mate iii ing semana 12

7/26/2019 Mate III ING Semana 12

1/23

Matemtica III(ING)

Semana 12
http://www.ue.edu.pe/http://www.ue.edu.pe/http://www.ue.edu.pe/http://www.ue.edu.pe/


2/23

Variable aleatoria continuaIntegrales dobles
http://www.ue.edu.pe/http://www.ue.edu.pe/


3/23

Variables Aleatorias

La vida de un foco seleccionado al azar del stock de un

fabricante es una cantidad que no puede predecirse con

certeza. En la terminologa de la probabilidad y de la

estadstica, el proceso de seleccionar el foco al azar sedenomina experimento aleatorio y la vida del foco se dice

que es una variable aleatoria.

En general, una variable aleatoria es un nmero asociado con

el resultado de un experimento aleatorio.


4/23

Una variable aleatoria es discreta si slo puede tomar valores

enteros. Por ejemplo el lanzamiento de un dado, el nmero de

puntos que aparece en cualquier cara es una variable aleatoria

discreta.

Por el contrario una variable aleatoria que puede asumir cualquier valor dentro de un intervalo se dice que es una

variable aleatoria continua, as por ejemplo: el tiempo de

espera de un automovilista al cambio de luz del semforo; el

tiempo que tarda una persona en aprender a realizar una tarea.

El clculo integral se aplica al estudio de las variables

aleatorias continuas.


5/23

Funcin de densidad de probabilidad

Una funcinf se llama funcin de densidad deprobabilidad si satisface:

0(t). fi 1)(.

dttfii

Una funcin de densidad de

probabilidad f est asociada a la

variable aleatoriax si se cumple

que la probabilidad de que xest entre a y b es:

b

a

dttfP )(b)x(a a b

y=f(x)

m n

X

Y


6/23

Funcin de densidad de probabilidad

Propiedad: Sif es una funcin de densidad deprobabilidad asociada a la variable aleatoriax, entonces:

Valor esperado: El valor esperado de la variable

aleatoriax viene dado por:

0)P( a

a

f(t)dtax

dttftxE )(.)(


7/23

Suponiendo que f(x) es una funcin de densidad de

probabilidad, determinar el valor de k:

0x,00x,ke2)x(f

x

2

1:Rpta k

Ejemplo 1


8/23

Suponiendo que f(x) es una funcin de densidadde probabilidad, determinar el valor de k:

2;0,020,)(

2

xxkxxf

8

3:Rpta k

Ejemplo 2


9/23

Funciones de densidad de probabilidad uniforme

y=f(x) = k

a b

X

Y

La distribucin uniforme describe una

situacin o experimento en el que los

resultados del intervalo a x b

son igualmente posibles de que ocurran

b

a b

a

1dx0dxkdx0

1xk

b

a

ab

1k


10/23

Plaza Vea ha creado un nuevo servicio para recoger a

sus clientes. Un micro parte de su sede cada 50 minutos;

una seora sale al paradero a esperar el micro, cul

es la probabilidad de que deba esperar por lo menos

15 min antes de que el micro la recoja?

10

7:Rpta

Ejemplo 3


11/23

La funcin de densidad de probabilidad para la duracinde las llamadas telefnicas en cierta ciudad esta dada por:

0t0

0te5.0)t(f

t5.0

Donde t representa la duracin de una llamada

(en minutos) seleccionada aleatoriamente.

Determinar la probabilidad de que una llamada tomada

al azar dure:a) Entre dos y tres minutos

b) Al menos dos minutos

Ejemplo 4


12/23

La funcin de densidad de probabilidad est dada por:

]2,0[Rx0

]2,0[xbxa)x(f

2

Si adems

Determine

1387.0)1x2/1(P

)2x2/3(P

Ejemplo 5


13/23

Ejemplo 6

Para una investigacin se ha considerado a todas las pequeasempresaS con capital X inferior a $10 000. Se supone que X,

expresada en miles de dlares, es una variable aleatoria con

funcin de densidad de probabilidad:

a) Determine el valor de k.

b) Calcule el porcentaje de pequeas empresas con capital

inferior a 6000 dlares.

c)Cul es la probabilidad de que el capital de una pequea

empresa sea superior a 3000 dlares pero no sobrepase los 7000

dlares?

casootro

xxk

xf

0

100)(


14/23

Ejemplo 7Se dice que una variable aleatoria continua t, tiene una distribucin

exponencial de parmetro (media) , si su funcin de densidad de

probabilidad viene modelada por:

El personal de la compaa Sport Gusto, usa un terminal para realizar sus

pedidos internacionales. Si el tiempo t que cada pedido gasta en una sesin

en la terminal tiene una distribucin exponencial con media de 36 minutos,

encontrar.

a) Probabilidad de que un pedido utilice la terminal 30 minutos o menos.

b)Cul es el valor de t, si el 90% de las sesiones terminan en menos de t

minutos?

casootroen;0

0tsi;e1

)(

t

tf


15/23

Ejemplo 8

Un termmetro en mal estado da una medicin de entre dos gradosms y dos menos de la temperatura real. El error cometido X, sigue

una variable aleatoria continua con funcin de densidad:

a) Halle el valor de K.

b) Calcule la probabilidad de que el termmetro d la temperatura

exacta.c) Calcule la probabilidad de que el error sea menor que 1 sabiendo

que es mayor que1; esto es,

2,2x0,

2x2,)x2(K)x(f


16/23

Variable aleatoria continua

Integrales dobles


17/23

dydx)y,x(f

b

a

d

c

b

a

d

c

dydx)y,x(f

Se llama integral doble y es una abreviacin de:

La integral

Donde primero se debe calcular la integral definida

interna, integrando f con

respecto a x mientras ypermanece constante.

dx)y,x(fd

c


18/23

1. Calcular:

1

0

2

1

2 dxdyxy

2

3:Rpta

1

0

x

x

3

2 dxdyxy1602. Calcular:

6:Rpta


19/23

3. Calcular:

1

0

y

0

xy2 dydxey

)2e(2

1:Rpta

4. Calcular: dydxey

y

2

1

1

1

2

e:Rpta


20/23

5. Calcular: dydxex21

0

1

y1

y

e4:Rpta

6. Calcular: dxdyex1

0

1

x

yx

4

1ee4:Rpta

2


21/23

R dAyxf ),(

Denotaremos el volumen limitado por el planoxyy por la superficie correspondiente al grfico de

f (x, y) como:

R

Volumen bajo la grfica de una funcin f


22/23

RdxdyyxfdAyxf

b

a

xg

xgR )(

)(

2

1

),(),(

Regin Tipo I.

Volumen bajo la grfica de una funcin f

dydxyxfdAyxfd

c

yh

yhR )(

)(

2

1

),(),(

Regin Tipo II.

R


23/23

1. Encuentre dondeR es la regin

acotada por las curvasy = 2x2 ,y = x2 + 1, donde

f (x, y) = y .

R dAyxf ),(

2. Encuentre dondeR es la reginacotada por las curvasx =y2 y la recta x + y = 2 ,

dondef (x, y) = 2x + 1 .

R dAyxf ),(

Ejemplos:

mate iii ing semana 12

Documents