Kuliah 14Gelombang-gelombang Linear

Gelombang Linear vs Nonlinear

• Satu set persamaan linear tdk mengandung perkalian variabel-variabel terikat.

• Satu set persamaan nonlinear mengandung perkalian variabel-variabel terikat.

• Persamaan momentum adalah nonlinear, krn suku-suku adveksi:

z

uw

y

uv

x

uu

merupakan perkalian dari variabel terikat u, v, dan w.

• Satu set persamaan linear mendukung gelombang linear, sedangkan satu set persamaan nonlinear mendukung gelombang nonlinear.

• Gelombang linear dan gelombang nonlinear berperilaku sangat berbeda!

• Perbedaan utama adalah bhw gelombang linear tdk berinteraksi antara satu dg lainnya, dan tdk dapat bertukar energi!

• Dua gelombang linear dapat menembus satu dg lainnya.

• Setiap gangguan antara dua gelombang adalah terbatas hanya linear, artinya pd titik tertentu, efek dari gelombang adalah jumlah dari efek dari dua gelombang.

• Gelombang nonlinear berinteraksi dan bisa bertukar energi! Diagram berikut menjelaskan hal tsb.

Gelombang-gelombang linear dapat menembus satu dg lainnya tanpa pemindahan energi.Efek dari gelombang-gelombang tsb adalah hanya jumlahnya.

Gelombang-gelombang nonlinear berinterkasi satu dg lainnya, dan bisa bertukar energi.Efek dari gelombang-gelombang tsb tdk hanya jumlahnya.

• Gelombang-gelombang nonlinear adalah jauh lebih kompleks, dan lebih sulit utk mempelajarinya daripada gelombang linear.

• Celakanya, persamaan yg berkuasa adalah sangat nonlinear (krn suku-suku adveksi), dan maka gelombang-gelombang atmosfer adalah nonlinear.

Metoda Perturbasi

• Persamaan yg berkuasa adalah nonlinear. Utk mempelajari sifat-sifat gelombang atmosfer kita “linearisasikan” persamaan yg berkuasa, dan kemudian mempelajari gelombang linear yg didukung oleh persamaan tsb.

• Dg mempelajari gelombang-gelombang linear tsb kita berharap mempelajari beberapa informasi mengenai gelombang dan relevansinya.

• Utk melinearisasikan persamaan kita gunakan metoda perturbasi.

• Mulai dg membagi variabel terikat menjadi dua bagian.

• Bagian pertama dikenal sbg keadaan dasar, dan dianggap konstan atau hanya fungsi dari koordinat ruang.

• Bagian ke dua adalah perturbasi, dan boleh bervariasi dg waktu dan berada dlm tiga arah ruang.

• Contoh:

),,,('),,,(

),,,('),,,(

0wasumsikan );,,,('),,,(

),,,('),,,(

),,,('),,,(

tzyxtzyx

tzyxpptzyxp

tzyxwwtzyxw

tzyxvvtzyxv

tzyxuutzyxu

•Asumsi lain adalah bhw keadaan dasar harus memenuhi persamaan gerak ketika tdk ada perturbasi.•Asumsi ke tiga yg penting utk metoda perturbasi adalah bhw perturbasi hrs kecil shg perkalian dari perturbasi dpt diabaikan. (jangan dikacaukan prosedur ini dg perataan Reynold. Walaupun ke dua prosedur bisa nampak serupa, namun mereka benar-benar sangat berbeda).

• Variabel-variabel terikat yg telah dibagi, kemudian kita substitusikan ke persamaan dan kalikan semua yg ada.

• Krn kita mengabaikan suku-suku perkalian dua perturbasi, setiap suku spt itu dpt ditiadakan.

Metoda Perturbasi digunakan pd Persamaan Momentum U

• Dg menggunakan metoda perturbasi ke persamaan momentum u diperoleh:

)'()'(

)'(

1

)'()'(

)'()'(

)'()'(

)'(

vvfx

pp

z

uuww

y

uuvv

x

uuuu

t

uu

Kita dpt menyederhanakan persamaan ini dg mengenalibhw variabel-variabel keadaan dasar adalah tdk terikat dg waktu, dan bhw hanya variabel keadaan dasar tekanan dan densitas yg merupakan fungsi dari z.

• Juga, kita mengasumsikan bhw kecepatan vertikal keadaan dasar adalah nol.

• Dg demikian persamaan menjadi

)'()'(

)'(

1

''

')'(

')'(

'

vvfx

pp

z

uw

y

uvv

x

uuu

t

u

• Krn kuantitas perturbasi adalah sangat kecil, kita dpt mengabaikan perkalian dari kuantitas perturbasi. Hal ini akan menyederhanakan persamaan menjadi

)'()'(

)'(

1'''vvf

x

pp

y

uv

x

uu

t

u

Kita juga dpt mengabaikan perturbasi dari densitas dlm suku gradien tekanan horizontal (serupa dg pendekatan Boussinesq), utk mendapatkan

''11'''

fvvfx

p

x

p

y

uv

x

uu

t

u

• Akhirnya, jika kita mengasumsikan bhw keadaan dasar ada dlm keseimbangan geostropik, maka

.01

vfx

p

Shg masih tertinggal persamaan

''1'''fv

x

p

y

uv

x

uu

t

u

Ini merupakan bentuk terlinearisasi atau bentuk perturbasi dari persamaan momentum u.Linearisasi utk persamaan momentum v berlangsung dg cara yg sama.

Linearisasi Persamaan Momentum w

• Persamaan momentum w sedikit lebih rumit, krn kita tdk dpt mengabaikan perturbasi densitas dlm suku gradien tekanan vertikal spt yg kita lakukan dlm suku gradien tekanan horizontal dari persamaan momentum u.

• Maka setelah mensubsitusikan variabel-variabel keadaan dasar dan perturbasi ke dlm persamaan momentum w, kita peroleh

.)'(

)'(

1'''g

z

pp

y

wv

x

wu

t

w

• Aturan aljabar memberitahu kita bhw jika a << 1, maka

aa

11

1

Dg aturan ini kita dpt menulis

'

11

)/'1(

1

'

1

• Gunakan ini, ruas kanan persamaan momentum w menjadi

gz

p

z

p

z

p

z

p

gppz

gppz

''''1

'1'1

''

1

dan krn kita dpt mengabaikan perkalian suku perturbasi, ini menyederhanakan ke

.''1

gz

p

z

p

z

p

• Jika keadaan dasar berada dlm keseimbangan hisrostatik, maka

gz

p

Substitusikan ini ke persamaan di atas, menghasilkan

z

pgg

z

pgg

'1''

)()('1

maka persamaan momentum w terlinearisasi adalah

.''1'''g

z

p

y

wv

x

wu

t

w

•Perhatikan bhw apa yg telah kita lakukan adalah menggunakan densitas keadaan dasar dimana-mana kecuali dlm suku buoyancy (suku yg melibatkan g), dimana kita menggunakan densitas perturbasi. •Ini pd hakekatnya pendekatan Boussinesq, perbedaannya adalah bhw densitas referensi diperbolehkan bervariasi dlm ruang, akan tetapi dlm pendekatan Boussinesq densitas referensi diasumsikan sbg konstan yg sebenarnya.

Bentuk Akhir dari Persamaan Perturbasi

• Jika kita mengasumsikan bhw keadaan dasar berada dlm keseimbangan geostropik dan keseimbangan hidrostatik, dan bhw densitas keadaan dasar adalah fungsi z saja, persamaan momentum dan kontinuitas terlinearisasi adalah

z

w

y

v

x

u

zw

yv

xu

t

gz

p

y

wv

x

wu

t

w

fuy

p

y

vv

x

vu

t

v

fvx

p

y

uv

x

uu

t

u

''''

'''

''1'''

''1'''

''1'''

Metoda Umum Mendapatkan Hubungan Dispersi

• Ada metoda umum utk mendapatkan hubungan dispersi bagi gelombang yg didukung oleh satu set persamaan terlinearisasi. Metoda ini paling baik bila diilustrasikan dg contoh.

• Kita akan menggunakan persamaan air dangkal 1 dimensi terlinearisasi yg ditentukan oleh

x

uH

t

hx

hg

t

u

''

''

Sbg contoh kita (di sini, g adalah percepatan krn gravitas), dan kedalaman fluida, h ditentukan oleh

'hHh Persamaan tsb mendukung gelombang gravitas air dangkal.

• Persamaan tsb mendukung gelombang gravitas air dangkal dg tahapan sbb.1. Tahap 1 adalah mengasumsikan seluruh variabel terikat

mempunyai bentuk sinusoidal.

)(

)(

'

'tkxi

tkxi

Beh

Aeu

2. Tahap 2 adalah memasukkan bentuk variabel terikat yg diasumsikan ke dlm persamaan yg berkuasa terlinearisasi. Dlm kasus kita hal tsb menghasilkan dua persamaan aljabar dlm A dan B.

0

0

BkHA

kgBA

3. Tahap 3 adalah menulis persamaan tsb dlm bentuk matriks

0

0

B

A

kH

kg

Agar dua persamaan tsb menjadi tak terikat linear (yaitu tdk mempunyai solusi trivial dari A=B=0, determinan dari matriks koefisien harus sama dg nol

0

kH

kg

4. Tahap 4 adalah mencari determinan dari matriks koefisien dan selesaikan utk . Dlm kasus kita, ini menjadi

gHk

gHk

022

dg kecepatan fase

gHk

c

dan kecepatan grup

gHk

cg

(Perhatikan bhw krn kecepatan fase tdk tergantung pd k maka gelombang tsb adalah nondispersif, juga jelas krn kecepatan fase dan kecepatan grup adalah sama). Ini merupakan metoda standar dlm menentukan hubungan dispersi utk satu set persamaan, dan akan digunakan ke persamaan yg lebih kompleks.

Latihan

1. Asumsikan bhw semua variabel keadaan dasar adalah konstan kecuali utk densitas, yg merupakan fungsi ketinggian saja. Juga asumsikan kecepatan vertikal keadaan dasar adalah nol. Tunjukkan bhw persamaan kontinuitas terlinearisasi adalah

.'''

''''

z

w

y

v

x

u

zw

yv

xu

t

2. Tunjukkan bhw jika sebuah fluida adalah inkompresibel maka persamaan kontinuitas terlinearisasi adalah hanya

.0'''

z

w

y

v

x

u

3. a. Cari hubungan dispersi utk gelombang yg didukung oleh persamaan dangkal dg aliran rata-rata,

x

uH

x

hu

t

hx

hg

x

uu

t

u

'''

'''

dan tunjukkan bhw hubungan dispersi tsb adalah

gHkuk

b. Bagaimana kecepatan fase dan kecepatan grup dari gelombang tsb? c. Apakah gelombang tsb dispersif? d. Bagaimana kecepatan fase dan kecepatan grup dari gelombang tsb dibandingkan dg gelombang gravitas air dangkal tanpa aliran rata-rata?