materi pokok bentuk pangkat,akar dan logaritma · pdf filematematika sma semester 1 bab 1 :...

1 Matematika SMA Semester 1 Bab 1 : Bentuk Pangkat,Akar & Logaritma

A. PANGKAT

A.1 PENGERTIAN PANGKAT BULAT POSITIF Jika a adalah sembarang bilangan riil dan n adalah sembarang bilangan bulat positif yang lebih dari 1 , maka a pangkat n ( ditulis an ) dapat ditulis sebagai perkalian n buah faktor dimana setiap faktornya adalah bilangan a. Pengertian diatas dapat ditulis dengan definisi :

Kompetensi Dasar 1 : • Menggunakan sifat dan aturan tentang pangkat, akar dan

logaritma dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar 2:

• Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan pangkat, akar dan logaritma

Indikator 1: • Mengubah bentuk pangkat negatif ke pangkat positif dan sebaliknya • Mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat dan sebaliknya • Mengubah bentuk pangkat ke bentuk logaritma dan sebaliknya • Melakukan operasi aljabar pada bentuk pangkat, akar dan logaritma

Indikator 2: • Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat pangkat rasional • Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat logaritma • Merasionalkan bentuk akar • Membuktikan sifat-sifat yang sederhana tentang bentuk pangkat, akar

dan logaritma

Materi Pokok

BENTUK PANGKAT,AKAR DAN LOGARITMA

an = 44 344 21faktorn dari terdiriperkalian

...xaaxaxaxax


Keterangan : a dinamakan bilangan pokok ( basis ) n dinamakan pangkat ( eksponen ) jika n = 1 maka a1 = a jika n = 0 maka a0 = 1 Contoh 1 : Nyatakan dalam bentuk faktor-faktornya :

a. 52 c. 3

2

1

b. ( -3 )4 d. ( )43

Penyelesaian :

a. 52 = 5 x 5 c. 3

2

1

=

2

1x

2

1x

2

1

b. ( -3 )4 = ( -3 )x( -3 )x( -3 )x( -3 ) d. ( )43 = 3 x 3 x 3 x 3

A.2. PENGERTIAN PANGKAT BULAT NEGATIF Bilangan dengan pangkat bulat negatif bukan merupakan bilangan berpangkat yang sebenarnya, misalnya 4-2 tidak dapat diartikan sebagai perkalian faktor-faktornya. Oleh karena itu bilangan dengan pangkat negatif sering disebut sebagai bilangan dengan pangkat tak sebenarnya. Definisi bilangan dengan pangkat bulat negatif : Contoh 1 : Nyatakan bilangan pangkat bulat negatif berikut dalam bentuk pangkat positif :

a. 4-2 c.

−45

1

b. a-3 d. 5

4

3 −p

Penyelesaian :

a. 4-2 = 24

1 c.

−45

1 = 54

Jika a bilangan riil dan ≠ 0 maka a-n adalah kebalikan dari an , dapat ditulis :

n

n

aa

1=− atau n

n

aa −= 1

CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN



b. a-3 = 3

1

a d. 5

4

3 −p = 54

3

p

1. Tulislah dalam bentuk perkalian faktor-faktornya:

a. 63 d. 5

3

2

b. 74 e. ( )75 c. (-4)6 f. ( ab )2

2. Nyatakan dalam bentuk pangkat bulat positif

a. 3-6 f. 43

21

−d

b. a-3 g. ( ) 2

32

4−

c. 2

1b-4 h.

625

2

−p

d. 75

1− i.

( )( ) 2

54

43

−

e. 5

3−c

j.

523

45−

3. Hitunglah nilai dari :

a. 5-2 d. 23

5− g. 3-4 x 4-2

b. 3

3

1−

e.

4

7 3−

h. 5-3 + 2-1

c. 45

1− f. 81 x 3-3 i.

4

3

3

5−

−

4. Nyatakan barisan bilangan berikut dalam bentuk pangkat :

a. 16, 8, 4, 2, 1 d. 4

1,

8

1,

16

1,

64

1

1 UJI KOMPETENSI PENGERTIAN

PANGKAT BULAT POSITIF DAN

NEGATIF


b. 3, 9, 27, 81 e. 216

1,

36

1,

6

1

c. 32

1,

16

1,

8

1,

4

1,

2

1 f.

4

9,

2

3,0,

9

4

5. Nyatakan barisan bilangan berikut tidak dalam bentuk pangkat :

a. 23 , 22 , 21 , 20 , 2-1 , 2-2 , 2-3 c. 10123

5

1,

5

1,

5

1,

5

1,

5

1−

b. 44 , 42 , 40 , 4-2 , 4-4 , 4-6 d. 1135

2

3,

2

3,

2

3,

2

3

−−−

A.3. SIFAT - SIFAT BILANGAN PANGKAT BULAT Contoh : Dengan menggunakan sifat bilangan pangkat bulat tersebut diatas , sederhanakan bentuk berikut : 1. 76 x 72 4. ( 5 x 4 )3

2. 2

7

8

8 5.

5

3

4

3. ( 35 )2 Penyelesaian : 1. 76 x 72 = 76 + 2 3. ( 35 )2 = 35 x 2 = 310 = 78 4. ( 5 x 4 )3 = 53 x 43

2. 2

7

8

8 = 87 – 2 5.

5

3

4

=

5

5

3

4

= 85

1. ap x aq = ap + q

2. q

p

a

a = ap – q

3. ( ap )q = ap x q 4. ( a x b )p = ap x bp

5. p

b

a

= p

p

b

a



1. Dengan menggunakan sifat pangkat a p x a q = a p + q, sederhanakan bentuk berikut ini

a. 52 x 53 f. 43

2

1

2

1

x

b. a4 x a5 g. 54

4

3

4

3

x

c. (-2)3 x (-2)6 h.

4211

px

p

d. 2b4 x b5

e. 8c5 x (-2)c6 i. 73

b

ax

b

a

2. Dengan menggunakan sifat pangkat a p : a q = a p - q, sederhanakan bentuk berikut ini

a. 48 : 43 f. 38

2

1:

2

1

b. a6 : a2 g. 518

4

3:

4

3

c. (-3)7 : (-3)4 h.

5141

:1

pp

d. 8b9 : b5

e. 12c6 : (-2)c2 i. 712

:

b

a

b

a

3. Dengan menggunakan sifat pangkat (a p) q = a p x q, sederhanakan bentuk berikut ini

a. ( 43 )5 e.

45

1

d

b. ( a4 )2 f.

571

q

c. ( b3 )4

d.

43

3

1

g.

32

2

1

2 UJI KOMPETENSI SIFAT PANGKAT

BULAT


4. Dengan menggunakan sifat pangkat (a x b) p = a p x a q, sederhanakan bentuk berikut ini

a. ( 4p3 )5 e.

45

4 13

d

b. ( 8a4 )2 f.

5

241

q

c. ( -2b3 )4

d.

53

3

1

q g.

3

2

2

1

p

5. Dengan menggunakan sifat pangkat (a : b) p = a p : a q, sederhanakan bentuk berikut ini

a. 3

7

2

e.

45

3

543

d

c

b. 5

3

2

a f.

5

23

2

4

q

p

c.

2

3

8

b

a

d.

534

3

2

q g.

3

27

5

2

3

p

6. Nyatakan bentuk berikut ini dalam bentuk pangkat positif

a. 3

2

7

25

− e.

65

3

526

−−

−

d

c

b. 5

3

4−

−

a f.

5

73

4

6

−−

q

p

c.

4

3

5 −−

b

a

d.

534

7

3

2

−

−q g.

6

25

5

2

3−

−−

p


B. BENTUK AKAR

B.1 PENGERTIAN BENTUK AKAR

Bentuk-bentuk seperti ,100,25,4 dan seterusnya bukan merupakan bentuk akar, sebab bilangan tersebut jika ditarik akarnya merupakan bilangan rasional

( 10100,525,24 === ). Namun bialangan-bilangan seperti 12,8,3,2 dan seterusnya merupakan bilangan bentuk akar, sebab jika bilangan-bilangan tersebut ditarik akarnya hasilnya bukan bilangan rasional ( irasional ). Dengan demikian dapat didefinisikan :

1. Diantara bilangan berikut ini manakah yang merupakan bentuk akar ?

a. 15 d. 4,0 g. 72

b. 04,0 e. 56,2 h. 82

c. 4

1 f. 1024 i.

4

9

2. Dengan menggunakan teorema Phytagoras, tentukan sisi yang belum diketahui dari segitiga ABC siku-siku siku-siku di B berikut ini jika diketahui panjang sisinya sebagai berikut . Mana diantara panjang sisi yang dicari tersebut yang merupakan bentuk akar ? a. a = 3, b = 5 c. b = 6 , c = 1 e. a = 23, c = 12 b. a = 5, b = 12 d. b = 12 , c = 13 f. a = 2, c = 7

B.2. MENYEDERHANAKAN BENTUK AKAR Untuk menyederhanakan bilngan bentuk akar dapat dilakukan dengan cara mengubah bilangan dalam akar tesebut dalam bentuk perkalian dari faktor-faktornya, dimana salah faktor harus merupakan bilangan bentuk kuadrat

Bentuk Akar : adalah akar dari suatu bilangan rasional, dimana hasilnya berupa bilangan irasional

3 UJI KOMPETENSI BENTUK

AKAR


Contoh 1 : Sederhanakan bentuk akar berikut ini

a. 8 b. 8

25 c. 123

Penyelesaian :

a. 8 = 24x b. 8

25=

8

25 c. 123 = 3 34x

= 24x = 22

5 = 3 x 34x

= 2 2 = 3 x 2 x 3

= 6 3 1. Sederhanakan bentuk akar berikut ini

a. 24 f. 50 k. 2 120

b. 72 g. 98 m. 3 300

c. 18 h. 63 n. 4 147

d. 75 i. 200 o. 5 432

e. 48 j. 192 p. 6 5000 2. Sederhanakan bentuk akar berikut ini

a. p4 f. 2 d12

b. pq8 g. 3 a98

c. ba 275 h. 4 296b

d. 25a i. 5 p63

e. y48 j. 6 2150q

4 UJI KOMPETENSI

MENYEDER-HANAKAN BENTUK AKAR



B.3. OPERASI BENTUK AKAR B.3.1. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BENTUK AKAR Bentuk akar yang dapat dijumlahkan adalah yang sejenis ( bilangan dalam tanda akar sama ), namun jika tidak sejenis maka bentuk akar tersebut tidak dapat dijumlahkan / dikurangkan. Contoh : Sederhanakan bentuk berikut ini

a. 323 + c. 33423 −+

b. 5456 − d. 987275 −− Penyelesaian :

a. 323 + = (1+2) 3 c. 33423 −+ = 3)14(23 −+

= 3 3 = 3323 +

b. 5456 − = (6-4) 5 d. 987275 −− = 2497)25( x−−

= 2 5 = 277)25( −−

= 2773 − B.3.2. Perkalian Bentuk Akar Perkalian bentuk akar dapat didefinisikan : Contoh : Sederhanakan bentuk berikut ini

bcabcba )( +=+

bcabcba )( −=−

axbbxa =




a. 53x c. )61(5 −

b. 212x d. )32)(23( −+ Penyelesaian :

a. 53x = 1535 =x

b. 212x = 48224 =x = 34316 =x

c. )61(5 − = 305 −

d. )32)(23( −+ = )32(2)32(3 −+− = 324932 −+− = - 3 + 4 = 1 B.3.3. MENARIK AKAR KUADRAT Bentuk umum menarik akarkuadrat adalah sebagai berikut : dan catatan : syarat harus a > b Contoh :

Nyatakan bilangan berikut dalam bentuk ba + atau ba −

a. 1528+ b. 35212− c. 569 + Penyelesaian :

a. 1528+ = 352)35( x++ = 35 +

b. 35212− = 572)57( x−+ = 57 −

c. 569+ = 1449 x+ = 1429+ = 272)27( x++ = 27 +

. 1. Sederhanakan bentuk penjumlahan / pengurangan dibawah ini

a. 232 + f. 72325 +

b. 32582 + g. 503274 −

c. 3754 − h. 7555056 −+

d. 1252506 − i. 1255124243 +−

e. 63108727 −+ j. 128450027232005 −−+ 2. Sederhanakan bentuk perkalian dibawah ini

a. 22x f. 12325 x

5 UJI KOMPETENSI

baaxbba +=++ 2)( baaxbba −=−+ 2)(

OPERASI BENTUK AKAR



b. 2432 x g. 53274 x

c. 3754 x h. 555056 xx

d. 125256 x i. 3512423 xx

e. 63377 xx j. 845223205 xxx 3. Sederhanakan bentuk perkalian dibawah ini

a. ( )315 − f. ( )231−

b. ( )352 − g. ( )2532 +

c. ( )34623 + h. ( )2324 −

d. ( )( )2332 +− i. ( )27323 +

e. ( )( )5115 −+ j. ( )2532 + 3

4. Nyatakan bilangan berikut dalam bentuk ba + atau ba −

a. 1528+ d. 27212− g. 487 −

b. 1228+ e. 112223− h. 18014+

c. 30211+ f. 608+ i. 28423+

C. MERASIONALKAN PENYEBUT PECAHAN

Suatu pecahan yang penyebutnya bentuk akar haruslah dirasionalkan . Cara merasionalkan penyebut bentuk akar yaitu dengan mengalikan pecahan tersebut dengan bilangan 1. Namun bilangan 1 yang dipilih harus disesuaikan dengan model bentuk akarnya. Untuk itu perhatikan uraian berikut ini.

C.1. PECAHAN BENTUK b

a

Pecahan bentuk ini harus dikalikan dengan bilangan 1 yaitu b

b, secara umum dapat ditulis :

Contoh : Rasionalkan penyebut pecahan :

b

bx

b

a

b

a =



a. 7

1 b.

6

2 c.

3

21+

Penyelesaian :

a. 7

1 =

7

1x

7

7 b.

6

2 =

6

2x

6

6 c.

3

21+=

3

21+x

3

3

= 7

7 =

6

12 =

3

63 +

= 6

32

= 3

3

C.2. PECAHAN BENTUK cb

a

+ATAU

cb

a

−

Pecahan ini harus dikalikan dengan bilangan 1 yaitu sekawan dari penyebutnya. Secara umum dapat ditulis : atau Contoh : Rasionalkan penyebut pecahan :

a. 72

1

+ b.

63

2

− c.

23

21

++

Penyelesaian :

a. 72

1

+=

72

1

+x

72

72

−−

b. 63

2

− =

63

2

−x

63

63

++

= )72(7)72(2

72

−+−−

= )63(6)63(3

)63(2

+−++

= 772724

72

−+−−

= 663639

)63(2

−−++

= 3

72

−−

= 3

)63(2 +

c. 23

21

++

= 23

21

++

x 23

23

−−

cb

cbx

cb

a

cb

a

−−

+=

+

cb

cbx

cb

a

cb

a

++

−=

−



= )23(2)23(3

)23(2)23(1

−+−−+−

= 2663

2623

−+−−+−

= 1

2623 −+−

= 2623 −+− 1. Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini

a. 2

1 d.

23

5 g.

2

61−

b. 12

1 e.

724

2− h.

6

23 +

c. 3

4 f.

2

61−

2. Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini

a. 29

1

+ d.

3523

8

− g.

75

43

+−

b. 123

4

− e.

25

61

+−

h. 502724

332

−+−

c. 63

5

+ f.

75

43

+−

D. PANGKAT PECAHAN

Bilangan-bilangan seperti 54

3 , 3

2

6 , 7

6

8 dan sebagainya dinamakan bilangan dengan pangkat pecahan ( rasional ). Bilangan dengan pangkat pecahan dapat dinyatakan dalam bentuk akar. Hubungan seperti itu dapat ditulis : Syarat q harus bilangan asli lebih besar dari 2 Untuk q = 2 tidak perlu ditulis

6 UJI KOMPETENSI

q pq

p

aa =

MERASIONALKAN

PENYEBUT


Contoh 1 : Nyatakan bilangan berikut dalam bentuk akar

a. 5

4

3 b. 3

2

6−

c. 7

62

8 Penyelesaian :

a. 5

4

3 = 5 43 b. 3

2

6−

= 3 26− c. 7

62

8 = 7

20

8 = 7 208

Contoh 2 : Nyatakan bilangan berikut dalam bentuk pangkat

a. 325 b. 3 58 c. 3 427 Penyelesaian :

a. 325 = 2

3

25 b. 3 58 = 3

5

8 c. 3 427 = 3

4

27 Contoh 3 : Hitunglah nilai dari

a. 325 b. 3 58 c. 3 427 Penyelesaian :

a. 325 = 2

3

25 b. 3 58 = 3

5

8 c. 3 427 = 3

4

27

= ( )2

325 = ( )3

532 = ( )3

433

= 53 = 25 = 34

= 125 = 32 = 81 Contoh 4 : Nyatakan bilangan berikut dalam bentuk pangkat dengan bilangan pokok 2

a. 3 58 b. 7 416 c. 48

1

Penyelesaian :

a. 3 58 = 3

5

8 b. 7 416 = 7

4

16 c. 48

1 = 4 32−

= ( )3

532 = ( )7

442 = 4

3

2−

= 25 = 7

16

2 1. Nyatakan dalam bentuk akar

a. 2

3

6 d. 5

6−

a g. 2

7

)( ba +

7 PENGERTIAN PANGKAT PECAHAN


UJI KOMPETENSI


b. 3

5

7−

e. 3

7

2b h. 5

9

)(−

− qp

c. 7

11

9 f. 6

5

16−

c i. 4

723 )( ba +

2. Nyatakan dalam bentuk pangkat

a. 34 d.

5 62c g. 8 3)( qp +

b. 3 5a e.

37− h.

3 744 )32( +−

c. 4 5b f. 7 53 −d i. 542 )( ba −

3. Hitunglah nilai dari

a. 2

3

4 d. 5

6

32−

g. 3

5

8

1

b. 3

5

27−

e. 3

7

81 h. 2

9

9

4−

c. 4

1

64 f. 3

7

)27(− i. 3

4

125

81


a. 2

3

4 + 3

5

27−

d. 3

7

81 - 4

1

64 + 2

3

4

b. 4

1

64 - 2

3

4 e. 3

5

27−

+ 3

5

8

1

- 4

1

64

c. 5

6

32−

+ 4

1

64 - 3

5

27−

f. 2

9

9

4−

- 3

7

)27(− + 3

4

125

81

5. Nyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat dengan bilangan pokok 2

a. 3 516 c. 3

2

1

32 e. 75

128

1−

b. 3 464− d. 4

3

7

4−

f. 54

3

256

1

6. Nyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat dengan bilangan pokok 3

a. 3 29 c. 7

2

1

81 e. 76

9

1−

b. 4 527− d. 4

5

8

243−

f. 54

7

243

1


D.1. SIFAT PANGKAT PECAHAN ( RASIONAL ) Sifat pangkat pecahan sama dengan sifat pangkat bulat, yaitu :

Contoh : Dengan menggunakan sifat bilangan pangkat bulat tersebut diatas , sederhanakan bentuk berikut :

1. 2

1

3

4

55 x 4. ( )2

3

75x

2. 7

2

3

1

8

8 5.

2

5

3

4

3. 5

1

3

5

4

Penyelesaian :

1. 2

1

3

4

55 x = 2

1

3

4

5+

= 6

11

5 4. ( )2

3

75x = 2

3

2

3

75 x

2. 7

2

3

1

8

8 = 7

2

3

1

8−

= 21

1

8 5. 2

5

3

4

=

2

5

2

5

3

4

3. 5

1

3

5

4

= 5

1

3

5

4x

= 3

1

4

1. Dengan menggunakan sifat pangkat a p x a q = a p + q, sederhanakan bentuk berikut ini

a. 4

1

6

7

44 x f. 7

4

3

4

2

1

2

1

x

1. ap x aq = ap + q

2. q

p

a

a = ap – q

3. ( ap )q = ap x q 4. ( a x b )p = ap x bp

5. p

b

a

= p

p

b

a

8 UJI KOMPETENSI SIFAT PANGKAT

PECAHAN



b. 2

71

6

5

4xa g. 5

2

7

2

4

3

4

3

−

x

c. ( ) ( )3

1

3

4

22 −− x h. 2

3

5

2

11−−

px

p

d. 4

3

5

3

44 bxb

e. ( ) 3

1

2

9

38 cxc − i. 2

1

5

1

−

−

b

ax

b

a

2. Dengan menggunakan sifat pangkat a p : a q = a p - q, sederhanakan bentuk berikut ini

a. 2

1

4

7

2:2 f. 2

1

4

3

3

1:

3

1

b. 3

1

5

4

: aa g. 3

1

5

2

4

3:

4

3−

c. ( ) ( )2

5

5

7

5:5 −− h. 5

2

7

1

1:

1−−

pp

d. 7

4

5

9

2:6 bb

e. ( )7

22

9

2:4 −c i. 3

21

4

31

:

−

b

a

b

a

3. Dengan menggunakan sifat pangkat (a p) q = a p x q, sederhanakan bentuk berikut ini

a. 3

2

5

1

3

e.

3

4

3

1

1

−

p

b. 3

1

3

2

a f.

9

2

5

1

1−

q

c. 7

2

5

2

b

d.

5

2

7

2

6

1

−

g.

4

32

3

1

2

1−

4. Dengan menggunakan sifat pangkat (a x b) p = a p x a q, sederhanakan bentuk berikut ini


a. 3

5

4

1

9

p e.

5

2

3

1

4 13

−

d

b. 3

4

3

2

6

q f.

2

31

3

5

41

−

q

c. 2

7

4

5

3

− p

d.

2

1

5

2

6

1

q g.

7

13

3

11

2

1

−p

5. Dengan menggunakan sifat pangkat (a : b) p = a p : a q, sederhanakan bentuk berikut ini

a. 4

1

5

2

e.

2

9

5

21

3

543

d

c

b. 3

1

6

5

a f.

5

4

31

3

1

2

4

−

q

p

c.

4

5

3

3

4

b

a

d.

3

4

6

14

3

2

q g.

5

3

27

5

32

2

3

−−

p

6. Nyatakan bentuk berikut ini dalam bentuk pangkat positif

a. 5

1

2

5

35

−−

e.

8

3

2

3

527

−−

−

d

c

b.

2

3

4

1

7−

−

a

f.

2

1

7

3

1

4

5

−

−−

q

p


c.

4

6

1

7

2 −−

b

a

d.

7

2

4

14

7

7

2

−

−q g. 7

2

3

12

5

5

2

9−

−

−

p

E. PERSAMAAN PANGKAT SEDERHANA

Jika a > 0 , a ≠ 1 dan p = konstanta, maka berlaku hubungan : Contoh : Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan

a. 2 x = 4 b. 4 x – 1 = 2 x c. 93 =x Penyelesaian :

a. 2 x = 4 b. 4 x – 1 = 2 x c. 93 =x

2 x = 2 2 ( ) xx22

12 =− 22 33 =

x

x = 2 2 2x – 2 = 2 x 22

=x

2x – 2 = x x = 4 x = 2

1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikt ini

a. 3 x = 27 e. 4 x – 5 = 16 i. 2

1

8

174

=

−x

1. Jika a f(x) = a c maka berlaku f(x) = c 2. Jika a f(x) = ag(x) maka berlaku f(x) = g(x)

9 UJI KOMPETENSI

PERSAMAAN PANGKAT

SEDERHANA



b. 2 x + 3 = 16 f. 27 2x +7 = 9 j. 27

1

9

152

=

−x

c. 3 2x – 1 = 81 g. 64 4x – 3 = 2

d. 2 3x + 2 = 64

1 h. 27

81

154

=

−x

k. 436

9

1

81

1−+

=

x


a. 3 x + 3 = 3 2x + 5 e. 4 x – 5 = 16 3 – 2x i. 7674

64

1

2

1−−

=

xx

b. 2 2x - 3 = 4 3x + 1 f. 27 2x +7 = 9 5 – 3x j. 4352

81

1

9

1−−

=

xx

c. 3 2x + 5= 9 4x - 1 g. 64 4x – 3 = 2 x + 8

d. 8 3x - 2 = 16 1 – 3x h. 2781

154

=

−x

1 – 6x k. 2436

27

1

3

1+−+

=

x


a. x3 = 3 2x + 5 e. 838 +x = 5 1-6x 16 i. 5

8

2

1+

x

= 9

4

1+

x

b. 2 2x - 3 = x38 f. 8 63 +x = 3 2827 x− j. 3

9

81

1−

x

= 5

72

9

1+

x

c. 7381 +x = 9 4x - 1 g. 3 8364 −x = 152 +x

d. 8 3x - 2 = 5 632 − h. 7 125 −x = 3 94125 −x k. 3

4

8

1−

x

= 9

7

2

1+

x

F. LOGARITMA

Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan dimana bilangan pokok (x) dan hasilnya diketahui, misalnya bagaimana mencari pangkat : 2 .x = 4, maka x = 2 sebab 2 2 = 4 3 .x = 27 , maka x = 3 sebab 3 3 = 27 Proses mencari nilai x pada persamaan tersebut dinamakan logaritma. Dari uraian tersebut dapat didefinisikan :

Syarat : a > 0, b > 0 , b ≠ 1

xba =log jika dan hanya jika a x = b


Contoh 1 : Nyatakan dalam bentuk logaritma bilangan berpangkat berikut ini

a. 2 2 = 8 b. 3 2 = 9 c. 8

1

2

13

=

Penyelesaian :

a. 2 3 = 8 ↔ 38log2 = b. 3 2 = 9 ↔ 29log3 = c. 8

1

2

13

=

↔ 3

8

1log2

1

=

Contoh 2 : Nyatakan dalam bentuk pangkat bilangan logaritma berikut ini

a. 416log2 = b. 481log3 = c. 24

1log2 −=

Penyelesaian :

a. 416log2 = ↔ 2 4 = 16 b. 481log3 = ↔ 3 4 = 81 c. 24

1log2 −=

↔ 2 -2 =

4

1

Contoh 3 : Tentukan nilai dari logaritma berikut ini

a. 8log2 b. 16log4 c.

9

1log3

Penyelesaian :

a. 8log2 = 3, sebab 2 3 = 8 b. 16log4 = 2, sebab 4 2 = 16 c.

9

1log3 = -2,sebab 3 -2 =

9

1

1. Nyatakan bentuk berikut dalam logaritma

a. 3 2 = 9 e. 4

1

2

12

=

i. 10 -3 = 0,001

b. 4 3 = 64 f. 2

1

25 = 5 j. 2

3

1−

= 9

c. (-2) 4 = 16 g. 10 2 = 100 k. (0,1) -2 = 100

d. 8 -2 = 64

1 h. 5 0 = 1 l.

4

9

3

22

=

−

2. Nyatakan bentuk berikut dalam bentuk pangkat

a. 24log2 = d. 216log4 = g. 481

1log3 −=

10 UJI KOMPETENSI PENGERTIAN LOGARITMA



b. log 1000 = 3 e. 3125log5 = h. 364

1log4 −=

c. 28log3 = f. 12

1log2 −=

i. ( ) 500001,0log −=

3. Hitunglah nilai dari logaritma berikut ini

a. 256log2 e. 64log4 i. 3

3

9

1log

b. log (0,0000001) f. 625log5 j. 5

4

4

1log

−

c. 81log3 g.

16

1log2 k. ( )400001,0log

d.

5

1log25 h.

9

1log81 l.

27

1log3

4. Hitunglah nilai dari penjumlahan / pengurangan logaritma berikut ini

a. 256log2 + 625log5 e. 64log4 +3

3

9

1log

b. 625log5 -

16

1log2 f.

54

4

1log

−

- 625log5

c.

9

1log81 + 81log3 g.

16

1log2 + ( )400001,0log

d. 64log4 -

5

1log25 h.

9

1log81 -

27

1log3

5. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan logaritma berikut ini

a. 225log =x b. 664

1log −=

x c. 2

15log =x

F.1 SIFAT-SIFAT LOGARITMA

1. qppxq aaa loglog)log( += 5. a

bb

a

log

1log =

2. qpq

p aaa logloglog −=

6. ccb aba loglog.log =

3. bnb ana log.log = 7. bp

qb aqa p

log.log =

4. a

bb

p

pa

log

loglog = 8. ba ba

=log


Contoh 1 : Sederhanakan penjumlahan logaritma berikut :

a. 4log8log 22 + b. 81log9

1log 33 +

Penyelesaian :

a. 4log8log 22 + = )48log(2 x b. 81log9

1log 33 + = )81

9

1log(3 x

= 32log2 = 9log3 = 5 = 2 Contoh 2 : Sederhanakan pengurangan logaritma berikut :

a. 100log400log 22 − b. 81log9log 33 − Penyelesaian :

a. 100log400log 22 − =100

400log2 b. 81log9log 33 − =

81

9log3

= 4log2 = 9

1log3

= 2 = - 2 Contoh 3 : Sederhanakan penjumlahan / pengurangan logaritma berikut :

a. 4log5log2 + b. 3log281log2

1 22 −

Penyelesaian :

a. 4log5log2 + = 4log5log 2 + b. 3log281log2

1 22 − = 222

12 3log81log −

= )425log( x = 9

9log2

= log 100 = 1log2 = 2 = 0 Contoh 4 : Jika diketahui p=2log3 , nyatakan bentuk logaritma berikut dalam p

a. 4log3 b. 4log9 Penyelesaian : a. 4log3 = 23 2log = 2log.2 3 = 2.p

b. 4log9 = 9log

4log=

2

2

3log

2log=

3log.2

2log.2=

3log

2log= 2log3 = p

Contoh 5 : Jika diketahui p=2log3 , nyatakan bentuk logaritma berikut dalam p

a. 3log2 b. 9log4



Penyelesaian :

a. 3log2 = 2log

13

= p

1

b. 9log4 = 4log

19

= 23 2log

12 =

2log.2

21

3

= 2log

13

= p

1

Contoh 6 : Hitunglah nilai dari

a. 64log.7log 72 b. 27log.25log 53 Penyelesaian : a. 64log.7log 72 = 64log2 = 6

b. 27log.25log 53 = 27log.5log 523 = 27log.5log.2 53 = 27log.2 3 = 2 x 3 = 6 Contoh 7 : Hitunglah nilai dari

a. 27log9 b. 5log.16log 254 Penyelesaian :

a. 27log9 = 33 3log2

= 3log.2

3 3 = 12

3x =

2

3

b. 5log.16log 254 = 5log.2log22 542 = 5log.

2

12log.

2

2 52 x = 12

11

2

2xxx =

2

1

Contoh 8 : Hitunglah nilai dari

a. 2log3

3 b. 3log5

25 Penyelesaian :

a . 2log3

3 = 2

b. 3log5

25 = ( ) 3log25

5 = ( )23log5

5 = 5 2 = 25 1 . Sederhanakan penjumlahan logaritma berikut :

a. 4log3log 22 + c.. 2log16log 44 + e. 32log8log 22 +

b. 7log5log 33 + d. 25log25

1log 55 + f.

2

9log6log 33 +

2. Sederhanakan pengurangan logaritma berikut :

a. 24log3log 22 − c.. 42log14log 33 − e. 36log9log 44 −

b. 7log28log 22 − d. 10log50log 55 − f. 9

1log

27

1log 33 +

3. Sederhanakan penjumlahan / pengurangan logaritma berikut :

a. 40log5log2 + c. 9log281log2

1 22 −

11 UJI KOMPETENSI SIFAT-SIFAT LOGARITMA


b. 125

1log25log

2

1 55 + d. 16log22log5 22 −

4. Jika diketahui p=5log2 , nyatakan bentuk logaritma berikut dalam p

a. 25log2 c. 25log4 e. 125log2

1

b. 5log4 b. 125

1log8 f. 3 22 5log

5. Jika diketahui q=6log3 , nyatakan bentuk logaritma berikut dalam q

a. 3log6 c. 27log6 e. 3

1log6

1

b. 9log36 d. 81log36

1

f. 4 56 3log3


a. 64log.3log 32 c. 32log.25log 52 e. 8log.125

1log 52

b. 27log.5log 53 d. 81log.8log 23 f. 4 573 23 3log.7log 7. Hitunglah nilai dari

a. 81log9 c. 125log.32log 254 e. 25log.16log 5

1

2

1

b. 625log25 d. 8log.27log 481 f. 125

1log.27log

3 253


a. 9log6

6 c. 16log2

2 e. 2log3log 35

35 +

b. 3log7

7 d. 2log5

125 f.

8log4log

23

2

13

−

materi pokok bentuk pangkat,akar dan logaritma · pdf filematematika sma semester 1 bab 1 :...

Documents