PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMAI Komang Adi Aswantara

Spring 2013

UT Korea

Materi• Pangkat

• Kaidah pemangkatan bilangan• Kaidah perkalian bilangan berpangkat• Kaidah pembagian bilangan berpangkat

• Akar• Kaidah pengakaran bilangan• Kaidah penjumlahan bilangan terakar• Kaidah perkalian bilangan terakar• Kaidah pembagian bilangan terakar

• Logaritma - Basis Logaritma - Kaidah-kaidah Logaritma - Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma

Pangkat

• Pangkat dari sebuah bilangan ialah suatu indeks yang menunjukkan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara berurutan.

• Notasi xa : bahwa x harus dikalikan dengan x itu sendiri secara berturut-turut sebanyak a kali.

Kaidah Pemangkatan Bilangan

.5

1

.4

dimana 8. 00 .3

7. .2

6. )0( 1 .1

1

0

b ab

a

aa

bcax

abba

a

aa

Xx

xx

acxx

x xxx

y

x

y

xxx

b

Kaidah perkalian bilangan berpangkat

22515)53(53 :contoh

7293333 :contoh

2222

64242

aaa

baba

xyyx

xxx

Kaidah pembagian bilangan berpangkat

25

9

5

35:3 :contoh

9

1333:3 :contoh

:

222

24242

a

aa

baba

y

xyx

xxx

Akar

• Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakan bilangan berpangkat.

• Akar dari sebuah bilangan ialah basis (x) yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya (a).

• Bentuk umum :

mxxm aa jika m = radikan

Kaidah pengakaran bilangan

b

b

b

bb

b

ab a

bb

y

x

y

x

yxxy

xx

xx

.4

.3

.2

.11

Kaidah penjumlahan (pengurangan) bilangan terakar

• Bilangan-bilangan terakar hanya dapat ditambahkan atau dikurangkan apabila akar-akarnya sejenis.

b ab ab a xnmxnxm )(

Kaidah perkalian bilangan terakar

bc ac ab

bbb

xx

xyyx

.sebelumnyaakar -akar daripangkat

kali hasilialah akarnyabaru -pangkat an;bersangkutbilangan

daribaru pangkat akar adalah bilangan sebuah dari gandaAkar

sama. berpangkat akarnya-akar

apabiladilakukan dapat hanyaPerkalian a.bilanganny-bilangan

kali hasil dariakar adalah erakar bilangan t-bilangan kali Hasil

Kaidah pembagian bilangan terakar

• Hasil bagi bilangan-bilangan terakar adalah akar dari hasil bagi bilangan-bilangannya. Pembagian hanya dapat dilakukan apabila akar-akarnya berpangkat sama.

bb

b

y

x

y

x

Logaritma

amxmmx xaa log

LogaritmaBentuk akar Bentuk pangkat Bentuk

Logaritma pada hakekatnya merupakan kebalikan dari proses pemangkatan dan/atau pengakaran.

Suku-suku pada ruas kanan menunjukkan bilangan yang dicari atau hendak dihitung pada masing-masing bentuk

Basis Logaritma• Logaritma dapat dihitung untuk basis berapapun.• Biasanya berupa bilangan positif dan tidak sama dengan

satu.• Basis logaritma yang paling lazim dipakai adalah 10

(common logarithm)/(logaritma briggs)

• logm berarti 10 log m, log 24 berarti 10 log 24

• Logaritma berbasis bilangan e (2,72) disebut bilangan logaritma alam (natural logarithm) atau logaritma Napier

• ln m berarti elogm

Kaidah-kaidah Logaritma

mmx

xnmmam

xmax

nmn

m

nmmnx

x

nmxxax

mxax

xxxx

xxxx

log .5

1logloglog 9. loglog .4

1loglog 8. log .3

loglog log 7. 01log .2

loglog log .6 1log .1

Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma

• Logaritma dapat digunakan untuk mencari bilangan yang belum diketahui (bilangan anu) dalam sebuah persamaan, khususnya persamaan eksponensial dan persamaan logaritmik.

• Persamaan logaritmik ialah persamaan yang bilangan anunya berupa bilangan logaritma, sebagai contoh : log (3x + 298) = 3

Latihan

• Dengan melogaritmakan kedua ruas, hitunglah x untuk 3x+1 = 27

• Selesaikan x untuk log (3x + 298) =3

DERETDERETI Komang Adi Aswantara

Spring 2013

UT Korea

17

MateriMateri

• Deret Hitung

- Suku ke-n dari DH

- Jumlah n suku• Deret Ukur

- Suku ke-n dari DU

- Jumlah n suku

Dan penerapannya dalam dunia ekonomi

18

DefinisiDefinisi

• Deret : Rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu.

• Suku : Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk deret.

• Macam-macam deret :

- Deret Hitung

- Deret Ukur

- Deret Harmoni

19

Deret HitungDeret Hitung

Deret hitung : deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu.

Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung dinamakan pembeda, yang tak lain adalah selisih antara nilai dua suku yang berurutan.

Contoh :

5, 10, 15, 20, 25, 30 (pembeda 5)

90, 80, 70, 60, 50, 40 (pembeda -10)20

Suku ke-n dari Deret HitungSuku ke-n dari Deret Hitung5, 10, 15, 20, 25, 30

S1, S2, S3, S4, S5, S6

S1 = 5 = a

S2 = 10 = a + b = a + (2 - 1)b

S3 = 15 = a + 2b = a + (3 - 1)b

S4 = 20 = a + 3b = a + (4 - 1)b

S5 = 25 = a + 4b = a + (5 - 1)b

S6 = 30 = a + 5b = a + (6 - 1)b

21

Sn = a + (n - 1)ba = suku pertama / s1

b = pembeda

n = indeks suku

22

Jumlah n SukuJumlah n Suku

• Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu tidak lain adalah jumlah nilai suku-sukunya.

654

6

13216

54

5

13215

4

4

13214

121 ...........

SSSSSSSJ

SSSSSSJ

SSSSSJ

SSSSJ

ii

ii

ii

n

inin

Berdasarkan rumus suku ke-n

Sn = a + (n - 1)b, maka dapat diuraikan

J4 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) = 4a + 6b

J5 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b)

= 5a + 10b

J6 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + (a + 5b)

= 6a + 15b

23

24

bnn

naJ

babaJ

babaJ

babaJ

n )1(2

)16(2

66156

)15(2

55105

)14(2

4464

6

5

4

Sn

Masing-masing Ji dapat ditulis

bnan

Jn )1(22

atau

)(2

)1(2

nSan

bnaan

Deret UkurDeret Ukur Deret ukur : deret yang perubahan suku-

sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu.

Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur dinamakan pengganda.

Contoh :1)5, 10, 20, 40, 80, 160 (pengganda 2)2)512, 256, 128, 64, 32, 16 (pengganda 0,5)

25

Suku ke-n dari Deret UkurSuku ke-n dari Deret Ukur

suku indeks

pengganda

pertamasuku

160

80

40

20

10

5

1

1656

1545

1434

1323

122

1

n

p

a

apS

apapapppppS

apapappppS

apapapppS

apapappS

apapS

aS

n-n

26

Jumlah n SukuJumlah n Suku

(2) .......

:maka , penggandabilangan dengan dikalikan jika

(1) .......

: maka rumusn berdasarka

...........

1432

1232

1

14321

nnn

nnn

n-n

n

inin

apapapapapappJ

p

apapapapapaJ

apS

SSSSSSJ

27

(2)persamaan dan (1)persamaan antaraselisih

1

)1(atau

1

)1(

)1()1(

p

paJ

p

paJ

papJ

apapJJ

n

n

n

n

nn

nnn

28

(2)persamaan dan (1)persamaan antaraselisih

1p 1p

Model Perkembangan UsahaModel Perkembangan Usaha

• Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha, misalnya : produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja dll. Memiliki pola seperti deret hitung, maka prinsip-prinsip deret hitung dapat diterapkan dalam menganalisis perkembangan vaiabel tersebut.

29

• Pelajari Kasus 1 dan 2

30

Model Bunga MajemukModel Bunga Majemuk

Modal pokok PP dibungakan secara majemuk, suku bunga perahun i, maka jumlah akumulatif modal FF setelah nn tahun adalah:

nn iPF

iPiiPiPF

iPiiPiPF

iPiPPF

)1( .)(......... )(......... :n tahun setelah

)1()1()1( : tahun 3setelah

)1()1()1( : tahun 2setelah

)1(. : tahun 1setelah

3223

22

1

nn iPF )1(

• Jumlah di masa datang dari jumlah sekarang :

1n-n apS Bunga dibayar

1x setahun

31

Bila bunga dibayar lebih sekali dalam setahun, misal m kali, maka :

mnn m

iPF )1(

Suku (1+i) dan (1 + i/m) disebut “faktor bunga “faktor bunga majemuk”majemuk” (compounding interest factor), yaitu suatu bilangan yang lebih besar dari 1, yang dapat dipakai untuk menghitung jumlah dimasa mendatang dari suatu jumlah sekarang.

m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun

32

• Dengan manipulasi matematis, bisa diketahui nilai sekarang (present value) :

)/1(

1atau

)1(

1F

miPF

iP

mnn

Suku 1/(1+i)n dan 1/(1+i/m)mn dinamakan “faktor “faktor diskonto”diskonto” (discount factor), yaitu suatu bilangan lebih kecil dari 1 yang dapat dipakai untuk menghitung nilai sekarang dari suatu jumlah dimasa datang.

Model Pertumbuhan PendudukModel Pertumbuhan Penduduk

Pt = P1 R t-1

33

Dimana R = 1 + rP1 = jumlah pada tahun pertama (basis)Pt = jumlah pada tahun ke-tr = persentase pertumbuhan per-tahunt = indeks waktu (tahun)

TERIMAKASIHTERIMAKASIH

34

Selamat BelajarSelamat Belajar