Jadi keseimbangan pasar setelah pajak E ( 4,11 )1. T = t x Qe= 3 . 4= 12 ( Besarnya penerimaan pajak oleh pemerintah Rp. 12,- )1. tk= Pe Pe= 11 10= 1 ( Besar pajak yang ditanggung konsumen Rp. 1,- )tp= t tk= 3 1= 2 ( Besar pajak yang ditanggung produsen Rp. 2,- )2.4.3.Pengaruh Subsidi terhadap Keseimbangan PasarSubsidi yang diberikan atas produksi/penjualan suatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut menjadi lebih rendah.Jika produk dikenakan subsidi s per unit, maka akan terjadi penurunan harga produk sehingga keseimbangan pasar atas produk tersebut juga akan bergeser. Jika sebelum pajak persamaan penawarannya P = a + bQ, maka sesudah pajak ia akan menjadi P = a + bQ s

Bagian subsidi yang dinikmati oleh konsumen : sk= Pe PeBagian subsidi yang dinikmati oleh produsen : sp= s skJumlah subsidi yang dibayarkan oleh pemerintah : S = s x QeContoh Soal :Permintaan akan suatu komoditas dicerminkan oleh Qd= 122P sedangkan penawarannya Qs= -4 + 2P pemerintah memberikan subsidi sebesar Rp. 2,- setiap unit barang.a. Berapakah jumlah dan harga keseimbangan sebelum subsidi ?b. Berapakah jumlah dan harga keseimbangan sesudah subsidi ?c. Berapa bagian dari subsidi untuk konsumen dan produsen ?d. Berapa subsidi yang diberikan pemerintah ?Jawab ;a.) Keseimbangan pasar sebelum subsidiQd= QsQ = 12 2P12 2P = -4 + 2P = 12 8P = 16 Qe= 4Pe= 4 ( Keseimbangan pasar sebelum subsidi E = ( 4, 4 ))b.) Keseimbangan pasar sesudah subsidi :Qd = 12 2P => P = Qd + 6Qs = -4 + 2P => P = Qs + 2Sesudah Subsidi Fungsi Penawaran menjadiP = Q + 2 2P = QSehingga Kesimbangan pasar sesudah subsidi menjadi : Q + 6 = QQe = 6P = QPe = 3( Keseimbangan pasar setelah subsidi E = ( 6, 3 ) )c.) sk= Pe Pe sp= s sk= 4 3 = 2 1= 1 = 1(Besar subsidi untuk konsumen Rp. 1,- ) ( Besar subsidi untuk produsen = Rp. 1,- )d.) Subsidi yang diberikan pemerintahS = s x Qe= 2 . 6= 122.4.4.Fungsi Biaya dan Fungsi PenerimaanFungsi BiayaBiaya total (total cost) yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan dalam operasi bisnisnya terdiri atas biaya tetap (fixed cost) dan biaya variabel (variabel cost). Sifat biaya tetap adalah tidak tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan, biaya tetap merupakan sebuah konstanta. Sedangkan biaya variabel tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan. Semakin banyak jumlah barang yang dihasilkan semakin besar pula biaya variabelnya. Secara matematik, biaya variabel merupakan fungsi dari jumlah barang yang dihasilkan.FC = kVC = f(Q) = vQC = g (Q) = FC + VC = k + vQ

Keterangan ;FC = biaya tetapVC= biaya variabelC = biaya totalk = konstantaV = lereng kurva VC dan kurva CContoh Soal :Biaya tetap yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan sebesar Rp 20.000 sedangkan biaya variabelnya ditunjukkan oleh persamaan VC = 100 Q. Tunjukkan persamaan dan kurva biaya totalnya ! Berapa biaya total yang dikeluarkan jika perusahaan tersebut memproduksi 500 unit barang ?Jawab :FC = 20.000VC = 100 QC = FC + VC C = 20.000 + 100 QJika Q = 500, C = 20.000 + 100(500) = 70.000

Fungsi PenerimaanPenerimaan total (total revenue) adalah hasil kali jumlah barang yang terjual dengan harga jual per unit barang tersebut.R = Q x P = f (Q)Contoh Soal:Harga jual produk yang dihasilkan oleh sebuah perusahaan Rp 200,00 per unit. Tunjukkan persamaan dan kurva penerimaan total perusahaan ini. Berapa besar penerimaannya bila terjual barang sebanyak 350 unit ?Jawab :R = Q x P= Q x 200 = 200QBila Q = 350 R = 200 (350) = 70.0002.4.5.Analisis Pulang PokokAnalisis Pulang Pokok (break-even) yaitu suatu konsep yang digunakan untuk menganalisis jumlah minimum produk yang harus dihasilkan atau terjual agar perusahaan tidak mengalami kerugian. Keadaan pulang pokok (profit nol, = 0 ) terjadi apabila R = C ; perusahaan tidak memperoleh keuntungan tetapi tidak pula menderita kerugian. Secara grafik hal ini ditunjukkan oleh perpotongan antara kurva R dan kurva C.Contoh Soal :Andaikan biaya total yang dikeluarkan perusahaan ditunjukan oleh persamaan C = 20.000 + 100 Q dan penerimaan totalnya R = 200 Q. Pada tingkat produksi berapa unit perusahaan mengalami pulang pokok ? apa yang terjadi jika perusahaan memproduksi 150 unit ?Jawab ;Diketahui :C = 20.000 + 100QR = 200QSyarat Pulang PokokR = C300Q = 20.000 + 100Q200Q = 20.000Q = 100Jadi pada tingkat produksi 100 unit dicapai keadaan pulang pokokJika Q = 150, maka = R C= 300Q ( 20.000 + 100Q)= 200 Q 20.000= 200(150) 20.000= 10.000( Perusahaan mengalami keuntungan sebesar Rp. 10.000,- )Bab 3 Fungsi NonLinier3.1 Fungsi KuadratFungsi kuadrat atau fungsi berderajat dua ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua. Mengingat pangkat dua dalam persamaan kuadrat sesungguhnya dapat terletak pada baik variable x maupun variable y, bahkan pada suku xy(jika ada) maka bentuk yang lebih umum untuk suatu persamaan kuadrat ialah :3.1.1 LingkaranBentuk Umum persamaan lingkaran ialah : ax2+ by2+ cx + dy + e = 0Jika i dan j masing-masing adalah jarak pusat lingkaran terhadap sumbu vertikal y dan sumbu horizontal x, sedangkan r adalah jari-jari lingkaran, maka persamaan baku lingkaran menjadi : ( x i )2+ ( y j )2= r2, dengan3.1.2.EllipsBentuk baku rumus ellips

3.1.3.Hiperbola, jika sumbu lintang sejajar sumbu x

, jika sumbu lintang sejajar sumbu y

3.1.4.ParabolaBentuk umum persamaan parabola adalah :y = ax2+ bx + c, jika sumbu simetri sejajar sumbu verticalataux = ay2+by +c, jika sumbu simetri sejajar sumbu horisontal3.2.Penerapan Ekonomi3.2.1.Permintaan, Penawaran dan Keseimbangan PasarSelain berbentuk fungsi linier, permintaan dan penawaran dapat pula berbentuk fungsi non linier. Fungsi permintaan dan fungsi penawaran yang kuadratik dapat berupa potongan lingkaran, potongan elips, potongan hiperbola maupun potongan parabola. Cara menganalisis keseimbangan pasar untuk permintaan dan penawaran yang non linier sama seperti halnya dalam kasus yang linier. Keseimbangan pasar ditunjukkan oleh kesamaan Qd= Qs, pada perpotongan kurva permintaan dan kurva penawaran.

Keseimbangan Pasar :Qd= QsQd= jumlah permintaanQs= jumlah penawaranE = titik keseimbanganPe= harga keseimbanganQe= jumlah keseimbanganAnalisis pengaruh pajak dan subsidi terhadap keseimbangan pasar juga sama seperti pada kondisi linier. Pajak atau subsidi menyebabkan harga jual yang ditawarkan oleh produsen berubah, tercermin oleh berubahnya persamaan penawaran, sehingga harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasarpun berubah. Pajak menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih tinggi dan jumlah keseimbangan menjadi lebih sedikit. Sebaliknya subsidi menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih rendah dan jumlah keseimbangan menjadi lebih banyak.Contoh Soal:Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan Qd= 19 P2, sedangkan fungsi penawarannya adalah Qs= 8 + 2P2. Berapakah harga dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar ?Jawab :Keseimbangan PasarQd= Qs19 P2= 8 + 2P2P2= 9P = 3 PeQ = 19 P2= 19 32Q = 10 QeHarga dan jumlah keseimbangan pasar adalah E ( 10,3 )Jika misalnya terhadap barang yang bersangkutan dikenakan pajak spesifik sebesar 1 (rupiah) per unit, maka persamaan penawaran sesudah pengenaan pajak menjadi :Qs = 8 + 2(P1)2= 8 + 2(P22P+1) = 6 4P+ 2P2Keseimbangan pasar yang baru :Qd= Qs19 P2= 6 4P + 2P23P2 4P 25 = 0Dengan rumus abc diperoleh P1= 3,63 dan P2= 2,30, P2tidak dipakai karena harga negative adalah irrasional.Dengan memasukkan P = 3,63 ke dalam persamaan Qdatau Qs diperoleh Q = 5,82.Jadi, dengan adanya pajak : Pe= 3,63 dan Qe= 5,82Selanjutnya dapat dihitung beban pajak yang menjadi tanggungan konsumen dan produsen per unit barang, serta jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah, masing-masing :tk= Pe Pe= 3,63 3 = 0,63tp= t tk = 1 0,63 = 0,37T = Qex t = 5,82 x 1 = 5,823.2.2.Fungsi BiayaSelain pengertian biaya tetap, biaya variable dan biaya total, dalam konsep biaya dikenal pula pengertian biaya rata-rata (average cost) dan biaya marjinal (marginal cost). Biaya rata-rata adalah biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan tiap unit produk atau keluaran, merupakan hasil bagi biaya total terhadap jumlah keluaran yang dihasilkan. Adapun biaya marjinal ialah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghsilkan satu unit tambahan produkBiaya tetap : FC = kBiaya variable : VC = f(Q) = vQBiaya total : C = g (Q) = FC + VC = k + vQBiaya tetap rata-rata :

Biaya variable rata-rata :

Biaya rata-rata :

Biaya marjinal :

Bentuk non linier dari fungsi biaya pada umumnya berupa fungsi kuadrat parabolic dan fungsi kubik. Hubungan antara biaya total dan bagian-bagiannya secara grafik dapat dilihat sebagai berikut :1. Biaya total merupakan fungsi kuadrat parabolikAndaikan C = aQ2 bQ + c maka danMaka

1. Biaya total merupakan fungsi kubikAndaikan C = aQ3 bQ2+ cQ + d makadan FC=DMaka

Contoh Soal :Biaya total yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan ditunjukkan oleh persamaanC = 2Q2 24 Q + 102. Pada tingkat produksi berapa unit biaya total ini minimum? Hitunglah besarnya biaya total minimum tersebut. Hitung pula besarnya biaya tetap, biaya variable, biaya rata-rata, biaya tetap rata-rata dan biaya variable rata-rata pada tingkat produksi tadi. Seandainya dari kedudukan ini produksi dinaikkan dengan 1 unit, berapa besarnya biaya marjinal?Jawab :Berdasarkan rumus titik ekstrim parabola, C minimum terjadi pada kedudukan

Besarnya C minimum = 2Q2 24 Q + 102= 2(6)2 24(6) + 102 = 30Atau C minimum dapat juga dicari dengan rumus ordinat titik ekstrim parabola, yaitu

Selanjutnya, pada Q = 6

Jika Q = 7, C = 2(7)2 24(7) + 102 = 32

Berarti untuk menaikkan produksi dari 6 unit menjadi 7 unit diperlukan biaya tambahan (biaya marjinal) sebesar 2.Fungsi PenerimaanBentuk fungsi penerimaan total (total revenue, R) yang non linear pada umumnya berupa sebuah persamaan parabola terbuka ke bawah.Penerimaan total merupakan fungsi dari jumlah barang , juga merupakan hasilkali jumlah barang dengan harga barang per unit. Seperti halnya dalam konsep biaya, dalam konsep penerimaanpun dikenal pengertian rata-rata dan marjinal. Penerimaan rata-rata (average revenue, AR) ialah penerimaan yang diperoleh per unit barang, merupakan hasilbagi penerimaan total terhadap jumlah barang. Penerimaan marjinal (marginal revenue, MR) ialah penerimaan tambahan yang diperoleh dari setiap tambahan satu unit barang yang dihasilkan atau terjual.Penerimaan total R = Q x P = f (Q)Penerimaan rata-rataAR =R/QPenerimaan marjinalMR =Contoh :Fungsi permintaan yang dihadapi oleh seorang produsen monopolis ditunjukkan oleh P = 900 1,5 Q. Bagaimana persamaan penerimaan totalnya? Berapa besarnya penerimaan total jika terjual barang sebanyak 200 unit, dan berapa harga jual perunit? Hitunglah penerimaan marjinal dari penjualan sebanyak 200 unit menjadi 250 unit. Tentukan tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total maksimum, dan besarnya penerimaan maksimum tersebut.Jawab :P = 900 1,5 Q R = Q x P = 900 Q 1,5 Q2Jika Q = 200 , R = 900 (200) 1,5(200)2= 120.000P = 900 1,5 (200) = 600Atau

Jika Q = 250 , R = 900 (250) 1,5(250)2= 131.250R = 900 Q 1,5 Q2R maksimum pada

Besarnya R maksimum = 900 (300) 1,5(300)2= 135.0003.2.3.Keuntungan, Kerugian dan Pulang PokokAnalisis Pulang Pokok (break-even) yaitu suatu konsep yang digunakan untuk menganalisis jumlah minimum produk yang harus dihasilkan atau terjual agar perusahaan tidak mengalami kerugian. Keadaan pulang pokok (profit nol, = 0 ) terjadi apabila R = C ; perusahaan tidak memperoleh keuntungan tetapi tidak pula menderita kerugian. Secara grafik hal ini ditunjukkan oleh perpotongan antara kurva R dan kurva C.

Tingkat produksi Q1dan Q4mencerminkan keadaan pulang pokok, sebab penerimaan total sama dengan pengeluaran (biaya) total, R = C. Area disebelah kiri Q1dan sebelah kanan Q4mencerminkan keadaan rugi, sebab penerimaan total lebih kecil dari pengeluaran total, R < C. Sedangkan area diantara Q1dan Q4mencerminkan keadaan untung, sebab penerimaan total lebih besar dari pengeluaran total, R > C. Tingkat produksi Q3mencerminkan tingkat produksi yang memberikan penerimaan total maksimum. Besar kecilnya keuntungan dicerminkan oleh besar kecilnya selisih positif antara R dan C. Keuntungan maksimum tidak selalu terjadi saat R maksimum atau C minimum.Contoh soal :Penerimaan total yang diperoleh sebuah perusahaan ditunjukkan oleh persamaan R = -0,1Q2+ 20Q, sedangkan biaya total yang dikeluarkan C = 0,25Q3 3Q2+ 7Q + 20. Hitunglah profit perusahaan ini jika dihasilkan dan terjual barang sebanyak 10 dan 20 unit ?Jawab ; = R C = -0,1Q2+ 20Q 0,25Q3+ 3Q2 7Q 20 = 0,25Q3+ 2,9Q2+ 13Q 20Q = 10 = 0,25(1000) + 2,9(100) + 13(10) 20= 250 + 290 +130 20 = 150 (keuntungan )Q = 20 = 0,25(8000) + 2,9(400) + 13(20) 20= 2000 + 1160 +260 20 = 600 (kerugian )Contoh Soal :Penerimaan total yang diperoleh suatu perusahaan ditunjukkan oleh fungsi R = 0,1Q2+ 300Q, sedangkan biaya total yang dikeluarkannya C = 0,3Q2 720Q + 600.000. Hitunglah :1. Tingkat produksi yang menghasilkan penerimaan total maksimum ?2. Tingkat produksi yang menunjukkan biaya total minimum ?3. Manakah yang lebih baik bagi perusahaan, berproduksi menguntungkan berproduksi pada tingkat produksi yang menghasilkan penerimaan total maksimum atau biaya total minimum ?Jawab :R = 0,1Q2+ 300QC = 0,3Q2 720Q + 600.000R maksimum terjadi pada

C minimum terjadi pada

pada R maksimum

Q = 1500 = 0,4Q2+ 1020Q 600.000= 0,4(1500)2+ 1020(1500) 600.000= 30.0001. pada C minimum2. Q = 1200 = 0,4Q2+ 1020Q 600.000= 0,4(1200)2+ 1020(1200) 600.000= 30.0003.3.Soal-Soal Latihan1. Hitunglah harga dan jumlah keseimbangan pasar dari suatu barang yang permintaan dan penawarannya masing-masing ditunjukkan oleh persamaanQd=40 P2dan Qs = -60+3 P2.2. Hitunglah harga dan jumlah keseimbangan pasar dari suatu barang yang permintaan dan penawarannya masing-masing ditunjukkan oleh persamaan Qd=20 P2dan Qs=-28+ 3 P2.3. Penerimaan total yang diperoleh suatu perusahaan ditunjukkan oleh fungsi R= 3Q2+ 750Q, sedangkan biaya total yang dikeluarkannya C = 5Q2 1000Q + 85.000. Hitunglah :a. Tingkat produksi yang menghasilkan penerimaan total maksimum ?b.Tingkat produksi yang menunjukkan biaya total minimum ?c. Manakah yang lebih menguntungkan berproduksi pada tingkat produksi yang menghasilkan penerimaan total maksimum atau biaya total minimum ?