teknik komputasi elektro

Komputasi untuk Sains dan Teknik

Supriyanto Suparno

( Website: http://supriyanto.fisika.ui.edu )

( Email: [email protected] atau [email protected] )

Edisi II

Revisi terakhir tgl: 12 Februari 2008

Departemen Fisika-FMIPA, Univeristas Indonesia

Dipublikasikan pertama kali pada September 2007

Untuk

Nina Marliyani

Muflih Syamil

dan

Hasan Azmi

Ketekunan adalah jalan yang terpercaya untuk mengantarkan kita menuju kesuksesan

(Supriyanto, 2007)

Kata Pengantar

Secara garis besar, ilmu fisika dapat dipelajari lewat 3 jalan, yaitu pertama, dengan meng-

gunakan konsep atau teori fisika yang akhirnya melahirkan fisika teori. Kedua, dengan cara

eksperimen yang menghasilkan aliran fisika eksperimental, dan ketiga, fisika bisa dipelajari

lewat simulasi fisika yang sangat mengandalkan komputer serta algoritma numerik.

Tujuan penyusunan buku ini adalah untukmeletakkan pondasi dasar dari bangunan pema-

haman akanmetode-metode komputasi yang banyak digunakan pada simulasi-simulasi fenom-

ena fisika.

Rujukan utama buku ini bersumber pada buku teks standar yang sangat populer di dunia

komputasi, yaitu buku yang ditulis oleh Richard L. Burden dan J. Douglas Faires dengan judul

Numerical Analysis edisi ke-7, diterbitkan oleh Penerbit Brooks/Cole, Thomson Learning Aca-

demic Resource Center. Disamping itu, buku ini dilengkapi oleh sejumlah contoh aplikasi

komputasi pada upaya penyelesaian problem-problem fisika.

Dalam edisi ke-2 ini, algoritma numerik disalin ke dalam 2 bahasa pemrograman, yaitu For-

tran77 dan Matlab. Disamping itu penjelasan lebih terperinci tentang bagaimana menentukan

indeks i, j dan k dalam proses looping disajikan pada Bab I, untuk memberi pondasi yang san-

gat penting bagi berdirinya bangunan pemahaman akan teknik-teknik numerik selanjutnya.

Akhirnya saya ingin mengucapkan rasa terima kasih yang tak terhingga kepada Dede

Djuhana yang telah berkenan memberikan format LATEX-nya sehingga tampilan tulisan pada

buku ini benar-benar layaknya sebuah buku yang siap dicetak. Rasa terima kasih juga in-

gin saya teruskan kepada Sarah Wardhani yang telah memicu langkah awal penulisan buku

ini hingga masuk ke Edisi-2. Tak lupa, saya pun sepatutnya berterima kasih kepada selu-

ruh rekan diskusi yaitu para mahasiswa yang telah mengambil mata kuliah Komputasi Fisika

PTA 2006/2007 di Departemen Fisika, FMIPA, Universitas Indonesia. Tiga orang mahasiswi

dari Universitas Pakuan yaitu Eni Nurliani, Saidah Al-adawiyah dan Deni Fitri A juga perlu

saya tulis disini sebagai ungkapan terima kasih atas pertanyaan-pertanyaanmereka yang turut

memperkaya isi buku ini.

Walaupun buku ini masih jauh dari sempurna, namun semoga ia dapat menyumbangkan

energi bagi terciptanya gelombang kebangkitan ilmu pengetahuan pada bangsa Indonesia yang

saat ini sedang terpuruk. Saya wariskan ilmu ini untuk anak bangsa. Saya izinkan anda untuk

meng-copy danmenggunakan buku ini selama itu ditujukan untuk belajar dan bukan untuk tu-

juan komersial. Bagi yang ingin berdiskusi, memberikan masukan, kritikan dan saran, silakan

dikirimkan ke email: [email protected]

Depok, 16 September 2007

Supriyanto Suparno

v

Daftar Isi

Lembar Persembahan i

Kata Pengantar v

Daftar Isi vii

Daftar Gambar xi

Daftar Tabel xiii

1 Matrik dan Komputasi 1

1.1 Pengenalan matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Inisialisasi matrik dalam memori komputer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Macam-macam matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 Matrik transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.2 Matrik bujursangkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.3 Matrik simetrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.4 Matrik diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.5 Matrik identitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.6 Matrik upper-triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.7 Matrik lower-triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.8 Matrik tridiagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.9 Matrik diagonal dominan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.10 Matrik positive-definite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.11 Vektor-baris dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Operasi matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.1 Penjumlahan matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.2 Komputasi penjumlahan matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.3 Perkalian matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.4 Komputasi perkalian matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.5 Perkalian matrik dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.6 Komputasi perkalian matrik dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Metode Eliminasi Gauss 17

2.1 Sistem persamaan linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Triangularisasi dan Substitusi Mundur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

vii

viii

2.3 Matrik dan Eliminasi Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Algoritma eliminasi Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.1 Algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Contoh aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5.1 Menghitung arus listrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6 Menghitung invers matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.7 Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Aplikasi Eliminasi Gauss pada Masalah Inversi 39

3.1 Inversi Model Garis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.1 Script matlab inversi model garis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2 Inversi Model Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2.1 Script matlab inversi model parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3 Inversi Model Bidang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4 Contoh aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4.1 Menghitung gravitasi di planet X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Metode LU Decomposition 61

4.1 Faktorisasi matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2 Algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5 Metode Iterasi 71

5.1 Kelebihan Vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2 Pengertian Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.2.1 Script perhitungan norm dalam Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.2.2 Perhitungan norm-selisih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.3 Iterasi Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.3.1 ScriptMatlab untuk menghitung iterasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.3.2 Optimasi scriptMatlab untuk menghitung iterasi . . . . . . . . . . . . . . 80

5.3.3 Algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.3.4 Program dalam Fortran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.4 Iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.4.1 Script iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.4.2 Algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.4.3 Script iterasi Gauss-Seidel dalam Fortran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.5 Iterasi dengan Relaksasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.5.1 Algoritma Iterasi Relaksasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6 Interpolasi 93

6.1 Interpolasi Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.2 Interpolasi Cubic Spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

ix

7 Diferensial Numerik 103

7.1 Metode Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.2 Metode Runge Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.3 Metode Finite Difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.3.1 Script Finite-Difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7.3.2 Aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

8 Pers. Diferensial Parsial Numerik 123

8.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.2 PDP eliptik dalam Finite-Difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

9 Integral Numerik 131

9.1 Metode Trapezoida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.2 Metode Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.3 Metode Composite-Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

10 Metode Newton 137

10.1 Penyederhanaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

11 Metode Monte Carlo 139

11.1 Penyederhanaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

12 Inversi 143

12.1 Inversi Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

12.2 Inversi Non-Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Daftar Pustaka 149

Indeks 151

Daftar Gambar

3.1 Grafik data pengukuran gerak batu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2 Grafik hasil inversi parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.1 Fungsi f(x) dengan sejumlah titik data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.2 Pendekatan dengan polinomial cubic spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.3 Profil suatu object . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.4 Sampling titik data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.5 Hasil interpolasi cubic spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.6 Hasil interpolasi lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.1 Metode Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.2 Trend error metode euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.3 Rangkaian RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.4 Kurva muatan q terhadap waktu t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.5 Kurva suatu fungsi f(x) yang dibagi sama besar berjarak h. Evaluasi kurva yang

dilakukan Finite-Difference dimulai dari batas bawah X0 = a hingga batas atas

x6 = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8.1 Distribusi temperatur pada lempeng logam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

9.1 Metode Trapezoida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9.2 Metode Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9.3 Metode Composite Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

10.1 Metode Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

11.1 Lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

11.2 Dart yang menancap pada bidang lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . . . . 140

11.3 Dart yang menancap pada bidang 1/4 lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . 141

xi

Daftar Tabel

3.1 Data temperatur bawah permukaan tanah terhadap kedalaman . . . . . . . . . . 39

3.2 Data temperatur bawah permukaan tanah terhadap kedalaman . . . . . . . . . . 44

3.3 Data ketinggian terhadap waktu dari planet X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.1 Hasil akhir elemen-elemen vektor x hingga iterasi ke-10 . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.2 Hasil perhitungan norm-selisih (dengan 2) hingga iterasi ke-10 . . . . . . . . . . 81

5.3 Hasil Iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.4 Hasil perhitungan iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.5 Hasil perhitungan iterasi Relaksasi dengan = 1, 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

xiii

Bab 1

Matrik dan Komputasi

- Objektif :

Mengenalkan matrik dan jenis-jenis matrik. Mengenalkan operasi penjumlahan dan perkalian matrik. Mendeklarasikan elemen-elemen matrik ke dalam memori komputer. Membuat script operasi matrik.

1.1 Pengenalan matrik

Notasi suatu matrik berukuran n x m ditulis dengan huruf besar dan dicetak tebal, misalnya

Anm. Huruf n menyatakan jumlah baris, dan huruf m jumlah kolom. Suatu matrik tersusun

dari elemen-elemen yang dinyatakan dengan huruf kecil diikuti angka-angka indeks, misalnya

aij , dimana indeks i menunjukan posisi baris ke-i dan indeks j menentukan posisi kolom ke-j.

A = (aij) =

a11 a12 . . . a1m

a21 a22 . . . a2m...

......

an1 an2 . . . anm

(1.1)

Contoh 1: Matrik A23

A =

[3 8 5

6 4 7

]

dimana masing-masing elemennya adalah a11 = 3, a12 = 8, a13 = 5, a21 = 6, a22 = 4, dan

a23 = 7.

Contoh 2: Matrik B32

B =

1 3

5 9

2 4

1

2 BAB 1. MATRIK DAN KOMPUTASI

dimana masing-masing elemennya adalah b11 = 1, b12 = 3, b21 = 5, b22 = 9, b31 = 2, dan

b32 = 4.

1.2 Inisialisasi matrik dalam memori komputer

Dalam bahasa pemrograman Fortran77, caramengisi memori komputer dengan elemen-elemen

matrik A23, sesuai dengan Contoh 1 adalah

1 A(1,1) = 32 A(1,2) = 83 A(1,3) = 54 A(2,1) = 65 A(2,2) = 46 A(2,3) = 7

Sedangkan untuk matrik B32, sesuai Contoh 2 adalah

1 B(1,1) = 12 B(1,2) = 33 B(2,1) = 54 B(2,2) = 95 B(3,1) = 26 B(3,2) = 4

Sementara dalam Matlab, cara mengisi memori komputer dengan elemen-elemen matrik

A23, sesuai dengan Contoh 1 adalah

1 clear all2 clc3

4 A(1,1) = 3;5 A(1,2) = 8;6 A(1,3) = 5;7 A(2,1) = 6;8 A(2,2) = 4;9 A(2,3) = 7;10 A

Sedangkan untuk matrik B32, sesuai Contoh 2 adalah

1 clear all2 clc3

4 B(1,1) = 1;5 B(1,2) = 3;6 B(2,1) = 5;7 B(2,2) = 9;8 B(3,1) = 2;9 B(3,2) = 4;10 B

1.3. MACAM-MACAMMATRIK 3

1.3 Macam-macam matrik

1.3.1 Matrik transpose

Operasi transpose terhadap suatu matrik akan menukar elemen-elemen dalam satu kolom

menjadi elemen-elemen dalam satu baris; demikian pula sebaliknya. Notasi matrik tranpose

adalah AT atau At.

Contoh 3: Operasi transpose terhadap matrik A

A =

[3 8 5

6 4 7

]At =

3 6

8 4

5 7

1.3.2 Matrik bujursangkar

Matrik bujursangkar adalah matrik yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama.

Contoh 4: Matrik bujursangkar berukuran 3x3 atau sering juga disebutmatrik bujursangkar

orde 3

A =

1 3 8

5 9 7

2 4 6

1.3.3 Matrik simetrik

Matrik simetrik adalah matrik bujursangkar yang elemen-elemen matrik A bernilai sama den-

gan matrik transpose-nya (At).

Contoh 5: Matrik simetrik

A =

2 3 7 13 5 6 27 6 9 8

1 2 8 10

At =

2 3 7 13 5 6 27 6 9 8

1 2 8 10

1.3.4 Matrik diagonal

Matrik diagonal adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali

elemen-elemen diagonalnya.

Contoh 6: Matrik diagonal orde 3

A =

11 0 0

0 29 0

0 0 61


1.3.5 Matrik identitas

Matrik identitas adalah matrik bujursangkar yang semua elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali

elemen-elemen diagonal yang seluruhnya bernilai 1.

Contoh 7: Matrik identitas orde 3

I =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1.3.6 Matrik upper-triangular

Matrik upper-tringular adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen dibawah elemen di-

agonal bernilai 0 (nol).

Contoh 8: Matrik upper-triangular

A =

3 6 2 1

0 4 1 5

0 0 8 7

0 0 0 9

1.3.7 Matrik lower-triangular

Matrik lower-tringular adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen diatas elemen diago-

nal bernilai 0 (nol).

Contoh 9: Matrik lower-triangular

A =

12 0 0 0

32 2 0 08 7 11 0

5 10 6 9

1.3.8 Matrik tridiagonal

Matrik tridiagonal adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen bukan 0 (nol) berada dis-

ekitar elemen diagonal, sementara elemen lainnya bernilai 0 (nol).

Contoh 10: Matrik tridiagonal

A =

3 6 0 0

2 4 1 00 5 8 70 0 3 9

1.3. MACAM-MACAMMATRIK 5

1.3.9 Matrik diagonal dominan

Matrik diagonal dominan adalah matrik bujursangkar yang memenuhi

|aii| >n

j=1,j 6=i

|aij | (1.2)

dimana i=1,2,3,..n. Coba perhatikan matrik-matrik berikut ini

A =

7 2 0

3 5 10 5 6

B =

6 4 34 2 03 0 1

Pada elemen diagonal aii matrikA, |7| > |2|+|0|, lalu |5| > |3|+|1|, dan |6| > |5|+|0|. Makamatrik A disebut matrik diagonal dominan. Sekarang perhatikan elemen diagonal matrik B,

|6| < |4|+ |3|, |2| < |4|+ |0|, dan |1| < |3|+ |0|. Dengan demikian, matrik B bukan matrikdiagonal dominan.

1.3.10 Matrik positive-definite

Suatu matrik dikatakan positive-definite bila matrik tersebut simetrik dan memenuhi

xtAx > 0 (1.3)

Contoh 11: Diketahui matrik simetrik berikut

A =

2 1 01 2 10 1 2

untuk menguji apakah matrik A bersifat positive-definite, maka

xtAx =[x1 x2 x3

]2 1 01 2 10 1 2

x1

x2

x3

=[x1 x2 x3

]2x1 x2

x1 + 2x2 x3x2 + 2x3

= 2x21 2x1x2 + 2x22 2x2x3 + 2x23= x21 + (x

21 2x1x2 + x22) + (x22 2x2x3 + x23) + x23

= x21 + (x1 x2)2 + (x2 x3)2 + x23

Dari sini dapat disimpulkan bahwa matrik A bersifat positive-definite, karena memenuhi

x21 + (x1 x2)2 + (x2 x3)2 + x23 > 0


kecuali jika x1=x2=x3=0.

1.3.11 Vektor-baris dan vektor-kolom

Notasi vektor biasanya dinyatakan dengan huruf kecil dan dicetak tebal. Suatu matrik dina-

makan vektor-baris berukuran m, bila hanya memiliki satu baris dan m kolom, yang diny-

atakan sebagai berikut

a =[a11 a12 . . . a1m

]=[a1 a2 . . . am

](1.4)

Sedangkan suatumatrik dinamakan vektor-kolom berukuran n, bila hanyamemiliki satu kolom

dan n baris, yang dinyatakan sebagai berikut

a =

a11

a21...

an1

=

a1

a2...

an

(1.5)

1.4 Operasi matematika

1.4.1 Penjumlahan matrik

Operasi penjumlahan pada dua buah matrik hanya bisa dilakukan bila kedua matrik tersebut

berukuran sama. Misalnya matrik C23

C =

[9 5 3

7 2 1

]

dijumlahkan dengan matrik A23, lalu hasilnya (misalnya) dinamakan matrik D23

D = A+ C

D =

[3 8 5

6 4 7

]+

[9 5 3

7 2 1

]

=

[3 + 9 8 + 5 5 + 3

6 + 7 4 + 2 7 + 1

]

=

[12 13 8

13 6 8

]

Tanpamempedulikan nilai elemen-elemenmasing-masingmatrik, operasi penjumlahan antara

matrik A23 dan C23, bisa juga dinyatakan dalam indeks masing-masing dari kedua matrik

tersebut, yaitu [d11 d12 d13

d21 d22 d23

]=

[a11 + c11 a12 + c12 a13 + c13

a21 + c21 a22 + c22 a23 + c23

]

1.4. OPERASI MATEMATIKA 7

Dijabarkan satu persatu sebagai berikut

d11 = a11 + c11

d12 = a12 + c12

d13 = a13 + c13 (1.6)

d21 = a21 + c21

d22 = a22 + c22

d23 = a23 + c23

Dari sini dapat diturunkan sebuah rumus umum penjumlahan dua buah matrik

dij = aij + cij (1.7)

dimana i=1,2 dan j=1,2,3.

1.4.2 Komputasi penjumlahan matrik

Berdasarkan contoh operasi penjumlahan di atas, indeks j pada persamaan (1.7) lebih cepat

berubah dibanding indeks i sebagaimana ditulis pada persamaan (1.6),

d11 = a11 + c11

d12 = a12 + c12

d13 = a13 + c13

Jelas terlihat, ketika indeks i masih bernilai 1, indeks j sudah berubah dari nilai 1 sampai

3. Hal ini membawa konsekuensi pada script pemrograman, dimana looping untuk indeks j

harus diletakkan di dalam looping indeks i. Pokoknya yang looping-nya paling cepat harus

diletakkan paling dalam; sebaliknya, looping paling luar adalah looping yang indeksnya

paling jarang berubah.

Dalam matlab, algoritma penjumlahan dua matrik ditulis sebagai berikut:

1 for i=1:22 for j=1:33 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);4 end5 end

Sedangkan dalam Fortran77, operasi penjumlahan antara matrik ditulis sebagai berikut: A23

dan C23 adalah

1 do i=1,22 do j=1,33 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j)4 end do5 end do


Perhatikan kedua script di atas! Penulisan indeks i harus didahulukan daripada indeks j.

Perlu dicatat bahwa ukuran matrik tidak terbatas hanya 2x3. Tentu saja anda bisa men-

gubah ukurannya sesuai dengan keperluan atau kebutuhan anda. Jika ukuran matrik diny-

atakan secara umum sebagai n xm, dimana n adalah jumlah baris danm adalah jumlah kolom,

maka bentuk pernyataan komputasinya dalam matlab menjadi

1 for i=1:n2 for j=1:m3 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);4 end5 end

sedangkan dalam Fortran77

1 do i=1,n2 do j=1,m3 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j)4 end do5 end do

Sekarang, mari kita lengkapi dengan contoh sebagai berikut: diketahui matrik A23

A =

[3 8 5

6 4 7

]

dan matrik C23

C =

[9 5 3

7 2 1

]

Program untuk menjumlahkan kedua matrik tersebut dalam matlab adalah:

1 clear all2 clc3

4 A(1,1) = 3;5 A(1,2) = 8;6 A(1,3) = 5;7 A(2,1) = 6;8 A(2,2) = 4;9 A(2,3) = 7;10 C(1,1) = 9;11 C(1,2) = 5;12 C(1,3) = 3;13 C(2,1) = 7;14 C(2,2) = 2;15 C(2,3) = 1;16 n=217 m=318 for i=1:n19 for j=1:m20 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);21 end22 end


sedangkan dalam Fortran77

1 A(1,1) = 32 A(1,2) = 83 A(1,3) = 54 A(2,1) = 65 A(2,2) = 46 A(2,3) = 77 C(1,1) = 98 C(1,2) = 59 C(1,3) = 310 C(2,1) = 711 C(2,2) = 212 C(2,3) = 113 n=214 m=315 do i=1,n16 do j=1,m17 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j)18 end do19 end do

1.4.3 Perkalian matrik

Operasi perkalian dua buah matrik hanya bisa dilakukan bila jumlah kolom matrik pertama

sama dengan jumlah baris matrik kedua. Jadi kedua matrik tersebut tidak harus berukuran

sama seperti pada penjumlahan dua matrik. Misalnya matrik A23 dikalikan dengan matrik

B32, lalu hasilnya (misalnya) dinamakan matrik E22

E22 = A23.B32

E =

[3 8 5

6 4 7

]1 3

5 9

2 4

=

[3.1 + 8.5 + 5.2 3.3 + 8.9 + 5.4

6.1 + 4.5 + 7.2 6.3 + 4.9 + 7.4

]

=

[53 101

40 82

]

Tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing matrik, operasi perkalian antara

matrik A23 dan B32, bisa juga dinyatakan dalam indeks masing-masing dari kedua matrik

tersebut, yaitu

[e11 e12

e21 e22

]=

[a11.b11 + a12.b21 + a13.b31 a11.b12 + a12.b22 + a13.b32

a21.b11 + a22.b21 + a23.b31 a21.b12 + a22.b22 + a23.b32

]


Bila dijabarkan, maka elemen-elemen matrik E22 adalah

e11 = a11.b11 + a12.b21 + a13.b31 (1.8)

e12 = a11.b12 + a12.b22 + a13.b32 (1.9)

e21 = a21.b11 + a22.b21 + a23.b31 (1.10)

e22 = a21.b12 + a22.b22 + a23.b32 (1.11)

Sejenak, mari kita amati perubahan pasangan angka-angka indeks yang mengiringi elemen e,

a dan b pada persamaan (1.8) sampai persamaan (1.11). Perhatikan perubahan angka indeks

pertama pada elemen e seperti berikut ini

e1.. = ..

e1.. = ..

e2.. = ..

e2.. = ..

Pola perubahan yang sama akan kita dapati pada angka indeks pertama dari elemen a

e1.. = a1...b... + a1...b... + a1...b...

e1.. = a1...b... + a1...b... + a1...b...

e2.. = a2...b... + a2...b... + a2...b...

e2.. = a2...b... + a2...b... + a2...b...

Dengan demikian kita bisa mencantumkan huruf i sebagai pengganti angka-angka indeks

yang polanya sama

ei.. = ai...b... + ai...b... + ai...b...

ei.. = ai...b... + ai...b... + ai...b...

ei.. = ai...b... + ai...b... + ai...b...

ei.. = ai...b... + ai...b... + ai...b...

dimana i bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 2, atau kita nyatakan i=1,2. Selanjutnya,

masih dari persamaan (1.8) sampai persamaan (1.11), marilah kita perhatikan perubahan angka

indeks masih pada elemen e dan elemen b,

ei1 = ai...b..1 + ai...b..1 + ai...b..1

ei2 = ai...b..2 + ai...b..2 + ai...b..2

ei1 = ai...b..1 + ai...b..1 + ai...b..1

ei2 = ai...b..2 + ai...b..2 + ai...b..2


Dengan demikian kita bisa mencantumkan huruf j sebagai pengganti angka-angka indeks

yang polanya sama

eij = ai...b..j + ai...b..j + ai...b..j




dimana j bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 2, atau kita nyatakan j=1,2. Selanjutnya,

masih dari persamaan (1.8) sampai persamaan (1.11), mari kita perhatikan perubahan angka

indeks masih pada elemen a dan elemen b, dimana kita akan dapati pola sebagai berikut

eij = ai1.b1j + ai2.b2j + ai3.b3j




Dan kita bisa mencantumkan huruf k sebagai pengganti angka-angka indeks yang polanya

sama, dimana k bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 3, atau kita nyatakan k=1,2,3.

eij = aik.bkj + aik.bkj + aik.bkj




Kemudian secara sederhana dapat ditulis sebagai berikut

eij = aik.bkj + aik.bkj + aik.bkj (1.12)

Selanjutnya dapat ditulis pula formula berikut

eij =

3k=1

aikbkj (1.13)

dimana i=1,2; j=1,2; dan k=1,2,3.

Berdasarkan contoh ini, maka secara umum bila ada matrik Anm yang dikalikan dengan ma-

trik Bmp, akan didapatkan matrik Enp dimana elemen-elemen matrik Ememenuhi

eij =m

k=1

aikbkj (1.14)

dengan i=1,2,. . . ,n; j=1,2. . . ,p; dan k=1,2. . . ,m.


1.4.4 Komputasi perkalian matrik

Komputasi operasi perkalian antara matrikA23 dan B32 dilakukan melalui 2 tahap; pertama

adalah memberikan nilai 0 (nol) pada elemen-elemen matrik E22 dengan cara (dalam matlab)

1 for i=1:22 for j=1:23 E(i,j)=0.0;4 end5 end

dalam Fortran77

1 do i=1,22 do j=1,23 E(i,j)=0.04 end do5 end do

kedua adalah menghitung perkalian matrik dengan cara (dalam matlab)

1 for i=1:22 for j=1:23 for k=1:34 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j);5 end6 end7 end

dalam Fortran77

1 do i=1,22 do j=1,23 do k=1,34 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j)5 end do6 end do7 end do

Sebentar.., sebelum dilanjut tolong perhatikan penempatan indeks i, j dan k pada script di atas.

Mengapa indeks i didahulukan daripada indeks j dan k? Ini bukan sesuatu yang kebetulan.

Dan ini juga bukan sekedar mengikuti urutan huruf abjad i,j,k. Sekali lagi ingin saya tegaskan

bahwa penempatan yang demikian semata-mata mengikuti aturan umum yaitu looping yang

indeksnya berubah paling cepat harus diletakkan paling dalam; sebaliknya, looping paling

luar adalah looping yang indeksnya paling jarang berubah. Kalau anda perhatikan dengan

teliti, pasti anda akan menemukan fakta bahwa indeks k paling cepat berubah. Kemudian

disusul oleh indeks j. Lalu yang paling jarang berubah adalah indeks i. Itulah sebabnya,

penempatan urutan indeks pada script di atas harus dimulai dari i terlebih dahulu sebagai

looping terluar, kemudian indeks j, dan yang terakhir indeks k sebagai looping terdalam.


Tentu saja anda bisa mengubah ukurannya sesuai dengan keperluan atau kebutuhan anda.

Jika ukuran matrik A dinyatakan secara umum sebagai n x m dan matrik B berukuran m x p,

maka bentuk pernyataan komputasinya dalam Matlab menjadi

1 for i=1:n2 for j=1:p3 E(i,j)=0.0;4 end5 end6 for i=1:n7 for j=1:p8 for k=1:m9 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j);10 end11 end12 end

dalam Fortran77

1 do i=1,n2 do j=1,p3 E(i,j)=0.04 end do5 end do6 do i=1,n7 do j=1,p8 do k=1,m9 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j)10 end do11 end do12 end do

dimana akan diperoleh hasil berupa matrik E yang berukuran n x p.

1.4.5 Perkalian matrik dan vektor-kolom

Operasi perkalian antara matrik dan vektor-kolom sebenarnya sama saja dengan perkalian an-

tara dua matrik. Hanya saja ukuran vektor-kolom boleh dibilang spesial yaitu m x 1, dimana

m merupakan jumlah baris sementara jumlah kolomnya hanya satu. Misalnya matrik A, pa-

da contoh 1, dikalikan dengan vektor-kolom x yang berukuran 3 x 1 atau disingkat dengan

mengatakan vektor-kolom x berukuran 3, lalu hasilnya (misalnya) dinamakan vektor-kolom y

y = Ax


y =

[3 8 5

6 4 7

]2

3

4

=

[3.2 + 8.3 + 5.4

6.2 + 4.3 + 7.4

]

=

[50

52

]

Sekali lagi, tanpamempedulikan nilai elemen-elemenmasing-masing, operasi perkalian antara

matrik A dan vektor-kolom x, bisa juga dinyatakan dalam indeksnya masing-masing, yaitu

[y1

y2

]=

[a11.x1 + a12.x2 + a13.x3

a21.x1 + a22.x2 + a23.x3

]

Bila dijabarkan, maka elemen-elemen vektor-kolom y adalah

y1 = a11.x1 + a12.x2 + a13.x3

y2 = a21.x1 + a22.x2 + a23.x3

kemudian secara sederhana dapat diwakili oleh rumus berikut

yi =

3j=1

aijxj

dimana i=1,2.

Berdasarkan contoh tersebut, secara umum bila ada matrik A berukuran n xm yang dikalikan

dengan vektor-kolom x berukuran m, maka akan didapatkan vektor-kolom y berukuran n x 1

dimana elemen-elemen vektor-kolom ymemenuhi

yi =m

j=1

aijxj (1.15)

dengan i=1,2,. . . ,n.

1.4.6 Komputasi perkalian matrik dan vektor-kolom

Sama seperti perkalian duamatrik, komputasi untuk operasi perkalian antaramatrikA beruku-

ran n x m dan vektor-kolom x berukuran m dilakukan melalui 2 tahap; pertama adalah mem-

berikan nilai 0 (nol) pada elemen-elemen vektor-kolom y yang berukuran n. Lalu tahap kedua

adalah melakukan proses perkalian. Kedua tahapan ini digabung jadi satu dalam program

berikut ini

1 for i=1:n2 b(i,1)=0.0;

1.5. PENUTUP 15

3 end4 for i=1:n5 for j=1:m6 b(i,1)=b(i,1)+A(i,j)*x(j,1);7 end8 end

dan dalam Fortran

1 do i=1,n2 b(i,1)=0.03 end do4 do i=1,n5 do j=1,m6 b(i,1)=b(i,1)+A(i,j)*x(j,1)7 end do8 end do

1.5 Penutup

Demikianlah catatan singkat dan sederhana mengenai jenis-jenis matrik dasar yang seringkali

dijumpai dalam pengolahan data fisika secara numerik. Semuanya akan dijadikan acuan atau

referensi pada pembahasan topik-topik numerik yang akan datang.

1.6 Latihan

Diketahui matrik A, matrik B, dan vektor x sebagai berikut

A =

1 3 6 25 9 7 5.6

2 4 8 12.3 1.4 0.8 2.3

B =

8 1 4 21

3 10 5 0.1

7 2 9 52.7 12 8.9 5.7

x =

0.4178

2.958756.3069

8.1

1. Buatlah script untuk menyelesaikan penjumlahan matrik A dan matrik B.

2. Buatlah script untuk menyelesaikan perkalian matrik A dan matrik B.

3. Buatlah script untuk menyelesaikan perkalian matrik A dan vektor x.

4. Buatlah script untuk menyelesaikan perkalian matrik A dan vektor x.

============================================================

Bab 2

Metode Eliminasi Gauss

- Objektif :

Mengenalkan sistem persamaan linear. Mengenalkan teknik triangularisasi dan substitusi mundur. Aplikasi metode Eliminasi Gauss menggunakan matrik. Membuat algoritma metode Eliminasi Gauss. Menghitung invers matrik menggunakan metode Eliminasi Gauss.

2.1 Sistem persamaan linear

Secara umum, sistem persamaan linear dinyatakan sebagai berikut

Pn : an1x1 + an2x2 + ...+ annxn = bn (2.1)

dimana a dan bmerupakan konstanta, x adalah variable, n = 1, 2, 3, ....

Contoh pertama

Misalnya ada sistem persamaan linear yang terdiri dari empat buah persamaan yaitu P1,

P2, P3, dan P4 seperti berikut ini:

P1 : x1 + x2 + 3x4 = 4P2 : 2x1 + x2 x3 + x4 = 1P3 : 3x1 x2 x3 + 2x4 = -3P4 : x1 + 2x2 + 3x3 x4 = 4

Problem dari sistem persamaan linear adalah bagaimana mencari nilai pengganti bagi vari-

abel x1, x2, x3, dan x4 sehingga semua persamaan diatas menjadi benar. Langkah awal penye-

lesaian problem tersebut adalah dengan melakukan penyederhanaan sistem persamaan linear.

17

18 BAB 2. METODE ELIMINASI GAUSS

2.2 Triangularisasi dan Substitusi Mundur

Ada banyak jalan untuk mendapatkan bentuk yang lebih sederhana, namun masalahnya, ki-

ta ingin mendapatkan sebuah algoritma program yang nantinya bisa berjalan di komputer,

sedemikian rupa sehingga apapun persamaannya, bisa disederhanakan oleh komputer. Kita

akan berpatokan pada tiga buah aturan operasi untuk menyederhanakan sistem persamaan

linear di atas, yaitu

Persamaan Pi dapat dikalikan dengan sembarang konstanta , lalu hasilnya ditempatkandi posisi persamaan Pi. Simbol operasi ini adalah (Pi) (Pi).

Persamaan Pj dapat dikalikan dengan sembarang konstanta kemudian dijumlahkandengan persamaan Pi, lalu hasilnya ditempatkan di posisi persamaan Pi. Simbol operasi

ini adalah (Pi + Pj) (Pi).

Persamaan Pi dan Pj dapat bertukar posisi. Simbol operasi ini adalah (Pi) (Pj).

Maka dengan berpegang pada aturan-aturan tersebut, problem sistem persamaan linear di atas

akan diselesaikan dengan langkah-langkah berikut ini:

1. Gunakan persamaan P1 untuk menghilangkan variabel x1 dari persamaan P2, P3 dan P4

dengan cara (P2 2P1) (P2), (P3 3P1) (P3) dan (P4 + P1) (P4). Hasilnya akanseperti ini

P1 : x1 + x2 + 3x4 = 4,

P2 : x2 x3 5x4 = 7,P3 : 4x2 x3 7x4 = 15,P4 : 3x2 + 3x3 + 2x4 = 8

2. Gunakan persamaan P2 untuk menghilangkan variabel x2 dari persamaan P3 dan P4

dengan cara (P3 4P2) (P3) dan (P4 + 3P2) (P4). Hasilnya akan seperti ini

P1 : x1 + x2 + 3x4 = 4,

P2 : x2 x3 5x4 = 7,P3 : 3x3 + 13x4 = 13,

P4 : 13x4 = 13

Kalau x3 masih ada di persamaanP4, dibutuhkan satu operasi lagi untukmenghilangkan-

nya. Namun hasil operasi pada langkah ke-2 ternyata sudah otomatis menghilangkan x3.

Bentuk akhir dari keempat persamaan di atas, dikenal sebagai bentuk triangular.

Sampai dengan langkah ke-2 ini, kita berhasil mendapatkan sistem persamaan linear

yang lebih sederhana. Apa yang dimaksud dengan sederhana dalam konteks ini? Su-

atu sistem persamaan linear dikatakan sederhana bila kita bisa mendapatkan seluruh ni-

lai pengganti variabelnya dengan cara yang lebih mudah atau dengan usaha yang tidak

2.2. TRIANGULARISASI DAN SUBSTITUSI MUNDUR 19

memakan waktu lama dibandingkan sebelum disederhanakan. Sekali kita mendapatkan

nilai pengganti bagi variabel x4, maka x3, x2 dan x1 akan diperoleh dengan mudah dan

cepat, sebagaimana yang dijelaskan pada langkah berikutnya.

3. Selanjutnya kita jalankan proses backward-substitution. Melalui proses ini, yang perta-

ma kali didapat adalah nilai pengganti bagi variabel x4, kemudian x3, lalu diikuti x2, dan

akhirnya x1.

P4 : x4 =1313 = 1,

P3 : x3 =1

3(13 13x4) = 1

3(13 13) = 0,

P2 : x2 = (7 + 5x4 + x3) = (7 + 5 + 0) = 2,P1 : x1 = 4 3x4 x2 = 4 3 2 = 1

Jadi solusinya adalah x1 = 1, x2 = 2, x3 = 0 dan x4 = 1. Coba sekarang anda cek,apakah semua solusi ini cocok dan tepat bila dimasukan ke sistem persamaan linear yang

pertama, yaitu yang belum disederhanakan?

OK, mudah-mudahan ngerti ya... Kalau belum paham, coba diulangi bacanya sekali lagi.

Atau, sekarang kita beralih kecontoh yang lain.


Contoh kedua

Misalnya ada sistem persamaan linear, terdiri dari empat buah persamaan yaitu P1, P2, P3,

dan P4 seperti berikut ini:

P1 : x1 x2 + 2x3 x4 = -8P2 : 2x1 2x2 + 3x3 3x4 = -20P3 : x1 + x2 + x3 = -2P4 : x1 x2 + 4x3 + 3x4 = 4

Seperti contoh pertama, solusi sistem persamaan linear di atas akan dicari dengan langkah-

langkah berikut ini:

1. Gunakan persamaan P1 untuk menghilangkan x1 dari persamaan P2, P3 dan P4 dengan

cara (P2 2P1) (P2), (P3P1) (P3) dan (P4P1) (P4). Hasilnya akan seperti ini

P1 : x1 x2 + 2x3 x4 = 8,P2 : x3 x4 = 4,P3 : 2x2 x3 + x4 = 6,P4 : 2x3 + 4x4 = 12

Perhatikan persamaan P2! Akibat dari langkah yang pertama tadi, x2 hilang dari per-

samaan P2. Kondisi ini bisa menggagalkan proses triangularisasi. Untuk itu, posisi P2

mesti ditukar dengan persamaan yang berada dibawahnya, yaitu P3 atau P4. Supaya

proses triangularisasi dilanjutkan kembali, maka yang paling cocok adalah ditukar den-

gan P3.

2. Tukar posisi persamaan P2 dengan persamaan P3, (P2 P3). Hasilnya akan seperti ini

P1 : x1 x2 + 2x3 x4 = 8,P2 : 2x2 x3 + x4 = 6,P3 : x3 x4 = 4,P4 : 2x3 + 4x4 = 12

3. Gunakan persamaan P3 untuk menghilangkan x3 dari persamaan P4 dengan cara (P4 2P3) (P4). Hasilnya akan seperti ini

P1 : x1 x2 + 2x3 x4 = 8,P2 : 2x2 x3 + x4 = 6,P3 : x3 x4 = 4,P4 : 2x4 = 4

Sampai disini proses triangularisasi telah selesai.

2.3. MATRIK DAN ELIMINASI GAUSS 21

4. Selanjutnya adalah proses backward-substitution. Melalui proses ini, yang pertama kali

didapat solusinya adalah x4, kemudian x3, lalu diikuti x2, dan akhirnya x1.

P4 : x4 =4

2= 2,

P3 : x3 =4 + x41 = 2,

P2 : x2 =6 + x3 x4

2= 3,

P1 : x1 = 8 + x2 2x3 + x4 = 7

Jadi solusinya adalah x1 = 7, x2 = 3, x3 = 2 dan x4 = 2.

Berdasarkan kedua contoh di atas, untuk mendapatkan solusi sistem persamaan linear, diper-

lukan operasi triangularisasi dan proses backward-substitution. Kata backward-substitution

kalau diterjemahkan kedalam bahasa indonesia, menjadi substitusi-mundur. Gabungan pros-

es triangularisasi dan substitusi-mundur untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dike-

nal sebagai metode eliminasi gauss.

2.3 Matrik dan Eliminasi Gauss

Sejumlah matrik bisa digunakan untuk menyatakan suatu sistem persamaan linear. Sejenak,

mari kita kembali lagi melihat sistem persamaan linear secara umum seperti berikut ini:

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2

. . . . . . . . . . . . . . . = . . .

. . . . . . . . . . . . . . . = . . .

an1x1 + an2x2 + . . .+ annxn = bn

Sementara, kalau dinyatakan dalam bentuk operasi matrik, maka akan seperti ini:

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

an1 an2 . . . ann

x1

x2...

xn

=

b1

b2...

bn

(2.2)

Dalam mencari solusi suatu sistem persamaan linear dengan metode eliminasi gauss, bentuk

operasi matrik di atas dimanipulasi menjadimatrik augment, yaitu suatu matrik yang beruku-


ran n x (n+ 1) seperti berikut ini:

a11 a12 . . . a1n | b1a21 a22 . . . a2n | b2...

...... | ...

an1 an2 . . . ann | bn

=

a11 a12 . . . a1n | a1,n+1a21 a22 . . . a2n | a2,n+1...

...... | ...

an1 an2 . . . ann | an,n+1

(2.3)

Berdasarkan contoh pertama yang ada dihalaman depan catatan ini, saya akan tunjukkan pros-

es triangularisasi dan substitusi-mundur dalam operasi matrik terhadap sistem persamaan lin-

ear yang terdiri dari empat persamaan matematika, yaitu (silakan lihat kembali contoh pertama):

1 1 0 3

2 1 1 13 1 1 21 2 3 1

x1

x2

x3

x4

=

4

1

34

Lalu kita dapat membuat matrik augment sebagai berikut:

1 1 0 3 | 42 1 1 1 | 13 1 1 2 | 31 2 3 1 | 4

Kemudian kita lakukan operasi triangularisai terhadap matrik augment, dimulai dari kolom

pertama, yaitu

1 1 0 3 | 40 1 1 5 | 70 4 1 7 | 150 3 3 2 | 8

lalu dilanjutkan ke kolom berikutnya

1 1 0 3 | 40 1 1 5 | 70 0 3 13 | 130 0 0 13 | 13

Sebelum dilanjutkan ke substitusi-mundur, saya ingin menegaskan peranan angka-angka in-

deks dari masing-masing elemen matrik augment tersebut. Silakan perhatikan posisi masing-

2.4. ALGORITMA ELIMINASI GAUSS 23

masing elemen berikut ini:

1 1 0 3 | 40 1 1 5 | 70 0 3 13 | 130 0 0 13 | 13

a11 a12 a13 a14 | a15a21 a22 a23 a24 | a25a31 a32 a33 a34 | a35a41 a42 a43 a44 | a45

Dengan memperhatikan angka-angka indeks pada matrik augment di atas, kita akan menco-

ba membuat rumusan proses substitusi-mundur untuk mendapatkan seluruh nilai pengganti

variabel x. Dimulai dari x4,

x4 =a45a44

=1313 = 1

ini dapat dinyatakan dalam rumus umum, yaitu

xn =an,n+1ann

lalu dilanjutkan dengan x3, x2, dan x1.

x3 =a35 a34x4

a33=

13 [(13)(1)]3

= 0

x2 =a25 (a23x3 + a24x4)

a22=

(7) [(1)(0) + (5)(1)](1) = 2

x1 =a15 (a12x2 + a13x3 + a14x4)

a11=

4 [(1)(2) + (0)(0) + (3)(1)]1

= 1

ini juga dapat dinyatakan dalam rumus umum yaitu:

xi =ai,n+1

nj=i+1 aijxj

aii

Proses triangularisasi dan substitusi-mundur dibakukan menjadi algoritma metode eliminasi

gauss yang dapat diterapkan dalam berbagai bahasa pemrograman komputer, misalnya for-

tran, C, java, pascal, matlab, dan lain-lain.

2.4 Algoritma eliminasi Gauss

Secara umum, sistem persamaan linear adalah sebagai berikut:

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2...

... =...

an1x1 + an2x2 + . . .+ annxn = bn

Algoritma dasar metode eliminasi gauss, adalah sebagai berikut:

1. Ubahlah sistem persamaan linear tersebut menjadi matrik augment, yaitu suatu matrik


yang berukuran n x (n+ 1) seperti berikut ini:

a11 a12 . . . a1n | b1a21 a22 . . . a2n | b2...

...... | ...


=

a11 a12 . . . a1n | a1,n+1a21 a22 . . . a2n | a2,n+1...

...... | ...

an1 an2 . . . ann | an,n+1

(2.4)

Jelas terlihat bahwa elemen-elemen yang menempati kolom terakhir matrik augment

adalah nilai dari bi; yaitu ai,n+1 = bi dimana i = 1, 2, ..., n.

2. Periksalah elemen-elemen pivot. Apakah ada yang bernilai nol? Elemen-elemen pivot

adalah elemen-elemen yang menempati diagonal suatu matrik, yaitu a11, a22, ..., ann

atau disingkat aii. Jika aii 6= 0, bisa dilanjutkan ke langkah no.3. Namun, jika ada elemendiagonal yang bernilai nol, aii = 0, maka baris dimana elemen itu berada harus ditukar

posisinya dengan baris yang ada dibawahnya, (Pi) (Pj) dimana j = i + 1, i + 2, ..., n,sampai elemen diagonal matrik menjadi tidak nol, aii 6= 0. (Kalau kurang jelas, silakan lihatlagi contoh kedua yang ada dihalaman 3. Sebaiknya, walaupun elemen diagonalnya tidak nol,

namun mendekati nol (misalnya 0,03), maka proses pertukaran ini dilakukan juga).

3. Proses triangularisasi. Lakukanlah operasi berikut:

Pj ajiaii

Pi Pj (2.5)

dimana j = i+ 1, i+ 2, ..., n. Maka matrik augment akan menjadi:

a11 a12 a13 . . . a1n | a1,n+10 a22 a23 . . . a2n | a2,n+10 0 a33 . . . a3n | a3,n+1...

......

. . .... | ...

0 0 0 0 ann | an,n+1

(2.6)

4. Hitunglah nilai xn dengan cara:

xn =an,n+1ann

(2.7)

5. Lakukanlah proses substitusi-mundur untuk memperoleh xn1, xn2, ..., x2, x1 dengan

cara:

xi =ai,n+1

nj=i+1 aijxj

aii(2.8)

dimana i = n 1, n 2, ..., 2, 1.

Demikianlan algoritma dasar metode eliminasi gauss. Selanjutnya algoritma dasar tersebut

perlu dirinci lagi sebelum dapat diterjemahkan kedalam bahasa pemrograman komputer.


2.4.1 Algoritma

Algoritma metode eliminasi gauss untuk menyelesaikan n x n sistem persamaan linear.

P1 : a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

P2 : a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2...

...... =

...

Pn : an1x1 + an2x2 + . . .+ annxn = bn

INPUT: sejumlah persamaan linear dimana konstanta-konstanta-nyamenjadi elemen-elemen

matrik augment A = (aij), dengan 1 i n dan 1 j n+ 1.OUTPUT: solusi x1, x2, x3, ..., xn atau pesan kesalahan yang mengatakan bahwa sistem per-

samaan linear tidak memiliki solusi yang unik.

Langkah 1: Inputkan konstanta-konstanta dari sistem persamaan linear kedalam elemen-elemen matrik augment, yaitu suatu matrik yang berukuran n x (n + 1) seperti berikut

ini:

a11 a12 . . . a1n | b1a21 a22 . . . a2n | b2...

...... | ...


=

a11 a12 . . . a1n | a1,n+1a21 a22 . . . a2n | a2,n+1...

...... | ...

an1 an2 . . . ann | an,n+1

(2.9)

Langkah 2: Untuk i = 1, ..., n 1, lakukan Langkah 3 sampai Langkah 5.

Langkah 3: Definisikan p sebagai integer dimana i p n. Lalu pastikan bahwaapi 6= 0. Jika ada elemen diagonal yang bernilai nol (aii = 0), maka program harusmencari dan memeriksa elemen-elemen yang tidak bernilai nol dalam kolom yang

sama dengan kolom tempat elemen diagonal tersebut berada. Jadi saat proses ini

berlangsung, integer i (indeks dari kolom) dibuat konstan, sementara integer p (in-

deks dari baris) bergerak dari p = i sampai p = n. Bila ternyata setelah mencapai

elemen paling bawah dalam kolom tersebut, yaitu saat p = n tetap didapat nilai

api = 0, maka sebuah pesan dimunculkan: sistem persamaan linear tidak memiliki

solusi yang unik. Lalu program berakhir: STOP.

Langkah 4: Namun jika sebelum integer p mencapai nilai p = n sudah diperolehelemen yang tidak nol (api 6= 0), maka bisa dipastikan p 6= i. Jika p 6= i makalakukan proses pertukaran (Pp) (Pi).

Langkah 5: Untuk j = i+ 1, .., n, lakukan Langkah 6 dan Langkah 7. Langkah 6: Tentukanmji,

mji =ajiaii


Langkah 7: Lakukan proses triangularisasi,

(Pj mjiPi) (Pj)

Langkah 8: Setelah proses triangularisasi dilalui, periksalah ann. Jika ann = 0, kirimkanpesan: sistem persamaan linear tidak memiliki solusi yang unik. Lalu program berakhir:

STOP.

Langkah 9: Jika ann 6= 0, lakukan proses substitusi mundur, dimulai denganmenentukanxn,

xn =an,n+1ann

Langkah 10: Untuk i = n 1, ..., 1 tentukan xi,

xi =ai,n+1

nj=i+1 aijxj

aii

Langkah 11: Diperoleh solusi yaitu x1, x2, ..., xn. Algoritma telah dijalankan dengan suk-ses. STOP.

Saya telah membuat program sederhana dalam fortran untuk mewujudkan algoritma elim-

inasi gauss. Saya berasumsi bahwa anda sudah menguasai dasar-dasar pemrograman dalam

fortran. Program ini sudah dicoba di-compile dengan fortran77 under Linux Debian dan

visual-fortran under windows-XP.

Langkah-langkah yang tercantum pada program ini disesuaikan dengan langkah-langkah

yang tertulis di atas. Dalam program ini, ukuran maksimum matrik augment adalah 10 x

11, untuk mencari 10 variabel yang tidak diketahui. Jika anda bermaksud memperbesar atau

memperkecil ukuran matrik augment, silakan sesuaikan angka ukuran matrik yang anda in-

ginkan pada statemen pertama dari program ini, yaitu statemen DIMENSION. Inilah program-

nya,

1 DIMENSION A(10,11), X(10)2 REAL MJI3 WRITE (*,*) =PROGRAM ELIMINASI GAUSS=4 WRITE (*,*)5 C LANGKAH 1: MEMASUKAN NILAI ELEMEN-ELEMEN MATRIK AUGMENT6 WRITE (*,(1X,A)) JUMLAH PERSAMAAN ? 7 READ (*,*) N8 WRITE (*,*)9 WRITE (*,*) MASUKAN ELEMEN-ELEMEN MATRIK AUGMENT10 M = N + 111 DO 50 I = 1,N12 DO 60 J = 1,M13 WRITE (*,(1X,A,I2,A,I2,A)) A(,I,,,J,) = 14 READ (*,*) A(I,J)15 60 CONTINUE16 50 CONTINUE17 WRITE (*,*)18 C MENAMPILKAN MATRIK AUGMENT


19 WRITE (*,(1X,A)) MATRIK AUGMENT:20 DO 110 I = 1,N21 WRITE (*,(1X,5(F14.8))) (A(I,J),J=1,M)22 110 CONTINUE23 WRITE (*,*)24 C LANGKAH 2: MEMERIKSA ELEMEN-ELEMEN PIVOT DAN PROSES TUKAR POSISI25 NN = N-126 DO 10 I=1,NN27 C LANGKAH 3: MENDEFINISIKAN P28 P = I

29 100 IF (ABS(A(P,I)).GE.1.0E-20 .OR. P.GT.N) GOTO 20030 P = P+131 GOTO 10032 200 IF(P.EQ.N+1)THEN33 C MENAMPILKAN PESAN TIDAK UNIK34 WRITE(*,5)35 GOTO 40036 END IF

37 C LANGKAH 4: PROSES TUKAR POSISI38 IF(P.NE.I) THEN39 DO 20 JJ=1,M40 C = A(I,JJ)41 A(I,JJ) = A(P,JJ)42 A(P,JJ) = C43 20 CONTINUE44 END IF

45 C LANGKAH 5: PERSIAPAN PROSES TRIANGULARISASI46 JJ = I+147 DO 30 J=JJ,N48 C LANGKAH 6: TENTUKAN MJI49 MJI = A(J,I)/A(I,I)50 C LANGKAH 7: MELAKUKAN PROSES TRIANGULARISASI51 DO 40 K=JJ,M52 A(J,K) = A(J,K)-MJI*A(I,K)53 40 CONTINUE54 A(J,I) = 055 30 CONTINUE56 10 CONTINUE57 C MENAMPILKAN HASIL TRIANGULARISASI58 WRITE (*,(1X,A)) HASIL TRIANGULARISASI:59 DO 120 I = 1,N60 WRITE (*,(1X,5(F14.8))) (A(I,J),J=1,M)61 120 CONTINUE62 C LANGKAH 8: MEMERIKSA ELEMEN A(N,N)63 IF(ABS(A(N,N)).LT.1.0E-20) THEN64 C MENAMPILKAN PESAN TIDAK UNIK65 WRITE(*,5)66 GOTO 40067 END IF

68 C LANGKAH 9: MENGHITUNG X(N)69 X(N) = A(N,N+1)/A(N,N)70 C LANGKAH 10: PROSES SUBSTITUSI MUNDUR71 L = N-172 DO 15 K=1,L73 I = L-K+174 JJ = I+175 SUM = 0.076 DO 16 KK=JJ,N77 SUM = SUM+A(I,KK)*X(KK)


78 16 CONTINUE79 X(I) = (A(I,N+1)-SUM)/A(I,I)80 15 CONTINUE81 C LANGKAH 11: MENAMPILKAN HASIL PERHITUNGAN82 WRITE (*,*)83 WRITE (*,7)84 DO 18 I = 1,N85 WRITE (*,(1X,A,I2,A,F14.8)) X(,I,) = ,X(I)86 18 CONTINUE87 400 STOP88

89 5 FORMAT(1X,SISTEM LINEAR TIDAK MEMILIKI SOLUSI YANG UNIK)90 7 FORMAT(1X,SOLUSI UNIK)91 END

Script eliminasi gauss dalammatlab juga telah dibuat. Namun dalam anda perlu memodifikasi

elemen-elemen matrik A agar sesuai dengan data yang hendak anda olah.

1 clear all2 clc3 A(1,1)=1;4 A(1,2)=1;5 A(1,3)=-1;6 A(1,4)=0;7 A(2,1)=6;8 A(2,2)=-4;9 A(2,3)=0;10 A(2,4)=24;11 A(3,1)=6;12 A(3,2)=0;13 A(3,3)=2;14 A(3,4)=10;15 A

16 n=3 %jumlah persamaan17 pause18

19 %========== Proses Triangularisasi =========20 for j=1:(n-1)21

22 %----mulai proses pivot---23 if (A(j,j)==0)24 for p=1:n+125 u=A(j,p);26 v=A(j+1,p);27 A(j+1,p)=u;28 A(j,p)=v;29 end30 end31 %----akhir proses pivot---32 jj=j+1;33 for i=jj:n34 m=A(i,j)/A(j,j);35 for k=1:(n+1)36 A(i,k)=A(i,k)-(m*A(j,k));37 end38 end39 end40 A

2.5. CONTOH APLIKASI 29

41 pause42 %========= Akhir Proses Triangularisasi ===43

44 %------Proses Substitusi mundur-------------45 x(n,1)=A(n,n+1)/A(n,n);46

47 for i=n-1:-1:148 S=0;49 for j=n:-1:i+150 S=S+A(i,j)*x(j,1);51 end52 x(i,1)=(A(i,n+1)-S)/A(i,i);53 end54 x

2.5 Contoh aplikasi

2.5.1 Menghitung arus listrik

Gunakan metode Eliminasi Gauss untuk menentukan arus i1, i2 dan i3 yang mengalir pada

rangkaian berikut ini

jawab:

Berdasarkan Hukum Kirchhoff:

I1 + I2 = I3

10 6I1 2I3 = 014 + 6I1 10 4I2 = 0

Lalu kita susun ulang ketiga persamaan di atas menjadi seperti ini:

I1 + I2 I3 = 06I1 + 2I3 = 10

6I1 4I2 = 24


Kemudian dinyatakan dalam bentuk matriks:

1 1 16 4 06 0 2

I1

I2

I3

=

0

24

10

Selanjutkan kita susun matriks augmentasi sebagai berikut:

1 1 1 06 4 0 246 0 2 10

Langkah berikutnya adalah menghitung matriks triangularisasi dengan langkah-langkah se-

bagai berikut:

m =a21a11

=6

1= 6

a21 = a21 m.a11 = 6 (6).(1) = 0a22 = a22 m.a12 = 4 (6).(1) = 10a23 = a23 m.a13 = 0 (6).(1) = 6a24 = a24 m.a14 = 24 (6).(0) = 24

m =a31a11

=6

1= 6

a31 = a31 m.a11 = 6 (6).(1) = 0a32 = a32 m.a12 = 0 (6).(1) = 6

a33 = a33 m.a13 = 2 (6).(1) = 8a34 = a34 m.a14 = 10 (6).(0) = 10

Sampai disini matriks augment mengalami perubahan menjadi

1 1 1 00 10 6 240 6 8 10

2.6. MENGHITUNG INVERS MATRIK 31

Kelanjutan langkah menuju triangularisasi adalah

m =a32a22

=610

a31 = a31 m.a21 = 0 ( 610).(0) = 0

a32 = a32 m.a22 = 6 ( 610).(10) = 0

a33 = a33 m.a23 = 8 ( 610).(6) = 4, 4

a34 = a34 m.a24 = 10 ( 610).(24) = 4, 4

maka matriks triangularisasi berhasil didapat yaitu

1 1 1 00 10 6 240 0 4, 4 4, 4

Sekarang tinggal melakukan proses substitusi mundur

I3 =a34a33

=4, 44, 4

= 1

I2 =a24 a23.I3

a22=

24 (6).(1)10 = 3

I1 =a14 (a13.I3 + a12.I2)

a11=

(0 [(1).(1) + (1).(3)]1

= 2

Dengan demikian, besar masing-masing arus pada rangkaian di atas adalah I1 = 2A, I2 = 3Adan I3 = 1A. Tanda minus (-) memiliki arti bahwa arah arus yang sesungguhnya berlawananarah dengan asumsi awal yang kita gunakan.

2.6 Menghitung invers matrik

Sekali lagi saya ulangi apa yang pernah kita bahas di awal bab ini yaitu bahwa sistem per-

samaan linear dapat dinyatakan sebagai berikut:

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2

. . . . . . . . . . . . . . . = . . .

. . . . . . . . . . . . . . . = . . .

an1x1 + an2x2 + . . .+ annxn = bn

Sistem persamaan linear tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk operasi matrik,

Ax = b (2.10)


sehingga bentuknya menjadi seperti ini:

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

an1 an2 . . . ann

x1

x2...

xn

=

b1

b2...

bn

dimana

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

an1 an2 . . . ann

, x =

x1

x2...

xn

, b =

b1

b2...

bn

Dalam kaitannya dengan invers matrik, matrik A disebut matrik non-singular jika matrik

Amemiliki matrik invers dirinya yaitu A1. Atau dengan kata lain, matrik A1 adalah invers

dari matrik A. Jika matrik A tidak memiliki invers, maka matrik A disebut singular. Bila

matrikA dikalikan denganmatrikA1 maka akanmenghasilkanmatrik identitas I, yaitu suatu

matrik yang elemen-elemen diagonalnya bernilai 1.

AA1 = I =

1 0 . . . 0

0 1 . . . 0...

.... . .

...

0 0 . . . 1

(2.11)

Misalnya diketahui,

A =

1 2 12 1 0

1 1 2

, A1 =

29 59 19

49 19 29

13 13 13

Bila keduanya dikalikan, maka akan menghasilkan matrik identitas,

AA1 =

1 2 12 1 0

1 1 2

29 59 19

49 19 29

13 13 13

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Lalu bagaimana cara mendapatkan matrik invers, A1? Persamaan (2.11) bisa dijadikan

pedoman..

AA1 = I

1 2 12 1 0

1 1 2

i11 i12 i13

i21 i22 i23

i31 i32 i33

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1


dalam hal ini matrik A1 adalah

A1 =

i11 i12 i13

i21 i22 i23

i31 i32 i33

Elemen-elemen matrik invers, A1 dapat diperoleh dengan menerapkan metode eliminasi

gauss. Diawali dengan membentuk matrik augment:

1 2 1 | 1 0 02 1 0 | 0 1 0

1 1 2 | 0 0 1

Lalu dilanjutkan dengan proses triangularisasi: (P22P1)(P2) dan (P3+P1)(P3), kemudiandiikuti oleh (P3 + P2)(P3):

1 2 1 | 1 0 00 3 2 | 2 1 00 3 1 | 1 0 1

1 2 1 | 1 0 00 3 2 | 2 1 00 0 3 | 1 1 1

Langkah berikutnya, matrik augment yang telah mengalami triangularisasi tersebut dipecah

menjadi tiga buah matrik augment seperti berikut ini:

1 2 1 | 10 3 2 | 20 0 3 | 1

1 2 1 | 00 3 2 | 10 0 3 | 1

1 2 1 | 00 3 2 | 00 0 3 | 1

Langkah pamungkasnya adalah melakukan proses substitusi mundur pada ketiga matrik aug-

ment di atas, sehingga diperoleh:

i11 = 29i21 =

49

i31 = 13

i12 =59

i22 = 19i32 =

13

i13 = 19i23 =

29

i33 =13

Hasil tersebut digabung menjadi sebuah matrik, yaitu matrik A1,

A1 =

29 59 19

49 19 29

13 13 13

Keberadaan matrik A1 bisa digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear


(mencari nilai x), dengan cara sebagai berikut

Ax = b

A1Ax = A1b

Ix = A1b

x = A1b (2.12)

Contoh berikut ini akan menjelaskan prosesnya secara lebih rinci. Misalnya diketahui sistem

persamaan linear

x1 + 2x2 x3 = 22x1 + x2 = 3

x1 + x2 + 2x3 = 4

Bila dikonversikan kedalam operasi matrik menjadi

1 2 12 1 0

1 1 2

x1

x2

x3

=

2

3

4

Berdasarkan persamaan (2.12), maka elemen-elemen vektor x dapat dicari dengan cara

x = A1b

x =

29 59 19

49 19 29

13 13 13

2

3

4

=

7913953

Akhirnya diperoleh solusi x1 = 7/9, x2 = 13/9, dan x3 = 5/3. Penyelesaian sistem persamaan

linear menjadi lebih mudah bila matrik A1 sudah diketahui. Sayangnya, untuk mendap-

atkan matrik A1, diperlukan langkah-langkah, seperti yang sudah dibahas pada contoh per-

tama di atas, yang berakibat in-efisiensi proses penyelesaian (secara komputasi) bila diband-

ingkan dengan metode eliminasi gauss untuk memecahkan sistem persamaan linear. Namun

bagaimanapun, secara konseptual kita dianjurkan mengetahui cara bagaimana mendapatkan

matrik A1.

Saya telah memodifikasi program eliminasi gauss yang terdahulu, untuk keperluan perhi-

tungan matrik invers. Program ini ditulis dengan bahasa fortran, sudah berhasil dikompilasi

dalam Linux Debian (g77) dan Windows XP (Visual Fortran). Inilah programnya,

1 DIMENSION A(10,20), D(10,10), X(10)2 REAL MJI3 INTEGER TKR, BK, TK, Q4 WRITE (*,*) =PROGRAM INVERS MATRIK DENGAN ELIMINASI GAUSS=5 WRITE (*,*)


6 C LANGKAH 1: MEMASUKAN NILAI ELEMEN-ELEMEN MATRIK A7 WRITE (*,(1X,A)) JUMLAH PERSAMAAN ? 8 READ (*,*) N9 WRITE (*,*)10 WRITE (*,*) MASUKAN ELEMEN-ELEMEN MATRIK A11 M = N + 112 DO 50 I = 1,N13 DO 60 J = 1,N14 WRITE (*,(1X,A,I2,A,I2,A)) A(,I,,,J,) = 15 READ (*,*) A(I,J)16 60 CONTINUE17 50 CONTINUE18 C LANGKAH 2: MENDEFINISIKAN MATRIK IDENTITAS19 WRITE (*,*) MENDEFINISIKAN MATRIK IDENTITAS20 DO 70 I = 1,N21 DO 80 J = M,N+N22 A(I,J) = 023 IF (I+N .EQ. J) THEN24 A(I,J) = 125 END IF

26 80 CONTINUE27 70 CONTINUE28 WRITE (*,*)29 C MENAMPILKAN MATRIK AUGMENT30 WRITE (*,(1X,A)) MATRIK AUGMENT:31 DO 110 I = 1,N32 WRITE (*,(1X,5(F14.8))) (A(I,J),J=1,N+N)33 110 CONTINUE34 WRITE (*,*)35 C MENGHITUNG JUMLAH TUKAR (TKR) POSISI. MULA2 TKR = 036 TKR = 037 C MENGHITUNG JUMLAH OPERASI BAGI/KALI (BK).38 BK = 039 C MENGHITUNG JUMLAH OPERASI TAMBAH/KURANG (TK).40 TK = 041 C LANGKAH 3: MEMERIKSA ELEMEN2 PIVOT DAN PROSES TUKAR POSISI42 NN = N-143 DO 10 I=1,NN44 C LANGKAH 4: MENDEFINISIKAN P45 P = I

46 100 IF (ABS(A(P,I)).GE.1.0E-20 .OR. P.GT.N) GOTO 20047 P = P+148 GOTO 10049 200 IF(P.EQ.N+1)THEN50 C MENAMPILKAN PESAN SINGULAR51 WRITE(*,5)52 GOTO 40053 END IF

54 C LANGKAH 5: PROSES TUKAR POSISI55 IF(P.NE.I) THEN56 DO 20 JJ=1,N+N57 C = A(I,JJ)58 A(I,JJ) = A(P,JJ)59 A(P,JJ) = C60 TKR = TKR + 161 20 CONTINUE62 END IF

63 C LANGKAH 6: PERSIAPAN PROSES TRIANGULARISASI64 JJ = I+1


65 DO 30 J=JJ,N66 C LANGKAH 7: TENTUKAN MJI67 MJI = A(J,I)/A(I,I)68 BK = BK + 169 C LANGKAH 8: MELAKUKAN PROSES TRIANGULARISASI70 DO 40 K=JJ,N+N71 A(J,K) = A(J,K)-MJI*A(I,K)72 BK = BK + 173 TK = TK + 174 40 CONTINUE75 A(J,I) = 076 30 CONTINUE77 10 CONTINUE78 C MENAMPILKAN HASIL TRIANGULARISASI79 WRITE (*,(1X,A)) HASIL TRIANGULARISASI:80 DO 120 I = 1,N81 WRITE (*,(1X,5(F14.8))) (A(I,J),J=1,N+N)82 120 CONTINUE83 C LANGKAH 9: MEMERIKSA ELEMEN A(N,N)84 IF(ABS(A(N,N)).LT.1.0E-20) THEN85 C MENAMPILKAN PESAN SINGULAR86 WRITE(*,5)87 GOTO 40088 END IF

89 DO 500 J = 1,N90 Q=N+J91 C LANGKAH 10: MENGHITUNG A(N,N)92 D(J,N) = A(N,Q)/A(N,N)93 BK = BK + 194 C LANGKAH 11: PROSES SUBSTITUSI MUNDUR95 L = N-196 DO 15 K=1,L97 I = L-K+198 JJ = I+199 SUM = 0.0100 DO 16 KK=JJ,N101 SUM = SUM+A(I,KK)*D(J,KK)102 BK = BK + 1103 TK = TK + 1104 16 CONTINUE105 D(J,I) = (A(I,Q)-SUM)/A(I,I)106 BK = BK + 1107 TK = TK + 1108 15 CONTINUE109 500 CONTINUE110 C LANGKAH 12: MENAMPILKAN HASIL PERHITUNGAN111 WRITE (*,*)112 WRITE (*,(1X,A)) MATRIK INVERS:113 DO 220 I = 1,N114 WRITE (*,(1X,5(F14.8))) (D(J,I),J=1,N)115 220 CONTINUE116 WRITE(*,8) TKR117 WRITE(*,9) BK118 WRITE(*,11) TK119 400 STOP120 5 FORMAT(1X,MATRIK A BERSIFAT SINGULAR)121 8 FORMAT(1X,JUMLAH TUKAR POSISI = ,3X,I5)122 9 FORMAT(1X,JUMLAH OPERASI BAGI/KALI = ,3X,I6)123 11 FORMAT(1X,JUMLAH OPERASI JUMLAH/KURANG = ,3X,I6)

2.7. PENUTUP 37

124 END

2.7 Penutup

Silakan anda coba aplikasikan program di atas dengan berbagai sistem persamaan linear yang

pernah dijadikan contoh pada catatan terdahulu. Saya cukupkan sementara sampai disini.

Insya Allah akan saya sambung lagi dilain waktu. Kalau ada yang mau didiskusikan, silakan

hubungi saya melalui email yang tercantum di halaman paling depan.

Bab 3

Aplikasi Eliminasi Gauss pada Masalah

Inversi

- Objektif :

Mengenalkan model garis. Mengenalkan model parabola. Mengenalkan model bidang.

Pada bab ini, saya mencoba menuliskan aplikasi Metode Eliminasi Gauss sebagai dasar-

dasar teknik inversi yaitu meliputi model garis, model parabola dan model bidang. Uraian ap-

likasi tersebut diawali dari ketersediaan data observasi, lalu sejumlah parameter model mesti

dicari dengan teknik inversi. Mari kita mulai dari model garis.

3.1 Inversi Model Garis

Pengukuran temperatur terhadap kedalaman di bawah permukaan bumimenunjukkan bahwa

semakin dalam, temperatur semakin tinggi. Misalnya telah dilakukan sebanyak empat kali (N

= 4) pengukuran temperatur (Ti) pada kedalaman yang berbeda beda (zi). Tabel pengukuran

secara sederhana disajikan seperti ini: Lalu kita berasumsi bahwa variasi temperatur terhadap

Tabel 3.1: Data temperatur bawah permukaan tanah terhadap kedalaman

Pengukuran ke-i Kedalaman (m) Temperatur (OC)

1 z1 = 5 T1 = 352 z2 = 16 T2 = 573 z3 = 25 T3 = 754 z4 = 100 T4 = 225

kedalaman ditentukan oleh rumus berikut ini:

m1 +m2zi = Ti (3.1)

39

40 BAB 3. APLIKASI ELIMINASI GAUSS PADAMASALAH INVERSI

dimanam1 danm2 adalah konstanta-konstanta yang akan dicari. Rumus di atas disebutmod-

el. Sedangkan m1 dan m2 disebut model parameter. Jadi pada model di atas terdapat dua

buah model parameter, (M = 2). Adapun yang berlaku sebagai data adalah nilai-nilai tem-

peratur T1, T2,..., dan T4. Berdasarkan model tersebut, kita bisa menyatakan temperatur dan

kedalaman masing-masing sebagai berikut:

m1 +m2z1 = T1

m1 +m2z2 = T2

m1 +m2z3 = T3

m1 +m2z4 = T4

Semua persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam operasi matrik berikut ini:

1 z1

1 z2

1 z3

1 z4

[m1

m2

]=

T1

T2

T3

T4

(3.2)

Lalu ditulis secara singkat

Gm = d (3.3)

dimana d adalah data yang dinyatakan dalam vektor kolom, m adalah model parameter, juga

dinyatakan dalam vektor kolom, danG disebutmatrik kernel. Lantas bagaimana cara menda-

patkan nilaim1 danm2 pada vektor kolomm? Manipulasi berikut ini bisa menjawabnya

GtGm = Gtd (3.4)

dimana t disini maksudnya adalah tanda transpos matrik. Selanjutnya, untuk mendapatkan

elemen-elemenm, diperlukan langkah-langkah perhitungan berikut ini:

1. Tentukan transpos dari matrik kernel, yaitu Gt

G =

1 z1

1 z2

1 z3

1 z4

Gt =

[1 1 1 1

z1 z2 z3 z4

]

2. Tentukan GtG

GtG =

[1 1 1 1

z1 z2 z3 z4

]

1 z1

1 z2

1 z3

1 z4

=

[N

zi

zi

z2i

]

3.1. INVERSI MODEL GARIS 41

dimana N = 4 dan i = 1, 2, 3, 4.

3. Kemudian tentukan pula Gtd

Gtd =

[1 1 1 1

z1 z2 z3 z4

]T1

T2

T3

T4

=

[ TiziTi

]

4. Sekarang persamaan (3.4) dapat dinyatakan sebagai

[N

zi

zi

z2i

][m1

m2

]=

[ TiziTi

](3.5)

5. Aplikasikan metode Eliminasi Gauss dengan Substitusi Mundur. Untuk itu, tentukan

matrik augment-nya

[N

zi |

Ti

zi

z2i |

ziTi

]

6. Untuk mempermudah perhitungan, kita masukan dulu angka-angka yang tertera pada

tabel pengukuran dihalaman depan.

[4 146 | 392

146 10906 | 25462

]

7. Lakukan proses triangularisasi dengan operasi (P2 (36, 5)P1) P2. Saya sertakanpula indeks masing-masing elemen pada matrik augment sebagaimana yang telah saya

lakukan pada catatan kuliah yang berjudulMetode Eliminasi Gauss. Hasilnya adalah

[4 146 | 3920 5577 | 11154

]=

[a11 a12 | a13a21 a22 | a23

]

8. Terakhir, tentukan konstanta m1 dan m2 yang merupakan elemen-elemen vektor kolom

m, dengan proses substitusi mundur. Pertama tentukanm2

m2 =a23a22

=11154

5577= 2

lalu tentukanm1

m1 =a13 a12m2

a11=

392 (146)(2)4

= 25


3.1.1 Script matlab inversi model garis

Script inversi model garis ini dibangun dari beberapa script yang sudah kita pelajari sebelum-

nya, yaitu script transpose matriks, perkalian matrik dan script eliminasi gauss. Silakan pela-

jari maksud tiap-tiap baris pada script ini.

1 clc2 clear all3

4 disp(Data observasi)5 z1=5;6 z2=16;7 z3=25;8 z4=100;9

10 T(1,1)=35;11 T(2,1)=57;12 T(3,1)=75;13 T(4,1)=225;14

15 disp(Elemen-elemen matriks kernel G)16 G(1,1)=1;17 G(1,2)=z1;18 G(2,1)=1;19 G(2,2)=z2;20 G(3,1)=1;21 G(3,2)=z3;22 G(4,1)=1;23 G(4,2)=z4;24 G25 d=T;26 d27

28 N=4; %jumlah data29 M=2; %model parameter30

31 disp(Mencari G transpos)32 for i=1:N33 for j=1:M34 GT(j,i)=G(i,j);35 end36 end37 GT38

39 disp(Perkalian GT dan G)40 for i=1:M41 for j=1:M42 GTG(i,j)=0;43 end44 end45 for i=1:M46 for j=1:M47 for k=1:N48 GTG(i,j)=GTG(i,j)+GT(i,k)*G(k,j);49 end50 end51 end

3.1. INVERSI MODEL GARIS 43

52 GTG53

54 disp(Perkalian GT dan d)55 for i=1:M56 for j=1:157 GTd(i,j)=0;58 end59 end60 for i=1:M61 for j=1:162 for k=1:N63 GTd(i,j)=GTd(i,j)+GT(i,k)*d(k,j);64 end65 end66 end67 GTd68

69 A=GTG;70 %====== Menggabungkan Vektor GTd kedalam matrik A ========71 n=M;

72 for i=1:n73 A(i,n+1)=GTd(i,1);74 end75 A

76

77 %&&&&&& Proses Eliminasi Gauss &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&78 %---------Proses Triangularisasi-----------79 for j=1:(n-1)80

81 %----mulai proses pivot---82 if (A(j,j)==0)83 for p=1:n+184 u=A(j,p);85 v=A(j+1,p);86 A(j+1,p)=u;87 A(j,p)=v;88 end89 end90 %----akhir proses pivot---91 jj=j+1;92 for i=jj:n93 m=A(i,j)/A(j,j);94 for k=1:(n+1)95 A(i,k)=A(i,k)-(m*A(j,k));96 end97 end98 end99 %-------------------------------------------100


104 for i=n-1:-1:1105 S=0;106 for j=n:-1:i+1107 S=S+A(i,j)*x(j,1);108 end109 x(i,1)=(A(i,n+1)-S)/A(i,i);110 end


111 %&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&112 disp(Model parameter yang dicari)113 m=x

Sebetulnya, matlab telah menyediakan fungsi-fungsi intrinsik yang bisa digunakan sehing-

ga dapat memperkecil jumlah baris pada script di atas. Dari line 28 sampai line 113 dapat

dipangkas menjadi

1 m=inv(G*G)*G*d %Proses inversi linear

Lalu mengapa kita harus bersusah payah membangun script yang begitu panjang bila mat-

lab bisa melakukannya dengan mudah? Karena kita sedang mempelajari teknik-teknik kom-

putasi untuk menyelesaikan problem sains dan teknik. Kita tidak sedang belajar matlab. Ja-

di teknik-teknik yang dipelajari disini harus bisa diterapkan di selain matlab. Script singkat

m = inv(G G) G d hanya berlaku di matlab, sementara script yang panjangnya 113 linedapat diterjemahkan dengan sangat mudah ke dalam bahasa pemrograman selain matlab.

Demikianlah contoh aplikasi metode Eliminasi Gauss dengan substitusi mundur. Anda

bisa mengaplikasikan pada kasus lain, dengan syarat kasus yang anda tangani memiliki ben-

tuk model yang sama dengan yang telah dikerjakan pada catatan ini, yaitu model persamaan

garis atau disingkat model garis: y = m1 + m2x. Selanjutnya mari kita pelajari inversi model

parabola.

3.2 Inversi Model Parabola

Pengukuran temperatur terhadap kedalaman di bawah permukaan bumi menunjukkan bah-

wa semakin dalam, temperatur semakin tinggi. Misalnya telah dilakukan sebanyak delapan

kali (N = 8) pengukuran temperatur (Ti) pada kedalaman yang berbeda beda (zi). Tabel pen-

gukuran secara sederhana disajikan seperti ini:

Tabel 3.2: Data temperatur bawah permukaan tanah terhadap kedalaman

Pengukuran ke-i Kedalaman (m) Temperatur (OC)

1 z1 = 5 T1 = 21, 752 z2 = 8 T2 = 22, 683 z3 = 14 T3 = 25, 624 z4 = 21 T4 = 30, 875 z5 = 30 T5 = 40, 56 z6 = 36 T6 = 48, 727 z7 = 45 T7 = 63, 758 z8 = 60 T8 = 96

Lalu kita berasumsi bahwa variasi temperatur terhadap kedalaman ditentukan oleh rumus

berikut ini:

m1 +m2zi +m3z2i = Ti (3.6)

dimana m1, m2 dan m3 adalah konstanta-konstanta yang akan dicari. Rumus di atas disebut

model. Sedangkanm1,m2 danm3 disebutmodel parameter. Jadi pada model di atas terdapat

3.2. INVERSI MODEL PARABOLA 45

tiga buah model parameter, (M = 3). Adapun yang berlaku sebagai data adalah nilai-nilai

temperatur T1, T2,..., dan T8. Berdasarkan model tersebut, kita bisa menyatakan temperatur

dan kedalaman masing-masing sebagai berikut:

m1 +m2z1 +m3z21 = T1

m1 +m2z2 +m3z22 = T2

m1 +m2z3 +m3z23 = T3

m1 +m2z4 +m3z24 = T4

m1 +m2z5 +m3z25 = T5

m1 +m2z6 +m3z26 = T6

m1 +m2z7 +m3z27 = T7

m1 +m2z8 +m3z28 = T8


1 z1 z21

1 z2 z22

1 z3 z23

1 z4 z24

1 z5 z25

1 z6 z26

1 z7 z27

1 z8 z28

m1

m2

m3

=

T1

T2

T3

T4

T5

T6

T7

T8

(3.7)


Gm = d (3.8)



patkan nilaim1,m2 danm3 pada vektor kolomm? Manipulasi berikut ini bisa menjawabnya

GtGm = Gtd (3.9)





G =

1 z1 z21

1 z2 z22

1 z3 z23

1 z4 z24

1 z5 z25

1 z6 z26

1 z7 z27

1 z8 z28

Gt =

1 1 1 1 1 1 1 1

z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8

z21 z22 z

23 z

24 z

25 z

26 z

27 z

28

2. Tentukan GtG

GtG =

1 1 1 1 1 1 1 1

z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8

z21 z22 z

23 z

24 z

25 z

26 z

27 z

28

1 z1 z21

1 z2 z22

1 z3 z23

1 z4 z24

1 z5 z25

1 z6 z26

1 z7 z27

1 z8 z28

=

N

zi

z2izi

z2i

z3i

z2i

z3i

z4i

dimana N = 8 dan i = 1, 2, 3, ..., 8.


Gtd =

1 1 1 1 1 1 1 1

z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8

z21 z22 z

23 z

24 z

25 z

26 z

27 z

28

T1

T2

T3

T4

T5

T6

T7

T8

=

TiziTiz2i Ti

4. Sekarang persamaan (3.14) dapat dinyatakan sebagai (ini khan least square juga...!?)

N

zi

z2izi

z2i

z3i

z2i

z3i

z4i

m1

m2

m3

=

TiziTiz2i Ti

(3.10)



matrik augment-nya

N

zi

z2i |

Tizi

z2i

z3i |

ziTi

z2i

z3i

z4i |

z2i Ti

6. Untuk mempermudah perhitungan, kita masukan dulu angka-angka yang tertera pada

tabel pengukuran dihalaman depan.

8 219 8547 | 349, 89219 8547 393423 | 12894, 818547 393423 19787859 | 594915, 33

7. Lakukan proses triangularisasi dengan operasi (P2 (219/8)P1) P2. Hasilnya adalah

8 219 8547 | 349, 890 2551, 88 159448, 88 | 3316, 57

8547 393423 19787859 | 594915, 33

8. Masih dalam proses triangularisai, operasi berikutnya (P3 (8547/8)P1) P3. Hasilnyaadalah

8 219 8547 | 349, 890 2551, 88 159448, 88 | 3316, 570 159448.88 10656457, 88 | 221101, 6

9. Masih dalam proses triangularisai, operasi berikutnya (P3 (159448, 88/2551, 88)P2) P3. Hasilnya adalah

8 219 8547 | 349, 890 2551, 88 159448, 88 | 3316, 570 0 693609, 48 | 13872, 19

(3.11)

Seperti catatan yang lalu, saya ingin menyertakan pula notasi masing-masing elemen

pada matrik augment sebelum melakukan proses substitusi mundur.

8 219 8547 | 349, 890 2551, 88 159448, 88 | 3316, 570 0 693609, 48 | 13872, 19

a11 a12 a13 | a14a21 a22 a23 | a24a31 a32 a33 | a34

10. Terakhir, tentukan konstanta m1, m2 dan m3 yang merupakan elemen-elemen vektor

kolomm, dengan proses substitusi mundur. Pertama tentukanm3

m3 =a34a33

=13872, 19

693609, 48= 0, 02


lalum2

m2 =a24 a23m3

a22=

3316, 57 (159448, 88)(0, 02)2551, 88

= 0, 05

danm1

m1 =a14 (a12m2 + a13m3)

a11=

349, 89 [(219)(0, 05) + (8547)(0, 02)8

= 21

3.2.1 Script matlab inversi model parabola

Perbedaan utama script ini dengan script inversi model garis terletak pada inisialisasi elemen-

elemenmatrik kernel. Elemen-elemenmatrik kernel sangat ditentukan olehmodel matematika

yang digunakan. Seperti pada script ini, matrik kernelnya diturunkan dari persamaan parabo-

la.

1 clc2 clear all3

4 z1=5;5 z2=8;6 z3=14;7 z4=21;8 z5=30;9 z6=36;10 z7=45;11 z8=60;12

13 T(1,1)=21.75;14 T(2,1)=22.68;15 T(3,1)=25.62;16 T(4,1)=30.87;17 T(5,1)=40.5;18 T(6,1)=48.72;19 T(7,1)=63.75;20 T(8,1)=96;21

22 G(1,1)=1;23 G(1,2)=z1;24 G(1,3)=z1^2;25 G(2,1)=1;26 G(2,2)=z2;27 G(2,3)=z2^2;28 G(3,1)=1;29 G(3,2)=z3;30 G(3,3)=z3^2;31 G(4,1)=1;32 G(4,2)=z4;33 G(4,3)=z4^2;34 G(5,1)=1;35 G(5,2)=z5;36 G(5,3)=z5^2;37 G(6,1)=1;38 G(6,2)=z6;39 G(6,3)=z6^2;40 G(7,1)=1;41 G(7,2)=z7;


42 G(7,3)=z7^2;43 G(8,1)=1;44 G(8,2)=z8;45 G(8,3)=z8^2;46

47 G48 d=T;49 d50

51 N=8; %jumlah data52 M=3; %model parameter53 pause54

55

56 %%%%%===========Proses inversi==============57 disp(Mencari G transpos)58 for i=1:N59 for j=1:M60 GT(j,i)=G(i,j);61 end62 end63 GT64

65 disp(Perkalian GT dan G)66 for i=1:M67 for j=1:M68 GTG(i,j)=0;69 end70 end71 for i=1:M72 for j=1:M73 for k=1:N74 GTG(i,j)=GTG(i,j)+GT(i,k)*G(k,j);75 end76 end77 end78 GTG79

80 disp(Perkalian GT dan d)81 for i=1:M82 for j=1:183 GTd(i,j)=0;84 end85 end86 for i=1:M87 for j=1:188 for k=1:N89 GTd(i,j)=GTd(i,j)+GT(i,k)*d(k,j);90 end91 end92 end93 GTd94

95 A=GTG;96 %====== Menggabungkan Vektor GTd kedalam matrik A ========97 n=M;

98 for i=1:n99 A(i,n+1)=GTd(i,1);100 end


101 A

102 pause103

104 disp(Hasil Eliminasi Gauss)105 %&&&&&& Proses Eliminasi Gauss &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&106 %---------Proses Triangularisasi-----------107 for j=1:(n-1)108

109 %----mulai proses pivot---110 if (A(j,j)==0)111 for p=1:n+1112 u=A(j,p);113 v=A(j+1,p);114 A(j+1,p)=u;115 A(j,p)=v;116 end117 end118 %----akhir proses pivot---119 jj=j+1;120 for i=jj:n121 m=A(i,j)/A(j,j);122 for k=1:(n+1)123 A(i,k)=A(i,k)-(m*A(j,k));124 end125 end126 end127 %-------------------------------------------128


132 for i=n-1:-1:1133 S=0;134 for j=n:-1:i+1135 S=S+A(i,j)*x(j,1);136 end137 x(i,1)=(A(i,n+1)-S)/A(i,i);138 end139 %&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&140 %%%%%%%%%%%=====AKHIR DARI INVERSI MODEL GARIS==========141 m=x

Demikianlah contoh aplikasi metode Eliminasi Gauss dengan substitusi mundur. Anda

bisa mengaplikasikan pada kasus lain, dengan syarat kasus yang anda tangani memiliki ben-

tukmodel yang sama dengan yang telah dikerjakan pada catatan ini, yaitu memiliki tiga buah

model parameter yang tidak diketahui dalam bentuk persamaan parabola: y = m1 + m2x +

m3x2. Pada catatan berikutnya, saya akan membahas model yang mengandung tiga model

parameter dalam 2 dimensi.

3.3 Inversi Model Bidang

Dalam catatan ini saya belum sempat mencari contoh pengukuran yang sesuai untuk model

2-dimensi. Maka, saya ingin langsung saja mengajukan sebuahmodel untuk 2-dimensi berikut

3.3. INVERSI MODEL BIDANG 51

ini:

m1 +m2xi +m3yi = di (3.12)

dimanam1, m2 danm3 merupakan model parameter yang akan dicari. Adapun yang berlaku

sebagai data adalah d1, d2, d3, ..., di. Berdasarkanmodel tersebut, kita bisa menyatakan temper-

atur dan kedalaman masing-masing sebagai berikut:

m1 +m2x1 +m3y1 = d1

m1 +m2x2 +m3y2 = d2

m1 +m2x3 +m3y3 = d3...

......

......

m1 +m2xN +m3yN = dN


1 x1 y1

1 x2 y2

1 x3 y3...

......

1 xN yN

m1

m2

m3

=

d1

d2

d3...

dN


Gm = d (3.13)



patkan nilaim1,m2 danm3 pada vektor kolomm? Manipulasi berikut ini bisa menjawabnya

GtGm = Gtd (3.14)




G =

1 x1 y1

1 x2 y2

1 x3 y3...

......

1 xN yN

Gt =

1 1 1 1x1 x2 x3 xNy1 y2 y3 yN


2. Tentukan GtG

GtG =

1 1 1 1x1 x2 x3 xNy1 y2 y3 yN

1 x1 y1

1 x2 y2

1 x3 y3...

......

1 xN yN

=

N

xi

yixi

x2i

xiyi

yi

xiyi

y2i

dimana N = jumlah data. dan i = 1, 2, 3, ..., N .


Gtd =

1 1 1 1x1 x2 x3 xNy1 y2 y3 yN

d1

d2

d3...

dN

=

dixidiyidi

4. Sekarang, persamaan (3.14) dapat dinyatakan sebagai

N

xi

yixi

x2i

xiyi

yi

xiyi

y2i

m1

m2

m3

=

dixidiyidi

(3.15)


matrik augment-nya

N

xi

yi |

dixi

x2i

xiyi |

xidi

yi

xiyi

y2i |

yidi

6. Langkah-langkah selanjutnya akan sama persis dengan catatan sebelumnya (model lin-

ear danmodel parabola)

Anda bisa mengaplikasikan data pengukuran yang anda miliki, dengan syarat kasus yang

anda tangani memiliki bentuk model yang sama dengan yang telah dikerjakan pada catatan

ini, yaitu memiliki tiga buah model parameter yang tidak diketahui dalam bentuk persamaan

bidang (atau 2-dimensi): d = m1 +m2x+m3y.

Saya cukupkan sementara sampai disini. Insya Allah akan saya sambung lagi dilain waktu.

Kalau ada yang mau didiskusikan, silakan hubungi saya melalui email: [email protected].


3.4 Contoh aplikasi

3.4.1 Menghitung gravitasi di planet X

Seorang astronot tiba di suatu planet yang tidak dikenal. Setibanya disana, ia segera mengelu-

arkan kamera otomatis, lalu melakukan ekperimen kinematika yaitu dengan melempar batu

vertikal ke atas. Hasil foto-foto yang terekam dalam kamera otomatis adalah sebagai berikut

Tabel 3.3: Data ketinggian terhadap waktu dari planet X

Waktu (dt) Ketinggian (m) Waktu (dt) Ketinggian (m)

0,00 5,00 2,75 7,620,25 5,75 3,00 7,250,50 6,40 3,25 6,770,75 6,94 3,50 6,201,00 7,38 3,75 5,521,25 7,72 4,00 4,731,50 7,96 4,25 3,851,75 8,10 4,50 2,862,00 8,13 4,75 1,772,25 8,07 5,00 0,582,50 7,90

Plot data pengukuran waktu vs ketinggian diperlihatkan sebagai berikut

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Waktu (detik)

Ting

gi (m

eter)

Gambar 3.1: Grafik data pengukuran gerak batu

Anda diminta untuk membantu pengolahan data di atas. Jika anda menggunakan asumsi


model matematik dari Gerak-Lurus-Berubah-Beraturan (GLBB) seperti ini

ho + vot 12gt2 = h

maka gunakanlah prinsip-prinsip inversi untukmenentukan kecapatan awal, vo dan konstanta

gravitasi, g pada planet tersebut.

jawab:

Berdasarkan tabel di atas, diketahui terdapat 21 data. Ketinggian pada saat t = 0 adalah ho = 5

m. Untuk mencari vo dan g menggunakan metode inversi, mula-mula kita definisikan terlebih

dahulum1 danm2:

m1 = vo m2 = 12g

sehingga persamaan model GLBB menjadi

5 +m1ti +m2t2i = hi

dimana imenunjukkan data ke-i. Langkah selanjutnya adalah menentukan nilai tiap-tiap ele-

men matrik kernel, yaitu dengan memasukan semua data kedalam persamaan model GLBB

5 +m1t1 +m2t21 = h1

5 +m1t2 +m2t22 = h2

5 +m1t3 +m2t23 = h3

...... =

...

5 +m1t20 +m2t220 = h20


5 t1 t21

5 t2 t22

5 t3 t23

5 t4 t24

......

...

5 t19 t219

5 t20 t220

[m1

m2

]=

h1

h2

h3...

h19

h20

Sebelum dilanjut, coba perhatikan dengan teliti operasi matrik di atas. Adakah yang janggal??

Yep.. matrik kernel G berukuran 20x3 sementara vektor m berukuran 2x1, tentu saja operasi

perkalian matrik akan gagal. Untuk menghindarinya, kita tambahkan m0 pada vektor m, se-


hingga operasi tersebut menjadi

5 t1 t21

5 t2 t22

5 t3 t23

5 t4 t24

......

...

5 t19 t219

5 t20 t220

m0

m1

m2

=

h1

h2

h3...

h19

h20

Namun, perlu dicatat bahwa m0 harus punya syarat, yaitu harus bernilai 1 atau m0 =1. Ini

boleh dibilang sebagai sebuah aksioma, atau sesuatu yang tak perlu dibuktikan lagi tapi tak

bisa dibantah. Tinggal nanti bisa kita periksa hasil inversinya. Bilam0 bernilai 1, maka proses

inversi dianggap sukses. Kemudian operasi matrik tersebut bisa ditulis secara singkat

Gm = d

Untuk menyelesaikan persamaan matrik ini, diperlukan modifikasi berikut

GTGm = GTd (3.16)

dimana T disini maksudnya adalah tanda transpos matrik. Selanjutnya, untuk mendapatkan

m0,m1 danm2, diperlukan langkah-langkah perhitungan berikut ini:


G =

5 t1 t21

5 t2 t22

5 t3 t23

5 t4 t24

......

...

5 t19 t219

5 t20 t220

GT =

5 5 5 5 . . . 5 5

t1 t2 t3 t4 . . . t19 t20

t21 t22 t

23 t

24 . . . t

219 t

220

2. Tentukan GTG

GTG =

5 5 5 5 . . . 5 5

t1 t2 t3 t4 . . . t19 t20

t21 t22 t

23 t

24 . . . t

219 t

220

5 t1 t21

5 t2 t22

5 t3 t23

5 t4 t24

......

...

5 t19 t219

5 t20 t220

=

25N 5

ti 5

t2i5

ti

t2i

t3i5

t2i

t3i

t4i


dimana N = 20 dan i = 1, 2, ..., 20.

3. Kemudian tentukan pula GTd

GTd =

5 5 5 5 . . . 5 5

t1 t2 t3 t4 . . . t19 t20

t21 t22 t

23 t

24 . . . t

219 t

220

h1

h2

h3

h4...

h19

h20

=

5

hitihit2ihi

4. Sekarang persamaan (3.16) dapat dinyatakan sebagai

25N 5

ti 5

t2i5

ti

t2i

t3i5

t2i

t3i

t4i

m0

m1

m2

=

5

hitihit2ihi

(3.17)

500 262, 5 896, 9

262, 5 179, 4 689, 1

896, 9 689, 1 2822, 9

m0

m1

m2

=

607, 5

273, 7

796, 3

Hasil operasi matriks ini dapat diselesaikan dengan metode Eliminasi Gauss, yaitu

m0

m1

m2

=

0, 9999

3, 2009

0, 8169

Lihatlah! m0 = 0,9999 atau mendekati 1. Dan ini sesuai dengan aksioma yang telah dinyatakan

di awal bahwa memang m0 harus bernilai 1. Jika m0 tidak bernilai 1 berarti teknik inversinya

salah total.

Hasil inversi juga menunjukkan bahwa kecepatan awal yait

teknik komputasi elektro

Documents