makalah tentang peluang

By : Refqi Kemal Habib1220620039

BAB I

PENDAHULUAN

A. Dasar Teori

Peluang atau kebolehjadian atau dikenal juga sebagai probabilitas adalah cara untuk

mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan berlaku atau

telah terjadi. Probabilitas juga dapat diartikan sebagai angka yang menunjukkan

kemungkinan terjadinya suatu kejadian.

Dalam Materi tentang peluang ini, terdapat beberapa subbab yang dapat dipelajari

yakni:

a. Ruang Sample Dan Peristiwa Atau Kejadian

b. Komplemen (AC Atau A’)

c. Irisan (∩) Dan Gabungan(∪)

d. Peluang Suatu Kejadian

e. Komplemen Suatu Kejadian

f. Frekuensi Harapan

g. Peluang Kejadian Yang Saling Lepas

h. Peluang Kejadian Saling Bebas

i. Peluang Kejadian Bersyarat

j. Baye’s Rule

k. Permutasi

l. Kombinasi

m. Distribusi Peluang

B. Tujuan dan Manfaat

Dalam pembelajaran tetntang materi peluang ini, mahasiswa diharapkan bisa

menerapkan teori-teori dasar yang terdapat dalam materi peluang kedalam kehidupan

sehari-hari dan bisa mengaplikasikannya kedalam kehidupan. Peluang ini bertujuan untuk

mengetahui kemungkinan-kemungkinan yang bisa terwujud dari setiap langkah yang kita

ambil.

1


BAB II

ISI

A. Peluang


mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan berlaku atau

telah terjadi. Probabilitas juga dapat diartikan sebagai angka yang menunjukkan

kemungkinan terjadinya suatu kejadian.

a. Ruang Sample dan Peristiwa atau Kejadian

Misalkan kita melemparkan dua dadu bersama sama. Kemudian dadu pertama

mata dadu yang keluar yakni mata dadu satu dan enam.

Ruang sampel adalah seluruh jumlah kemungkinan yang dapat muncul dalam

pelemparan dadu tersebut. Yaitu sebanyak 36 kemungkinan

Sedangkan yang dinamakan kejadian adalah keluarnya mata dadu saat

pelemparan tersebut. Dalam kasus ini, yang disebut kejadian addalah mata dadu

satu dan enam.

b. Komplemen (AC atau A’)

Misalkan kita memiliki ruang sampel berupa S = {buku, pensil, handphone,

laptop, penggaris, penghapus}. Kemudian kita memiliki himpunan A yang

merupakan himpunan barang-barang elektronik yaitu A = {handphone, laptop}.

Maka yang dinamakan komplemen himpunan A (AC) adalah {buku, pensil, penggaris,

penghapus}.

Dapat disimpulkan bahwa komplemen A (AC) adalah himpunan atau barang

barang yang tidak termasuk dalam himpunan A.

c. Irisan (∩) dan Gabungan(∪)

2

A∪B=1,2,3,4,6,7

A∩B=1,3

A∩B∩C=1

A∪B∪C=1,2,3,4,5,6,7

( A∪B )∩C=1,3,4

( A∪B )∩C'=2,6,7K


S= (A )+(B )−( A∩B )→untuk dualingkaran

S= (A )+(B )+(C )−(A ∩B )−( A∩C )−(B∩C )+( A∩B∩C )+(K )

Berlaku:

- A∩∅=∅

- A∪∅=A

- A∩ A'=∅

- A∪ A'=S

- S'=∅

- ∅ '=S

- ( A' )'=A

- ( A∩B )'=A'∩B '

- ( A∪B )'=A '∪B '

d. Peluang Suatu Kejadian

Jika ruang sampel S mempunyai anggota yang berhingga banyaknya dan setiap

titik sampel mempunyai kesempatan untuk muncul yang sama, dan A suatu

kejadian munculnya percobaan tersebut, maka peluang kejadian A dinyatakan

dengan : P (A )=n ( A )n (S )

Dimana: P(A) = Peluang Kejadian A

n(A) = jumlah kejadian A

n(S) = jumlah semesta atau ruang sampel

e. Komplemen Suatu Kejadian

P(AC) = 1 – P(A)

f. Frekuensi Harapan

Fh(A) = n.P(A)

g. Peluang Kejadian yang Saling Lepas

Dua kejadian disebut saling lepas jika irisan dari dua kejadian itu merupakan

himpunan kosong. Himpunan A dan B dikatakan dua kejadian yang saling lepas, sebab

A∩B=∅ .

Berdasarkan Teori himpunan, P (A∪B )=P (A )+P (B )−P ( A∩B ). Karena

P (A ∩B )=0makaP ( A∪B )=P ( A )+P (B ) .

h. Peluang Kejadian Saling Bebas

Jika dua keeping mata uang homogeny dilemparkan bersama-sama, maka

kejadian yang mungkin adalah S = {(G1,G2), (G1,A2), (G2,A1), (A1,A2)} n(S) = 4

3


Pada kejadian yang pertama, muncul G1 dan mata uang kedua muncul G2.

Maka P(G1) =½ dan P(G2) = ½ . kejadian G1 dan G2 adalah dua kejadian yang saling

bebas.

Secara umum jika A dan B merupakan dua kejadian yang saling bebas maka

peluang kejadian A dan B adalah: P (A ∩B )=P (A ) x P(B)

i. Peluang Kejadian Bersyarat

Misalkan ruang contoh berpeluang sama dari percobaan melempar sebuah

dadu bersisi 6, maka S = {1,2,3,4,5,6}. Dan terdapat dua kejadian, yaitu B adalah

kejadian muncul sisi kurang dari 6, maka B = {1,2,3,4,5} dan A adalah kejadian

munculnya sisi genap, maka A = {2,4,6}. Berdasarkan hal ini, maka P(B) = 5/6, dan

p(A) = 3/6 = 1/2.

Jika dua kejadian A dan B dilakukan berurutan, yaitu B terjadi terlebih dahulu,

kemudian menyusul A, maka A = {2,4}. Peluang kejadian A setelah kejadian B (A

given B), atau dituliskan sebagai p(A | B) = 2/5. Dapat dirumuskan sebagai berikut:

P (A|B )= P (A∩B )P(B)

j. Baye’s Rule

Misalkan kawan Anda bercerita dia bercakap-cakap akrab dengan seseorang

lain di atas kereta api. Tanpa informasi tambahan, peluang dia bercakap-cakap

dengan perempuan adalah 50%. Sekarang misalkan kawan Anda menyebut bahwa

orang lain di atas kereta api itu berambut panjang. Dari keterangan baru ini

tampaknya lebih bolehjadi kawan Anda bercakap-cakap dengan perempuan, karena

orang berambut panjang biasanya wanita. Teorema Bayes dapat digunakan untuk

menghitung besarnya peluang bahwa kawan Anda berbicara dengan seorang

wanita, bila diketahui berapa peluang seorang wanita berambut panjang.

Misalkan:

W adalah kejadian percakapan dilakukan dengan seorang wanita.

L adalah kejadian percakapan dilakukan dengan seorang berambut panjang

M adalah kejadian percakapan dilakukan dengan seorang pria

Kita dapat berasumsi bahwa wanita adalah setengah dari populasi. Artinya

peluang kawan Anda berbicara dengan wanita, P(W) = 0,5.

4

http://id.wikipedia.org/wiki/Peluang_(matematika)


Misalkan juga bahwa diketahui 75 persen wanita berambut panjang. Ini berarti

bila kita mengetahui bahwa seseorang adalah wanita, peluangnya berambut

panjang adalah 0,75. Kita melambangkannya sebagai: P(L|W) = 0,75.

Sebagai keterangan tambahan kita juga mengetahui bahwa peluang seorang

pria berambut panjang adalah 0,3. Dengan kata lain: P(L|M) = 0,3.

Di sini kita mengasumsikan bahwa seseorang itu adalah pria atau wanita,

atau P(M) = 1 - P(W) = 0,5. Dengan kata lain M adalah kejadian komplemen dari W.

Tujuan kita adalah menghitung peluang seseorang itu adalah wanita bila

diketahui dia berambut panjang, atau dalam notasi yang kita gunakan, P(W|L).

Menggunakan teorema Bayes, kita mendapatkan:

P (W|L )= P (L|W ) P (W )P (L|W )P (W )+P (L|M )P (M )

Secara Umum dapat dituliskan sebagai:

P (A|B )= P (B|A )P ( A )P(B)

B. PERMUTASI

Permutasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup dengan

memperhatikan urutan. Di dalam permutasi, urutan diperhatikan. Seperti: {1,2,3} tidak

sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}.

a. Menghitung Permutasi yang mungkin dengan metode kotak kosong.

Untuk membuat permutasi dari pqrs, kita dapat mengandaikan bahwa ada 4

kotak kosong yang harus diisi dengan empat abjad tersebut.

Bila tiap kotak itu tidak boleh diisi dengan abjad yang sama, maka tiap kotak

yang akan diisi selanjutnya berkurang satu abjad. Seperti ini ilustrasinya:

1. [ ] ,[ ] , [ ] ,[ ]

Kotak pertama [ a ], dapat diisi dengan 4 abjad diatas. Pilihannya p ,q , r , s .

2. [ p ] ,[ ] , [ ] ,[ ]

Karna tidak boleh ada abjad yang sama, maka kotak kedua [ b ] hanya dapat

diisi dengan 3 abjad yang tersisa. Jika kita memilih p, maka pilihan tersisa

adalah q, r, dan s.

3. [ p ] , [q ] , [ ] ,[ ]

5


Sama seperti langkah nomor 2, jadi kotak ketiga hanya dapat diisi dengan 2

abjad. Jika kita memilih q, maka abjad yang tersisa hanya r dan s.

4. [ p ] , [q ] , [r ] ,[ ]

Sama seperti langkah nomor 3, jadi kotak keempat hanya dapat diisi dengan

1 abjad tersisa yaitu s.

5. [ ] ,[ ] , [ ] ,[ ]→banyak pilihantiapkotak= [4 ] , [3 ] , [2 ] , [1 ]

Setelah memperoleh kemungkinan - kemungkinan tersebut, jumlah

permutasinya adalah 4x3x2x1 = 24 buah. Dapat disimpulkan bahwa di setiap

langkah, kita memiliki sejumlah pilihan yang semakin berkurang. Maka jika

digeneralisasikan, banyaknya permutasi dari n unsur adalah sebanyak n !

dimana n adalah jumlah kotak.

Bila tiap kotak itu boleh diisi dengan abjad yang sama, maka tiap kotak akan

memiliki 4 abjad yang dapat diisikan kedalam kotak tersebut. Sehingga permutasinya

adalah 4x4x4x4 = 256 susunan. Dapat dirumuskan menjadi nk. di mana k adalah

banyaknya kotak dan n adalah jumlah objek yang dapat diisikan kedalam kotak..

b. Permutasi-k dari n benda

Terkadang kita hanya ingin menyusun ulang sejumlah elemen saja, tidak

semuanya. Permutasi ini disebut permutasi-k dari n benda. Pada contoh untai abcd,

maka permutasi-2 dari abcd (yang semuanya ada 4 unsur) adalah sebanyak 12. Yaitu

ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc.

Dapat dirumuskan menjadi pkn= n!

(n−k ) ! dimana n = banyaknya objek yang dapat

disusun. Dan k adalah banyaknya kotak atau susunan yang diinginkan.

c. Permutasi Siklis

Permutasi siklis menganggap elemen disusun secara melingkar seperti gambar

diatas. Cara membaca untai abcdefgh dalam susunan melingkar tersebut

6

a

b

c

d

e

f

g

h


bermacam-macam, maka setiap macam cara kita anggap identik satu sama lain.

Permutasi siklis dapat dihitung dengan menganggap bahwa satu elemen harus

ditulis sebagai awal untai.

Dengan menganggap panjang untai (atau banyaknya elemen) adalah n, dan

karena elemen awal tidak boleh diubah-ubah posisinya, maka banyaknya elemen

yang dapat berubah-ubah posisinya adalah n-1. Dengan demikian kita cukup

mempermutasikan elemen yang dapat berubah-ubah posisi saja, yaitu

sebanyak (n−1 )!.

d. Permutasi beberapa object yang berbeda

Andaikan kita memiliki huruf p, q, dan r yang akan dihitung permutasinya, maka

huruf tersebut dapat membentuk 6 permutasi yaitu pqr, prq, qpr, qrp, rpq, rqp.

Jika p dan q diubah menjadi x, maka akan permutasinya menjadi xxr, xrx, xxr, xrx,

rxx, rxx dan jumlah permutasinya menjadi 3.

Andaikan juga kita memiliki huruf p, q, r, dan s yang akan dihitung permutasinya.

Maka huruf tersebut dapat membentuk 24 permutasi. Jika p dan q = x dan r dan s =

y, maka akan memiliki 4 permutasi yaitu xxyy, xyxy, yxxy, yyxx, xyyx, dan yxyx

Oleh karena itu, jika ketika memiliki 3 objek dan objek tersebut memiliki dua

objek yang serupa, maka rumus permutasinya yaitu: P2,24 = 4 !

2 ! .2!

Pk1k2…kr

n = n !k1 !k2 !…kr !

C. KOMBINASI

Kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup tanpa

memperhatikan urutan. Missal {1,2,3} adalah samadengan {2,3,1) atau {3,1,2}.

Kombinasi dapat dituliskan dengan notasi C knatau(nk )

1. Kombinasi Tanpa Pengulangan

C kn= n !

k ! (n−k ) !=Pn

k

k !

2. Kombinasi Dengan Pengulangan

(n+k−1 )!k ! (n−1 )!

7


Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan k adalah jumlah yang harus

dipilih. Sebagai contoh jika kamu pergi ke sebuah toko donat. Toko donut itu

menyediakan 10 jenis donat berbeda. Kamu ingin membeli tiga donat. Maka

kombinasi yang dihasilkan adalah (10+3-1)!/3!(10-1)! = 220 kombinasi.

3. Segitiga paskal

0 1 2 3 4 5 k

D. DISTRIBUSI PELUANG

Setiap peristiwa akan mempunyai peluangnya masing-masing, dan peluang terjadinya

peristiwa itu akan mempunyai penyebaran yang mengikuti suatu pola tertentu yang di

sebut dengan distribusi.

Distribusi peluang untuk suatu variabel acak menggambarkan bagaimana peluang

terdistribusi untuk setiap nilai variabel acak. Distribusi peluang didefinisikan dengan suatu

fungsi peluang, dinotasikan dengan p(x) atau f(x), yang menunjukkan peluang untuk setiap

nilai variabel acak.

Ada dua jenis distribusi, sesuai dengan variabel acaknya. Jika variabel acaknya variabel

diskrit, maka distribusi peluangnya adalah distribusi peluang diskrit, sedangkan jika variabel

acaknya variabel yang kontinu, maka distribusi peluangnya adalah distribusi kontinu.

1. Distribusi Peluang Diskrit

Syarat: - f ( x )≥0 ,nilai peluang lebihdari0

-∑i=0

∞

P ( x )=1 , jumlahtotal padasebuah peluang samadengan1

a. Distribusi Binomial

Sifat percobaan binomial:

- Percobaan dilakukan dalam n kali ulangan yang sama

8

1 1 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

… … … … … … …

012345n


- Kemungkinan yang terjadi pada tiap ulangan hanya ada dua yaitu

“sukses” atau “gagal”.

- Probabilitas “sukses” yang dinotasikan dengan P selalu tetap pada tiap

ulangan.

- Tiap ulangan saling bebas.

Fungsi peluang binomial : P ( x )= n !x ! (n−x )!

px (1−p )n− x

Dimana x = banyaknya sukses yang terjadi dalam n kali ulangan

P = peluang “sukses”

N = Banyaknya ulangan.

Nilai Harapan / rata-rata : E ( x )=μ=np

Varian: Var ( x )=σ2=npq=np (1−p )

Simpangan baku: σ=√σ2=√np (1−p )

b. Distribusi Multinomial

Distribusi multinomial adalah sebuah distribusi dimana percobaan akan

menghasilkan beberapa kejadian.

Misalkan ada k kejadian dalam sebuah percobaan yaitu B1, B2, …, Bk. Jika

percobaan diulang sebanyak n kali dan peluang terjadinya setiap kejadian B

adalah P(B1) = p1, P(B2) = P2, …, P(Bk) = px, dengan jumlahnya masing-masing

sebanyak x1, x2, …, xk, maka fungsi distribusi multinomialnya adalah

p (x1 , x2 ,…, xk )=( n !x1 ! . x2!… .. xk !

) p1x1 . p2x2…. pkx k

c. Distribusi Poisson

Sifat percobaan poisson:

- Peluang suatu kejadian adalah sama untuk dua interval yang sama

- Kejadian pada suatu interval saling bebas dengan kejadian pada interval

yang lain

- Terjadinya kejadian sangat jarang terjadi

Fungsi peluang poisson: p ( x )=μx e−μ

x !

Dimana x = banyaknya kejadian pada interval waktu tertentu

μ = rata-rata banyaknya kejadian pada interval waktu

9


e = 2,71828

Nilai harapan / rata-rata: E ( x )=∑x=0

∞

xp ( x )=μ

Varian: σ 2=μ

d. Distribusi Hypergeometrik

Pada ditribusi hypergeometrik, percobaan tidak bersifat independen dan

peluang sukses berubah dari satu kejadian ke kejadian lain.

Fungsi Peluang hipergeometrik:

p ( x )=(rx)(N−r

n−x )(Nn )

Dimana: x = banyaknya sukses dalam n kali kejadian

N = banyaknya elemen populasi

n = banyaknya kejadian

r = banyaknya sukses dalam populasi

2. Distribusi Peluang Kontinyu

Syarat: - f ( x )≥0 ,nilai peluang lebihdari0

-∑i=0

∞

P ( x )=1 , jumlahtotal padasebuah peluang samadengan1

- peluang dihitunguntuk nilai dalamsuatu interval tertentu

- Peluang disuatu titik = 0

- Peluang untuk random variable kontinyu (nilai-nilainya dalam suatu

interval), misalkan antara x1 dan x2 didefinisikan sebagai luas daerah di

bawah kurva (grafik) fungsi peluang antara x1 dan x2.

a. Distribusi Normal

Karakterisik Distribusi Peluang Normal

1. Bentuk kurva normal seperti bel dan simetris.

3. Parameter s, menunjukkan lebar dari kurva normal (semakin besar

nilainya, semakin lebar).

4. Titik tertinggi dari kurva nomal terletak pada nilai

ratarata=median=modus.

10


5. Luas total area di bawah kurva normal adalah 1. (luas bagian di sebelah

kiri μ = sebelah kanan μ).

6. Peluang suatu variabel acak normal sama dengan luas di bawah kurva

normal.

Persamaan Distribusi Normal adalah f ( x )= 1σ √2π

e−12 ( x−μ

σ )2

Dimana μ= rata-rata

σ = simpangan baku

π = 3,14159

e = 2.71828

Jika digambarkan dalam kurva seperti ini:

Untuk mencari peluang sebuah interval pada distribusi normal, maka

fungsi distribusi itu harus diintegralkan dengan batas-batas peluang

p (x1<x<x2 )=∫x1

x21

σ √2πe

−12 ( x−μ

σ )2

= F(x2) – F (x1)

11


E. CONTOH SOAL

a. Peluang Suatu Kejadian

Sebuah mata uang logam dilempar satu kali. Berapa peluang munculnya

“Angka”?

Jawab:

Ruang sampel S = {A, G} maka n(S) = 2.

Kejadian A = {A}, maka n(A) = 1

Jadi, P(A) = n (A )n (S )

=12

b. Komplemen Suatu Kejadian

Misalkan dilakukan pengundian dua uang logam Rp 100,00 sekaligus, berapa

peluang tidak diperolehnya “Angka 100” ?

Jawab:

S = {GG, GA, AG, AA} n(S) = 4

M = kejadian munculnya “angka 100” = {GA, AG, AA} n(M) = 3

P (M )=n (M )n (S )

=34

M’ = kejadian munculnya bukan “angka100”

P (M ' )=1−P (M )=1− 34=14

c. Frekuensi Harapan

Berapakah frekuensi harapan muncul mata kurang dari 5 dalam pelantunan dadu

mata enam sebanyak 36 kali ?

Jawab:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6

A = {1, 2, 3, 4} n(A) = 4

P (A )=n ( A )n (S )

=46=23

Jadi Fh(A) = P(A) x n

= 23x36=24 kali

d. Peluang Kejadian Saling Lepas

12


Dua dadu mata enam dilempar bersama-sama. Berapa peluang muncul dua mata

dadu yang jumlahnya 3 atau 10 ?

Jawab:

2 dadu dilempar n(S) = 36

A = jumlah mata dadu 3 = {(1,2),(2,1)} n(A) = 2

B = jumlah mata dadu 10 = {(4,6),(5,5),(6,4)} n(B) = 3

A∩B=∅

P (A∪B )=P (A )+P (B )= 236

+ 336

= 536

e. Peluang Kejadian Saling Bebas

Dari setumpuk kartu bridge, diambil satu kartu secara berturut-turut sebanyak dua

kali. Tentukan peluang bahwa yang terambil pertama As dan yang terambil berikutnya

King !

Jawab:

n(S) = 52

n ( A s )=4→P ( A s )=n ( A s )n (S )

= 452

n (K )=4→P (K )=n (K )n (S )

= 451

jadi ,P ( A s∩K )=P (A s ) xP (K )= 452

x451

= 162652

= 4663

f. Peluang Kejadian Bersyarat

Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning. Akan diambil sebuah bola secara

acak berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian . Tentukan peluang terambilnya

keduanya bola merah!

Jawab:

Misal kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan pertama adalah A, maka:

P (A )= n (A )N (S )

=58

Misal kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan kedua adalah B, maka:

P (B|A )=n (B|A )N (S )

=47

P (A ∩B )=P (A )×B (B|A )=58×47= 514

13


g. Permutasi beberapa object yang berbeda

Dalam sebuah sesi latihan sepak bola, pelatih membutuhkan 10 pemain. Dari 10

pemain, pelatih menginginkan 1 pemain pemula, 2 mahasiswa, 4 junior, dan 3 senior

dalam timnya. Berapa banyak cara yang dapat dilakukan pelatih untuk menyusun

timnya?

Jawab:

P1,2,4,310 = 10 !

1 ! .2 !3 !4 !=12.600

h. Kombinasi Tanpa Pengulangan

Suatu ketika, dedi melakukan pemilihan 3 orang untuk mewakili kelompak 23 yang

terdiri dari 5 orang (misalnya Dedi, Eka, Feri, Gani dan Hari) untuk melakukan

presentasi. Berapakah cara yang dapat dilakukan oleh Dedi?

Jawab:

C kn= n!

k ! (n−k )= 5 !3! (5−3 ) !

=10

0 1 2 3 4 5 k

i. Distribusi Binomial

Misalkan sebuah perusahaan asuransi mempunyai 3 calon pelanggan, dan

pimpinan perusahaan yakin bahwa peluang dapat menjual produknya adalah 0,1.

Berapa probabilita bahwa 1 pelanggan akan membeli produknya?

Pada kasus ini, p = 0,1 n = 3 x = 1

P ( x=1 )= 3 !1! (3−1 ) !

0.11 (1−0.1 )3−1= 3!1 ! (2 !)

0.110.92=0.243

14

1 1 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

… … … … … … …

012345n

Dari soal dapat kita ketahui bahwa

n = 5, dan k = 3.

Jadi dengan menggunakan segita pascal ini kita mendapatkan bahwa terdapat 10 cara yang dapat dilakukan oleh Dedi.


Nilai Harapan: E(x) = m = np = 3.(0,1) = 0,3

Varian: Var(x) = s2 = np(1 - p) = 3(0,1)(0,9) = 0,27

Simpangan Baku: s = 0,52

j. Distribusi Multinomial

Pada suatu pemeriksaan hasil pembuatan pipa pada sebuah pabrik

memperlihatkan bahwa 85% produknya baik, 10% produknya tidak baik tapi bisa

diperbaiki dan 5% produknya rusak. Jika diambil sampel berukuran 20, berapa peluang

akan terdapat 18 yang baik dan 2 yang tidak baik tapi bisa diperbaiki.

x1 = 18 = banyaknya produk baik

x2 = 2 = banyaknya produk tidak baik tapi bisa diperbaiki

x3 = 0 = banyaknya produk rusak

p1 = 0,85

p2 = 0,1

p3 = 0,05

P (18,2,0 )= 20!(18 !2!1 ! )

0,85180,120.050=0.102

Jadi peluang terambil 18 produk baik dan 2 produk tidak baik tapi bisa diperbaiki

adalah 0,102

k. Distribusi Poisson

Di RS Mercy, rata-rata pasien mendatangi UGD pada akhir minggu adalah 3 pasien

per jam. Berapa peluang ada 4 pasien mendatangi UGD pada akhir minggu?

λ = 3 pasien perjam, x = 4

P (4 )=34 e−3

4 !=0.168

Jadi peluang ada 4 pasien mendatangi UGD pada akhir minggu adalah 0,1680

l. Distribusi Hypergeometrik

Sebuah anggota komite terdiri dari 5 orang, 3 wanita dan 2 laki-laki. Jika dari

komite itu dipilih 2 orang untuk mewakili dalam sebuah pertemuan, maka peluang

yang terpilih 1 wanita dan 1 laki-laki adalah :

N = 5 n = 2

r = jumlah wanita = 3

N – r = jumlah laki-laki = 5 – 3 = 2

15


x = jumlah wanita yang terpilih = 1

n – x = jumlah laki-laki yang terpilih = 2 – 1 = 1

P (1 )=(31)(5−32−1)

(52)=

( 3 !1!2 ! )( 2!1 !1 ! )( 5!2 !3 ! )

=0,6

Jadi peluang terpilih 1 wanita dan 1 laki-laki adalah 0,6

16


BAB III

KESIMPULAN


mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan berlaku atau telah

terjadi. Probabilitas juga dapat diartikan sebagai angka yang menunjukkan kemungkinan

terjadinya suatu kejadian. Ruang sampel adalah seluruh jumlah kemungkinan yang dapat muncul

dalam suatu experiment. Kejadian merupakan bagian dari ruang sampel. Komplemen adalah suatu

himpunan yang merupakan lawan dari himpunan yang dimaksud.

Rumus – rumus dalam materi peluang adalah

1. Peluang kejadian A dinyatakan dengan : P (A )=n ( A )n (S )

.

2. Komplemen dari kejadian A yaitu P(AC) = 1 – P(A).

3. Frekuensi harapan dari kejadian A adalah Fh(A) = n.P(A).

4. Peluang Kejadian yang Saling Lepas adalah P (A∪B )=P (A )+P (B ) .

5. Peluang Kejadian Saling Bebas adalah P (A ∩B )=P (A ) x P (B ).

6. Peluang kejadian bersyarat adalah P (A|B )= P (A∩B )P (B )

.

7. Bayes’ rule: P (W|L )= P (L|W ) P (W )P (L|W )P (W )+P (L|M )P (M )

atau P (A|B )= P (B|A )P ( A )P(B)

8. Permutasi: pkn= n!

(n−k ) !

9. Permutasi Siklis: (n−1 )!.

10. Permutasi beberapa object yang berbeda: Pk1k2…kr

n = n !k1 !k2 !…kr !

11. Kombinasi Tanpa Pengulangan: C kn= n!

k ! (n−k )=Pn

k

k !

12. Kombinasi Dengan Pengulangan: (n+k−1 )!k ! (n−1 )!

13. Distribusi Binomial:

Fungsi peluang binomial : P ( x )= n !x ! (n−x )!

px (1−p )n− x

Nilai Harapan / rata-rata : E ( x )=μ=np

Varian: Var ( x )=σ2=np (1−p )

17


Simpangan baku: σ=√σ2=√np (1−p )

14. Fungsi distribusi Multinomial:

p (x1, x2,…, xk )=( n!x1 ! . x2!… .. xk ! ) p1x1 . p2x2…. pk

xk

15. Distribusi Poisson

Fungsi peluang poisson: p ( x )=μx e−μ

x !

Dimana x = banyaknya kejadian pada interval waktu tertentu

μ = rata-rata banyaknya kejadian pada interval waktu

e = 2,71828

Nilai harapan / rata-rata: E ( x )=∑x=0

∞

xp ( x )=μ

Varian: σ 2=μ

16. Fungsi Peluang hipergeometrik:

p ( x )=(rx)(N−r

n−x )(Nn )

Dimana: x = banyaknya sukses dalam n kali kejadian

N = banyaknya elemen populasi

n = banyaknya kejadian

r = banyaknya sukses dalam populasi

17. Persamaan Distribusi Normal adalah f ( x )= 1σ √2π

e−12 ( x−μ

σ )2

Dimana: μ= rata-rata

σ = simpangan baku

π = 3,14159

e = 2.71828

18


DAFTAR PUSTAKA

Walpole, Ronald E. 2012. Probability & statistics for engineers & scientists 9th edition. Boston:

Pearson Education, Inc

http://id.wikipedia.org/wiki/Peluang_(matematika)

http://www.slideshare.net/cvrhmat/distribusi-peluang

https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:iVE3btGURjcJ:elib.unikom.ac.id/download.php

%3Fid

%3D56232+&hl=id&gl=id&pid=bl&srcid=ADGEESiW3TZAjWbkpOdzeq9Rq13bBL4SFgdlYdbWdx

W815G3XEhLqGCbXvQvS47jA4MtcakGiIzeSfLdgKcwlDQKaLbmwnqIFixioVVgw2k5y76wYAgZ2Iz

BirgcdF4yjGZUCwHBS6D_&sig=AHIEtbSqgs1ZsP2vri4BqKcGROWdKaWUAg

http://id.wikipedia.org/wiki/Kombinasi_dan_permutasi

https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:52gFOarx2gEJ:antoniuscp.files.wordpress.com/

2013/02/3-

permutasi_kombinasi.pdf+&hl=id&gl=id&pid=bl&srcid=ADGEESisBY4UyOrnXK7XD6yHgus590

WXazrCinvIu0Qq7i1IJID_qwcxHKBxxsqR5WcV_oCAITxtLU3tmO5gE9A6WWMLmajKHbwxXIWZ

wwbq81dkSHzwDTfx2i1U8BcRoYy79IN_RSdO&sig=AHIEtbS6v0YjF4rWhObZS2ESZvuYmEBePA

http://id.wikipedia.org/wiki/Permutasi

http://id.wikipedia.org/wiki/Kombinasi

https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:nuUVXnydaEcJ:kk.mercubuana.ac.id/files/11017-7-

729682129515.pdf+&hl=id&gl=id&pid=bl&srcid=ADGEESjeXkiC9BYXYwHaVndtXaFhu1KUgV-

DN6VviqGCXQRbWBataI907nvPkTtWpa7S2pJoqqRxKdYwAt1xRtMSRdtYhLDYPfqhwhU-

ml45rURAGwaI4D0xOuTAs1xJROjlGeQzjRxq&sig=AHIEtbStCnw2jOwKI6wcYS7r6Stna_pVWA

https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:JLYOczauIhwJ:kk.mercubuana.ac.id/files/94020-9-

904226365996.doc+&hl=id&gl=id&pid=bl&srcid=ADGEESjASakhfsaesfTil7S-

tP3Yo2FxJiiIih54jQIymZAu5BsW-

GMGawgfyMvc3sNwiYCWaElBqBMOTMKj4YE0i_UQZ_903jNfa7T-

m5TgJazQndcYPH2kkGeDfAq0tvfhYZdtgHOI&sig=AHIEtbQl63-v6t1Me6c29WQyqPdbAzmCUQ

https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:2w6Uk5qOJbQJ:elib.unikom.ac.id/download.php

%3Fid%3D56231+&hl=id&gl=id&pid=bl&srcid=ADGEESgQNGfCTIF0vU6K4iHe-

nVJrcLPEMUypYUKwrl1ngGSxh-

19


En8mkZqhVLubaTm7li2ClAuPWjMfczAOjnCGvSdelnLuusP90WpLpOcKE0WdSNnl7qCX1sp3SJ8J

4Yu71SkLkF-RQ&sig=AHIEtbSYwL9C4d1OiC_JCx1J3veh1cYz7w

https://docs.google.com/viewer?

a=v&q=cache:yRdpopoHMToJ:mangnandar.files.wordpress.com/2011/05/kd_14-2_peluang-

suatu-

kejadian.pdf+&hl=id&gl=id&pid=bl&srcid=ADGEESiyudOicEcXaBv9mqxQoliMBqCCodQQM2j_z

WxCobqgbuf31FUroOA_LejjjC8Fa6U1a34rDJHxt7yDpo68yQzclBAT1Yf8jcnYlndQAxqMULwNfEf

vb-I0Y9HGTxZcTA5yn2Ky&sig=AHIEtbTzmFj_T_LZdi-tdQkRY2Y1-_ZF2Q

https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:wulwYRUneQQJ:web.ipb.ac.id/~julio/webaku/isi/

stk202/notes/

bab3.pdf+&hl=id&gl=id&pid=bl&srcid=ADGEESjOR62rB8tCwCFyuxWakp3LSt6w7hVEuOdNDO

BVjaluGpHV4UCeLhTTro2iao65NKNKzgwQssQnIxYTZ3BJfNjzNWrKX8iET7qTch7bk7u2UlXKMcc

ZTfOAYXpRaz8A64MIiJLT&sig=AHIEtbQ-jw_xBKQaGAuhioibIsLPYn8XWw

20

makalah tentang peluang

Documents