BAB 1

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Diabetes Melitus atau lebih dikenal dengan diabetes merupakan salah satu

penyakit yang berbahaya karena dapat berujung pada kematian. Diabetes

menduduki peringkat kedua penyebab kematian pada kelompok usia 45-54

tahun di perkotaan (Kompas, 15 November 2010). Price dan Wilson

(2006,1263) juga mengatakan bahwa 75% penderita penyakit diabetes pada

akhirnya meninggal.Berdasarkan laporan WHO ( World Healthy

Organization) diperkirakan 6 persen dari total populasi dunia positif

mengalami diabetes. Jumlah ini tentunya semakin meningkat dikarenakan

ketidakpedulian dari individu penderita atau pihak yang terkait.

Diabetes merupakan penyakit kronis yang diakibatkan oleh gangguan

sistem metabolisme dalam tubuh, dimana organ pankreas tidak mampu

menghasilkan hormon insulin sesuai kebutuhan tubuh (Price dan Wilson, 2006

: 1259 – 1263). Gangguan diabetes tidak hanya dirasakan pada organ

pankreas, tetapi juga beresiko tinggi terjadinya komplikasi (terjadinya

penyakit pada orga lain). Komplikasi yang terjadi biasanya dijadikan

informasi awal bagi individu tersebut untuk mengetahui dirinya terdiagnosa

penyakit diabetes. Hal ini wajar, dikarenakan diabetes timbul tanpa adanya

rasa keluhan sampai beberapa tahun dan kurangnya informasi mengenai gejala

penyakit diabetes yang diperoleh masyarakat.

1

Komplikasi penyakit diabetes terjadi pada pembuluh darah, sehingga

mengakibatkan kerusakan syaraf (neuropathy), kerusakan ginjal

(nephropathy), dan kerusakan mata (retinopathy).Kerusakan pada syaraf

dikenal sebagai diabetic neuropathy, yang biasanya merupakan komplikasi

utama dari diabetes. Gejala-gejalnya dapat meliputi numbness, tingling, nyeri,

dan sensasi nyeri lainnya, yang bisa menyebabkan kerusakan pada

kulit.Kerusakan pada ginjal dikenal sebagai diabetic nephropathy, dapat

menimbulkan parut, kehilangan protein, dan kadang-kadang mengalami ginjal

kronis, yang kadang-kadang memerlukan dialisa atau transplantasi ginjal.

Terakhir kerusakan pada mata dikenal sebagai diabetic retinopathy, yang

disebabkan oleh kerusakan pembuluh darah pada retina, dan dapat

mengakibatkan kehilangan penglihatan secara berangsur dan akhirnya buta.

Dalam rangka menekan jumlah penderita diabetes dan juga sebagai

langkah pencegahan,diperlukan pemahaman yang baik tentang penyakit ini.

Banyak cara yang dapat dilakukan untuk menekan jumlah penderita diabetes

serta langkah pencegahannya. Setidaknya ada 4 cara untuk mencegah atau

menanggulangi penyakit diabetes antara lain, pemahaman yang baik tentang

penyakit diabetes, mengatur pola makan yang sehat, olahraga yang cukup dan

terakhir penggunaan obat jika hanya diperlukan.

Namun pada kenyataannya, tingginya jumlahpenderita diabetes

mengindikasikan bahwa program-program di atas masih jauh dari kata sukses.

Hal ini diperparah dengan fakta bahwa diabetes dapat menurun secara vertikal

pada keturunannnya, meskipun demikian tidak berarti pasti menurun pada

2

keturunannya. Walaupun kedua orang tuanya menderita penyakit diabetes,

kadang-kadang ada anaknya yang tidak menderita diabetes. Namun

dibandingkan dengan orang tua yang menderita diabetes, jelas penderita

penyakit diabetes lebih cenderung mempunyai keturunan yang menderita

penyakit diabetes.

Selain itu, penyakit diabetes ini juga mudah menyerang pada individu

yang berbadan besar (kegemukan) dengan gaya hidup tinggi

(Misnadiarly,2006). Penyakit ini juga diduga ada hubungannya dengan pola

hidup yang berubah seperti pola makan yang tidak sehat. Pola makan di kota-

kota besar telah bergeser dari pola makan yang tradisional yang mengandung

banyak karbohidrat dan serat, ke pola makan ke barat-baratan, dengan

komposisi makanan yang terlalu banyak protein, lemak, gula, gram, dan

sedikit mengandung serat (Sudoyo, 2009:1873). Hal ini juga menjelaskan

bahwa interaksi dengan orang yang mempunyai kebiasaan buruk terhadap pola

makan akan mempengaruhi kebiasaan pola makan kita.

Model matematika merupakan salah satu alat yang dapat digunakan untuk

memprediksipenyebaran penyakit diabetes.Model matematika pada penyakit

diabetes akan dibahas dalam makalah ini yang melibatkan interaksi sosial

antara manusia dalam konteks hubunganinteraksi sosial. Transmisi vertikal

pada faktor kelahiran akan diakomodir pula dalam modeluntuk mencakup

fakta bahwa terjadi penurunan sifat pada penyakit diabetes.Berdasarkan latar

belakang di atas, penulis tertarik melakukan penelitian tentang “Model

Matematika Penyakit Diabetes”

3

B. RUMUSAN MASALAH

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan sebelumnya, maka

rumusan masalah dalam penelitian ini adalah “Bagaimana bentuk model

matematika penyakit diabetes?”

C. PENDEKATAN DAN PERTANYAAN PENELITIAN

Pendekatan yang digunakan adalah studi kepustakaan dengan

menggunakan buku-buku atau sumber yang relavan pada pembentukan model

matematika penyakit diabetes dengan pengaruh trasmisi vertikal

Adapun pertanyaan penelitian adalah:

1. Bagaimana bentuk model matematika penyakit diabetes?

2. Bagaimana hasil analisis dari model matematika penyakit diabetes?

D. TUJUAN PENELITIAN

Adapun tujuan penelitian ini adalah :

Membentuk model matematika penyakit diabetes

E. MANFAAT PENELITIAN

Melalui penelitian ini diharapkan dapat:

1. Menambah wawasan dan ilmu pengetahuan bagi peneliti dan pembaca

tentang penyakit diabetes serta cara penangulangannya.

2. Sebagai informasi bagi mahasiswa terutama dalam membentuk model

matematika penyakit diabetes.

4

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

1. Kajian Tentang Penyakit Diabetes

1.1 Penyakit Diabetes

Diabetes atau diabetes melitus (DM)merupakan nama lain dari

penyakit kencing manis ataupenyakit gula darah.Diabetes tergolong

kedalam penyakit kronis yang ditandai dengan peningkatan kadar gula

dalam darah sebagai akibat adanya gangguan sistem metabolisme dalam

tubuh, dimana organ pankreas tidak mampu memproduksi hormon insulin

sesuai kebutuhan tubuh. Hormon insulin berfungsi untuk memecah gula

yang ada dalam tubuh.

Diabetes dapat juga didefinisikan sebagai gangguan yang ditandai

oleh berlebihnya gula dalam darah (hyperglycemia) serta gangguan –

gangguan metabolisme karbonhidrat, lemak dan protein.

Sistem pencernaan memecah karbohidrat menjadi glukosa.

Apabilaglukosa diserap ke pembuluh darah, kadar glukosa darah akan

meningkat. Pankreas mengeluarkan hormon insulin yang membantu

memasukkan glukosa dari darah ke sel untuk digunakan sebagai energi.

Diabetes Melitus adalah penyakit yang ditandai oleh ketidak mampuan

tubuh untuk memasukkan glukosa dari darah ke sel. Dengan demikian sel

kekurangan glukosa, sedangkan darah mengandung glukosa berlebihan.

Glukosa darah yang sangat tinggi dapat mengakibatkan koma bahkan

5

sampai mati. Diabetes Melitus dapat merusak pembuluh darah, saraf tepi,

jantung, ginjal dan mata.

(dr Wara, Pengantar Kesehatan)

1.2 Penyebab Penyakit Diabetes Melitus

Penyebab DM adalah kurangnya produksi dan ketersediaan insulin

dalamtubuh yang mencukupi maka tidak dapat bekerja secara normal atau

terjadinya gangguan fungsi insulin. Insulin berperan utama dalam

mengatur kadar glukosa dalam darah, yaitu 60-120 mg/dl waktu puasa dan

dibawah 140 mg/dl pada dua jam sesudah makan (orang normal)

(Universitas Sumatera Utara)

Kekurangan Insulin disebabkan karena terjadinya kerusakan sebagian

kecil atau sebagian besar dari sel-sel beta pulau langerhans dalam kelenjar

penkreas yang berfungsi menghasilkan insulin. Ada beberapa faktor yang

menyebabkan DM sebagai berikut :

a. Genetik atau Faktor Keturunan

Diabetes mellitus cenderung diturunkan atau diwariskan,

bukanditularkan. Anggota keluarga penderita DM memiliki

kemungkinan lebih besarterserang penyakit ini dibandingkan

dengan anggota keluarga yang tidakmenderita DM. Para ahli

kesehatan juga menyebutkan DM merupakan penyakityang terpaut

kromosom seks. Biasanya kaum laki-laki menjadi

penderitasesungguhnya, sedangkan kaum perempuan sebagai pihak

yang membawa genuntuk diwariskan kepada anak-anaknya.

6

b. Asupan Makanan

Diabetes mellitus dikenal sebagai penyakit yang berhubungan

denganasupan makanan, baik sebagai factor penyebab maupun

pengobatan. Asupanmakanan yang berlebihan merupakan factor

risiko pertama yang diketahuimenyebabkan DM. Salah satu asupan

makanan tersebut yaitu asupankarbohidrat. Semakin berlebihan

asupan makanan semakin besar kemungkinanterjangkitnya DM.

c. Obesitas

Retensi insulin paling sering dihubungkan dengan kegemukan

atauobesitas. Pada kegemukan atau obesitas, sel-sel lemak juga ikut

gemuk dan selseperti ini akan menghasilkan beberapa zat yang

digolongkan sebagaiadipositokin yang jumlahnya lebih banyak dari

keadaan pada waktu tidakgemuk. Zat-zat itulah yang menyebabkan

resistensi terhadap insulin.

(Universitas Sumatera Utara)

1.3 Jenis – Jenis Diabetes Melitus

Ada tiga bentuk diabetes melitus, yaitu tipe 1, tipe 2, dan diabetes

gestasional.

a. Diabetes melitus tipe 1

Diabetes melitus tipe 1 adalah hasil kegagalan tubuh dalam

memproduksi insulin. Diperkirakan ada sekitar 5 – 10 % penderita

diabetes didiagnosa menderita diabetes tipe 1. Diabetes militus tipe 1

juga disebut insulin-dependent diabetes mellitus (IDDM), yaitu diabetes

7

yang tergantung pada insulin atau diabetes anak – anak. Ciri khusus

diabetes tipe 1 adalah hilangnya sel beta penghasil insulin pada pulau –

pulau Langerhans Pankreas sehingga terjadi kekurangan insulin pada

tubuh. Penyebab utama kehilangan sel bata pada diabetes tipe 1 adalah

kesalahan reaksi autoimunitas yang menghancurkan sel beta pankreas.

Reaksi autoimunitas tersebut dapat dipicu oleh adanya infeksi pada

tubuh.

Saat ini diabetes tipe 1 hanya dapat diobati dengan metode suntik

insulin dan memantau tingkat glukosa yang ketat menggunakan alat

monitor pengujian darah. Perawatan pada penderita diabetes tipe 1

harus dilakukan secara kontinu. Tanpa bantuan insulin, penyakit ini

dapat mennyebapkan penderita koma atau bahkan kematian.

b. Diabetes militus tipe 2

Diabetes melitus tipe 2 adalah hasil dari penolakan atau kegagalan

tubuh menggunakan zat insulin, yaitu suatu kondisi dimana sel gagal

untuk menggunakan insulin dengan benar.

Diabetes melitus tipe 2 disebut juga dengan non-insulin-

dependent diabetes mellitus (NIDDM) atau diabetes yang tidak

bergantung pada insulin. Diabetes seperti ini terjadi karena kombinasi

karena kekurangan produksi insulin dan resistensi terhadap insulin atau

berkurangnya kemampuan terhadap penggunaan insulin yang

melibatkan reseptor insulin di membran sel.

8

Tidak ada cara penyembuhan yang pasti untuk penyakit diabetes

melitus tipe 2 meski baru – baru ini operasi by pass lambung di klaim

dapat menormalkan kadar glukosa darah mencapai 80 % pada penderita

obesitas dengan diabetes.

c. Diabetes gestational

Diabetes gestational terjadi pada wanita hamil yang belum pernah

menderita diabetes, tetapi memiliki angka gula darah yang cukup tinggi

selama kehamilan. Diabetes ini terjadi akibat sekresi insulin relatif tidak

memadai dan responsif. Diabates gestational dapat diobati sepenuhnya,

akan tetapi harus melalui pengawasan medis selama kehamilan.

Meskipun mungkin bersifat sementara, diabetes gestational yang

tidak ditangani dapat berpotensi merusak kesehatan janin dan ibu.

(Sutanto, 2010 : 150 – 154)

1.4 Gejala Penyakit Diabetes

Diabetes melitus mempunyai ciri yang sangat spesifik yaitu dapat

dilihat dari kondisi badan dan pemeriksaan kadar gula.

Tanda umum gejala penyakit diabetes melitus, yaitu :

a. Banyak kecing (poliuria)

Penderita diabetes melitus biasanya sering buang air kecil,

terutama saat malam hari.

b. Banyak minum tapi sering merasa haus (polidipsia)

9

Penderita diabetes melitus akan merasa haus terus menerus

sepanjang hari. Rasa haus ini sebagai penyeimbang terhadap air yang

selalu dikeluarkan melalui air kencing.

c. Banyak makan tapi sering merasa lapar (polifagia)

Penderita diabetes melitus sering merasa lapar karena gula darah

tidak dipecah menjadi energi. Ini terjadi karena jumlah insulin tidak

cukup untuk memecah gula tersebut. Sehingga gula yang tidak terpecah

itu akan terbawa air kencing saat penderita buang air kecil.

(Soeryoko, 2011 : 11 – 12)

Secara umum ada tiga kebiasaan yang bertambah dan satu hal yang

berkurang pada penderita diabetes melitus, yaitu :

a. Bertambahnya frekuensi makan

b. Bertambahnya frekuensi minum

c. Bertambahnya frekuensi buang air kecil

d. Berkurangnya berat badan

(Soeryoko, 2011 : 13)

1.5 Komplikasi Penyakit Diabetes

Diabetes melitus merupakan penyakit akibat gangguan metabolisme

yang perlu dikontrol setiap saat. Kelalaian dalam mengontrol penyankit

diabetes dapat menyebabkan terjadinya penyakit komplikasi.

Komplikasi diabetes melitus dapat dikelompokkan menjadi dua,

yaitu :

a. Komplikasi diabetes melitus bersifat mendadak (akut)

10

Komplikasi ini terjadi secara mendadak / tiba – tiba, baik pada

penderita baru maupun penderita yang sudah lama. Komplikasi yang

muncul secara tiba – tiba adalah sebagai berikut :

i. Hipoglikemia

Hipoglikemia adalah suatu keadaan di mana kadar gula darah

darah di bawah kadar gula darah normal. Hipoglikemia dapat

menyebabkan sistem organ tubuh terganggu, sehingga banyak orgsn

tubuh yang tidak dapat menjalankan fungsinya karena kekurangan

glukosa.

ii. Koma Diabetic

Koma diabetic adalah keadaan tidak sadar diri (koma) secara

mendadak pada penderita diabetes melitus yang disebkan karena

kadar gula darah yang sangat tinggi.

iii. Koma Hiperosmolar Nonketotik

Koma Hiperosmolar Nonketotik adalah suatu keadaan tubuh

tanpa penimbunan lemak. Keadaan ini mengakibatka penderita

diabetes melitus mengalami permasalahan saat bernafas.

iv. Koma Lakto Asidosis

Koma lakto asidosis adalah suatu keadaan tubuh dimana asam

laktak tidak dapat diubah menjadi bikarbonat. Sehingga dapat

meningkatkan kadar asam laktat di dalam darah. Jika jumlah asam

laktat melebihi batas normal, maka penderita diabetes dapat

mengalami koma / tidak sadarkan diri.

11

b. Komplikasi diabetes melitus bersifat menahun (kronis)

Komplikasi ini muncul setelah beberapa tahun menderita

diabetes. Pada penderita diabetes melitus yang telah lama dapat

menyebapkan rusaknya pembuluh darah kecil maupun pembuluh darah

besar. Oleh karena itu komplikasi kronis dibagi dua, yaitu : komplikasi

khusus dan komplikasi umum.

i. Komplikasi Khusus

Komplikasi khusus (spesifik) terjadi karena adanya kelainan

pembuluh darah kecil pada tubuh. Pembuluh darah kecil yang

paling rentan menderita akibat diabetes adalah mata, ginjal, dan

kaki.

Komplikasi spesifik dibagi menjadi 4 bagian berdasarkan

anggota tubuh, yaitu :

a) Retinopati Diabetik

Retinopati diabetic merupakan komplikasi diabetes

melitus yang ditandai adanya gangguan pembuluh darah retina

mata. Gangguan ini berupa kebocoran maupun sumbatan pada

retina mata, sehingga menyebabkan penumpukan cairan yang

mengandung lemak.

b) Neuropati Diabetik

Komplikasi neuropati diabetik diatandai dengan

menurunnya sensitivitas kulit terhadap dingin, panas, dan

getaran. Contohnya yaitu kesemutan dan panas pada ujung jari.

12

c) Nefropati Diabetik

Komplikasi nefropati diabetik adalah terjadinya

gangguan fungsi pada ginjal. Contohnya proteinuria,

pembengkakan, hipertensi, dan gagal ginjal.

d) Diabetik Foot

Diabetic foot adalah keadaan luka pada kaki akibat

diabetes melitus.

ii. Komplikasi Umum

Komplikasi ini dapat terjadi karena beberapa hal, antara lain

kelainan pembuluh darah besar. Contohnya adalah :

a) Gangren

Gangren adalah luka membusuk yang terjadi karena

diabetes. Luka ini bisa terjadi di seluruh tubuh. Namun, lokasi

pembusukan awal biasanya dimulai dari kaki kemudian

menyebar keseluruh tubuh.

b) Atherosklerosis

Atherosklerosis adalah penimbunan lemak yang

menempel pada dinding sebelah dalam pembuluh darah arteri.

Akibatnya, tingkat kelenturan pembuluh darah akan menurun

dan pembuluh darah akan menjadi rapuh. Selain itu

atherosklerosis juga dapat menyebabkan hipertensi, sakit

jantung, stroke, dan gagal ginjal.

13

c) Katarak

Katarak adalah penyakit mata yang ditandai dengan

kekeruhan mata. Mata yang menderita katarak seperti dilapisi

plastik yang dapat mengganggu pandangan. Pada umumnya,

katarak timbul pada usia senja, namun pada penderita diabeetes

melitus, katarak dapat timbul pada usia muda.

d) TBC Paru

TBC paru memiliki hubungan yang sangat erat dengan

diabetes melitus. Bakteri dan kuman sangat mudah berkembang

biak pada kondisi kadar gula darah yang sangat tinggi.

e) Infeksi Saluran Kencing

Infeksi saluran kencing terjadi karena lemahnya

pertahanan tubuh sehingga kuman mudah menyerang.

f) Radang Mulut

Radang mulut akibar diabetes melitus dimulai dari

radang gusi kemudian berkelanjut menjadi gigi mudah lepas.

g) Pembekuan Darah Otak

Diabetes mempunyai resiko meningkatkan pembekuan

darah otak. Kadar gula yang tinggi menyebabkan darah menjadi

lebih kental dan mengakibatkan rapuhnya pembuluh darah. Jika

pembuluh darah yang mengalami kerapuhan adalah pembuluh

darah otak maka resiko terjadi pembekuan darah otak sangat

besar.

14

h) Jantung Koroner

Diabetes melitus menyebabkan munculnya

artherosklerosis. Bila tidak segera diatasi, endapan tersebut akan

mengganggu aliran darah pada jantung.

(Soeryoko, 2011 :19 - 26)

Komplikasi diabetes melitus dapat terjadi karena beberapa hal,

antara lain :

i. Pasien suka melanggar larangan yang berhubungan dengan

penyakit tersebut.

ii. Semakin lemahnya organ tubuh yang berhubungan dengan

penyakit diabetes melitus mengakibatkan organ tersebut tidak dapat

bekerja dengan baik.

(Soeryoko, 2011 : 26)

1.6 Pencegahan Penyakit Diabetes

Untuk penanggulang diabetes, setiap penderita diabetes mempunyai

cara dan kebiasaan yang berbeda-beda. Ada yang minum obat, terapi, dan

ada pula yang minum herbal.

Upaya pencegahan penyakit diabetes melitus terdiri dari empat tahap

yaitu pencegahan primordial, pencegahan primer, pencegahan sekunder,

dan Pencegahan Tersier.

a. Pencegahan Primordial

Pencegahan primordial yaitu pencegahan kepada orang-orang

yang masih sehat agar tidak memilki faktor resiko untuk terjadinya DM.

15

Edukasi sangat penting peranannya dalam upaya pencegahan

primordial. Tindakan yang perlu dilakukan seperti penyuluhan

mengenai pengaturan gaya hidup, pentingnya kegiatan jasmani teratur,

pola makan sehat, menjaga badan agar tidak terlalu gemuk dan

menghindari obat yang bersifat diabetagenik.

b. Pencegahan Primer

Pencegahan primer yaitu pencegahan kepada mereka yang belum

terkena DM namun memiliki faktor resiko yang tinggi dan berpotensi

untuk terkena penyakit DM.

Pada pencegahan primer ini masyarakat harus mengenal faktor –

faktor yang berpengaruh terhadap terjadinya penyakit DM dan upaya

untuk mengeliminasi faktor-faktor tersebut.

Berikut ini adalah upaya dari pencegahan primer yaitu :

i. Penyuluhan

Materi yang perlu diberikan kepada masyarakat tentang

penyakit diabetes melitus antara lain adalah definisi penyakit DM,

faktor-faktor yang berpengaruh pada timbulnya penyakit DM serta

upaya-upaya untuk menekan penyakit DM, pengelolaan penyakit

DM secara umum, pencegahan dan pengenalan komplikasi

penyakit DM, serta pemeliharaan kaki.

ii. Latihan Jasmani

Latihan jasmani yang teratur (3-4 kali seminggu selama

kurang lebih 30 menit) memegang peran penting dalam pencegahan

16

primer terutama pada DM Tipe 2. Orang yang tidak berolah raga

memerlukan insulin 2 kali lebih banyak untuk menurunkan kadar

glukosa dalam darahnya dibandingkan orang yang berolah raga.

Manfaat latihan jasmani yang teratur pada penderita DM antara lain

adalah : Memperbaiki metabolisme yaitu menormalkan kadar

glukosa darah dan lipid darah, meningkatkan kerja insulin dan

meningkatkan jumlah pengangkut glukosa, membantu menurunkan

berat badan, meningkatkan kesegaran jasmani dan rasa percaya

diri, serta mengurangi resiko penyakit kardiovaskular.

Latihan jasmani yang dimaksud dapat berupa jalan,

bersepeda santai, jogging, dan berenang. Latihan jasmani sebaiknya

disesuaikan dengan umur dan status kesegaran jasmani.

iii. Perencanaan Pola makan

Perencanaan pola makan yang baik dan sehat merupakan

kunci sukses supaya terbebasdari penyakit DM. Seluruh penderita

harus melakukan diet dengan pembatasan kalori, terlebih untuk

penderita dengan kondisi kegemukan. Menu dan jumlah kalori

yang tepat umumnya dihitung berdasarkan kondisi penderita.

Perencanaan makan merupakan salah satu pilar pengelolaan

DM, meski sampai saat ini tidak ada satupun perencanaan makan

yang sesuai untuk semua penderita, namun ada standar yang

dianjurkan yaitu makanan dengan komposisi yang seimbang dalam

karbohidrat, protein, dan lemak sesuai dengan kecukupan gizi baik

17

yakni sebagai berikut: Karbohidrat = 60-70 %, Protein = 10-15 %,

dan Lemak = 20-25 %.

Jumlah asupan kolesterol disarankan < 300 mg/hari dan

diusahakan lemak berasal dari sumber asam lemak tidak jenuh dan

membatasi PUFA (Poly Unsaturated Fatty Acid) dan asam lemak

jenuh. Jumlah kalori disesuaikan dengan pertumbuhan, status gizi,

umur, ada tidaknya stress akut dan kegiatan jasmani .

c. Pencegahan Sekunder

Pencegahan sekunder adalah upaya untuk mencegah atau

menghambat timbulnya komplikasi dengan tindakan-tindakan seperti

tes penyaringan yang ditujukan untuk pendeteksian dini DM serta

penanganan segera dan efektif. Tujuan utama kegiatan-kegiatan

pencegahan sekunder adalah untuk mengidentifikasi orang-orang tanpa

gejala yang telah sakit atau penderita yang beresiko tinggi untuk

mengembangkan atau memperparah penyakit.

Memberikan pengobatan penyakit sejak awal sedapat mungkin

dilakukan untuk mencegah kemungkinan terjadinya komplikasi

menahun. Edukasi dan pengelolaan DM memegang peran penting untuk

meningkatkan kepatuhan pasien berobat.

i. Diagnosis Dini Diabetes Mellitus

Dalam menetapkan diagnosis DM bagi pasien biasanya

dilakukan dengan pemeriksaan kadar glukosa darahnya.

18

Pemeriksaan kadar glukosa dalam darah pasien yang umum

dilakukan adalah :

a) Pemeriksaan kadar glukosa darah setelah puasa.

Kadar glukosa darah normal setelah puasa berkisar

antara 70-110 mg/dl. Seseorang didiagnosa DM bila kadar

glukosa darah pada pemeriksaan darah arteri lebih dari 126

mg/dl dan lebih dari 140 mg/dl jika darah yang diperiksa

diambil dari pembuluh vena.

b) Pemeriksaan kadar glukosa darah sewaktu.

Jika kadar glukosa darah berkisar antara 110-199

mg/dl, maka harus dilakukan test lanjut. Pasien didiagnosis

DM bila kadar glukosa darah pada pemeriksaan darah arteri

ataupun vena lebih dari 200 mg/dl.

c) Test Toleransi Glukosa Oral (TTGO).

Test ini merupakan test yang lebih lanjut dalam

pendiagnosaan DM. Pemeriksaan dilakukan berturut-turut

dengan nilai normalnya : 0,5 jam < 115 mg/dl, 1 jam < 200

mg/dl, dan 2 jam < 140 mg/dl.

ii. Pengobatan Segera

Intervensi fakmakologik ditambahkan jika sasaran glukosa

darah belum tercapai dengan pengaturan makanan dan latihan

jasmani. Dalam pengobatan ada 2 macam obat yang diberikan yaitu

pemberian secara oral atau disebut juga Obat Hipoglikemik Oral

19

(OHO) dan pemberian secara injeksi yaitu insulin. OHO dibagi

menjadi 3 golongan yaitu : pemicu sekresi insulin (Sulfonilurea dan

Glinid), penambah sensitivitas terhadap insulin (Metformin dan

Tiazolidindion), penambah absobsi glukosa (penghambat

glukosidase alfa).

Selain 2 macam pengobatan tersebut, dapat juga dilakukan

dengan terapi kombinasi yaitu dengan memberikan kombinasi dua

atau tiga kelompok OHO jika dengan OHO tunggal sasaran kadar

glukosa darah belum tercapai. Dapat juga menggunakan kombinasi

kombinasi OHO dengan insulin apabila ada kegagalan pemakaian

OHO baik tunggal maupun kombinasi.

d. Pencegahan Tersier

Pencegahan tersier yaitu usaha mencegah agar tidak terjadi

kecacatan lebih lanjut walaupun sudah terjadi komplikasi.

Dalam upaya ini diperlukan kerjasama yang baik antara pasien

pasien dengan dokter mapupun antara dokter ahli diabetes dengan

dokter-dokter yang terkait dengan komplikasinya. Penyuluhan juga

sangat dibutuhkan untuk meningkatkan motivasi pasien untuk

mengendalikan penyakit DM.

Dalam penyuluhan ini yang perlu disuluhkan mengenai :

i. Maksud, tujuan, dan cara pengobatan komplikasi kronik diabetes

ii. Upaya rehabilitasi yang dapat dilakukan

20

iii. Kesabaran dan ketakwaan untuk dapat menerima dan

memanfaatkan keadaan hidup dengan komplikasi kronik.

(Universitas Sumatera Utara)

2. Model Matematika

2.1 Definisi Model Matematika

Model matematika merupakan representasi dari sistem-sistem fisik atau

problem dunia nyata dalam pernyataan matematika. Model matematika banyak

digunakan dalam berbagai bidang ilmu dan bidang studi, misalnya bidang

fisika, ilmu biologi dan kedokteran, ilmu sosial, ekonomi dan sebagainya.

(Widowati, 2007 : 2)

Model matematika terdiri dari tiga jenis, yaitu model empiris, model

simulasi, dan model stokastik dan deterministik.

a. Model Empiris

Pada model empiris, data yang berhubungan dengan masalah

menentukan peran yang penting. Dalam pendekatan ini, gagasan utama

adalah mengkonstruksi formula (persamaan) matematika yang dapat

menghasilkan grafik yang terbaik untuk mencocokan data.

b. Model Simulasi

Dalam pendekatan ini, program komputer ditulis bersdasarkan

aturan-aturan. Aturan-aturan ini dipercaya untuk membentuk suatu proses

atau fenomena yang akan berjalan terhadap waktu dalam kehidupan nyata.

c. Model Deterministik dan Stokastik

21

Model deterninistik meliputi penggunaan persamaan atau himpunan

persamaan untuk mempresentasikan hubungan antara berbagai komponen

(variabel) suatu sistem atau masalah. Suatu contoh adalah persamaan

diferensial biasa yang menjelaskan bagaimana suatu kuantitas (yang

dinyatakan dengan variabel tak bebas dari persamaan) dan waktu sebagai

variabel bebas. Diberikan syarat awak yang sesuai untuk memprediksi

perilaku sistem model.

(Widowati, 2007 : 1-2)

2.2 Proses Pembentukan Model

Langkah-langkah yang dilakukan dalam pembentukan model

matematika dapat dinyatakan dalam bagan berikut:

22

Problem Dunia Real

Problem Matematika

Membuat Asumsi

Formulasi Persamaan /

Pertidaksamaan

Penyelesaian Persamaan /

Pertidaksamaan

Interpretasi Solusi

Bandingkan Data

Solusi Dunia Real

Dunia Real Dunia Matematika

Gambar 2.1 Proses Pemodelan Matematika

Berdasarkan bagan di atas, langkah-langkah pembentukan model

matematika dapat dinyatakan sebagai berikut:

1. Menyatakan problem dunia nyata kedalam bentuk problem matematika.

23

Menyatakan problem pada dunia nyata ke bentuk problem matematika

dilakukan dengan membuat pertanyaan untuk permasalahan dan

menentukan faktor yang dianggap penting atau sesuai dengan permasalahan.

2. Membuat Asumsi

Asumsi dibuat dengan melihat hubungan antar faktor yang terpilih

pada langkah 1. Hubungan ditentukan oleh hukum yang berlaku dalam

permasalahan tersebut.

3. Memformulasikan persamaan

Untuk menyatakan hubungan antar asumsi, dilakukan dengan

menformulasikan persamaan atau sekumpulan persamaan menjadi model

matematika.

4. Melakukan Analisis

Pada langkah ini akan dicari solusi dari persamaan yang telah

diperoleh dari langkah 3.

5. Melakukan Pengujian

Model yang diperoleh dilakukan pengujian dengan membandingkan

hasil atau solusi yang didapat dengan keadaan sebenarnya.

6. Menginterpretasikan Model

Menerjemahkan solusi matematika yang telah didapat ke dalam

keadaan yang sesungguhnya.

7. Solusi dunia nyata

Jika langkah diatas membentuk hasil yang sesuai dengan keadaan

yang sebenarnya, maka diperoleh solusi dunia nyata.

24

(Widowati, 2007 : 3)

3. Teori Persamaan Diferensial

3.1 Persamaan Diferensial

Definisi 1

Persamaan diferensial (PD) adalah suatu persamaan yang memuat

turunan dari satu variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas.

( Ross, 1989:1)

Persamaan diferensial dapat dibedakan menjadi persamaan diferensial

biasa (PDB) dan persamaan diferensial parsial (PDP).

Definisi 2

Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah suatu persamaan yang

memuat turunan biasa dari satu variabel terikat terhadap satu variabel bebas.

( Ross, 1989:2)

Contoh 1:

dydx

=3 x− y

Definisi 3

Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah suatu persamaan yang

memuat turunan parsial dari satu variabel terikat terhadap lebih dari satu

variabel bebas.

(Ross, 1989:2)

Contoh 2:

∂2 u∂ x2 +

∂2 u∂ y2 +

∂2u∂ z2 =0

25

Berdasarkan kelinearan, persamaan diferensial dapat dibagi menjadi

dua, yaitu persamaan diferensial linear dan persamaan diferensial non linear,

seperti yang didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 4

Suatu persamaan diferensial linear orde-n, dalam variabel terikat y dan

variabel bebas x, adalah suatu persamaan yang berbentuk

a0 ( x ) dn yd xn +a1 (x ) dn−1 y

d xn−1 +⋯+an−1 (x ) dydx

+an ( x ) y=b (x)

dimana a0≠ 0.

(Ross, 1989:3)

Persamaan diferensial biasa dikatakan linear jika memenuhi tiga

kondisi berikut (Ross, 1989:3):

a. Turunan atau variabel terikatnya berpangkat satu.

b. Tidak mengandung perkalian antara variabel terikat dengan turunannya.

c. Tidak mengandung fungsi transeden dalam variabel terikat maupun

turunannya.

Contoh 3:

d2 xd y2 + dx

dy+x=0

Persamaan diferensial yang tidak termasuk kriteria persamaan

diferensial linear disebut persamaan diferensial nonlinear.

Contoh 4:

d2 yd x2 + y dy

dx−2 y=0

26

Persamaan diferensial linear orde satu homogen

3.2 Sistem Persamaan Differensial

Sistem persamaan diferensial dapat dikelompokkan berdasarkan

bentuk persamaannya, yaitu sistem persamaan diferensial linear dan sistem

persamaan diferensial non linear.

Definisi 5

Diberikan Sistem persamaan diferensial linear orde satu berikut:

d xdt

= x=A x+b ( t ) ,

Dimana A adalah matriks koefisien berukuran nxn dan b (t) fungsi

kontinu. Sistem tersebut dinamakan sistem persamaan diferensial linear orde

satu. Jika b ( t )=0 maka sistem dikatakan homogen dan jika b (t)≠ 0 maka

sistem dikatakan nonhomogen.

(Perko, 1996:60)

Contoh 5 :

d x1

dt= 2x1 – x2 – 5x3

d x1

dt= –x1 – 9x2+ 3x3

d x1

dt= 6x1 + 2x2 – 7x3

Definisi 6

Sistem persamaan diferensial nonlinear orde satu dinyatakan sebagai

berikut:

x=f (t , x )

27

Merupakan sistem persamaan diferensial nonlinear orde satu

dengan x=(x1( t)x2(t)⋮

xn(t)), dan

f ( t , x )=¿

Jikaf (t , x) fungsi nonlinear padax1 , …, xn maka sistem disebut

sebagai sistem persamaan diferensial nonlinear.

(Perko, 1996:65)

Contoh 6

dadt = −¿2a + 5a2

dbdt = −¿b + 5a2 + 8a

Model matematika penyakit diabetes dengan pengaruh transmisi

vertikal berbentuk persamaan diferensial nonlinear, sehingga untuk

menganalisis model diperlukan teori kestabilan.

4. Teori Kestabilan

Dalam menganalisa kestabilan diperlukan titik tetap dari persamaan diferensial.

4.1 Titik Tetap

Definisi 7

Diberikan sistem persamaan diferensial berikut:

dxdt

=f ( x , y )

dydt

=g(x , y )

28

Jika titik ( x0 , y0 ) memenuhi persamaan f ( x0 , y0 )=0dan g ( x0 , y0 )=0,

maka titik ( x0 , y0 ) disebut titik tetap.

(Ross, 1989:634)

Contoh 7 :

Misalkan x(t) dan y(t) memenuhi sistem persamaan berikut :

x = ax – bxy

y = –cy + dxy … (1)

Dengan a, b, c, dan d adalah konstanta positif. Titik (x0 ,y0) dikatakan

titik tetap dari sistem persamaan (1), jika :

ax0 – bx0 y0 = 0

–cy0 + d x0 y0= 0 … (2)

Dengan menyelesaikan sistem persamaan (2) diperoleh dua titik

tetap, yaitu : (0,0) dan (cd , a

b )

Untuk menganalisis kestabilan titik tetap dari suatu sistem

persamaan nonlinear, dapat dilakukan dengan melinearkan sistem

persamaan diferensial nonlinear tersebut.

4.2 Pelinearan

Diberikan sistem persamaan diferensial nonlinear berikut

dxdt

=f (x , y )

dydt

=g (x , y )}⋯(3)

29

Karena sistem persamaan diferensial (3) merupakan sistem

persamaan nonlinear, maka dilakukan pelinearan dengan menggunakan

ekspansi Taylor (Blanchard, 2002: 44) untuk suatu titik tetap.

Misalkan titik tetap persamaan (1) adalah (x0 , y0). Misalkan

u=x−x0 dan v= y− y0, maka x=u+x0 dan y=v+ y0. Sehingga persamaan

(1) dapat ditulis dalam bentuk u dan v sebagai berikut:

dudt

=d (x−x0)

dt= f ( x , y )= f (x0+u , y0+v )

dvdt

=d ( y− y0)

dt=g (x , y )=g(x0+u , y0+v )

maka didapatkan:

dudt

=f (x0+u , y 0+v )

dvdt

=g(x0+u , y0+v )

Pada keadaan setimbang f ( x0 , y0 )=g ( x0 , y0 )=0 ,dengan

menggunakan ekspansi Taylor pada titik tetap ( x0 , y0 ) sehingga diperoleh

persamaan linear berikut:

f (x , y )=f ( x0 , y0 )+∂ f ( x0 , y0 )

∂ x ( x−x0 )+∂ f ( x0, y0 )

∂ y ( y− y0 )+φ1(x , y )

g ( x , y )=g ( x0 , y0 )+∂ g ( x0 , y0 )

∂ x ( x−x0 )+∂ g ( x0 , y0 )

∂ y ( y− y0 )+φ2( x , y)

Karenaf ( x0 , y0 )=g ( x0 , y0 )=0 ,kemudian karena nilai φ sangat kecil,

sehingga nilai φ dapat diabaikan. Sistem persamaan (1) dapat ditulis dalam

bentuk matriks berikut:

30

(dudtdvdt

)=(∂ f∂ x

( x0 , y0)∂ f∂ y ( x0 , y0 )

∂ g∂ x ( x0 , y0 ) ∂ g

∂ y ( x0 , y0 ) )(uv)Atau dapat ditulis sebagai:

ddt (uv)=A (uv)

A merupakan matriks Jacobi yang dihitung di titik (x0 , y0), dimana

matriks jacobi didefinisikan J=[ ∂ f∂ x

∂ f∂ y

∂ g∂ x

∂ g∂ y ].

Untuk melihat kestabilan titik tetap, dibutuhkan nilai eigen dan

vektor eigen yang didefinisikan sebagai berikut :

5. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Dalam menganalisa kestabilan dari titik tetap maka dibutuhkan

beberapa teori mengenai nilai eigen dan vektor eigen, berikut definisinya.

Definisi 8

Jika A matriks n x n, maka vektor tak nol dalam Rn disebut vektor

eigen dari A, jika Ax kelipatan skalar dari x yaitu:

Ax = λx , untuk suatu skalar λ.

Skalar λ merupakan nilai eigen dari A dan x dikatakan vektor eigen

yang bersesuaian dengan λ.

(Anton, 1993:277)

Teorema 1

31

Jika J adalah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut

ekivalen satu sama lain:

a. λadalah nilai eigen dari J.

b. Sistem persamaan ( λI−J ) x=0 mempunyai pemecahan yang tak trivial.

c. Ada vektor tak nol x di dalam Rn, sehingga J x=λ x.

d. λ adalah pemecahan riil dari persamaan karakteristik det ( λI−J )=0.

(Anton, 1998:280)

Kestabilan dari titik tetap dapat dilihat dari kondisi nilai eigen dari

matriks Jacobiannya. Berikut klasifikasi kestabilan titik tetap berdasarkan nilai

eigennya:

Tabel 2.1 Klasifikasi Kestabilan Titik Tetap

Nilai eigenTipe titik

tetapKarakteristik

kestabilanNilai eigen real λ1 , λ2, dimana

λ1≤ λ2<0

0< λ1≤ λ2

Simpul

Simpul

Stabil asimtotik

Tak stabil

Nilai eigen real λ1 , λ2, dimana

λ1<0<λ2 Sadel Tak stabil

Nilai eigen kompleks dimana

λ1,2=α ± iβα>0

λ1,2=α ± iβα>0

Spiral

Spiral

Stabil asimtotik

Tak stabil

32

Nilai eigen kompleks dimana

λ1,2=± iββ≠ 0 Pusat Stabil tapi bukan stabil

asimtotik

Sumber: Kohler (2006: 451)

Pada kondisi tertentu nilai eigen dari matriks Jacobian sulit ditemukan,

analisis kestabilan titik tetap dapat dilakukan dengan kriteria kestabilan Routh-

Hurwitz.

6. Kriteria Routh Hurwith

Definisi 9

Kriteria Routh-Hurwitz digunakan untuk menganalisis titik tetap suatu

sistem apabila nilai eigen persamaan pada matriks Jacobi sulit dicari.

(Edelstein, 1988:234)

Diketahui sistem persamaan dengan k persamaan dan X variabel sebagai

berikut:

d X1

dt=f 1 ( X1 , X2 ,…, X k ) ,

d X2

dt=f 2 ( X1 , X2 ,…, X k ) ,

⋮d X k

dt=f k ( X1 , X2 ,…, Xk )

dengan matriks Jacobi

J=[∂ f 1

∂ X1

∂ f 1

∂ X2…

∂ f 1

∂ X k

⋮∂ f k

∂ X1

⋮∂ f k

∂ X2

⋱…

⋮∂ f k

∂ Xk

]33

dan persamaan karakteristiknya λk+a1 λk−1+a2 λk−2+…+ak=0.

Diberikan matriks Hurwitz H j, dengan j=1,2 ,…, k sebagai berikut:

H 1=( a1 ) ,H2=(a1 1a3 a2) , H3=( a1 1 0

a3

a5

a2

a4

a1

a3) ,…,

H j=(a1 1 0 … 0a3 a2 a1 … 0⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

a2 j−1 a2 j−2 a2 j−3 … a j) , …

dengan unsur baris ke l kolom ke m dari matriks H j yaitu:

H j={ a2 l−m untuk 0<2 l<m<k1untuk 2l=m

0untuk 2l<m atau2 l>k+m

Jika semua nilai eigen dari matriks Jacobi adalah real negatif maka titik

tetapnya adalah stabil. Hal ini terjadi jika dan hanya jika semua determinan

matriks Hurwitz adalah positif yaitu det H j>0 , j=1,2,3 , …, k. Contoh untuk

k=2,3,4 diperoleh kriteria sebagai berikut:

k=2 , a1>0 , a2>0

k=3 , a1>0 , a3>0 , a1a2>a3

k=4 , a1>0 , a3>0 , a4>0 , a1 a2 a3>a32+a1

2 a4

(Edelstein, 1988: 234)

7. Bilangan Reproduksi Dasar

Untuk mengetahui penyebaran suatu penyakit, digunakan suatu

bilangan yang menjadi ukuran untuk mengetahui apakah dalam populasi

terjadi endemik atau tidak. Bilangan tersebut dikenal dengan bilangan

34

reproduksi dasar. Hethcote (2000) menyatakan bahwa bilangan reproduksi

dasar merupakan rasio yang menunjukkan jumlah individu rentan yang

dapat menderita penyakit yang disebabkan oleh satu individu infeksi.

Bilangan Reproduksi Dasar (Ro) adalah rata-rata banyaknya individu

rentan yang terkena atau menderita secara langsung oleh individu lain yang

sudah terkena atau menderita bila individu yang terkena atau menderita

tersebut masuk ke dalam populasi yang seluruhnya masih rentan. Kondisi

yang akan timbul adalah salah satu diantara kemungkinan berikut:

1. Jika Ro<1, maka penyakit akan menghilang.

2. Jika Ro=1, maka penyakit akanmenetap (endemik).

3. Jika Ro>1 , maka penyakit akan meningkat menjadi wabah.

(Blyuss dan Kyrychko, 2005)

Saat Ro<1 artinya 1 individu yang terkena atau menderita

berkemungkinan tidak berhasil menginfeksi 1 individu sehat lainnya sehingga

pada kondisi ini dalam jangka waktu tertentu, penyebaran penyakit semakin

lama semakin sedikit hingga nantinya tidak ada penyebaran sama sekali. Saat

Ro=1 artinya 1 individu yang terkena atau menderita dapat menginfeksi 1

individu sehat sehingga dalam jangka waktu tertentu penyebaran penyakit

masih ada dan dapat mewabah. Sedangkan pada kondisi Ro>1 artinya 1

indvidu terkena atau menderita dapat menginfeksi lebih dari 1 individu yang

sehat, sehingga dapat dipastikan penyakit akan mewabah.

8. Model Dasar SIS

35

Model SIS merupakan model penyebaran penyakit dengan fase

kompartemen yaitu S dan I. S (susceptible) adalah individu yang sehat namun

rentan (tak kebal) terhadap penyakit dan I (infective) adalah individu yang

terkena penyakit dan dapat menularkan penyakitnya. Individu yang rentan (S)

tersebut berinteraksi dengan individu yang terkena atau menderita (I), sehingga

terkena atau menderita suatu penyakit. Dalam model SIS ini, individu dalam

kelas infeksi dapat sembuh dengan pengobatan medis atau proses alam,

sehingga masuk kelas sehat (susceptible), tetapi kesembuhan itu tidak

mengakibatkan individu tersebut kebal, sehingga memungkinkan terkena atau

menderita kembali dan masuk kelas infeksi (infektive).

36

BAB III

PEMBAHASAN

Dalam bab ini, akan dibahas model matematika penyakit diabetes.

A. Bentuk Model Matematika Penyakit Diabetes Mellitus

Model penyebaran penyakit diabetes mellitus merupakan salah satu

pengembangan model SIS. Pada pembentukan model matematika penyakit

diabetes ini selain pola hidup tidak sehat, transmisi vertikal pada faktor

kelahiran akan diperhitungkan. Sehingga proses pembentukan model penyakit

ini, populasi dibagi menjadi 3 kelompok, yaitu kelompok manusia sehat namun

didalam darahnya tidak terdapat gen pembawa penyakit diabetes, kelompok

manusia sehat dimana didalam darahnya terdapat gen pembawa penyakit

diabetes, dan kelompok manusia yang telah terkena penyakit diabetes.

Dalam pembentukan model matematika akan ditinjau faktor-faktor yang

mempengaruhi penyebaran penyakit diabetes. Dikhawatirkan antara kelompok

manusia sehat tanpa gen pembawa penyakit diabetes maupun sehat namun

terdapat gen pembawa penyakit diabetes dengan kelompok manusia yang telah

terkena penyakit diabetes dapat meningkatkan jumlah penderita penyakit

diabetes. Oleh karena itu, akan dibentuk model matematika dan dari hasil

37

analisis dapat dilihat fakor-faktor yang lebih berpengaruh dan dapat dikontrol

dalam menekan jumlah penderita penyakit diabetes

Untuk membentuk model matematika penyakit diabetes, variable yang

digunakan dalam model matematika penyakit diabetes ini adalah sebagai

berikut:

1. kelompok manusia sehat namun didalam darahnya tidak terdapat gen

pembawa penyakit diabetes yang dilambangkan dengan X1

2. kelompok manusia sehat dimana didalam darahnya terdapat gen pembawa

penyakit diabetes yang dilambangkan dengan X2

3. kelompok manusia yang telah terkena penyakit diabetes serta mempunyai

pola hidup tidak sehat yang dilambangkan X3.

Dengan demikian jumlah total populasi adalah N = X1 + X2 + X3

Parameter yang digunakan adalah

p : peluang terlahirnya manusia sehat pada kelompok X1

β1 : tingkat transfer pola hidup tidak sehat dari kelompok X3 ke kelompok X1

β2 : tingkat transfer pola hidup tidak sehat dari kelompok X3 ke kelompok X2

µ : tingkat kematian natural

δ : tingkat kematian yang diakibatkan oleh penyakit diabetes pada kelompok

X3

γ : tingkat kesembuhan orang yang telah terkena diabetes.

Langkah selanjutnya adalah membuat kerangka dasar model. Hal ini

dilakukan dengan menentukan asumsi yang akan digunakan dalam membentuk

38

δ

µ

β2

µ

p

X3

X1

X2

A

(1- p)

β1

γ

model matematika penyakit diabetes. Asumsi yang digunakan dalam

pembentukan model matematika penyakit diabetessebagai berikut :

1. Populasi manusia bersifat tertutup dimana tidak terjadi imigrasi maupun

emigrasi.

2. Total populasi manusia bersifat konstan sebesar N, artinya jumlah kelahiran

akan sama dengan jumlah kematian secara alami

3. Jumlah kelahiran manusia yaitu sebesar A

4. Jumlah kematian secara alami setiap kompartemen sama

5. Setiap individu yang lahir diasumsikan rentan terkana penyakit diabetes

mellitus

6. Individu yang berada pada kelompok terkena penyakit diabetes dapat

sembuh dari penyakit diabetes dengan tingkat kesembuhan dari individu

yang terkena penyakit diabetes sebesar γ

7. Individu yang telah sembuh dapat terkena penyakit diabetes kembali

8. Individu yang terkena penyakit diabetes serta mempunyai pola hidup tidak

sehat yang berada pada kelompok manusia terkena penyakit diabetes (X3)

apabila sembuh dari penyakit diabetes akan masuk ke kelompok manusia

sehat dimana didalam darahnya terdapat gen pembawa penyakit diabetes

(X2)

Berdasarkan asumsi diatas dapat dibuat diagram sebagai berikut:

39

Gambar 3.1Bagan Model Penyakit Diabetes

Berdasarkan diagram diatas proses pembentukan model matematika

penyakit diabetes adalah sebagai berikut

1. Laju jumlah kelompok manusia sehat namun didalam darahnya tidak

terdapat gen pembawa penyakit diabetes dipengaruhi oleh:

i. Banyaknya jumlah manusia yang lahir sebesar A dengan peluang

terlahirnya manusia sehat tanpa gen penyakit diabetes sebesar p, yaitu

sebanyak

pA

ii. Besarnya tingkat transfer pola hidup tidak sehat dari kelompokmanusia

yang terkena penyakit diabetes serta mempunyai pola hidup tidak sehat (

X3) ke kelompok manusia sehat namun didalam darahnya tidak terdapat

gen pembawa penyakit diabetes(X1) sebesar −β1 dengan peluang sebesar

X1 X3

N, yaitu sebanyak

−β1 X1 X3

N

40

iii. Banyaknya jumlah manusia yang mati secara natural pada kelompok

manusia sehat tanpa gen pembawa penyakit diabetes (X1) sebesar −µ,

yaitu sebanyak

−µ X1

Berdasarkan uraian di atas, maka perubahanjumlah kelompok

manusia sehat namun didalam darahnya tidak terdapat gen pembawa

penyakit diabetes (X1) terhadap satuan waktu dipengaruhi oleh jumlah

kelahiran manusia tanpa gen pembawa penyakit diabetes perkapita

dikurangi besarnya tingkat transfer pola hidup tidak sehat dari kelompok

manusia yang terkena penyakit diabetes serta mempunyai pola hidup tidak

sehat (X3) ke kelompok manusia sehat namun didalam darahnya tidak

terdapat gen pembawa penyakit diabetes(X1) dan dikurangi dengan jumlah

manusia yang mati secara natural pada kelompok manusia sehat tanpa gen

pembawa penyakit diabetes (X1) perkapita. Sehingga diperoleh persamaan

sebagai berikut:

d X1

dt=pA−

β1 X1 X3

N−µ X1 (1)

2. Laju jumlah kelompok manusia sehat dimana didalam darahnya terdapat

gen pembawa penyakit diabetes dipengaruhi oleh:

i. Banyaknya jumlah manusia yang lahir sebesar A dengan Peluang

terlahirnya manusia sehat dengan gen penyakit diabetes yaitu sebesar (1-

p), yaitu sebanyak

(1−p ) A

41

ii. Besarnya tingkat transfer pola hidup tidak sehat dari kelompok manusia

yang terkena penyakit diabetes serta mempunyai pola hidup tidak sehat (

X3) kekelompok manusia sehat dimana didalam darahnya terdapat gen

pembawa penyakit diabetes (X2) sebesar −β2 dengan peluang sebesar

X2 X3

N, yaitu sebanyak

−β2 X2 X3

N

iii. Banyaknya jumlah manusia yang matisecara naturalpada kelompok

manusia sehat dimana didalam darahnya terdapat gen pembawa penyakit

diabetes (X2)sebesar−µ, yaitu sebanyak

−µ X2

iv. Banyaknya jumlah manusia yang sembuh pada kelompok manusia yang

telah terkena penyakit diabetes namun dalam darahnya masih terkandung

gen penyakit diabetes sebesar γ, yaitu sebanyak

γ X3

Berdasarkan uraian di atas, maka perubahanjumlah

kelompokmanusia sehat dimana didalam darahnya terdapat gen pembawa

penyakit diabetes (X2) terhadap satuan waktu dipengaruhi oleh jumlah

kelahiran manusia dengan gen pembawa penyakit diabetes perkapita

dikurangi besarnya tingkat transfer pola hidup tidak sehat dari kelompok

manusia yang terkena penyakit diabetes serta mempunyai pola hidup tidak

sehat (X3) ke kelompok manusia sehat dimana didalam darahnya terdapat

gen pembawa penyakit diabetes (X2) dikurangi dengan jumlah manusia

42

yang matisecara naturalpada kelompok manusia sehat dimana didalam

darahnya terdapat gen pembawa penyakit diabetes (X2) perkapita dan

ditambah dengan banyaknya jumlah manusia yang sembuh pada kelompok

manusia yang telah terkena penyakit diabetes namun dalam darahnya masih

terkandung gen penyakit diabetes. Sehingga diperoleh persamaan sebagai

berikut:

d X2

dt= (1−p ) A−

β2 X2 X3

N−µ X2+γ X3 (2)

3. Laju jumlah Kelompok manusia yang terkena penyakit diabetes di

pengaruhi oleh:

i. Besarnya tingkat transfer pola hidup tidak sehat dari kelompok manusia

yang terkena penyakit diabetes serta mempunyai ola hidup tidak sehat (

X3) ke kelompok manusia sehat namun didalam darahnya tidak terdapat

gen pembawa penyakit diabetes(X1) sebesar β1 dengan peluang sebesar

X1 X3

N, yaitu sebanyak

β1 X1 X3

N

ii. Besarnya tingkat transfer pola hidup tidak sehat dari kelompok manusia

yang terkena penyakit diabetes serta mempunyai ola hidup tidak sehat (

X3) kekelompok manusia sehat dimana didalam darahnya terdapat gen

pembawa penyakit diabetes (X2) sebesar β2 dengan peluang sebesar

X2 X3

N, yaitu sebanyak

43

β2 X2 X3

N

iii. Banyaknya jumlah manusia yang mati secara natural pada kelompok

manusia yang terkena penyakit diabetes serta mempunyai ola hidup tidak

sehat (X3) sebesar−µ, yaitu sebanyak

−µ X3

iv. Banyaknya jumlah manusia yang sembuh pada kelompok manusia yang

telah terkena penyakit diabetes serta mempunyai ola hidup tidak sehat

namun dalam darahnya masih terkandung gen penyakit diabetes sebesar

−γ, yaitu sebanyak

−γ X3

v. Banyaknya jumlah manusia yang mati karena penyakit diabetes pada

kelompok manusia yang terkena penyakit diabetes serta mempunyai ola

hidup tidak sehat serta mempunyai ola hidup tidak sehat (X3) sebesar−δ ,

yaitu sebanyak

−δ X3

Berdasarkan uraian di atas, maka perubahanjumlah kelompok

manusia yang terkena penyakit diabetes serta mempunyai ola hidup tidak

sehat (X3) terhadap satuan waktu dipengaruhi oleh besarnya tingkat transfer

pola hidup tidak sehat dari kelompok manusia yang terkena penyakit

diabetes serta mempunyai ola hidup tidak sehat (X3) ke kelompok manusia

sehat namun didalam darahnya tidak terdapat gen pembawa penyakit

diabetes(X1) ditambah dengan besarnya tingkat transfer pola hidup tidak

44

sehat dari kelompok manusia yang terkena penyakit diabetes serta

mempunyai ola hidup tidak sehat (X3) ke kelompok manusia sehat dimana

didalam darahnya terdapat gen pembawa penyakit diabetes (X2) dikurangi

dengan banyaknya jumlah manusia yang mati secara natural pada

kelompok manusia yang terkena penyakit diabetes serta mempunyai ola

hidup tidak sehat (X3) dikurangi juga dengan banyaknya jumlah manusia

yang sembuh pada kelompok manusia yang telah terkena penyakit diabetes

namun dalam darahnya masih terkandung gen penyakit diabetes dan

dikurangi dengan banyaknya jumlah manusia yang mati karena penyakit

diabetes pada kelompok manusia yang terkena penyakit diabetes serta

mempunyai ola hidup tidak sehat (X3). Sehingga diperoleh persamaan

sebagai berikut:

d X3

dt=

β1 X1 X3

N+

β2 X2 X3

N−( µ+γ +δ ) X 3 (3)

Sehingga model matematika penyakit diabetes adalah sebagai berikut

(4 ) {d X1

dt=pA−

β1 X1 X3

N−µX 1

d X2

dt=(1−p ) A−

β2 X2 X3

N−µX 2+γ X3

d X3

dt =β1 X1 X3

N +β2 X 2 X3

N −( µ+γ +δ ) X3

dengan A=µ (X1+X2+X3) dan N=X1+ X2+X3

B. Analisis Model matematika penyakit diabetes

45

Pandang model penyakit diabetes dengan transmisi vertikal. Misal

B=µ+γ+δ , sistem persamaan (4) dapat dinyatakan kedalam bentuk yang lebih

sederhana sebagai berikut

(5 ) {d X1

dt=pA−

β1 X1 X3

N−µ X1

d X2

dt=(1−p ) A−

β2 X2 X3

N−µX 2+γ X3

d X3

dt =β1 X1 X3

N +β2 X2 X3

N −B X3

Selanjutnya akan ditentukan titik tetap dari system (5) diatas dengan

menggunakan menggunakan definisi.

1. Titik Tetap Model Matematika Penyakit Diabetes

Titik tetap merupakan titik keseimbangan dari sistem yang

diperoleh pada saat

d X1

dt=0 ,

d X2

dt=0 ,

d X3

dt=0

Sehingga akan diperoleh system persamaan diferensial berikut

pA−β1 X1 X3

N−µ X1=0 (6)

(1−p ) A−β2 X2 X3

N−µ X2+γ X3=0 (7)

β1 X1 X3

N+

β2 X2 X 3

N−B X3=0 (8)

Terdapat dua titik tetap dari model matematika penyakit diabetes

tanpa transmisi vertikal yairu titik bebas penyakit diabetes dan titik bebes

endemik diabetes.

a. Titik Tetap Bebas Penyakit Diabetes DFE=( X10, X 20

, X30)

46

Titik tetap bebas penyakit diabetes diartikan bahwa tidak ada

individu yang terkena atau menderita penyakit diabetes, secara matematis

X3=0.

Substitusikan nilai X3=0 kepersamaan (6) sampai (8) maka

pA−β1 X1 X3

N−µ X1=0 (6)

Diperolehµ X1=pA−β1 X1 X3

N

µ X1= pA−β1 X1(0)

N

X1=pAµ

Sehingga X10= pA

µ

(1−p ) A−β2 X2 X3

N−µ X2+γ X3=0 (8)

Diperoleh µ X2=(1−p ) A−β2 X2 X3

N+γ X3

µ X2=(1−p ) A−β2 X2(0)

N+γ (0)

X2=(1−p ) A

µ

Sehingga X20=

(1−p ) Aµ

β1 X1 X3

N+

β2 X2 X 3

N−B X3=0

(9)

47

Diperoleh β1 X1 X3

N+

β2 X2 X 3

N−B X3=0

β1 X1(0)N

+β2 X2(0)

N−B (0)=0

Sehingga X30=0

Diperoleh titik tetap bebas penyakit diabetes adalah

DFE=( pAµ

, (1−p ) Aµ

,0)

b. Titik Tetap Endemik Penyakit Diabetes EE=( X1 , X2 , X3 )

Titik tetap Endemik penyakit diabetes diartikan bahwa terdapat

individu yang terkena penyakit diabetes, maka X3>0.

Sehingga diperoleh titik tetap bebas penyakit diabetes dengan

transmisi vertikal adalah

EE= X1*, -(pA+γ X1+δ X1 -X1 β1 )δ β1 X1 -β1β2 X1+γ β1 X1 +µβ1 X1 -µβ2 X1 +pAβ2

,X1 (µ X1β1-µ X1β1-pA β2+pA β2 ) X1 β1

δβ1 X1-β1β2 X1 +γ β1 X1+µ β1 X1-µ β2 X1+pA β2)

Bentuk eksplisit dari titik EE tidak dapat ditunjukan dalam

makalah ini secara eksplisit karena kompleksitas dari bentuknya. Titik

keseimbangan untuk X1* didapatkan dari akar persamaan

f ( Ω, x1 )=X12 (( β2−µ+ ( p−1 ) δ−γ ) β1−β2 ( pδ−µ ))

−µ (−β2+β1 )(−β1+δ )Ax 1−

A2 β2 p−µ (−β2+β1 )(−β1+δ )

Dimana Ω adalah himpunan semua parameter dalam model

persamaan (1) sampai (3). Titik DFE merupakan titik keseimbangan

dimana tidak terdapat orang yang terkena atau menderita oleh penyakit

diabetes di lapangan olehnya X3 bernilai 0. Bila diperhatikan, total

48

populasi manusia sehat yaitu X1+X 2 ekivalen dengan Aµ yang dapat

dipresentasikan bahwa total populasi manusia sebenarnya adalah rasio

antara laju kelahiran dan laju kematian secara natural. Titik

keseimbangan yaitu EE merupakan titik keseimbangan dimana semua

kompartemen eksis dilapangan.

2. Analisis Kestabilan Titik Tetap Model Matematika Penyakit Diabetes

a. Matriks jacobian

Analisis kestabilan titik tetap dapat ditentukan dengan cara

menentukan nilai eigen dari matriks Jacobi dari system (1)-(3) yang

diperoleh sebagai berikut

J (f ( x ) ) =(d f1

d X1

d f1

d X2

df 1

d X3

d f2

d X1

d f2

d X2

df 2

d X3

d f3

d X1

d f3

d X2

df 3

d X3

)denganf 1=

d X1

dt, f 2=

d X2

dt, f 3=

d X3

dt, dan diperoleh:

J൫fሺxሻ൯=ۉ

ۈۈۈۇ

-ቆβ1X3ሺX1+X2+X3ሻ-β1X1X3ሺX1+X2+X3ሻ2 ቇ-μ β2X2X3

ሺX1+X2+X3ሻ2β1X3ሺX1+X2+X3ሻ-β1X1X3

ሺX1+X2+X3ሻ2 − β2X2X3ሺX1+X2+X3ሻ2β1X1X3

ሺX1+X2+X3ሻ2 -ቆβ2X3ሺX1+X2+X3ሻ-β2X2X3ሺX1+X2+X3ሻ2 ቇ-μ − β1X1X3

ሺX1+X2+X3ሻ2 +β2X3ሺX1+X2+X3ሻ-β2X2X3ሺX1+X2+X3ሻ2-ቆβ1X1ሺX1+X2+X3ሻ-β1X1X3

ሺX1+X2+X3ሻ2 ቇ -ቆβ2X2ሺX1+X2+X3ሻ-β2X2X3ሺX1+X2+X3ሻ2 ቇ+γ β1X1ሺX1+X2+X3ሻ-β1X1X3

ሺX1+X2+X3ሻ2 +β2X2ሺX1+X2+X3ሻ-β2X2X3ሺX1+X2+X3ሻ2 +ሺ𝜇+𝛾+𝛿ሻی

ۋۋۋۊ

Matriks Jacobi dititik tetap bebas penyakit DFE = ( pAµ

, (1−p ) Aµ

, 0)

49

J=[−µ0

0−µ

−p β1

−β2+p β2+γ0 0 β2−p β2+ p β1−γ−δ−µ ]

b. Analisis Kestabilan Titik Tetap Bebas Penyakit

Untuk melihat kestabilan dari titik tetap sistem dapat ditentukan

berdasarkan nilai-nilai eigen dari matriks Jacobinya.

J=[−µ0

0−µ

−p β1

−β2+p β2+γ0 0 β2−p β2+ p β1−γ−δ−µ ]

Untuk menentukan nilai eigen dari matriks Jacobian tersebut dapat

dilakukan dengan menyelesaikan persamaan det (J (DFE )− λI )=0.

|J ( DFE )−λI|=|(−µ0

0−µ

−p β1

−β2+ p β2+γ0 0 β2−p β2+ p β1−γ−δ−µ)−λ (1 0 0

0 1 00 0 1)|=0

|J ( DFE )−λI|=( µ+λ )2( β2 (1−p )+ p β1−γ−δ−µ−λ)=0

Nilai eigen dari matriks J diberikan oleh akar kembar

λ1,2=¿-µ dan

λ3=(1−p) β2+ p β1−(γ +δ+µ).

Agar sistem stabil, maka semua nilai eigen haruslah bernilai

negatif. Oleh karena itu, agar semua nilai eigen bernilai negatif maka

haruslah dipenuhi bahwa R1=(1−p ) β2+ β1

γ+µ+δ<1.

3. Bilangan Reproduksi Kontrol (R0) Model matematika Penyakit

Diabetes

50

Basic reproduction ratio didefinisikan sebagai jumlah ekspektasi

kejadian kasus sekunder dari satu kasus primer pada populasi virgin selama

periode proses infeksi. Basic reproductive ratio merupakan bilangan non

dimensional yang dapat mengatur tingkat keendemikan suatu wilayah dan

didapatkan dari pectral radius dri matriks generasi. Basic Reproducrive ratio

sistem (1) sampai (3) diberikan oleh

d X3

dt=

β1 X1 X3

N+

β2 X2 X3

N−( µ+γ +δ ) X 3

d X3

dt=X3(

β1 X1

N+

β2 X2

N−(µ+γ+δ ))

Subsitusi titik DFE, maka diperoleh

d X3

dt=X3(

β1pAµ

N+

β2(1−p) A

µN

−( µ+γ+δ ))

d X3

dt=X3(

β1pµ( X1+ X2+X3)

µN

+β2

(1−p)µ( X1+ X2+ X3)µ

N−( µ+γ +δ ))

d X3

dt=X3(

β1pµN

µN

+β2

(1−p)µNµ

N−(µ+γ+δ ))

d X3

dt=X3(β1 p+β2(1−p)− (µ+γ+δ ))

d X3

dt=X3(

β1 p+β2(1−p)(µ+γ+δ )

−1)

Sehingga diperoleh nilai R0 adalah

R0=(1−p ) β2+β1

γ+µ+δ

51

Titik DFE akan stabil lokal jika dan hanya jika R0<1 dan

sebaliknya, titik EE akan stabil lokal jika R0>1. Level set untuk sensitivitas

parameter dari R0 terhadap γ danδ dapat dilihat dari gambar 1. Dapat dilihat

bahwa untuk menekan besaran R0 hingga bernilai kurang dari 1 maka

dibutuhkan usaha yang lebih besar untuk memperbesar nilai γ yaitu laju

kesembuhan orang terkena atau menderita. Hal ini bisa dilakukan misalnya

dengan budaya hidup sehat, program diet dan lain sebagainya.

52

BAB IV

PENUTUP1. Kesimpulan

Model matematika pada penyakit diabetes populasi tertutup telah

dikonstruksi dalam makalah ini. Basic reproductive ratio (R¿¿0)¿ sebagai

indikator keendemikan ditunjukan secara analitik. Berdasarkan kajian analitik

terhadap R0 dan didukung dengan simulasi numerik, ditunjukan bahwa

jumlah orang sehat akan lebih besar apabila proporsi atau peluang kelahiran

dalam keadaan carrier (pembawa) diabetes lebih kecil. Pengembangan model

dapat dilanjutkan dengan melibatkan beberapa faktor antara lain kelas umur,

program penanggulangan dan pencegahan, dan lain-lain.

53

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard. 1987. Aljabar Linear Elementer. 8th edition. Bandung: Erlangga.

Ross, S. 1989. Introduction to Ordinary Differential Equation. Jhon Wiley and Sons Inc: New York.

Soeryoko, Hery. 2011. 25 Tananman Obat Ampuh Penakluk Diabetes Mellitus. Yogyakarta : C.V Andi Offset.

Sutanto. 2010. Cekal (Cegah dan Tangkal) Penyakit Modern (Hipertensi, Stroke, Jantung, dan Diabetes)

Debby Agustine, (2013). “Model Matematika Penyakit Diabetes Dengan Pengaruh Transmisi Vertikal”, Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, Yogyakarta 9 November 2013

http://repository.usu.ac.id/bitstream/123456789/29762/4/Chapter%20II.pdf, Diakses 03 Oktober 2015

https://pemodelanmatematikauin.files.wordpress.com/2013/05/lectures-kalkuus-variasi-figueroa.pdf , Diakses 03 Oktober 2015

http://digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-26681-Presentation-4629755.pdf , Diakses 03 Oktober 2015

54