LOGARITMA

Logaritma pada hakekatnya merupakan kebalikan dari proses pemangkatan

dan/atau pengakaran. Ia dapat dipakai untuk menyederhanakan operasi-operasi

perkalian, pembagian, pencarian pangkat dan penarikan akar. Logaritma dari

suatu bilangan ialah pangkat yang harus dikenakan pada (memenuhi) bilangan

pokok logaritma untuk memperoleh bilangan tersebut.

Andaikan sebuah bilangan berpangkat sama dengan bilangan positif

tertentu (m), maka dalam bentuk pemangkatan kita dapat menuliskannya menjadi:

dimana x adalah basis

dan a adalah pangkat.

Pangkat a disebut juga logaritma dari m terhadap basis x, yang jika dituliskan

dalam bentuk logaritma menjadi :

A = atau a =

Bilangan pokok (basis) logaritma, x dalam contoh diatas, dapat dituliskan di pojok

kiri atas dari tanda log (singkatan logaritma) atau di pojok-kanan-bawah dari tanda

tersebut. Berdasarkan kesamaan bentuk pemangkatan dan logaritma

sebagaimana ditunjukkan diatas, kita dapat pula menarik analogi untuk

pertanyaan-pertanyaan dibawah ini :

pangkat 2 adalah logaritma dari 25 terhadap basis 5, atau

pangkat 3 adalah logaritma dari 64 terhadap basis 4, atau

pangkat 2 adalah logaritma dari 100 terhadap basis 10, atau

Selain dengan bentuk pemangkatan, bentuk logaritma juga erat

berhubungan dengan bentuk pengakaran. Keeratan hubungan di antara ketiga

macam bentuk ini dapat dilihat sebagai berikut :

Bentuk Pangkat Bentuk Akar Bentuk Logaritma

= x = a

Dalam pemangkatan, kita mengetahui basis (x) serta pangkat (a), dan ingin

mengetahui bilangan yang merupakan hasil pemangkatan basis tersebut

(yaitu m). Dalam pengakaran , kita mengetahui sebuah bilangan tertentu yang

disebut radikan (m) serta pangkat dari akarnya (a), dan ingin mengetahui hasil

pengakaran radikan tadi (yaitu x). sedangkan logaritma, kita mengetahui basis

logaritma (x) serta bilangan logaritma (m), dan ingin mengetahui hasil

logaritmanya (yaitu a ).

Perhatikan kedudukan a, m dan x pada masing-masing bentuk diatas.

Bilangan a yang merupakan hasil logaritma, tak lain adalah pangkat dari basis dan

dalam bentuk pangkat dan pangkat dari akar dalam bentuk akar. Sedangkan m

yang merupakan hasil pemangkatan, tak lain adalah radikan dalam bentuk akar

dan bilangan logaritma dalam bentuk logaritma. Adapun x yang merupakan hasil

dari pengakaran, tak lain adalah basis baik dalam bentuk pangkat dari akar dalam

bentuk logaritma. Adapun x yang merupakan hasil pengakaran, tak lain adalah

basis baik dalam bentuk pangkat logaritma.

Berdasarkan uraian-uraian diatas, dapatlah disimpulkan bahwa:

= a atau = x

contoh :

1.

2.

3. Jika = 2, berarti x = 49, x =

4. Jika = 10, berarti 3 = m, m = 59 049

5. Jika =, a berarti 10 = m, 1.000, 10 a = a

1. Basis Logaritma

Logaritma dapat dihitung untuk basis berapa pun, akan tetapi pada

umumnya basis logaritma selalu berupa bilangan positif dan tidak sama

dengan satu. Basis logaritma yang paling lazim dipakai, karena pertimbangan

praktis dalam perhitungan, adalah bilangan 10 ini pada umumnya tidak

dicantumkan dalam posisi logaritma. Dengan demikian log m berarti adalah

Jika , log 24, dapat dituliskan menjadi log 65 saja. (uraian-

uraian selanjutnya didalam buku ini juga mengikuti kelaziman tersebut; untuk

setiap notasi logaritma yang tidak mencantumkan basis tertentu, berarti

merupakan logaritma berbasis 10).

Logaritma berbasis 10 juga logaritma biasa (common logarithm) atau

logaritma Briggs (berdasarkan nama penemunya, Henry Briggs, 1561 – 1630).

Di samping bilangan 10, basis lain yang juga lazim dipakai dalam logaritma

adalah e (e = 2,718287…. atau sering diringkas menjadi 2,72). Logaritma

berbasis e disebut juga logaritma alam (natural logarithm) atau logaritma

Napier (John Napier, penemunya, hidup antara tahun 1550 – 1617). Jika notasi

logaritma Briggs dilambangkan dengan log, maka logaritma Napier

dilambangkan dengan In. dengan demikian In m berarti log m, In 24 =

log 24, log 65 dapat dituliskan menjadi In 65 saja.

2. Kaidah-kaidah Logaritma

1. sebab x = x

contoh :

1). 2).

2. sebab x = 1

contoh :

1). 2).

3. sebab x = x

contoh :

1). 2).

4.

1).

2).

5.

1).

2).

6.

1).

2).

7.

1).

2).

8. sehingga

1).

2).

9.

1).

2).

3. Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma

Logaritma dapat digunakan untuk mencari bilangan yang belum diketahui

(bilangan anu) dalam sebuah persamaan, khususnya persamaan

eksponensial dan persamaan logaritmik. Persamaan eksponensial ialah

persamaan yang bilangan anunya berupa pangkat, misalnya

. Sedangkan persamaan logaritmik ialah persamaan

yang bilangan anunya berupa bilangan logaritma, sebagai contoh

log (3x + 298) = 3.

Untuk menyelesaikan sebuah persamaan eksponensial dengan

menggunakan logaritma, pertama-tama logaritmakan dulu kedua ruas

persamaan, kemudian selesaikan bilangan anunya berdasarkan persamaan

logaritmik yang baru terbentuk.

Contoh :

1). Hitunglah x untuk

Dengan melogaritmakan kedua ruas :

log

(x + 1) log 3 = log 27

x + 1 =

x = 3 – 1 = 2 Bukti :

Untuk contoh ini, karena kebetulan soalnya relatif sederhana, kita

dapat pula memecahkannya secara langsung tanpa menggunakan

logaritma :

x + 1 = 3, x = 3 – 1 = 2

2). Carilah x jika (0,32 + x) = 789

(0,32 + x) = 789

log (0,32 + x) = log 789

15 log (0,32 + x) = 2,8971

log (0,32 + x) =

log (0,32 + x) = 0,1931

(0,32 + x) = antilog 0,1931

(0,32 + x) = 1,56

x = 1,56 – 0,32 = 1,24

3). Selesaikan x untuk log (3x + 289) = 3

Berdasarkan definisi logaritma, kita dapat menuliskan log (3x + 298) = 3

Ke dalam bentuk pangkat menjadi :

(3x + 298) = 10

sehingga :

3x + 298 = 10000

3x = 702, x = 234.

Latihan Pangkat, Akar Dan Logaritma

1. Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut dan selesaikan :

a) c)

b) d)

2. Ubahlah bentuk-bentuk berikut kedalam bentuk akar :

a) c)

b) d)

3. Sederhanakan dan kemudian selesaikan :

a)

b)

4. Ubahlah kedalam bentuk logaritma :

a) c)

b) d)

5. Carilah dalam daftar logaritma atau gunakan kalkulator tangan :

a) Log 9 c) log

b) Log 17 d) log 6 : 2

6. Apabila x dan y masing-masing adalah 100 dan 50, hitunglah :

a) Log xy c) log

b) d) log

7. Carilah x jika :

a) log x = 0,3010 c) log = 1,7482

b) log x = 1,2304 d) log = 2,6021

8. Berapa x jika :

a) b)

9. Hitunglah x yang memenuhi :

a) b)

10.Hitunglah :

a) log 36 c) In e

b) log 512 d) In 17

FUNGSI LOGARITMIK

Fungsi logaritmik merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial bebasnya

merupakan bilangan logaritma bentuk umumnya yang sederhana adalah :

Kurvanya terletak dikuadran-kuadran kanan (kuadran I dan kuadran IV) pada

sistem koordinat. Dalam hal 0 n 1, kurva dari y = x bergerak menurun

dari kiri ke kanan, asimtotik terhadap sumbu = - y dan memotong sumbu – x pada

(1,0). Dalam hal n 1, kurvanya bergerak menaik dari kiri kekanan, juga asimtotik

terhadap sumbu –y dan memotong sumbu –x pada (1,0). Besar kecilnya nilai n

menentukan kelengkungan kurvanya, perhatikan Gambar 7-26, kemudian

bandingkan dengan Gambar 7-22 sebelumnya.

Karena y = n merupakan fungsi-fungsi yang berkebalikan

maka, dengan saling menukarkan sumbu-sumbu koordinat, gambar dari salah

satu fungsi tersebut merupakan gambar dari fungsi lainnya. Jika gambar 7-22

diputar 90 searah putaran jarum jam, hasilnya akan mirip dengan Gambar 7-26.

Bentuk fungsi logaritmik yang lebih umum adalah :

y = a In (1 + x ) + b

Kurvanya terletak di sebelah kanan dan asimtotik terhadap garis x = -1. untuk

nilai-nilai a dan b tertentu, kurva dari fungsi logritmik ini dapat dilihat pada gambar

7-27. perpotongannya dengan masing-masing sumbu dapat dicari sebagai berikut:

Perpotongan dengan sumbu –x : y = 0

Dengan demikian, Atau

[Gambar 7-27)

Atau

[Gambar 7-27(b))

Perpotongan dengan sumbu –y : x = 0

y = a In (1 + 0 ) + b = a In 1 + b = (0) + b = b

Kurva logaritmiknya y = a In (1 + x) + b

Contoh :

Tentukan titik potong kurva logaritmik y = 2 In (1 + x) + 6 pada masing-

masing sumbu hitunglah f (4).

Untuk y = 0, 2 In (1 + x) = -6, In (1 + x) = -3, 1 + x =

1 + x = 0,0498, x = -0,9502

titik potong dengan sumbu –x : (-0,9502; 0)

untuk x = 0, y = 6. titik potong dengan sumbu –y : (0;6)

jika x = 4, y = 2 In 5 + 6 = 2(1,6094) + 6 = 9,2188

Pola kurvanya seperti kurva pada Gambar 7-27(a)

Latihan Fungsi Eksponensial dan Fungsi Logaritmik

Berdasarkan Gambar 7-23 atau 7-24, nyatakan seperti kurva yang mana

pola kurva-kurva eksponensial berikut; kemudian tentukan titik potong pada

masing-masing sumbu dan asimtotnya.

1. y = 0,05

2. y = - 0,4

3. y = 3

4. y = 0,05

5. y = 0,6

6. y = - 10

7. y = 4 ; tentukan pula f (2,4661) dan f (7,3983)

8. y = - ; tentukan pula f (3) dan f (-3)

untuk kurva-kurva logaritmik berikut, nyatakan seperti kurva yang mana pola

kurvanya dalam Gambar 7-27.

Tentukan titik potongnya pada masing-masing sumbu koordinat serta f (4) dan

f (9)

9. y = - 0,25 In (1 + x) + 0,75

10. y = - 400 In (1 + x) - 50