peluang dan distribusi peluang
TRANSCRIPT
PELUANG DAN DISTRIBUSI PELUANG
• PENGANTAR PELUANGDefinisi secara klasik,
Peristiwa E dapat terjadi, sebanyak n kali diantara N peristiwa yang saling asing dengan kesempatan yang sama maka peluang E, adalah
Contoh Sebuah dadu bermuka enam di tos, makaa. tentukan semesta pembicaraanya :b. Bila kejadian yang terjadi E = muka dadu bermata 4, maka P(E)
?Jawab . S = { 1, 2, 3, 4, 5 dan 6} E= {- - - }, jadi P(E) = - - - ?
N
nEP
n(S)
n(E))(
E
• Pengantar Peluang• Definisi secara klasik, peristiwa E dapat terjadi sebanyak
n kali diantara N = n(S) peristiwa yang saling asing dengan kesempatan yang sama maka peluang E, adalah :
Bahasa Himpunan : S = himp semesta n(E) = n dan n(S) = N ,
Contoh 1. Seduah dadu dilempar, a. tentukan semua peristiwa yang terjadi ! b. bila yang terjadi muncul angka 4, maka tentukan peluangnya !Jawab.
a.S ={ 1,2,3,4,5,6 }, b. E={4}. C. Peluang E atau P(E) = n(E)/n(S) = 1/6
c. Bagaimanakah P( muka dadu angka genap yang muncul ) = - - - ?
E
S
Definisi secara empiris, adalah limit dari frekuensi relatif dengan banyaknya pengamatan yang bertambah besar secara tak terhingga.
• Contoh, 1. Telah diketahui oleh semua orang bahwa peluang kelahiran seorang anak laki dari seorang ibu yang melahirkan adalah 0.5. Berdasar pengalaman didapat 60 anak laki dari 100 ibu yang melahirkan, maka peluang anak laki yang lahir 60/100( sebagai frekuensi relatif ( fr)) ; dari 1000 ibu yang melahirkan terdapat 545 anak laki lahir maka peluang anak laki lahir 545/1000 = 0,545( fr); bagaimnakah bila 100.000 ibu melahirkan, maka peluang anak laki lahir = - - -,
• Bagaimnakah bila banyak ibu makin besar sekali atau bahasa matematika
• n ∞ maka peluang anak laki lahir akan mendekati 0,5• Kejadian di atas dpt ditabelkan sbb:
• Jadi Limit frekuensi relatif = 0,5 untuk n makin besar
Banyaknya Ibu 100 1000 10000 - - - ∞
Anak Laki 60 545 5102 - - -
Frekuensi Relatif 0,60 0,545 - - - 0,50
Sifat dasar dari peluang Peluang terjadinya peristiwa E ditulis P(E)
Nilai 0 P(E) 1 , Jika P(E) = 0 maka peristiwa E mustahil terjadi dan Jika P(E) = 1 maka peristiwa E pasti terjadiP(bukan E) = P( ) = 1 - P(E) atau P(E) + P( ) = 1
Jumlah semua peluang yang saling asing adalah satu, Jika n buah peristiwa E1, E2, ....., En yang saling asing maka
P(E1 atau E2 atau - - -atau En) = P(E1) +P(E2) + --- + P(En);
Bagaimanakah bila dua himpunan tidak saling asing ? Lanutkan ke berikutnya .
E E
,
E
• Dua kejadian
SKejadian A dan B tidak saling asing, A B { }, maka
P( A B ) = P(A) + P(B) – P(A B)
A B
A B
Kejadian A dan B saling asing atau A B = { }, maka P( A B ) = P(A) + P(B)
Contoh2. RSU Subandi merekrut tenaga kesehatan, seleksi dilakukan terhadap 4 pelamar terdiri dari dokter laki-laki, dokter wanita, laki-laki bukan dokter dan wanita bukan dokter; maka masing-masing memilki peluang sbb:
P(wanita) = 2/4 ; P(laki-laki) = 2/4 ; P(dokter) = 2/4 ; P(dokter wanita) =1/4; P(dokter laki) ¼.
Hitung a. P( wanita atau dokter) = - - -? b. P(wanita atau laki) = - - - ?
• P(wanita) = 2/4 ; P(laki-laki) = 2/4 ; P(dokter) = 2/4 ; P(dokter wanita) =1/4 ; P(dokter laki) ¼.
Jawab: a. P( wanita atau dokter) = P(wanita) + P(dokter) – P(dokter wanita)
= - - - - + - - - - - - - - = - - - - ( 0,75)
b. P(wanita atau laki) = - - - ?
Peluang Bersyarat :Suatu kejadian mempunyai hubungan bersyarat, bila suatu kejadian B terjadi
setelah kejadian lain,misal A terjadi, ditulis
P(B|A) = atau P(A B) = P(A).P(B|A))(
)(
AP
BAP
Namun, bila dua kejadian bebas (indipenden), maka
P(B|A) = P(B) atau P(A|B) = P(A).
P(A B) = P(A).P(B) dibaca peluang A dan B terjadi
Bekerja Menganggur
Laki 200 40
Perempuan 40 140
Contoh 1.
Kejadian : L = laki-laki ; B = Bekerja
Tentukan P(L|B) = - - -
Jawab.
P(B) = - - -
P(L B) = - - -
P(L|B) = - - -
Atau P(L|B ) = 200/240 = 5/6 atau - - - %
Bagaimnakah dengan P(B|L) ?
Tentukan P(W|M), bila W wanita, M = menganggur
• Contoh2. Peluang pasien DB ditangani tepat pada waktunya P(D) adalah 0,83
dan peluang Pasien DB selesai ditangani tepat waktunya sebesar 0,92 serta peluang pasien darurat ditangani dan selesai tepat waktunya sebesar 0,78
A. hitung peluang pasien DB selesai ditangani tepat waktunya, bila DB ditangani tepat waktunya,
B. Hitung peluang DB ditangani tepat waktunya, bila DB selesai ditangani tepat waktunya.
*Contoh3. Sebuah kecamatan mempunyai 1 mobil kebakaran dan 1 mobil
ambulan. Peluang mobil kebakaran digunakan saat diperlukan sebesar 0,86 , sedangkan peluang ambulan digunakan saat diperlukan sebesar 0,92. Dalam hal terjadi kecelakaan akibat kebakaran, maka a. hitunglah peluang ambulan dan mobil kebakaran itu digunakan ? P( MK MAM) = P(MK) .P(MAM) (0,901)
• Contoh 4. Misalkan kita mempunyai mangga dalam satu keranjang memuat 80 buah, yang rusak 12 buah.
Bila 2 mangga diambil secara acak dan tanpa pengembalian, berapa peluang:
a. Berapa peluang buah yang terambil ke duanya rusak,b. Berapa peluang buah yang terambil satu rusak dan satu tidak,
• Contoh 5. Misalkan kita mempunyai mangga dalam satu
keranjang memuat 80 buah, yang rusak 12 buah. Bila 2 mangga diambil secara acak dan dikembalikan,
a. Berapa peluang buah yang terambil ke duanya rusak,b. Berapa peluang buah yang terambil satu rusak dan satu tidak,
X P(X)
012
¼½¼
jumlah 1
• DISTRIBUSI PELUANG Suatu undian dengan dua mata uang, maka peristiwa yang akan terjadi adalah : GG,
GA, AG, AA, sehingga P(GG) = P(GA) = P(AG) = P(AA) = ¼ . Jika X menyatakan banyak muka G, maka X = 0, 1, 2, dengan demikian P(X = 0) = P(X = 1) = P(X = 2) = ¼ atau
X yang memiliki peluang, bersifat variabel, dan harga variabel X = 0, 1, 2, 3, ... disebut variabel acak diskrit,sedangkan harga X yang tidak diskrit disebut variabel acak kontinue. Pada variabel acak kontinue memiliki suatu fungsi densitas(kepadatan) sebut f(x), bila dipenuhi :
Dengan p(x) sebagai fungsi peluang dan f(x) fungsi densitas
n
iixp
1
1)(
X diskrit
1dxxf )(
X kontinu
• Dsitribusi peluang diskrit1. Tiga orang ibu melahirkan ,maka tentukan semua
peristiwa yang mungkin terjadi, a. susunlah tabel distribusi peluang P (x), bila x sebagai
variabel banyaknya anak laki-laki yang terjadi.b. Tunjukkan P(X) fungsi peluang c. Hitung P(x= 2)d. Hitung P( paling sedikit satu anak laki yang lahir)e. Hitung P(1 ≤ x < 3)Jawab.
2. Perawat RSU Kota X berjumlah 50 orang, peluang distribuasi x dikonstruk seperti pada tabel, x jumlah anak perkeluarga perawat tersaji pada tabel sbb:
x f P(X = x)
012345678910
146491074221
50
a. Lengkapi nilai peluang, kemudian sketsa grafik distribusi peluang ?
b. Tunjukkan
n
iixp
0
1)(
c. Hit P(x=4 atau x = 3)
d. Hit P(X ≤ 4)
e. Hit P(X > 4)
f.Hit P( 3 ≤ x < 7)
3. Peristiwa, dua dadu dilempar sekaligus, dan variabel x menyatakanjumlah mata dadu, maka
a. Buatlah tabel peluang distribusinya ?
b. Tunjukkan bahwa P(x) fungsi kepadatan peluang!!
c. Tentukan P( x=2)
d. Tentukan peluang P(x ≥ 4)
e. Tentukan peluang x ≤ 10
f. Tentukan P(x ≤ 10 dan dadu pertama adalah angka 4)
b
a
dx)x(f)bXa(P
Distribusi Peluang kontinu Untuk menentukan peluang harga X = x antara a dan b adalah :
Contoh 1. Sebuah variabel acak kontinue x mengambil nilai antara x = 2 dan x = 4, mempunyai fungsi densitas f(x) = (x + 1)/8
a. Sketsa grafik f,b. Tunjukkan f(x) fungsi kepadatan probabilitas?c. Hitung P(2 < X < 3 ) !d. Hitung P(0 < X < 3) !Penyelesaian : e. Karena type variabel ini adalah kontinue maka
b. Silahkan coba
• Semacam alat elektronik mempunyai daya pakai X (dalam ribuan jam) yang mengikuti pola atau distribusi : f(x) = e-x untuk x > 0.
A. Sketsa grafik fB. Tunjukkan apakah fungsi tersebut fungsi kepadatan peluang ?C. Berapa prosen diperkirakan alat tersebut memilki daya pakai : c.1
paling lama 10 ribua jam c.2 anatar 2000 sanpai 4500 jam c.3 lebih dari 2500 jam
DISTRIBUSI PELUANG
Distribusi Peluang Diskrit• Distrubusi Binomial• Distribusi multinom.• Distribusi Hypergeometrik • Distribusi Poisson
Distribusi Peluang KontinuDistribusi NormalDistribusi t studentDistribusi X2 (Khi Square)Distribusi F
• Distribusi Binomial Dari suatu percobaan yang terdiri atas n peristiwa, dimana setiap peristiwa hasilnya dapat digolongkan sebagai berhasil atau gagal, bila peluang berhasil dilambangkan dengan p dan (1-p) gagal. Permasalahan; peluang untuk sukses sebanyak x dari n percobaan di tulis
p(x) = P(X = x) =
dengan
Program 5
1.Di sebuah bagian kota, keperluan uang untuk membeli ganja atau sebangsanya ternyata melatarbelakangi 70% peristiwa pencurian yang terjadi. Berapa peluang bahwa tepat 2 diantara 5 kasus pencurian berikutnya dilatarbelakangi oleh keperluan uang untuk membeli ganja ?
2. Peluang seorang mahasiswa yang baru masuk Pend. Biologi FKIP Unej, akan lulus tepat pada waktunya 0,60. Tentukan berapa peluang dari 10 akan lulus tepat pada waktunya ;
a. Tidak seorang pun b. 5 orang mahasiswa, c. Paling sedikit 5 orang mahasiswa, d. tidak lebih dari 5 orang e. tidak lebih dari seorang .
xnx p)(1pxn
x)!(nx!
n!xn
npqσ
Penyelesaian:1. Diketahui p = 70 % = 0,70 q = 1 – p = 0,30
P(X=2) = b(2; 5; 0,70) = ?.....
Jadi peluang yang ditanya adalah ...
Parameter distribusi binomial adalah dan , dimana = np dan
Dsitribusi MultinomialJika percobaan dilakukan sebanyak “n” kali,
peristiwa E1, x2 peristiwa E2, ... xk peristiwa Ek diantara n, ditentukan oleh
k21 xk
x2
x
k2
p...pp!x!....x!x
!n
2
4
1127,01811
61
92
!3!1!2
!6)3,1,2(P
312
Program 6Bila 2 dadu dilemparkan 6 kali, berapa peluang mendapatkan jumlah
mata dadu 7 atau 11 sebanyak 2 kali, bilangan yang sama pada kedua dadu sekali, dan kemungkinan lainnya 3 kali
Penyelesaian :Misal :E1 : jumlah mata dadu 7 atau 11= {(2,5),(3,4),(4,3),- - -,(5,6)}E2 : bilangan yang sama pada kedua dadu ={(1,1)---, (6,6)}E3 : kemungkinan lainnya selain dua diatasMaka n(E1) = - - - Dalam setiap percobaan, peluang masing-masing kejadian adalah p1 =
2/9, p2 = 1/6 dan p3 = 11/18, dengan menggunakan distribusi multinom
dan x1 = 2, x2 = 1, x3 = 3 maka peluang yang ditanyakan :
n
N
xn
kN
x
k
xp )(
• Distribusi HypergeometrikDua sifat percobaan hipergeometrik adalah : Suatu sampel acak berukuran n diambil dari populasi berukuran N k dari N benda diklasifikasikan sebagai berhasil dan N – k benda
diklasifikasikan sebagai gagalFungsi peluang dari distribusi ini adalah
untuk x = 0, 1, 2, ..., n
Program 7 Bila 5 kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge, berapa
peluang diperoleh 3 kartu hati ?Solusi :Dengan distribusi hipergeometrik untuk n = 5, N = 52, k = 13 dan x =
3, silahkan anda coba berapa peluang memperoleh 3 kartu hati
Distribusi Poisson Ciri: 1. Percobaan terjadi pada daerah tertentu atau selang waktu tertentu,
tidak dalam pada selang waktu dan daerah yang terpisah..2. Peluangnya sebanding dengan panjang selang atau daerah
tersebut, dan tidak bergantung pada diluar selang waktu atau daerah tsb
3. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan terjadi dalam waktu yang singkat dan daerah yang kecil dapat diabaikan.
Distribusi yang terjadi dalam daerah tertentu dan selang waktu tertentu,
P(X=x) = P(x,) =
= Rata-rata dan e = bilangan tetap = 2,7183!
.
x
e x
Program 8 1. Seorang administrator rumah sakit, setelah mempelajari
kejadian darurat di tahun-tahun lampau, menyimpulkan bahwa kejadian darurat menyebar menurut distribusi Poisson. Catatan rumah sakit tersebut menunjukkan kejadian darurat terjadi rata-rata 3 kali perhari selama periode tersebut. Jika administrator tersebut benar menurut distribusi Poisson, maka tentukan probabilitas tepat ada 2 kejadian darurat akan terjadi pada hari yang diberikan
2. Berdasar hasil diagnosis Cancer Rahim di RSU A diketahui rerata yang terjadi pada setiap tahunnyasebesar 13 kasus. Bila sebaran berdistribusi Poisson, maka hitung peluang hasil diagnisis baru akan :a. Tepat terjadi 10 kasus Cancer rahim (CR),b. Tidak lebih dari 12 kasus CR,c. Paling sedikit 7 kasus CR,d. Kurang dari 8 kasus CR,e. Diantara 7 dan 15 kasus CR
Penyelesaian :1. Ambil = 3 dan X sebagai variabel random
yang menunjukkan jumlah kejadian darurat setiap hari. Jika X mengikuti distribusi Poisson, maka :
2. = 13a. P(10, 13) = - - -
Hubungan antara distribusi binomial dan PoissonJika dalam hal distribusi binom, N cukup besar dengan
peluang p maka = Np
225,012
9050,0
!2
3e)x(f)2X(P
23
1. Dsitribusi Normal
1. Fungsi kepadatan probabilitas X = x adalah
2
21
2
1
x
ef(x) =
Dimana
- ∞ < x < ∞ , parameter rerata =µ , simpangan baku = , e = 2,71---
Y=(fx)
x = µ=Mo =Mex
Grafik.1. f(x) > 0
2. µ=Me=Mo
3. Semitri terhadap x = µ4. Luas daerah dibawah kurva =1
12
12
21
dxe
x
Sifat-sifat:
50 %50 %
2. Peluang harga X untuk a ≤ x ≤ b ditulis :
Bagimanakah P( x > a) = - - - ?a. Tunjukkan rumus integralnya,b. Tujukkan daerah dibawah kurvanya
b
a
x
dxebXaP
2
21
2
1)(
a b
(Luas daerah yang yang diarsier)
3. Distribusi normal Standart Distribusi normal dari variabel acak x f(x)
disebut distribusi normal standart atau distribusi normal baku atau normal satuan, dimana µ = 0 dan = 1.
σ
μxz
Transformasi
Dg
Var Acak Distr.Normal(X)
Var Acak Distr.Normal(Z)
f(x) f(z) =
2
2
1
2
1 ze
dan - ∞< z < ∞
µ=0z
12
1 2
2
1
dze
z
Bag Peluang z ?
• P(a ≤ z ≤ b) = - - -?
Bagaimanakah cara berhitung Nilai peluangnya, gunakan daftar . Anda tidak perlu menggunakan rumus integral.
Contoh:
1. Diberikan z distribusi standart, maka hitung :
a. P( 0 ≤ z ≤ 2) b. P( z ≤ 2) c. P (z > 2) d. P (-2 < z < 2 )
e. P( Z ≥ 2,71) f. P( z < -0,55) g. P(z = 0,74) h. P( 0,84 <z<2,45)
( tunjukkan secara geometris daerah peluang tersebutr di atas )
2. Carilah nilai z1 atau z2, bila diberikan z berdistribusi normal standart
a. P(z > z1) = 0.0384 b. P(z ≤ z1) = 0,0055 c. P(z1 ≤ z ≤ 2,98) = 0,1117
d. P(-2,67 ≤ z ≤ z1) = 0,9718 e. P(-z1 < z< z1) = 0,8132
dzez
bz
az
22
1
2
1
2
1
Dimana Z berdistribusi normal standart
Penggunaan1.Terapi pisik mempercayai bahwa skor tes ketangkasan didekati
oleh distribusi normal dengan rata-rata 10 dan standart deviasi 2,5. Bila diambil secara acak dari hasil tes individu tersebut, maka hitung peluang bahwa seseorang mempunyai skor lebih dari 15 ?
2. Diketahui populasi berat pasien didekati oleh distribusi normal dengan rata-rata 140 pound dan standart deviasinya 25 poun. Tentukan peluang berat pasien, bila
a. Berada diantara 100 dan 170 pound,b. Lebih dari 165 pound
Jawab no.1
σ
μxz
µ=10x=15
z=0z=?
Transformasi
Dg
Jadi P(X> 15) = --- = P(Z > z1) = - - - gunakan daftar
85,040
800834zdan55,0
40
800778z 21
Program 3Sebuah perusahaan alat listrik memproduksi bohlam yang umurnya menyebar normal dengan rata-rata 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Hitung peluang sebuah bohlam hasil produksinya akan mencapai umur 778 dan 834 jam.
Penyelesaian :Diketahui = - - - dan = - - - sehingga :
P(778<X<834) = P(- - -< Z <- - -) berdasarkan tabel untuk distribusi normal maka luas daerah yang perlu adalah - - - + - - - = - - -
npq
npxz
Hubungan binomial dengan distribusi normal, mean = np dan varians = np(1-p), jika X variabel acak diskrit binomial maka dalam transformasi z harus dilakukan pengurangan atau penjumlahan 0,5 pada variabel x, dimana
Program 10Sebuah ujian terdiri atas 200 pilihan berganda, masing-
masing dengan 4 kemungkinan jawaban tetapi hanya 1 yang benar, seseorang yang menjawab secara acak 80 diantara 200 soal yang sama sekali tidak diketahuinya. Berapa peluang :
1. Mendapatkan dari 25 sampai 30 jawaban yang benar2. Mendapatkan lebih dari 30 jawaban yang benar3. Mendapatkan kurang dari 18 jawaban yang benar
Solusi : Untuk menyelesaikan masalah ini, dapat memanfaatkan
hubungan distribusi binomial dengan distribusi normal karena dalam hal ini terdapat sampel yang berukuran
besar dan berdistribusi binomial. (silahkan coba)
n2 21
1n
t1
Kf(t)
Distribusi Student (t)Selain distribusi normal, distribusi t juga bertype
kontinue dan memiliki fungsi densitas
Untuk harga n yang besar distribusi t mendekati distribusi normal.Bentuk grafiknya sama dengan grafik distribusi normal yang simetrik terhadap t = 0
t
ns
μxt
Dimana -~ < t < ~ dan k suatu bilangan tetap. n – 1 adalah derajat kebebasan (dk) yaitu kemungkinan banyak
pilihan dari sejumlah obyek yang diberikan.
Bila dan s masing-masing adalah rata-rata dan simpangan baku suatu sampel acak berukuran n yang diambil dari suatu populasi normal dengan dan , maka :
Grafik distribusi t
P(T < tp) = p
∂ = 1 – p = 1 - P(T < tp)
x
tp
p∂
Distribusi Chi KuadratFungsi densitas : F(u) = K.u1/2 v – 1 e-1/2 U
dengan :u = 2 , u >0 = dk = derajat kebebasan = n – 1
K = bilangan tetap dan e = 2,7183Bentuk grafiknya adalah model positif atau miring ke kanan, jika
derajat kebebasan makin besar maka kelandaian (keruncingan) makin berkurang
p
2 p
Soal 1. Hit X2
0,99 untuk dk 19 = X2- - -
Xp2 Xp
2
Berdasar gambar yang diarsier sbb:
a. Bila luas daerah yang diarsier disebelah kiri 0,25 artinya p = - - -, maka X2 0,25; 15 = - - -
b. Bila luas daerah yang diarsir di sebelah kanan = 0,025 , artinya p = - - -,maka X2
- - - = - - -
Distribusi FFungsi densitas :
F> 0, K bilangan tetap yang tergantung pada nilai Y1 dan Y2 dimana Y1 adalah dk untuk pembilang dan Y2 adalah dk untuk penyebut
Grafik distribusi F
21
1
2
1
1
1
22
1
1
)(YY
Y
Y
FY
FKFf
p Fp
Nilai-nilai F dengan peluang 0.99 atau 0.95 maka dapat menggunakan :
Contoh :Dengan dk pembilang = 9 dan dk penyebut = 20, carilah nilai F
sehingga luas :1. Dari F ke kanan 0.012. Dari F ke kanan 0.053. Dari F ke kiri 0.99Penyelesaian : 4. Dari F ke kanan 0.01 berarti p = …… sehingga F…(9,20) = ………
(dari tabel)5. Silahkan coba 6. Dari F ke kiri 0.99 berarti
F(1-0.99)(9,20) = ….. (dari tabel)
),(21)1(
12
1),(
YYpp F
YYF