1

Limit Fungsi

DEFINISI

Misalkan A ℝ. Bilangan real c dikatakan titik kumpul (cluster point) dari A

apabila setiap lingkungan- dari c yaitu V(c) = (c–,c+) memuat sedikitnya satu unsur di A

yang berbeda dari c.

Contoh

1. Jika A = (0,1) maka setiap titik di selang [0,1] adalah titik kumpul dari A.

2. Himpunan bilangan asli tidak mempunyai titik kumpul

TEOREMA

Misalkan A ℝ. Suatu bilangan real c adalah titik kumpul dari A jika dan hanya jika

terdapat barisan (an) di A dengan an c untuk setiap n ¥ sedemikian sehingga lim (an) = c.

DEFINISI

Misalkan A ℝ, c titik kumpul dari A, dan f : A ℝ. Suatu bilangan real L

dikatakan limit dari f di c apabila untuk setiap lingkungan- dari L, V(L), terdapat

lingkungan- dari c, V(c), sedemikian rupa sehingga apabila x c adalah unsur di V(c) A

maka f(x) V(L).

Jika L adalah limit dari f di c kita katakan f konvergen ke L di c dan kita tuliskan

Kita dapat juga mengatakan “f menuju ke L apabila x menuju c” dan kita tuliskan f(x) L

apabila x c. Jika f tidak mempunyai limit di c maka kita katakan f divergen di c.

TEOREMA

Jika fungsi f mempunyai limit di c maka limitnya tersebut tunggal.

Kriteria - untuk Limit

TEOREMA

Misalkan A ℝ, c titik kumpul dari A, dan f : A ℝ. Suatu bilangan real L adalah

limit dari f di c jika dan hanya jika untuk setiap > 0 terdapat > 0 sedemikian rupa sehingga

apabila x A dan 0 < |x–c| < maka |f(x)–L| < .

limx c

f x L

2

Contoh

Bukti :

Misalkan g(x) = x untuk setiap x ℝ. Diberikan > 0 pilih = . Kita lihat bahwa

apabila 0 < |x–c| < maka |g(x)–c| = |x–c| < = .

Kriteria Sekuensial untuk Limit

TEOREMA

Misalkan A ℝ, c titik kumpul dari A, dan f : A ℝ. Suatu bilangan real L adalah

limit dari f di c jika dan hanya jika untuk setiap barisan (xn) di A dengan xn c untuk setiap n

¥, apabila (xn) konvergen ke c, barisan (f(xn)) konvergen ke L.

Kriteria Kedivergenan

TEOREMA

Misalkan A ℝ , c titik kumpul dari A, dan f : A ℝ. Bilangan real L bukan limit

dari f di c jika dan hanya jika terdapat barisan (xn) di A dengan xn c untuk setiap n ¥

dimana (xn) konvergen ke c tetapi barisan (f(xn)) tidak konvergen ke L. Lebih umum, fungsi

f tidak mempunyai limit di c jika dan hanya jika terdapat barisan (xn) di A dengan xn c

untuk setiap n ¥ dimana (xn) konvergen ke c tetapi barisan (f(xn)) divergen.

Contoh

lim𝑥→01

𝑥 tidak di ℝ

Bukti :

Misalkan f(x) = 1/x untuk setiap x ℝ, x 0. Pandang barisan (xn = 1/n). Barisan

ini konvergen ke 0 tetapi barisan (f(xn)) = (1/xn) = (1/(1/n)) = (n) divergen.

TEOREMA LIMIT

DEFINISI

Misalkan A ℝ, c titik kumpul dari A, dan f : A ℝ. Kita katakan f terbatas pada

suatu lingkungan dari c jika terdapat lingkungan- V(c) dan konstanta M > 0 sehingga |f(x)|

M apabila x A V(c).

limx c

x c

3

TEOREMA

Jika A ℝ dan f : A ℝ memiliki limit di c ℝ maka f terbatas di suatu

lingkungan dari c.

TEOREMA

Misalkan A ℝ, c titik kumpul dari A, dan f, g fungsi dari A ke ℝ. Misalkan b ℝ.

Jika lim𝑥→𝐶 𝑓 𝑥 = 𝐿 dan lim𝑥→𝐶 𝑔 𝑥 = 𝑀 maka :

Selanjutnya apabila g(x) 0 untuk setiap x A dan M 0 maka

Catatan :

Rumus untuk limit jumlah maupun hasil kali fungsi dapat diperumum menjadi

TEOREMA

Misalkan A ℝ, c titik kumpul dari A, dan f : A ℝ. Jika a f(x) b untuk setiap

x A, x c, dan f mempunyai limit di c maka

TEOREMA APIT

Misalkan A ℝ, c titik kumpul dari A, dan f, g, h : A ℝ. Misalkan f(x) g(x)

h(x) untuk setiap x A, x c. Maka

TEOREMA

lim

lim

lim

x c

x c

x c

f x g x L M

f x g x LM

bf x bL

limx c

f x L

g x M

1 1

1 1

lim lim

lim lim

n n

i ix c x c

i i

n n

i ix c x c

i i

f x f x

f x f x

limx c

a f x b

lim lim limx c x c x c

f x h x L g x L

4

Misalkan A ℝ, c titik kumpul dari A, dan f : A ℝ. Misalkan L adalah limit dari f

di c. Jika L > 0 (L < 0) maka terdapat lingkungan V(c) sehingga f(x) > 0 (f(x) < 0) untuk

setiap x A V(c), x c.

Limit Sepihak

DEFINISI

Misalkan A ℝ dan f : A ℝ. Misalkan c ℝ adalah titik kumpul dari himpunan

{x A, x > c} ({x A, x < c}). Bilangan real L kita katakan limit kanan (kiri) dari f di c

jika diberikan > 0 sebarang terdapat > 0 sehingga |f(x)–L| < untuk setiap x A dengan

0 < x–c < (0 < c–x < ).

TEOREMA

Misalkan A ℝ, f : A ℝ, dan c titik kumpul dari himpunan {x A, x > c} ({x

A, x < c}). Bilangan real L adalah limit kanan (kiri) dari f di c untuk setiap barisan (xn) di

A dengan xn > c (xn < c) untuk setiap n ¥, apabila (xn) konvergen ke c maka (f(xn))

konvergen ke L.

TEOREMA

Misalkan A ℝ, f : A ℝ, dan c titik kumpul dari himpunan {x A, x > c} dan {x

A, x < c}. Bilangan real L adalah limit dari f di c L adalah limit kanan dan limit kiri

dari f di c.

Contoh

Misalkan f(x) = |x|/x untuk setiap x ¡, x 0. Jadi f(x) = –1 jika x < 0 dan f(x) = 1 jika x >

0. Dengan mudah dapat dibuktikan bahwa dan

Jika L ¡ adalah limit kanan (kiri) dari f di c, kita tuliskan

Limit-limit ini disebut limit sepihak. Limit sepihak, jika ada, adalah tunggal.

Limit tak Hingga

DEFINISI

Misalkan A ℝ, f : A ℝ, dan c titik kumpul dari A. Kita katakan f menuju (–

) apabila x c jika untuk setiap ¡ terdapat > 0 sehingga untuk setiap x A dengan 0

< |x–c| < berlaku f(x) > (f(x) < ).

Dalam hal ini kita tuliskan

0

lim 1x

f x

0

lim 1x

f x

lim limx c x c

f x L f x L

lim limx c x c

f x f x

5

Contoh

Bukti :

Diberikan ℝ, jika 0 maka f(x) > untuk setiap x ℝ, x 0. Jika > 0 ambil .

Kita lihat bahwa untuk 0 < |x–0| = |x| < berlaku f(x) = 1/x2 > 1/

2 = .

TEOREMA

Misalkan A ℝ, c titik kumpul dari A, dan f, g : A ℝ dengan f(x) g(x) untuk

setiap x A, x c. Maka

DEFINISI

Misalkan A ℝ dan f : A ℝ. Misalkan c ℝ adalah titik kumpul dari himpunan

{x A, x > c}. Kita katakan bahwa f menuju (–) apabila x c+ jika untuk setiap ℝ

terdapat > 0 sehingga f(x) > (f(x) < ) untuk setiap x A dengan 0 < x–c < . Dalam hal

ini kita tuliskan

DEFINISI

Misalkan A ℝ dan f : A ℝ. Misalkan c ¡ adalah titik kumpul dari himpunan

{x A, x < c}. Kita katakan bahwa f menuju (–) apabila x c– jika untuk setiap ℝ

terdapat > 0 sehingga f(x) > (f(x) < ) untuk setiap x A dengan 0 < c–x < . Dalam hal

ini kita tuliskan

Contoh

Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa

Tetapi

20

1limx x

1

lim lim

lim lim

x c x c

x c x c

f x g x

g x f x

lim limx c x c

f x f x

lim limx c x c

f x f x

0

1limx x

0

1limx x

6

Limit di Ketakhinggaan

DEFINISI

Misalkan A ℝ dan f : A ℝ Misalkan A memuat selang (a,) ((–,a)) untuk

suatu a ¡. Bilangan real L dikatakan limit dari f apabila x (x –) jika diberikan >

0 terdapat K > a (K < a) sehingga untuk setiap x > K (x < K) berlaku |f(x)–L| < . Dalam hal

ini kita tuliskan

TEOREMA

Misalkan A ℝ dan f : A ℝ. Misalkan A memuat selang (a,) ((–,a)) untuk

suatu a ¡. Bilangan real L adalah limit dari f apabila x (x –) untuk setiap

barisan (xn) di (a,) ((–,a)) dengan lim (xn) = (lim (xn) = –), barisan (f(xn)) konvergen

ke L.

DEFINISI

Misalkan A ℝ dan f : A ℝ. Misalkan A memuat selang (a,) untuk suatu a ℝ

Kita katakan f menuju (–) apabila x jika diberikan ¡ terdapat K > a sehingga

untuk setiap x > K berlaku f(x) > (f(x) < ). Dalam hal ini kita tuliskan

DEFINISI

Misalkan A ℝ dan f : A ℝ. Misalkan A memuat selang (–,a) untuk suatu a ℝ . Kita

katakan f menuju (–) apabila x – jika diberikan ℝ terdapat K < a sehingga untuk

setiap x < K berlaku f(x) > (f(x) < ). Dalam hal ini kita tuliskan

lim limx x

f x L f x L

lim limx x

f x f x

lim limx x

f x f x