komputasi 4

7/21/2019 komputasi 4

1/11

BAB IV

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDINER

JENIS INITIAL VALUE PROBLEM (IVP) DENGAN RUNGE KUTTA

A. TUJUAN

Agar mahasiswa dapat menyelesaikan bentuk penyelesaian differensial ordiner jenis

initial value problem menggunakan penyelesaian numerik.

B. Dasar Teori

Persoalan yang muncul dalam bidang fisika matematika sering dapat diturunkan

ke dalam suatu persamaan diferensial. Persamaan diferensial merupakan salah satu

cabang matematika yang termasuk dalam kelompok analisis.

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan satu atau lebih

turunan fungsi yang belum diketahui, dan atau persamaan itu mungkin juga melibatkan

fungsi itu sendiri dan konstanta. Persamaan ini diperkenalkan pertama kali oleh Leibniz

pada tahun 1!. Persamaan diferensial seringkali muncul dalam model matematika

yang mencoba menggambarkan keadaan kehidupan nyata. "anyak hukum#hukum alam

dan hipotesa#hipotesa dapat diterjemahkan kedalam persamaan yang mengandung

turunan melalui bahasa matematika. $ebagai contoh, turunan#turunan dalam fisika

muncul sebagai kecepatan dan percepatan sedangkan dalam geometri sebagai

kemiringan.

Persamaan diferensial juga dapat didefinisikan sebagai persamaan matematis

yang mengandung satu variabel bebas, variabel terikat dan turunan#turunan variabel

terikat terhadap variabel bebasnya. Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai%

1 &enurut jenis atau tipe% ada persamaan diferensial biasa 'ordinary differential

equation( dan persamaan diferensial parsial'partial differential equation). Persamaan

diferensial biasa didefinisikan sebagai suatu persamaan yang mengandung satu atau

lebih turunan biasa suatu fungsi yang tidak diketahui dengan dua atau lebih peubah

bebas. $edangkan persamaan diferensial parsial didefinisikan sebagai suatu

persamaan yang mengandung satu atau lebih turunan parsial suatu fungsi yang tidak

diketahui dengan dua atau lebih peubah bebas.


2/11

) &enurut orde% orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi yang

ada dalam persamaan.d3y

d x3 adalah orde tiga

d2y

d x2 * adalah orde dua*

dy

dx

adalah orde satu.

+ &enurut derajat% derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari

turunan fungsi orde tertinggi.

$ebagai contoh% (d3y

dx3 )

2

+( d2y

dx2 )

5

+ y

x2+1

=ex adalah persamaan diferensial biasa,

ordetiga, derajatdua.

Persamaan diferensial $turm#Liouville adalah persamaan diferensial biasa

berorde dua yang diperkenalkan oleh ahli matematika ac-ues ./ $turm'10+#1022(

dan oseph Liouville '103#100)(. Persamaan diferensial ini dapat diselesaikan dengan

menggunakan metode numerik. $asaran akhir dari analisis numerik yang dilakukan

dalam metode numerik adalah diperolehnya metode yang terbaik untuk memperoleh

jawaban yang berguna dari persoalan matematika.

"erdasarkan persoalan syarat atau nilainya, persamaan diferensial ordiner

dibedakan menjadi%

a Persamaan diferensial dengan persoalan syarat4nilai awal (intial value problem, IVP).

5akni jika semua syarat diberikan pada satu nilai perubah bebas 'yakni pada nol atau

6(

&isal%d2y

d x2=y

dengan% y'( 7 ) dan y8'( 7 #1

b Persamaan diferensial dengan persoalan syarat4nilai batas (boundary value problem,

BVP). 5akni jika syarat#syarat diberikan pada lebih dari satu nilai perubah bebas.

&isal%d2y

d x2=y

dengan% y'( 7 ) dan y8'+94)( 7 1

&enyelesaikan atau mengintegrasi persamaan diferensial%dy

dx=f(x , y)

... '1(

dengan syarat awal:y (x0 )=y0 secara numerik berarti menentukan atau menghitung

nilai#nilai pendekatan y1, y), y+, dst. dari penyelesaian eksak y1:, y):, y+:, dst. pada 6 7 61, 6


3/11

7 6), 6 7 6+, dst. 'y1:, y)

:, y+:, dst. sendiri biasanya justru tidak diketahui nilainya).;itik

'6, y( digunakan sebagai titik tolak pengintegrasian.

$ebuah Persamaan uler '&etode ?eun, &etode ;itik ;engah(

c. &etode @unge#utta

) &etode banyak langkah (multi-steps methods)

&etode numerik yang digunakan untuk persamaan diferensial biasa dan

merupakan metode yang akurat untuk sebagian besar kasus adalah metode @unge utta.

Bamun metode ini memiliki orde suku lebih tinggi yang mengakibatkan perhitungan#

perhitungan yang lebih rumit dan lebih mendalam walaupun hasilnya akan memiliki

galat yang kecil.

&etode @unge utta merupakan metode untuk menyelesaikan persamaan

diferensial biasa dengan ketelitian dan kestabilan yang cukup tinggi. &etode ini sangatumum digunakan untuk menyelesaikan bentuk persamaan diferensial biasa, baik linear

maupun nonlinear dengan permasalahan kondisi awal. Persamaan dengan metode @unge

utta adalah%

yi+1=yi+w1 k1+w2 k2++wm km

k1=hf(x i , y i)

k2=hf(xi+c2h , yi+a21 k1)

k2=hf(x i+c3h , y i+a31 k1+a32 k2)

:

km=hf(x i+cm h , yi+am1 k1+am2 k2++am .m1 km1)


4/11

$ecara umum persamaannya dapat dituliskan dalam bentuk%

yi+1=yi+j=1m

w j kj

kj=hf(x i+c j h , y i+r=1

j1

ajr kr)

"entuk penyelesaian metode @unge utta dilakukan berdasarkan orde 'pangkat(%

1 =rde dua%

yi+1=yi+1

2(k

1+k

2)


5/11

y i+1=yi+1

6(k

1+2k

2+2k

3+k

4)


6/11

@umus untuk mencari harga J harga pada % i E 1, berdasar harga J harga pada i %

FiE17 6i E x

5iE17 yiE{ ' k1E )k)E )k+E kC ( 4 I


7/11

BAB II

A. LATIHAN

y

d

dy=

+

)

1.

x sampai y = 4

i xi yi k1 k2 k3 k4 y yi+1

0 21,000

00,066

7 0,0907 0,08950,113

9 0,0902 1,0902

1 2,2

1,090

2

0,113

8 0,1385 0,1373

0,162

4 0,1380 1,2281

2 2,41,228

10,162

4 0,1878 0,18670,212

8 0,1874 1,4155

3 2,61,415

50,212

7 0,2393 0,23820,265

5 0,2389 1,6544

4 2,81,654

40,265

4 0,2933 0,29230,321

0 0,2929 1,9473

5 31,947

30,320

9 0,3503 0,34930,379

6 0,3499 2,2972

6 3,22,297

20,379

5 0,4106 0,40960,441

6 0,4103 2,7075

7 3,4 2,7075 0,4416 0,4744 0,4735 0,5073 0,4741 3,1816

8 3,63,181

60,507

3 0,5420 0,54100,576

8 0,5417 3,7233

9 3,83,723

30,576

8 0,6134 0,61250,650

2 0,6131 4,3364

10 44,336

40,650

2 0,6889 0,68800,727

7 0,6886 5,0250

).

).1) yy

d

!"+=

6 )

y 1

G6 ,)

6n Ci 1

6 1

y 1,2

G6 ,)

6n +

i 1


8/11

i xi yi k1 k2 k3 k4 y yi+1

0 1 1,50,5633

0,6205

0,6243

0,68412

0,62283

2,1228

1 1,22,122

80,6839

0,7458

0,7496

0,814188

0,748171

2,8710

2 1,4

2,871

0

0,81

40

0,88

08

0,88

45

0,9539

2

0,8830

82

3,754

1

3 1,63,754

10,9538

1,0254

1,0291

1,103436

1,027713

4,7818

4 1,84,781

81,1033

1,1799

1,1835

1,262824

1,182171

5,9640

5 25,964

01,2627

1,3443

1,3479

1,432149

1,346533

7,3105

6 2,27,310

51,4320

1,5186

1,5222

1,611467

1,520858

8,8314

7 2,48,831

41,6114

1,7030

1,7065

1,800819

1,705197

10,5366

8 2,6 10,5366 1,8007 1,8973 1,9009 2,000244 1,899589 12,4361

9 2,812,43

612,0001

2,1018

2,1054

2,209775

2,104069

14,5402

10 314,54

022,2097

2,3164

2,3200

2,429438

2,318668

16,8589


9/11

"A" DDDA. >$D&PKLAB

A >$D&PKLAB

Adapun kesimpulan yang dapat diperoleh antara lain%

a Persamaan diferensial merupakan salah satu cabang matematika yang termasuk dalam

kelompok analisis.

b Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan satu atau lebih

turunan fungsi yang belum diketahui, dan atau persamaan itu mungkin juga

melibatkan fungsi itu sendiri dan konstanta.

c lasifikasi persamaan diferensial%1 &enurut jenis atau tipe% ada persamaan diferensial biasa 'ordinary differential

equation( dan persamaan diferensial parsial'partial differential equation).

) &enurut orde% orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi

yang ada dalam persamaan.d

3

y

d x3 adalah orde tiga

d2

y

d x2 * adalah orde dua*

dy

dx adalah orde satu.

+ &enurut derajat% derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari

turunan fungsi orde tertinggi.

d "erdasarkan persoalan syarat atau nilainya, persamaan diferensial ordiner dibedakan

menjadi%

1 Persamaan diferensial dengan persoalan syarat4nilai awal (intial value problem,

IVP).

2 Persamaan diferensial dengan persoalan syarat4nilai batas (boundary value

problem, BVP)

e uler 'eksplisit(

b Penyempurnaan atau perbaikan metode >uler '&etode ?eun, &etode ;itik

;engah(

c &etode @unge#utta

) &etode banyak langkah (multi-steps methods)

f &etode @unge utta merupakan metode untuk menyelesaikan persamaan diferensial

biasa dengan ketelitian dan kestabilan yang cukup tinggi dan paling banyakdigunakan.


10/11

g Pada metode @unge utta, semakin tinggi ordenya, semakin tinggi pula tingkat

ketelitian 'akurasi( yang akan didapatkan.


11/11

ttp'--diyarkoliso.l!s/ordpr!ssom-2008-12-p!#y!l!saia#pdi)p

dodypd

ttp'--!!a!dot#!t.l!s/ordpr!ssom-2011-08-p!rsamaa#di!r!#sial

ord!11pd

ttp'--kkm!ruua#aaid-.l!s-1407612568038049378do

ttp'--r!positoryusuaid-itstr!am-123456789-21794-4-apt!r20*pd
http://diyarkholisoh.files.wordpress.com/2008/12/penyelesaian-pdb-ivp-doc-dy.pdfhttp://diyarkholisoh.files.wordpress.com/2008/12/penyelesaian-pdb-ivp-doc-dy.pdfhttp://eecafedotnet.files.wordpress.com/2011/08/persamaan-diferensial-orde-11.pdfhttp://eecafedotnet.files.wordpress.com/2011/08/persamaan-diferensial-orde-11.pdfhttp://kk.mercubuana.ac.id/files/14076-12-568038049378.dochttp://repository.usu.ac.id/bitstream/123456789/21794/4/Chapter%20I.pdfhttp://eecafedotnet.files.wordpress.com/2011/08/persamaan-diferensial-orde-11.pdfhttp://eecafedotnet.files.wordpress.com/2011/08/persamaan-diferensial-orde-11.pdfhttp://kk.mercubuana.ac.id/files/14076-12-568038049378.dochttp://repository.usu.ac.id/bitstream/123456789/21794/4/Chapter%20I.pdfhttp://diyarkholisoh.files.wordpress.com/2008/12/penyelesaian-pdb-ivp-doc-dy.pdfhttp://diyarkholisoh.files.wordpress.com/2008/12/penyelesaian-pdb-ivp-doc-dy.pdf

komputasi 4

Documents