linear algebra

66
Vektor BAB I V E K T O R 1.1 Pengertian Banyak kuantitas fisik, seperti luas, panjang, massa dan temperatur, dapat dijelaskan secara lengkap apabila besaran kuantitas tersebut telah diberikan. Kuantitas seperti ini dinamakan skalar. Kualitas fisik lainnya disebut vektor, penjelasannya tidak begitu lengkap sehingga baik besarannya maupun arahnya dapat dispesifikasikan. Sebagai contoh, angin yang bergerak pada umumnya digambarkan dengan memberikan kecepatan dan arahnya, misalnya mendekati 20 mil / jam. Vektor-vektor dapat dinyatakan secara geometris sebagai segmen – segmen garis terarah ataupun panah-panah di ruang-2 atau ruang-3; arah panah menentukan arah vektor dan panjang panah menyatakan besarnya. Ekor panah disebut titik awal (initial point) dari vektor, dan ujung panah dinamakan titik terminal (terminal point). 1 B A (a) (b)

Upload: ariefnuryuliarto

Post on 25-Jun-2015

233 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: Linear Algebra

Vektor

BAB IV E K T O R

1.1 Pengertian

Banyak kuantitas fisik, seperti luas, panjang, massa dan temperatur,

dapat dijelaskan secara lengkap apabila besaran kuantitas tersebut telah

diberikan. Kuantitas seperti ini dinamakan skalar. Kualitas fisik lainnya disebut

vektor, penjelasannya tidak begitu lengkap sehingga baik besarannya maupun

arahnya dapat dispesifikasikan. Sebagai contoh, angin yang bergerak pada

umumnya digambarkan dengan memberikan kecepatan dan arahnya, misalnya

mendekati 20 mil / jam.

Vektor-vektor dapat dinyatakan secara geometris sebagai segmen –

segmen garis terarah ataupun panah-panah di ruang-2 atau ruang-3; arah panah

menentukan arah vektor dan panjang panah menyatakan besarnya. Ekor panah

disebut titik awal (initial point) dari vektor, dan ujung panah dinamakan titik

terminal (terminal point).

Gambar 1.1

Pada gambar 1.1a, titik awal vector v adalah A da titik terminalnya adalah B,

maka dituliskan v =

1

B

A (a) (b)

Page 2: Linear Algebra

Pendahuluan

Vektor – vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama, seperti pada

gambar 3.1b disebut ekivalen.

Untuk menuliskan panjang vektor v digunakan notasi |v|

1.2 Operasi – operasi pada vector

a. Penjumlahan Vektor

Ada 2 metode yang dapat digunakan untuk menjumlahkan 2 buah vektor

a.1 Metode Jajaran Genjang

Gambar 1.2

Vektor hasil (resultant) yaitu a + b diperoleh dari diagonal jajaran

genjang yang dibentuk oleh vektor a dan b setelah titik awal dan

titik akhir ditempatkan berimpit.

a.2 Metode Segitiga

Gambar 1.3

a

b

a+b

a+b

a

b

a+b

a

b

Page 3: Linear Algebra

Pendahuluan

Resultan diperoleh dengan menempatkan titik awal salah satu vektor

pada titik ujung vektor yang lain, maka resultannya adalah vektor

bertitik awal di titik awal a dan bertitik ujung di titik ujung b

Catatan :

1. Penjumlahan vektor bersifat komutatif, a + b = b + a

2. Metode Segitiga baik sekali digunakan untuk menjumlahkan lebih

dari 2 vektor. Misalnya a + b + c + d + e , maka resultannya

adalah vektor dengan titik awal di titik awal vektor a dan bertitik

ujung di titik ujung vektor e

3. Pengurangan vektor a dan b adalah a – b = a + (-b)

b. Perkalian Skalar

Jika k adalah suatu skalar bilangan riil, a suatu vektor, maka perkalian

skalar ka menghasilkan suatu vektor yang panjangnya |k| kali panjang a

dan arahnya sama dengan arah a bila k positif atau berlawanan arah bila k

negatif. Bila k = 0 maka ka =0 disebut vektor nol, yaitu vektor yang titik

awal dan titik ujungnya berimpit.

Gambar 1.4

a

2a -2a

Page 4: Linear Algebra

Pendahuluan

1.3 Susunan Koordinat Ruang-n

a. Ruang dimensi satu (R1)

Gambar 1.5

Titik O mewakili bilangan nol, titik E mewakili bilangan 1. Ditulis O(0), E(1),

P( ) artinya P mewkili bilangan dan kita letakkan P sehingga OP =

satuan ke arah E (arah positif).

b. Ruang dimensi dua (R2)

Setiap pasangan bilangan riil (koordinat titik) dapat diwakili oleh sebuah

titik pada suatu bidang rata, yang membentuk susunan koordinat di dalam

ruang dimensi dua, ditulis R2.

Gambar 1.6

Page 5: Linear Algebra

Pendahuluan

c. Ruang dimensi tiga (R3)

Gambar 1.7

d. Ruang dimensi n (Rn)

Secara umum untuk Rn dimana n adalah bilangan bulat positif, suatu titik di

dalam Rn dinyatakan sebagai n-tupel bilangan riil. Misalnya titik X(x1,

x2, ...,xn)

1.4 Vektor di dalam Ruang Rn

Lebih dahulu kita pandang suatu susunan koordinat di R2. Suatu vektor

disebut satuan bila panjangnya = 1.

Kita ambil sekarang vektor satuan :

Page 6: Linear Algebra

Pendahuluan

e1 = OE1 yang titik awalnya O(0,0) dan titik ujungnya adalah E1(1,0)

e2 = OE2 yang titik awalnya O(0,0) dan titik ujungnya adalah E2(0,1)

Kemudian kita tulis e1 = 1e1 + 0 e2

e2 = 0e1 + 1 e2

Yang selanjutnya penulisan itu disingkat dengan

e1 = [1,0]

e2 = [0,1]

Sekarang pandang vektor a yang titik awalnya O(0,0) dan titik ujungnya titik

A(a1, a2). Vektor a disebut vektor posisi dari titik A.

Gambar 1.8

Bilangan – bilangan a1, a2 disebut komponen – komponen dari a

Panjang vektor a adalah

Secara umum untuk vektor p yang titik awalnya P(p1, p2) dan titik ujungnya di Q(q1, q2) :

PQ = (q1 – p1) e1 + (q2 – p2) e2

= [(q1 – p1), (q2 – p2)]

Kesimpulan (untuk Rn):

1. Vektor posisi dari titik A(a1, a2, …, an) adalah OA = [a1, a2, …, an]

Page 7: Linear Algebra

Pendahuluan

2. Vektor bertitik awal di P(p1, p2, …, pn) dan bertitik ujung di Q(q1, q2, …,

qn) adalah PQ = [q1 – p1, q2 – p2, … , qn – pn ]

3. Panjang vektor a = [a1, a2, …, an] adalah |a| =

Jarak 2 titik P(p1, p2, …, pn) dan Q(q1, q2, …, qn) adalah panjang vektor

PQ yaitu :

|PQ| =

4. Vektor – vektor satuan dari susunan koordinat adalah e1 = [1,0,0,…,0], e2 = [0,1,0,…,0], e3 = [0,0,1,0…,0], dst.

Latihan :

1. Carilah komponen – komponen vektor yang bertitik awal di P dan terminal di Qa. P(3,5) dan Q(2,8) b. P(6,5,8) dan Q(8, -7, -3)

2. Carilah vektor yang bertitik awal P(2, -1, 4) yang mempunyai arah seperti v = [7, 6, -3]

3. Carilah vektor yang bertitik terminal Q(2, 0, -7) yang mempunyai arah berlawanan dengan v = [-2, 4, -1]

4. Misalkan P adalah titik (2, 3, -2) dan Q adalah titik (7, -4, 1)a. Carilah titik tengah dari segmen garis yang menghubungkan P dan Q

b. Carilah titik pada segmen garis yang menghubungkan P dan Q yang

dari P ke Q.

5. Hitunglah panjang v bila a. v = [3, 4] b. v = [-8, 7, 4]

6. Hitunglah jarak antara P dan Q bilaa. P(2,3) dan Q(7,8) b. P(1, 1, 1) dan Q(6, -7, 3)

Page 8: Linear Algebra

Pendahuluan

1.5 Beberapa Dalil pada Operasi Vektor

Untuk setiap vektor a = [a1, a2, a3,. . ., an] , b = [b1, b2, b3, . . . , bn] , c=[c1, c2,

c3, . . ., cn] Rn, dan m, k adalah skalar – skalar, maka berlaku :

(1). a + b = b + a

(2). (a + b) + c = a + (b + c)

(3). k(a + b) = ka + kb

(4). a + 0 = a

(5). a + (-a) = 0

(6). (k + m)a = ka + ma

(7). (km)a = k(ma) = m(ka)

1.6 Dot Product (Hasil Kali Titik)

Definisi

Bila v dan w adalah vektor, dan adalah sudut antara v dan w (0 )

Maka hasil kali titik (dot product) v. w didefinisikan dengan :

v.w =

Gambar 1.9

z

x

y

P(v1, v2, v3)

Q(w1, w2, w3)

Page 9: Linear Algebra

Pendahuluan

Perhatikan gambar 1.9 di atas. Jika v =(v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3) adalah 2

vektor tak nol. Dan adalah sudut antara v dan w , maka hokum cosinus

menghasilkan :

| |2 = |v|2 + |w|2 – 2|v||w| cos …………………………………………..(1.2)

Karena = w – v maka dapat (1.2) dapat dituliskan kembali sebagai :

2|v||w| cos = |v|2 + |w|2 - |w – v|2

|v||w| cos = (|v|2 + |w|2 - |w – v|2)

Atau

v . w = (|v|2 + |w|2 - |w – v|2)

Dengan mensubstitusikan

|v|2 = + + dan |w|2 = + +

dan

|w – v|2 = + +

Maka setelah disederhanakan akan diperoleh :

v. w = v1w1 + v2w2 + v3w3

Jika v dan w bukan vektor nol, maka persamaan (1.1) dapat ditulis dengan

Cos =

Contoh 1.1

Diketahui vektor v = (2, -1, 1) dan w=(1, 1, 2)

Carilah v.w dan tentukan sudut antara v dan w.

Jawab :

Page 10: Linear Algebra

Pendahuluan

v. w = (2).(1) + (-1).(1) + (1)(2) = 2 – 1 + 2 = 3

|v| = =

|w| = =

Jadi Cos = = , maka sudut antara v dan w adalah 60o

1.7 Cross Product (Hasil Kali Silang)

Dalam banyak penerapan vektor pada bidang geometri, fisika, dan teknik, kita

perlu membentuk vektor di ruang-3 yang tegak lurus dengan 2 vektor lain yang

diberikan.

Definisi

Jika v =(v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3) adalah vektor – vektor di Ruang-3, maka

hasil kali silang (cross product) v x w adalah vektor yang didefinisikan oleh

v x w = (v2w3 – v3w2, v3w1 – v1w3, v1w2 – v2w1)

atau dalam notasi determinan

v x w =

Contoh 1.2

Carilah u x v dimana u = (1, 2, -2) dan v=(3, 0, 1)

Jawab :

Page 11: Linear Algebra

Pendahuluan

u x v =

=

Teorema

Jika v dan w adalah vector dalam Ruang-3, maka

1. v. (v x w) = 0

2. v. (v x w) = 0

3. |v x w|2 = |v|2 |w|2 – (v.w)2 (Identitas Lagrange)

Jika adalah sudut di antara v dan w , maka v.w = |v| |w| cos , sehingga

Identitas Lagrange dapat dituliskan kembali sebagai :

|v x w|2 = |v|2 |w|2 – (v.w)2

= |v|2 |w|2 - (|v| |w| cos )2

= |v|2 |w|2 - |v|2 |w|2 cos2

= |v|2 |w|2 (1 - cos2 )

= |v|2 |w|2 sin2

Jadi

|v x w| = |v| |w| sin

Jadi luas A dari jajaran genjang di atas diberikan oleh

A = |v| |w| sin = |v x w|

|w| sin

|w|

|v|

v

Page 12: Linear Algebra

Pendahuluan

1.8 Persamaan Garis LUrus dan Bidang Rata

a. Garis Lurus

Gambar 1.6

Misalkan titik A(a1, a2, a3) dan B(b1, b2, b3)

Maka = [a1, a2, a3] dan = [b1, b2, b3] dan = [b1- a1, b2-a2, b3-a3]

Untuk setiap titik sebarang pada g berlaku AX = AB.

Jelas = +

= +

Atau

[x1, x2, x3] = [a1, a2, a3] + [b1- a1, b2-a2, b3-a3] ……………………………………

(1.3)

Persamaan (1.3) di atas disebut persamaan vektoris garis lurus yang melalui 2

titik A(a1, a2, a3) dan B(b1, b2, b3).

Vektor (atau vektor lain yang terletak pada g, dengan kata lain, kelipatan dari

) disebut vector arah garis lurus tersebut.

A

B

X

g

O

Page 13: Linear Algebra

Pendahuluan

Jadi bila garis lurus melalui titik A(a1, a2, a3) dengan vector arah = [a, b, c],

maka persamaannya adalah :

[x1, x2, x3] = [a1, a2, a3] + [a, b, c] ……………………………………….(1.4)

Persamaan (1.4) dapat ditulis menjadi :

x1 = a1 + b1

x2 = a2 + b2

x3 = a3 + b3

yang disebut dengan persamaan parameter garis lurus.

Kemudian bila a 0, b 0, c 0, kita eliminasikan dari persamaan parameter

di atas, diperoleh :

= = =

Merupakan persamaan linier garis lurus melalui titik A(a1, a2, a3) dengan vektor

arah [a, b, c].

b. Bidang Rata

P

Q

R

Page 14: Linear Algebra

Pendahuluan

Gambar 1.7

Misal diketahui 3 titik P(p1, p2, p3) , Q(q1, q2, q3) dan R(r1, r2, r3) pada sebuah

bidang rata seperti di atas.

Maka = [q1-p1, q2-p2, q3-p3]

= [r1-p1, r2-p2, r3-p3]

Untuk setiap titik pada bidang, berlaku = +

Jelas dari gambar = +

= + +

Atau

[x1, x2, x3] = [p1, p2, p3] + [q1-p1, q2-p2, q3-p3] + [r1-p1, r2-p2, r3-p3]

Adalah persamaan vektoris bidang yang melalui 3 titik. Kedua vektor dan

adalah vektor arah bidang.

Latihan :

1. Tentukan :a. a . b bila a = [2, -3, 6] dan b = [8, 2, -3]b. Jarak A(2, 4, 0) , B(-1, -2, 1)c. Jarak vektor a = [ 1, 7] dan b = [6, -5]

2. a. Tentukan k supaya a = [1, k, -2, 5] mempunyai panjang b. Berapa sudut antara a = [1, 2, 3, 4] dan b = [0, 0, 1, 1]c. Tentukan k supaya a = [1, k, -3] tegak lurus b = [4, -k, 1]

3. Carilah u. v untuk a. u = [-3, 1, 2] dan v = [4, 2, -5]b. u = [ 1, 2] dan v = [6, -8]

O

Page 15: Linear Algebra

Pendahuluan

4. Carilah sudut antara u dan v pada soal (3)

5. Misalkan u = [2, -1, 3] , v = [0, 1, 7] dan w = [1, 4, 5], hitunglaha. v x w b. u x (v x w) c. (u x v) x wd. (u x v) x (v x w) d. u x (v – 2w) f. (u x v) – 2w

6. a. Tentukan persamaan vektoris dari garis lurus x1 – 3 = x2 – 4 = -x3 + 2 = 3x4 +2

b. Tentukan persamaan bidang rata yang melalui (1,1,1) dan garis lurus g : [x1, x2, x3] = [1, 2,1] + [1, 0, 2]

c. Tentukan persamaan bidang rata yang melalui garis lurus g : [x, y, z] = [1, 2, 3] + [4, 5, 6] serta sejajar dengan garis lurus h :

[x, y, z] = [7, 8, 10] + [1, 2, 31]

Page 16: Linear Algebra

Pendahuluan

BAB IIRUANG VEKTOR

2.1 Ruang Vektor Umum

Definisi

Misalkan V sebarang himpunan benda yang dua operasinya kita definisikan yaitu

penjumlahan dan perkalian dengan skalar (bilangan riil). Penjumlahan tersebut

kita pahami untuk mengasosiasikan sebuah aturan dengan setiap pasang benda

u dan v dalam V, yang mengandung elemen u + v, yang kita namakan jumlah u

dan v, dengan perkalian skalar kita artikan setiap benda u pada V yang

mengandung elemen ku, yang dinamakan perkalian skalar u oleh k. Jika semua

aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, w pada V dan oleh semua

skalar k dan l, maka kita namakan V sebuah ruang vektor dan benda – benda

pada V kita namakan vektor :

(1). Jika u dan v adalah benda – benda pada V kita namakan vektor

(2). u + v = v + u

(3). u + (v + w) = (u + v) + w

(4). Ada vektor 0 di V sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u di V

(5). Untuk setiap u di V, terdapat –u sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0

(6). Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor di V, maka ku

berada di V

(7). k(u + v )= ku + kv

(8). (k + l)u = ku + lu

(9). k(lu) = l(ku)

(10). 1u = u

Page 17: Linear Algebra

Pendahuluan

2.2 SubRuang (subspace)

Definisi

Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V disebut sub ruang (subspace) V jika

W itu sendiri adalah ruang vektor di bawah penjumlahan dan perkalian skalar

yang didefinisikan pada V.

2.3 Vektor yang Bebas Linier dan Tak Bebas Linier

Definisi

Himpunan m buah vektor (u1, u2, … um) disebut tak bebas linier (linearly

dependent) bila terdapat skalar – skalar 1, 2, …, m yang tidak semuanya nol

sedemikian hingga (u1, u2, … um)

Sebaliknya himpunan (u1, u2, … um) disebut bebas linier (linearly independent)

jika 1 u1 + 2 u2 + …+ m um = 0 hanya dipenuhi oleh 1= 2 = …= m = 0.

Catatan :

1. Jika m=1, maka :

a. Bila u = 0 (vektor nol), akan tak bebas linier, karena u = 0

0 = 0 terpenuhi juga untuk 0

b. Bila 0, akan bebas linier karena u=0 hanya dipenuhi oleh =0

2. Jika dalam himpunan terdapat vektor 0, misalnya {u1, u2,…,0, … um)

maka himpunan itu tak bebas linier,

1 u1 + 2 u2 + … + i 0+ … + m um = 0 dipenuhi juga oleh I 0

3. JIka u dan v adalah 2 vektor yang berkelipatan, u = v, maka mereka

tak bebas linier. Sebab u = v 1u - v = 0, artinya terdapat 0

pada 1 v + 2 u = 0

Page 18: Linear Algebra

Pendahuluan

2.4 Kombinasi Linier

Definisi

Suatu vektor v dikatakan kombinasi linier dari vektor – vektor (u1, u2, … um) bila

terdapat skalar – skalar 1, 2, …, m sedemikian hingga v = 1 u1 + 2 u2 + …+ m

um.

Contoh 2.1

a = [2, 1, 2], b = [1, 0, 3], c = [3, 1, 5]

Kita hendak menyatakan a sebagai kombinasi linier dari b dan c

Kita hitung 1, dan 2 yang memenuhi [2, 1, 2] = 1 [1, 0, 3] + 2 [3, 1, 5]

2 = 1 + 3 2

1 = 2

2 = 3 1 + 5 2

Dengan substitusi, diperoleh 1 = -1 dan 2 = 1

Jadi penulisan yang diminta adalah a = -b + c

2.5 Arti Kombinasi Linier Secara Ilmu Ukur

(1). Kalau v kombinasi linier dari suatu vektor u, yaitu v = u yang mana v

adalah kelipatan dari u dengan garis pembawanya sama (atau sejajar), v

dan u disebut koliner (segaris).

(2). v kombinasi linier dari 2 vektor u1 dan u2, yaitu v = 1u1 + 2u2 maka v

adalah diagonal jajaran genjang yang sisi – sisinya 1u1 dan 2u2 . u1

dan u2 disebut koplanar (sebidang).

(3) v kombinasi linier dari 3 vektor u1 , u2 dan u3, yang tidak sebidang, yaitu

v = 1u1 + 2u2 + 3u3 maka v adalah diagonal paralelepipedum yang

sisi – sisinya 1u1, 2u2 dan 3u3.

Page 19: Linear Algebra

Pendahuluan

2.6 Dimensi dan Basis

Definisi

Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S = {v1, v2, …, vr} merupakan himpunan

berhingga dari vektor – vektor pada S, maka S disebut basis untuk V jika : (i).

S bebas linier

(ii) S merentang V

Definisi

Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai

banyaknya vektor pada basis untuk V.

Contoh 2.2

Tentukan dimensi dari ruang vektor yang dibentuk oleh :

(i). p = [1, -2, 3, 1] dan q = [2, -4, 5, 2]

(ii). u = [5, 7, 11, 4] dan v = [10, 14, 22, 8]

Jawab :

(i). Kedua vektor pembentuk tidak berkelipatan, jadi sistem pembentuk bebas

linier. Berarti dimensi = 2

(ii). Kedua vektor berkelipatan. Vektor u maupun v 0, jadi keduanya

merupakan sistem pembentuk yang bebas linier. Berarti dimensi = 1

Page 20: Linear Algebra

Pendahuluan

Latihan:

1. Tentukan dimensi dan basis dari ruang vektor yang dibentuk oleh :

(i). a = [1, 1, 2], b= [1, 2, 5] , c = [5, 3, 4]

(ii). p = [1, 2, 2], q = [2, 4, 4] , r = [1, 0, 1]

(iii) u = [1, 0, 1], v = [3, 0, 3] , w = [2, 0, 2]

2. Apakah himpunan – himpunan vektor ini merupakan basis R-3 ?

(i). [1, 1, 1] , [1, -2, 3]

(ii). [1, 0, 0], [1, 1, 0], [1, 1, 1]

(iii). [1, 1, 2], [1, 2, 5], [5, 3, 4]

3. Diketahui L dibentuk oleh p = [1, 3, 1], q= [2, 1, 0], dan r = [ 4, x-2, 2]

Ditanya :

(i) Nilai x supaya L berdimensi 2

(ii) Nilai y supaya vektor a = [3, 2-y, 4] L{p,q,r}

(iii) Koordinat a di atas relative terhadap basis {p,q}

Page 21: Linear Algebra

Pendahuluan

BAB IIIM A T R I K

3.1 Pengertian

Matrik adalah himpunan skalar yang disusun secara empat persegi panjang

(menurut baris dan kolom)

Skalar – skalar itu disebut elemen matrik. Untuk batasnya biasanya digunakan:

( ), [ ], || ||

3.2 Notasi Matrik

Matrik diberi nama dengan huruf besar. Secara lengkap ditulis matrik

A=(aij), artinya suatu matrik A yang elemen – elemennya adalah aij dimana index

i menunjukkan baris ke-i dan indeks ke–j menunjukkan kolom ke–j .

Sehingga bila matrik disusun secara A(mxn) = (aij), mxn disebut ordo (ukuran)

dari matrik A.

3.3 Operasi pada Matrik

1. Penjumlahan matrik

Syarat : ukuran matrik harus sama.

Jika A = (aij) dan B = (bij), matrik berukuran sama, maka A + B adalah suatu

matrik C = (cij) dimana cij = aij + bij untuk setiap I dan j

2. Perkalian skalar terhadap matrik

Page 22: Linear Algebra

Pendahuluan

Kalau suatu skalar (bilangan) dan A = (aij), maka matrik A = (aij), dengan

kata lain, matrik A diperoleh dengan mengalikan semua elemen matrik A

dengan .

Hukum pada penjumlahan dan perkalian scalar :

Jika A, B, C adalah matrik berukuran sama, dan adalah skalar maka :

1. A + B = B + A (komutatif)

2. (A + B) + C = A + (B+C) (asosiatif)

3. (A + B) = A + B (distributif)

4. Selalu ada matrik D sedemikian hingga A + D = B

3. Perkalian matrik

Pada umumnya matrik tidak komutatif terhadap operasi perkalian : AB BA.

Pada perkalian matrik AB, matrik A disebut matrik pertama dan B matrik

kedua.

Syarat : Jumlah kolom matrik pertama = jumlah baris matrik kedua

Definisi :

Pandang A = (aij) berukuran (p x q) dan B = (bij) berukuran (q x r). Maka

perkalian AB adalah suatu matrik C = (cij) berukuran (p x r) dimana :

cij = ai1 b1j + ai2 b2j + … + aiq bqj, untuk setiap i = 1,2,…,p dan j = 1,2, … r

Page 23: Linear Algebra

Pendahuluan

Hukum pada perkalian matrik :

1. A(B + C) = AB + AC, dan (B + C) A = BA + CA, memenuhi hukum

distributif

2. A(BC) = (AB)C , memenuhi hukum asosiatif

3. Perkalian tidak komutatif, AB BA

4. Jika AB = 0 (matrik 0 ) , yaitu matrik yang semua elemennya adalah =

0, kemungkinan kemungkinannya adalah :

(i). A = 0 dan B = 0

(ii) A = 0 atau B = 0

(iii) A 0 dan B 0

5. Bila AB = AC belum tentu B = C

4. Transpose dari suatu matrik

Pandang suatu matrik A = (aij) berukuran (m x n) maka transpose dari A

adalah matrik AT berukuran (n x m) yang didapatkan dari A dengan

menuliskan baris ke – i dari A, i = 1,2,…,m sebagai kolom ke –i dari AT.

Dengan kata lain : AT = (aji)

Sifat – sifat matrik transpose

1. (A + B)T = AT + BT

2. (AT)T = A

3. (AT) = (A)T

4. (AB)T = BT AT

3.4 Beberapa Jenis matrik Khusus

Page 24: Linear Algebra

Pendahuluan

1. Matrik bujursangkar

adalah matrik dengan jumlah baris = jumlah kolom, sehingga

disebut berordo n.

Barisan elemen a11, a22, … ann disebut diagonal utama dari matrik

bujursangkar A

2. Matrik nol

adalah matrik yang semua elemennya adalah 0

3. Matrik diagonal

matrik bujursangkar yang semua elemen di luar diagonal utamanya

0.

4. Matrik identitas

adalah matrik diagonal yang elemen – elemen diagonal utama

adalah 1.

5. Matrik skalar

adalah matrik diagonal dengan semua elemen diagonal

utamanyanya = k

6. Matrik segitiga bawah (lower triangular)

adalah matrik bujursangkar yang semua elemen di atas diagonal

utama = 0.

7. Matrik segitiga atas (upper triangular)

adalah matrik bujursangkar yang semua elemen di bawah diagonal

utama = 0.

8. Matrik simetris

adalah matrik yang transposenya sama dengan dirinya sendiri.

9. Matrik anti simetris

adalah matrik yang transposenya adalah negatifnya.

Page 25: Linear Algebra

Pendahuluan

.

10. Matrik hermitian

adalah matrik yang bila transpose hermitiannya adalah sama

dengan dirinya sendiri.

11. Matrik idempoten, nilpotent

Bila berlaku A.A = A2 = A, maka A dikatakan matrik idempoten.

Bila Ar = 0, maka A nilpotent dengan index r (dimana r adalah

bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi hubungan tersebut)

3.5 Transformasi (Operasi) elementer pada baris dan kolom suatu matrik

Yang dimaksud dengan transformasi elementer pada baris dan kolom suatu

matrik A adalah sebagai berikut :

1a. Penukaran tempat baris ke – i dan baris ke – j ditulis H (A)

b. Penukaran tempat kolom ke – i dan kolom ke – j ditulis K (A)

2a Mengalikan baris ke – i dengan skalar 0 , ditulis H (A)

b. Mengalikan kolom ke – j dengan skalar 0 , ditulis K (A)

3a. Menambah baris ke – i dengan kali baris ke – j ditulis Hij()(A)

b. Menambah kolom ke – i dengan kali kolom ke – j ditulis Kij()(A)

Misalnya kita telah mengetahui matrik B sebagai hasil transformasi elementer

dari A. Kita dapat mencari A, disebut invers dari transformasi elementer tersebut.

Matrik ekivalen

Dua matrik A dan B dikatakan ekivalen (A~B) apabila salah satunya dapat

diperoleh dari yang lin dengan transformasi – transformasi elementer terhadap

Page 26: Linear Algebra

Pendahuluan

baris dan atau kolom. Jika transformasi elementernya pada baris saja, maka

dikatakan ekivalen baris. Begitu juga dengan kolom.

Matrik Elementer

Sebuah matrik n x n disebut matrik elementer jika matrik tersebut dapat

diperoleh dari matrik identitas n x n yaitu In dengan melakukan sebuah operasi

baris elementer tunggal.

3.6 Mencari solusi dengan menggunakan eliminasi Gauss Jordan

Misal diketahui matrik A adalah matrik bujursangkar. Dan X adalah pemecahan

bagi AX = 0 dimana AX = 0 adalah bentuk matrik dari sistem :

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0

.

.

.

an1x1 + an2x2 + … + annxn = 0

Jika kita memecahkannya dengan menggunakan eliminasi Gauss Jordan, maka

sistem persamaan yang bersesuaian dengan bentuk eselon baris tereduksi dari

matrik yang diperbesar akan menjadi :

x1 = 0

x2 = 0

.

.

xn = 0

Page 27: Linear Algebra

Pendahuluan

dan matrik yang diperbesar tersebut adalah :

3.7 Mencari invers matrik

Contoh 3.1:

Cari invers matrik A =

Jawab :

Pada akhir operasi , matrik dibentuk menjadi [I |A-1] dari bentuk asal [A | I]

dengan operasi elementer H dan H menjadi

dengan operasi elementer H menjadi

Page 28: Linear Algebra

Pendahuluan

dengan operasi elementer H menjadi

dengan operasi elementer H dan H menjadi

dengan operasi elementer H menjadi

Jadi invers dari matrik A adalah

LATIHAN:

1. Carilah 3A2 + 2A – 3I2, bila A =

Page 29: Linear Algebra

Pendahuluan

2. Tunjukkan bahwa A adalah matrik idempoten, A =

3. Carilah invers dari A =

4. Diketahui A = , matrik B dihasilkan dari sederetan

transformasi elementer H ,H , H , K , K terhadap A. Carilah

B tersebut.

5. Tentukan transpose hermitian dari :

Q =

6. Cari solusi dari persamaan linier berikut ini :

x1 + 2x2 + 3x3 = 5

2x1 + 5x2 + 3x3 = 3

x1 + + 8x3 = 17

7. Pecahkan persamaan matrik untuk X dalam masing – masing bagian

berikut :

a. X =

Page 30: Linear Algebra

Pendahuluan

b. X =

Page 31: Linear Algebra

Pendahuluan

BAB IVD E T E R M I N A N

4.1 Pengertian

Setiap matrik bujursangkar A selalu dikaitkan dengan suatu sknlar yang

disebut Determinan. Sebelum mulai dengan yang lebih umum, kita ambil

dahulu matrik A(2x2) sebagai berikut :

Didefinisikan ; det(A) = = ad -bc

Contoh :

A = maka det(A) = 1.5 – 3.5 = 5 – 15 = -10

4.2 PERMUTASI

Definisi :

Permutasi himpunan bilangan – bilangan bulat {1,2,3 …,n} adalah

susunan bilangan – bilangan bulat ini menurut suatu aturan tanpa

menghilangkan atau mengulangi bilangan – bilangan tersebut.

Contoh 4.1:

Page 32: Linear Algebra

Pendahuluan

Ada 6 permutasi yang berbeda dari himpunan {1,2,3} yaitu {1,2,3}, {1,3,2},

{2,1,3}, {2,3,1}, {3,2,1}, {3,1,2}

Banyaknya permutasi dapat dihitung dengan factorial. Untuk contoh soal diatas

3! = 1.2.3 = 6

Definisi Invers pada suatu permutasi (j1, j2, j3 …,jn) adalah adanya jk < ji (jk mendahului ji)

padahal ji < jk (I dan k = 1, 2, . . ., n)

Contoh 4.2:

Berapa banyak invers yang terdapat pada permutasi {2, 1, 4, 3} ?

Ada 2 invers yaitu :

1. ji = 2 mendahului jk = 1, padahal 1 < 2

2. ji = 4 mendahului jk = 3, padahal 3 < 4

4.3 DETERMINAN

Cara termudah mencari determinan dari matrik bujursangkar untuk orde yang tidak terlalu besar adalah dengan metode SARRUS .

(-) (-) (-)

(+) (+) (+)

Contoh 4.3:

= 2.1.2 + 3.2.3 + 1.2.1 – 1.1.3 – 2.2.1 – 3.2.2

= 4 + 18 + 2 – 3 – 4 – 12 = 5

4.4 SIFAT – SIFAT DETERMINAN

1. det(A) = det(AT)

2. Tanda determinan berubah jika 2 baris atau kolom ditukar tempatnya.

Page 33: Linear Algebra

Pendahuluan

3. Harga determinan menjadi kali, bila suatu baris / kolom dikalikan

dengan skalar

4.5 MENGHITUNG DETERMINAN DGN REDUKSI BARIS

Metode ini penting untuk menghindari perhitungan panjang yang terlibat dalam

penerapan definisi determinan secara langsung.

Theorema :

Jika A adalah matrik segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali elemen – elemen

pada diagonal utama, yaitu , det(A) = a11.a22.a33 .. ann

Contoh 4.4 : = (2) (-3) (6) (9) (4) = -1296

Contoh 4.5 :

Hitung det(A) dimana A =

Page 34: Linear Algebra

Pendahuluan

Jawab :

Baris I ditukar dengan baris II ( H21), sehingga menjadi = -

= - 3 H31(-2) = - 3 H32

(-10)

= - 3 = (-3) (-55) = (-3) (-55) (1) = 165

Metode reduksi baris ini sangat sesuai untuk menghitung determinan dengan

menggunakan komputer karena metode tersebut sistematis dan mudah

diprogramkan.

4.6 MINOR, EKSPANSI KOFAKTOR, & ATURAN CRAMER

Minor aij adalah determinan submatrik yang tetap setelah baris ke – i dan

kolom ke – j dicoret dari A . Dinyatakan dengan |Mij|.

Sedangkan bilangan (-1) i+j |Mij|dinyatakan oleh Cij disebut Kofaktor

Contoh 4.6 :

A = Minor dari elemen a23 = = 18 – 24 = -6

Kofaktor dari elemen a23 = (-1) (-6) = 6

Perhatikan bahwa kofaktor dan minor hanya berbeda pada tandanya, yaitu

Cij = Mij . Cara cepat untuk menentukan apakah penggunaantanda + atau

tanda – merupakan penggunaan tanda yang menghubungkan C ij dan Mij

berada dalam baris ke – i dan kolom ke – j dari susunan :

Page 35: Linear Algebra

Pendahuluan

Misalnya C11 = M11, C21 = -M21 , C44 = M44, C23 = -M23

TheoremaDeterminan matrik A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan

elemen – elemen dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor – kofaktornya

dan menambahkan hasil kali – hasil kali yang dihasilkan, yaitu setiap 1 i n

dan 1 j n , maka

det(A) = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj

(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke – j)

dan

det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin

(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke – i)

Page 36: Linear Algebra

Pendahuluan

Contoh 4.7 :

Det(A) bila A = adalah

Dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama

= 3 - 1 + 0 = (3)(-4) – (1)(-11)

= -12 + 11

= -1

Definisi :

Jika A adalah sebarang matrik n x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka matrik

disebut matrik kofaktor A.

Transpose matrik ini disebut Adjoin A dan sinyatakan dengan adj(A).

Jika A adalah matrik yang dapat dibalik, maka : A = adj(A)

Page 37: Linear Algebra

Pendahuluan

ATURAN CRAMERTheoremaJika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan

tak diketahui sehingga det(A) 0, maka system tesebut mempunyai pemecahan

unik. Pemecahan ini adalah :

x1 = , x2 = , … , xn =

dimana Aj adalah matrik yang didaptkan dengan mengantikan elemen- elemen

dalam kolom ke j dari A dengan elemen matrik B =

Contoh 4.8:

Gunakan aturan Cramer untuk memecahkan

x1 + + 2x3 = 6

-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30

-x1 - 2x2 + 3x3 = 8

Jawab :

A= ,

A1= , A2= , A3=

Maka

x1 = = = ,

Page 38: Linear Algebra

Pendahuluan

x2= = = ,

x3 = = =

Latihan

Latihan Soal :

1. Cari semua minor dan kofaktor dari A =

2. Q = , cari :

a. adj(A)

b. det(A)c. A

3. Carilah harga x,y,z,dan w yang memenuhi susunan persamaan linier berikut :

2x + 4y + 3z + 2w = 13x + 6y + 5z + 2w = 12x + 5y + 2z - 3w = 04x + 5y + 14z + 14w = 0

Page 39: Linear Algebra

Pendahuluan

BAB VTRANSFORMASI LINIER

5.1 Pengantar

DefinisiJika F:V W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W,

maka F disebut transformasi linier, jika :

(i). F(u+v) = F(u) + F(v), untuk semua vektor u dan v di V

(ii). F(ku) = kF(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k

Contoh 5.1

Misal F:R2 R3 adalah sebuah fungsi yang didefinisikan oleh :

F(v) = (x, x+y, x-y)

Jika u=(x1, y1) dan v=(x2, y2) maka u + v = (x1 + x2 , y1 + y2)

Sehingga ,

F(u + v) = (x1 + x2, [x1 + x2]+[ y1 + y2], [x1 + x2]-[ y1 + y2])

= (x1, x1 + y1, x1 - y1) + (x2, x2 + y2, x2 – y2)

= F(u) + F(v)

Demikian juga jika k adalah sebuah skalar, ku = (kx1, ky1) sehingga

F(ku) = (kx1, kx1 + ky1, kx1 - ky1)

= k(x1, x1 + y1, x1 - y1)

= k F(u)

Jadi F adalah sebuah transformasi linier

Latihan :

Tentukan apakah F linier untuk masing – masing latihan berikut :

1. F(x,y) = (2x, y)

2. F(x,y) = (2x+y, x-y)

3. F(x, y, z) = (2x+y, 3y-4z)

4. F(x,y,z) = (1, 1)

Page 40: Linear Algebra

Pendahuluan

5.2 Transformasi Linier dari Rn Rm

Misalkan e1, e2, . . . , en adalah basis baku untuk Rn dan misalkan A adalah

sebuah matrik m x n yang mempunyai T(e1), T(e2), . . . , T(en) sebagai vektor –

vektor kolomnya.

Misal jika T:R2 R2 diberikan oleh :

T =

Maka

T(e1) = T = dan T(e2) = T =

Jadi A = adalah matrik baku untuk T di atas.

5.3 Jenis – jenis Transformasi Linier bidang

1. Rotasi (Perputaran)

Matrik baku untuk T adalah :

2. Refleksi

Refleksi terhadap sebuah garis l adalah transformasi yang memetakan

masing – masing titik pada bidang ke dalam bayangan cerminnya

terhadap l

Matrik baku untuk :

Page 41: Linear Algebra

Pendahuluan

a. refleksi terhadap sumbu y ( yang mengubah menjadi )

adalah :

b. refleksi terhadap sumbu x ( yang mengubah menjadi )

adalah :

c. refleksi terhadap garis y = x ( yang mengubah menjadi )

adalah :

3. Ekspansi dan kompresi

Jika koordinat x dari masing – masing titik pada bidang dikalikan dengan

konstanta k yang positif dimana k > 1, maka efeknya adalah memperluas

gambar bidang dalam arah x. Jika 0 < k < 1 maka efeknya adalah

mengkompresi gambar bidang dalam arah x. Disebut dengan ekspansi

(kompresi) dalam arah x dengan faktor k

Matrik baku untuk transformasi ini adalah :

Demikian juga , jika koordinat y dari masing – masing titik pada bidang

dikalikan dengan konstanta k yang positif dimana k > 1, maka efeknya

adalah memperluas gambar bidang dalam arah y. Jika 0 < k < 1 maka

efeknya adalah mengkompresi gambar bidang dalam arah y. Disebut

dengan ekspansi (kompresi) dalam arah y dengan faktor k

Matrik baku untuk transformasi ini adalah :

4. Geseran

Page 42: Linear Algebra

Pendahuluan

Sebuah geseran dalam arah x dengan faktor k adalah transformasi yang

menggerakkan masing – masing titik (x,y) sejajar dengan sumbu x

sebanyak ky menuju kedudukan yang baru (x + ky, y)

Matrik baku untuk transformasi ini adalah :

Sebuah geseran dalam arah y dengan faktor k adalah transformasi yang

menggerakkan masing – masing titik (x,y) sejajar dengan sumbu y

sebanyak kx menuju kedudukan yang baru (x , y + kx)

Matrik baku untuk transformasi ini adalah :

Jika dilakukan banyak sekali transformasi matrik dari Rn ke Rm secara berturutan,

maka hasil yang sama dapat dicapai dengan transformasi matrik tunggal.

Jika transformasi - transformasi matrik

T1(x) = A1x, T2(x) = A2x, , .... , Tn(x) = Anx,

Dari Rn ke Rm dilakukan berurutan, maka hasil yang sama dapat dicapai dengan

transformasi matrik tunggal T(x) = Ax, dimana

A = Ak . . . A2 A1

Contoh 5.2a. Carilah transformasi matrik dari R2 ke R2 yang mula – mula menggeser

dengan faktor sebesar 2 dalam arah x dan kemudian merefleksikannya terhadap y = x

Page 43: Linear Algebra

Pendahuluan

b. Carilah transformasi matrik dari R2 ke R2 yang mula – mula merefleksikannya terhadap y = x dan kemudian menggeser dengan faktor sebesar 2 dalam arah x

Jawab :

a). Matrik baku untuk geseran adalah A1 =

Dan untuk refleksi terhadap y = x adalah A2 =

Jadi matrik baku untuk geseran yang diikuti dengan refleksi adalah

A2. A1 = =

b). Matrik baku untuk refleksi yang diikuti dengan geseran adalah

A1. A2 = =

Dari contoh di atas, perhatikan bahwa A2. A1 A1. A2

Jika T:R2 R2 adalah perkalian oleh sebuah matrik A yang punya invers, dan

misalkan T memetakan titik (x,y) ke titik (x’, y’), maka

= A

Dan

= A-1

Contoh 5.3

Carilah persamaan bayangan sebuah garis y = 2x + 1 yang dipetakan oleh matrik

A =

Jawab :

Page 44: Linear Algebra

Pendahuluan

=

Dan

= =

Sehingga

x = x’ – y’

y = -2x’ + 3y’

Substitusikan ke y = 2x + 1 maka dihasilkan :

-2x’ + 3y’ = 2(x’ – y’) + 1

-2x’ + 3y’ = 2x’ – 2y’ + 1

5y’ = 4x’ + 1

y’ = x’ +

Page 45: Linear Algebra

Pendahuluan

Latihan

1. Carilah matrik bakunya

a. T =

b. T =

2. Carilah matrik baku untuk transformasi linier bidang T:R2 R2 yang

memetakan titik (x,y) ke dalam :

(a). Refleksi terhadap garis y = -x

(b). Refleksi melalui titk pusat

(c). Proyeksi ortogonal pada sumbu x

(d). Proyeksi ortogonal pada sumbu y

3. Gambarkan bayangan bujursangkar dengan titik – titik sudut (0,0),

(1,0), (0,1), dan (1,1) di bawah perkalian oleh A =

4. Carilah persamaan bayangan garis y = -4x + 3 di bawah perkalian oleh

A =

Page 46: Linear Algebra

Pendahuluan

BAB VINILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

DefinisiJika A adalah matrik n x n, maka vektor tak nol x di dalam Rn dinamakan vektor

eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu,

Ax = x

untuk suatu skalar . Skalar disebut nilai eigen dari A dan x dikatakan vektor

eigen yang bersesuaian dengan .

Contoh 6.1

Vektor x = adalah vektor eigen dari A =

Yang bersesuaian dengan nilai = 3 karena

Ax = = = 3

Untuk mencari nilai eigen matrik A yang berukuran n x n maka kita

menuliskannya kembali Ax = x sebagai Ax = Ix

(I – A)x = 0

Dan persamaan di atas akan mempunyai penyelesaian jika

det(I – A)=0 ...................................................(6.1)

Persamaan (6.1) disebut persamaan karakteristik A.

Page 47: Linear Algebra

Pendahuluan

Contoh 6.2

Carilah nilai – nilai eigen dari A =

Jawab :

Karena

I – A = - =

Det(I – A) = (-3) - (-2) = 0

= 2 - 3 + 2 = 0

1 = 2, 2 = 1

Jadi nilai – nilai eigen dari A adalah 1 = 2 dan 2 = 1

Latihan :

1. Carilah persamaan karakteristik dari matrik A =

2. Carilah persamaan karakteristik dari matrik A =

Page 48: Linear Algebra

Pendahuluan

DAFTAR ISI

Kata Pengantar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Daftar Isi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

BAB I......................................................................................................................11.1 Pengertian...............................................................................................11.2 Operasi – operasi pada vector.................................................................21.3 Susunan Koordinat Ruang-n....................................................................41.4 Vektor di dalam Ruang Rn.......................................................................51.5 Beberapa Dalil pada Operasi Vektor.......................................................81.6 Dot Product (Hasil Kali Titik)....................................................................81.7 Cross Product (Hasil Kali Silang)............................................................101.8 Persamaan Garis LUrus dan Bidang Rata..............................................12

a. Garis Lurus...............................................................................................12b. Bidang Rata..............................................................................................14

BAB II...................................................................................................................162.1 Ruang Vektor Umum.............................................................................162.2 SubRuang (subspace)...........................................................................172.3 Vektor yang Bebas Linier dan Tak Bebas Linier.....................................172.4 Kombinasi Linier....................................................................................182.5 Arti Kombinasi Linier Secara Ilmu Ukur.................................................182.6 Dimensi dan Basis.................................................................................19

BAB III..................................................................................................................213.1 Pengertian.............................................................................................213.2 Notasi Matrik.........................................................................................213.3 Operasi pada Matrik..............................................................................213.4 Beberapa Jenis matrik Khusus...............................................................243.5 Transformasi (Operasi) elementer pada baris dan kolom suatu matrik.253.6 Mencari solusi dengan menggunakan eliminasi Gauss Jordan...............263.7 Mencari invers matrik............................................................................27

BAB IV..................................................................................................................314.1 Pengertian.............................................................................................314.2 PERMUTASI............................................................................................314.3 DETERMINAN.........................................................................................324.4 SIFAT – SIFAT DETERMINAN...................................................................334.5 MENGHITUNG DETERMINAN DGN REDUKSI BARIS.................................334.6 MINOR, EKSPANSI KOFAKTOR, & ATURAN CRAMER...............................34

BAB V...................................................................................................................395.1 Pengantar..............................................................................................395.2 Transformasi Linier dari Rn Rm...........................................................405.3 Jenis – jenis Transformasi Linier bidang.................................................40

BAB VI..................................................................................................................46

Daftar Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48