i

LAPORAN TUGAS AKHIR

Topik Tugas Akhir :

Kajian Matematika Murni

PENERAPAN PROSES ORTHOGONALISASI GRAM-SCHMIDT

DALAM MEMBENTUK FAKTORISASI QR

TUGAS AKHIR

Diajukan Kepada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Muhammadiyah Malang

sebagai Salah Satu Prasyarat untuk Mendapatkan

Gelar Sarjana Pendidikan Matematika

oleh :

WILDA QONITA

NIM : 201110060311054

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG

2015

ii

LEMBAR PERSETUJUAN

Tugas Akhir dengan Judul:

PENERAPAN PROSES ORTHOGONALISASI GRAM-SCHMIDT

DALAM MEMBENTUK FAKTORISASI QR

oleh:

WILDA QONITA

NIM: 201110060311054

telah memenuhi persyaratan untuk dipertahankan

di depan Dewan Penguji dan disetujui

pada tanggal 21 April 2015

Menyetujui,

iii

LEMBAR PENGESAHAN

Dipertahankan di depan Dewan Penguji Tugas Akhir

Program Studi Pendidikan Matematika

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Muhammadiyah Malang

dan Diterima untuk Memenuhi Persyaratan

Memperoleh Gelar Sarjana (S1)

Pendidikan Matematika

pada Tanggal: 24 April 2015

Mengesahkan:

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Muhammadiyah Malang

iv

SURAT PERNYATAAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama : Wilda Qonita

Tempat tanggal lahir : Gresik, 21 Juni 1993

NIM : 201110060311054

Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Program Studi : Pendidikan Matematika

Dengan ini menyatakan dengan sebenar-benarnya bahwa:

1. Skripsi dengan berjudul “Penerapan Proses Orthogonalisasi Gram-Schmidt

dalam Membentuk Faktorisasi QR” adalah hasil karya saya, dan dalam

naskah skripsi ini tidak terdapat karya ilmiah yang pernah diajukan oleh

orang lain untuk memperoleh gelar akademik di suatu Perguruan Tinggi, dan

tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh

orang lain, baik sebagian atau keseluruhan, kecuali secara tertulis dikutip

dalam naskah ini dan disebutkan dalam sumber kutipan atau daftar pustaka.

2. Apabila ternyata di dalam naskah skripsi ini dapat dibuktikan terdapat

unsur-unsur plagiasi. Saya bersedia skripsi ini digugurkan dan gelar

akademik yang telah saya peroleh dibatalkan, serta diproses dengan

ketentuan hukum yang berlaku.

3. Skripsi ini dapat dijadikan sumber pustaka yang merupakan hak bebas

royalty non eksklusif.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenar-benarnya untuk dipergunakan

sebagaimana mestinya.

Malang, 18 April 2015

v

MOTTO

Tidak ada perjuangan tanpa pengorbanan

Tidak ada keberhasilan serta kesuksesan tanpa do’a dan kesabaran

Apapun masalahnya jangan pernah menyerah

“Perjuangan” terasa indah setelah kita melewatinya

“Siapa yang tetap membaca istighfar (minta ampun), Allah akan melepaskan dari

segala kesukaran dan melapangkan segala kesempitan dan memberinya rizqi yang

tidak terhitung (tidak terduga-duga)”

(H.R. Abu Dawud)

“Allah tidak membebani seseorang melainkan sesuai dengan kesanggupannya”

(QS. Al-Baqarah : 286)

“Karena sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan”

(QS. Al-Insyirah : 5)

Tidak ada kemudahan kecuali Allah yang bisa menjadikan kesulitan itu menjadi

mudah dan yang menjadikan kesukaran itu Allah yang akan memudahkannya

Jalani hidup dengan rasa syukur, hiasi dengan senyuman dalam keistiqomahan.

Alhamdulillah…

vi

PERSEMBAHAN

Rasa syukur kepada Allah SWT yang memberikan rahmat-Nya, nikmat-Nya serta

hidayah-Nya dan Rasulullah SAW yang memberikan petunjuk ke jalan yang

terang dan benar sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini.

Kupersembahkan skripsi ini untuk :

1. Ayah, A. Roib, S.Pd

2. Ibu, Dra. Fuadah

3. Adik, Nurus Syamsiyah

Dan kupersembahkan ucapan terima kasih kepada :

Ibu dan Ayah, kedua orangtua yang sangat saya sayangi, terima kasih atas

semua yang telah diberikan dengan tulus ikhlas membesarkan, menyayangi,

membimbing, memberikan nasihat, mendo’akan, mendukung serta berkorban

untuk kebaikan masa depan anaknya.

Saudara-saudara keluarga saya, Adikku, dan Partnerku. Terima kasih atas

kasih sayang, dukungan semangat, nasihat, motivasi serta do’a yang diberikan

dari kalian semua.

Sahabat-sahabatku, Gustivani Putri Cahya dan Lumintang Megasari Karno,

terima kasih atas motivasi, semangat dan kebersamaannya selama ini dengan

saling membantu, menghibur dikala suka maupun duka.

Teman-teman kelas Matkom’A 2011 dan teman-teman seperjuangan yang

selalu bersama-sama diwaktu bimbingan dengan saling memberikan dukungan

semangat, serta semua teman-teman pendidikan matematika angkatan 2011.

KomplotanSMP-ku serta teman-teman maupun pihak yang tidak bisa saya

sebutkan satu persatu. Terima kasih atas do’a serta semangatnya.

vii

KATA PENGANTAR

بسمهللالرحمنالرحيم

Puji syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kepada Allah SWT yang

memberikan rahmat-Nya, nikmat-Nya serta hidayah-Nya, dan shalawat serta

salam semoga tetap tercurahkan kepada Nabi Muhammad, Rasulullah SAW yang

memberikan petunjuk ke jalan terang dan benar sehingga penulis dapat

menyelesaikan Tugas Akhir dengan judul “Penerapan Proses Orthogonalisasi

Gram-Schmidt dalam Membentuk Faktorisasi QR”.

Tugas Akhir ini merupakan metode kajian dengan mempelajari studi

literatur pada pokok bahasan yang berhubungan dengan pembahasan. Penulis

menyadari bahwa Tugas Akhir ini dapat diselesaikan berkat bimbingan, bantuan

dan motivasi dari berbagai pihak. Oleh karena itu dengan ketulusan hati penulis

menghaturkan rasa hormat dan terima kasih kepada :

1. Dra. Siti Inganah, M.M.,M.Pd., selaku dosen pembimbing I yang telah

meluangkan waktu dan kesabaran dalam memberikan petunjuk, bimbingan

dan pengarahan kepada penulis sehingga Tugas Akhir ini terselesaikan.

2. Dr. Dwi Priyo Utomo, M.Pd., selaku dosen pembimbing II yang telah

meluangkan waktu dan kesabaran dalam memberikan petunjuk, bimbingan

dan pengarahan kepada penulis sehingga Tugas Akhir ini terselesaikan.

Semoga Allah SWT menunjukkan jalan dan memberikan cahaya-Nya,

serta melapangkan dengan limpahan iman dan keindahan tawakal kepada-Nya.

Penulis berharap semoga Tugas Akhir ini bermanfaat bagi semua pihak yang

berkepentingan. Namun demikian tiada manusia yang sempurna, oleh karena itu

dengan kerendahan hati, kritik dan saran yang membangun sangat penulis

harapkan untuk menjadikan Tugas Akhir ini lebih sempurna.

Malang, 18 April 2015

Penulis

x

DAFTAR ISI

Halaman Judul................................................................................................. i

Lembar Persetujuan......................................................................................... ii

Lembar Pengesahan........................................................................................ iii

Surat Pernyataan............................................................................................. iv

Motto............................................................................................................... v

Persembahan................................................................................................... vi

Kata Pengantar................................................................................................ vii

Abstrak............................................................................................................ viii

Daftar Isi......................................................................................................... x

Definisi Simbol............................................................................................... xii

BAB I PENDAHULUAN.............................................................................. 1

1.1 Latar Belakang.................................................................................... 1

1.2 Rumusan Masalah............................................................................... 5

1.3 Pembatasan Masalah........................................................................... 5

1.4 Tujuan Kajian...................................................................................... 5

1.5 Manfaat Kajian.................................................................................... 5

1.6 Sistematika Penulisan......................................................................... 6

1.7 Definisi Operasional........................................................................... 7

BAB II TINJAUAN PUSTAKA.................................................................... 9

2.1 Matriks................................................................................................ 9

2.1.1 Definisi Matriks......................................................................... 9

2.1.2 Jenis-jenis Matriks..................................................................... 9

2.1.3 Transpose Matriks...................................................................... 12

2.1.4 Invers Matriks............................................................................ 12

2.2 Basis.................................................................................................... 13

2.3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen............................................................. 15

2.4 Diagonalisasi Matriks......................................................................... 23

xi

2.4.1 Diagonalisasi Matriks Simetri.................................................... 28

2.5 Proses Orthogonalisasi Gram-Schmidt............................................... 29

2.6 Faktorisasi QR..................................................................................... 32

2.7 Solusi Kuadrat Terkecil...................................................................... 34

BAB III PEMBAHASAN............................................................................... 36

3.1 Penerapan Proses Orthogonalisasi Gram-Schmidt dalam

Membentuk Faktorisasi QR................................................................

36

3.2 Penerapan dari Faktorisasi QR dalam Mencari Solusi Kuadrat

Terkecil...............................................................................................

44

BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN....................................................... 47

4.1 Kesimpulan......................................................................................... 47

4.2 Saran................................................................................................... 48

DAFTAR PUSTAKA..................................................................................... 49

xii

DEFINISI SIMBOL

: Nilai eigen

A : Matriks A

P : Matriks P

: Vektor eigen dari matriks P yang mendiagonalisasi matriks A

D : Matriks diagonal

1P : Invers matriks P

nnA : Matriks A berorde nn

: Sama dengan

TP : Transpose matriks P

',, AAA tT : Transpose matriks A

I : Matriks identitas

: Vektor x

: Vektor nol

Q : Matriks Q dengan kolom-kolom yang ortonormal

R : Matriks R yang merupakan matriks segitiga atas

: Vektor b

: Vektor v ke-n

: Ruang hasil kali dalam

⟨ ⟩ : Ruang hasil kali dalam vektor v baris ke-i dengan kolom ke-j

: Tidak sama dengan

: Delta baris ke-i kolom ke-j yang merupakan hasil dari ruang hasil

kali dalam vektor u

xiii

: Normalisasi

‖ ‖ : Normalisasi dari vektor v ke-i

: Vektor u ke-n

: elemen matriks A baris ke-i kolom ke-j

: elemen matriks A baris ke-n kolom ke-n

B : Matriks B

C : Matriks C

L : Matriks segitiga bawah

U : Matriks segitiga atas

M : Matriks M

TM : Transpose matriks M

: elemen matriks B baris ke-i kolom ke-j

1A : Invers matriks A

1B : Invers matriks B

: Koefisien k ke-n

: Anggota himpunan

: Vektor a ke-n

: Lebih besar dari

: Koefisien k baris ke-m kolom ke-n

: Koefisien l ke-m

: Kurang dari atau sama dengan

det / : Determinan

)(p : Polinom karakteristik dari nilai eigen

: Koefisien ke-n

xiv

t : Skalar

nnP : Matriks P berorde nn

: elemen matriks P baris ke-n kolom ke-n

n : elemen matriks diagonal yang merupakan nilai eigen ke-n

: Vektor p ke-n

W : Matriks W

: Vektor w ke-n

: Vektor q ke-n

: elemen matriks R baris ke-1 kolom ke-1

: elemen matriks R baris ke-k kolom ke-k, untuk k = 2, … , n

: elemen matriks R baris ke-n kolom ke-n

: Jumlah

49

DAFTAR PUSTAKA

Anestasia, M. (2007). Tugas Akhir. Ortogonalisasi Gram-Schmidt yang

Diperumum untuk Membangun Frame Parseval, 19.

Anton, H. (2000). Elementary Linear Algebra Eighth Edition. New York: John

Wiley & Sons, Inc.

…………. (2005). Elementary Linear Algebra Ninth Edition. New York: John

Wiley & Sons, Inc.

Arrumi, M. R. (2010). Skripsi Sarjana Matematika. Diagonalisasi Matriks Simetri

dan Penerapannya pada Persamaan Kuadrat, iii.

'Imrona, M. (2013). Aljabar Linear Dasar. Bandung: Erlangga.

Islamiyah, N. (2009). Skripsi. Aplikasi Diagonalisasi Matriks Untuk Menyelidiki

Pewarisan Genotip Pada Generasi Ke-n, vi.

Leon, S. J. (1998). Aljabar Linear dan Aplikasinya. Jakarta: Erlangga.

…………. (2001). Aljabar Linear dan Aplikasinya, Edisi Kelima. Jakarta:

Erlangga.

Mursita, D. (2010). Aljabar Linear. Bandung: Rekayasa Sains.

Rahmah, S. (2007). Skripsi. Penerapan Diagonalisasi Matriks dalam

Menyelesaiakan Persamaan Diferensial Linier Homogen Orde-n, i.

Rahman, T. (2010). Aproksimasi Terbaik dan Solusi Kuadrat Terkecil. Dipetik

April 13, 2015, dari https://triza09.wordpress.com/2010/12/30/aproksimasi

-terbaik-dan-solusi-kuadrat-terkecil/

Rianthi, R. (2010). Aproksimasi Terbaik & Kuadrat Terkecil. Dipetik April 30,

2015, dari https://ratnarianthi.wordpress.com/2010/12/29/aproksimasi-

terbaik-kuadrat-terkecil/

Ruminta. (2009). Matriks Persamaan Linier dan Pemrograman Linier. Bandung:

Rekayasa Sains.

Salaki, D. T. (2008). Solusi Masalah Kuadrat Terkecil Menggunakan

Transformasi Householder, Vol. 8, No. 1, April, 2008.

Selamed. (2008). Skripsi. Diagonalisasi Secara Uniter pada Matriks Hermite, vi.

Sidi, P. (2010). Analisis Materi Modul untuk Pengembangan Buku Materi Aljabar

Linear Elementer II. Laporan Penelitian Keilmuan Mandiri Pengayaan

Bahan Ajar, 16.

Supranto, M. A. (2003). Pengantar Matrix. Jakarta: PT Rineka Cipta.

Sutojo, T. (2010). Teori dan Aplikasi Aljabar Linier dan Matriks. Semarang: C.V

ANDI OFFSET.

Yunita, V. N. (2013). Solusi Numerik Persamaan Difusi Anisotropik. Dipetik

Februari 2, 2015, dari http://eprints.undip.ac.id/38570/1/Jurnal.pdf