1. Distribusi Bernoulli

Percobaan Bernoulli adalah percobaan probabilitas yang menghasilkan salah satu dari dua kejadian yaitu sukses (x = 1) atau gagal (x = 0). Probabilitas sukses adalah p dengan p = x/n. Nilai x adalah kejadian sukses dalam pengamatan sebanyak n.Probabilitas gagal adalah q dengan q = 1 p. Probabilitas p merupakan parameter dari distribusi Bernoulli yang memiliki fungsi probabilitas densitas (pdf) sebagai berikut.PDF ->

Contoh dari percobaan Bernoulli adalah pemeriksaan produk acak dari produksi dengan hasil bahwa produk dapat diterima atau rusak. Percobaan Bernoulli merupakan distribusi diskrit yang menjadi dasar pembangun untuk distribusi diskrit yang lain seperti: Binomial, Pascal, Geometri, dan Negatif Binomial. Distribusi Bernoulli memiliki fungsi densitas kumulatif (cdf), fungsi general momen (MGF), mean, dan varians sebagai berikut.

V

2. Distribusi Binomial

Distribusi Probabilitas Kunci aplikasi probabilitas dalam statistik adalah memperkirakan terjadinya peluang/probabilitas yang dihubungkan dengan terjadinya peristiwa tersebut dalam beberapa keadaan. Jika kita mengetahui keseluruhan probabilitas dari kemungkinan outcome yang terjadi, seluruh probabilitas kejadian tersebut akan membentuk suatu distribusi probabilitas.

Distribusi binomial adalah salah satu distribusi probbabilitas diskrit yang paling sering digunakan dalam analisis statistic modern. Di bidang teknik, distribusi ini erat kaitannya dengan pengendalian kualitas (quality control). Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskret jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi binomial adalah distribusi bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik. Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada jumlah sampel n dari jumlah populasi N. Apabila sampel tidak saling bebas (yakni pengambilan sampel tanpa pengembalian), distribusi yang dihasilkan adalah distribusi hipergeometrik, bukan binomial. Semakin besar N daripada n, distribusi binomial merupakan pendekatan yang baik dan banyak digunakan. Distribusi Binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya, dalam perlemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat memberi label "berhasil" bila kartu yang terambil adalah kartu merah atau gagal bila yang terambil adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama, yaitu sebesar 0,5. (Ronald E. Walpole) Distribusi Binomial biasa dirumuskan seperti :B (x;n,p) = ncxpxqn-xDimana :x = 0,1,2,3,.....,nn = banyaknya ulanganx = banyaknya kerberhasilan dalam peubah acak x p = Peluang berhasil dalam setiap ulanganq = Peluang gagal, dimana q = 1 - p dalam setiap ulangan Contoh :Dadu dilemparkan 5 kali, diharapkan keluar mata 6 dua kali, maka kejadian ini dapat ditulis b(2,5,1/6) x=2, n=5, p=1/6Eksperimen Binomial Satu atau serangkaian eksperimen dinamakan eskperimen binomial bila dan hanya bila eksperimen yang bersangkutan terdiri dari percobaan-percobaan Bernoulli atau percobaan-percobaan binomial. Jika hanya berminta untuk mengetahui apakah hasil suatu percobaan disebut gagal atau sukses, maka ruang sampel yang merumuskan percobaan diatas harus memuat 2 unsur saja yaitu, unsur B bagi sukses dan unsur G bagi gagal. Singkatnya, probabilita kedua unsur diatas dapat dinyatakan sebagai,p ({B}) = p, p ({G}) = 1 - p = q Dimana : p + q = 1 dan 0< p dengan suatu bilangan terhingga positip, maka rumus binomial tersebut menjadi :

P( x = k) = , k = 0, 1, 2, ..Rumus ini disebut rumus distribusi Poisson.

Contoh :

Menurut pengalaman sebuah mesin cetak merek Anu setiap mencetak 1000 lembar ada 1 lembar yang cacat. Ketika mesin itu dioperasikan mencetak 250 lembar, berapa nilai kemungkinan akan terdapat kerusakan sebanyak 1. Kurang dari 5 lembar

2. Antara 3 dan 5 lembar.

Penyelesaian :

Nilai peluang rusak p = 0,001; n 250 , = n.p = 0,25

Dengan rumus P( x = k) = , P(0) = 0,7788; P(1) = 0,1947; P(2) = 0,0243; P(3) = 0,0020; P(4) = 0,0001; P(5) = 0,0000, maka

1. P( k < 5 ) = P(0) + P(1) + P(2) + P(4) = 0,9999

2. P( 3 < k < 5 ) = P(3) + P(4) + P(5) = 0,0021