TUGAS AKHIR

KOMPUTASI MEDAN ELEKTROMAGNETIK

MEDAN LISTRIK PADA TELUR

DENGAN

METODE BEDA HINGGA (FINITE DIFFERENCE METHODE)

DISUSUN OLEH :

WIDYA ANGGORO PUTRO (23210106)

PROGRAM MAGISTER TEKNIK ELEKTRO

SEKOLAH TEKNIK ELEKTRO DAN INFORMATIKA

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

2010-2011

1

I. PENDAHULUAN

I.1 Permasalahan

Hitung medan listrik dengan metode beda hingga (Finite Difference Method/FDM) untuk permasalahan dibawah ini :

Gambar 1 Permasalahan

Telur bebek berbentuk ellips simetris seperti ditunjukkan pada gambar 1. Nilai permitivitas,

permeabilitas dan resistivitas dari putih , kuning dan kulit telor adalah sebagai berikut :

 Jari-jari (cm) Permitivitas Permeabilitas Resistivitas

Kulit telur 10,15 & 5,15 3 10 7Putih telur 10 & 5 5 20 10

Kuning telur 12,5 8 15 5

I.2 Batasan Masalah

- Pemodelan yang digunakan dalam bentuk 2 Dimensi (2-D).- Medan listrik yang terbentuk merupakan medan listrik kuasi statik.- Daerah medan listrik yang dilingkupi / dihitung disekitar kawat bertegangan dibatasi

berbentuk persegi panjang sesuai gambar 2 (Panjang = 0,49 m ; lebar = 0,43 m).

2

Gambar 2 Batasan Masalah

- Tidak didapatkan keterangan letak telur tersebut terhadap permukaan tanah, sehingga dalam hal ini diasumsikan jarak telur terhadap tanah tidak diketahui.

- Software yang digunakan adalah MATLAB 7 beserta M-Filenya dan Microsoft Office Excel 2007

II. DASAR TEORI

II.1 Persamaan Maxwell & Medan Listrik

Persamaan Maxwell

3

Dari persamaan Maxwell 1 & 2 disimpulkan bahwa medan listrik dapat menimbulkan medan

magnet dan medan magnet juga dapat menimbulkan medan listrik.

Persamaan Maxwell 3 & 4 menyebutkan bahwa ada muatan listrik dan tidak ada muatan magnet

yang dilingkupi oleh suatu flux. Hal ini menyebabkan bahwa medan listrik bisa berupa medan

sumber (ada muatan positif/negative) dan medan vortex (melingkar), sedangkan medan magnet

hanya berupa medan vortex (melingkar, tanpa sumber positif/negative).

Medan Listrik

Merupakan medan vektor yang ditimbulkan oleh partikel bermuatan, baik yang diam maupun

yang bergerak.

Rumus Matematika untuk medan listrik dapat diturunkan melalui hukum coulomb, yaitu gaya

diantara dua muatan, yaitu

Menurut persamaan ini, gaya pada salah satu titik muatan berbanding lurus dengan besar

muatannya. Medan listrik didefinisikan sebagai suatu konstan perbandingan antara muatan dan

gaya

Maka, medan listrik bergantung pada posisi. Besar suatu medan berbanding terbalik dengan

permitivitas (konduktivitas dielektrik)

E ~ 1 / ε

4

Untuk dua buah medium yang berbeda, akan didapatkan kuantitas medan yang berbeda:

Suatu medan, merupakan sebuah vektor yang bergantung pada vektor lainnya. Medan listrik

dapat dianggap sebagai gradien dari potensial listrik

Gradien potensial listrik

Medan listrik dapat pula dihitung apabila suatu potensial listrik diketahui, melalui

perhitungan gradiennya:

dengan

untuk sistem koordinat kartesian

II.2 Metode beda hingga

Pemodelan dengan metode beda hingga dalam domain 2D :

Misalkan, Δx adalah penambahan kecil nilai x, maka menurut ekspansi deret taylor

5

Notasi dengan keempat arah mata anginN: North (node sebelah atas node o yang diapproksimasi nilainya)S: South (node sebelah bawah node o)W: West (node sebelah kiri node o)E: East (node sebelah kanan node o)

yang selanjutnya apabila melalui substitusi turunan pertama dan kedua, turunan ketiga dan

seterusnya diabaikan dan sedemikian rupa sehingga persamaan di atas dapat diturunkan menjadi

berbentuk:

Persamaan poisson menurut dirichlet memenuhi boundary condition sebagai berikut:

Jadi persamaan pada node o (titik tengah di antara keempat arah mata angin E,N,W,S) dengan

mensubstitusi approksimasi terhadap turunan kedua, maka

Untuk persamaan laplace, dimana h2F0 sama dengan nol, maka persamaan diatas berkurang

menjadi

Hubungan antara E dan V dalam perhitungan Matriks menggunakan FDM :

6

III. LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN

III.1 Diskritisasi

Bidang / daerah yang mau dihitung medan listriknya di diskritisasi menjadi bagian-bagian kecil

untuk mempermudah perhitungan menggunakan metode beda hingga.

Gambar 3 Diskritisasi permasalahan

Diskritisasi dilakukan dengan membagi panjang 0,49 m dan lebar 0,43 m menjadi 49 bagian

panjang dan 43 bagian lebar sehingga tiap bujur sangkar mewakili 1 cm sebenarnya.

Sisi lebar :

Jarak terdekat kawat dengan telur = 15 cm = 15 bujur sangkar

Jarak kawat dengan batas sisi atas = 10 cm = 10 bujur sangkar

7

Jarak telur dengan batas sisi bawah = 7 cm = 7 bujur sangkar

Diameter telur sisi terpendek = 10 cm = 10 bujur sangkar

Sehingga didapat 42 bujur sangkar = 43 titik matriks

Sisi panjang :

Jarak sisi kiri dengan telur = 14 cm = 14 bujur sangkar

Diameter telur sisi terpanjang = 20 cm = 20 bujursangkar

Jarak sisi kanan dengan telur = 14 cm = 14 bujur sangkar

Sehingga didapat 48 bujur sangkar = 49 titik matriks

Titik Pusat

Berdasarkan diskritisasi yang dilakukan, didapat titik pusat berada di (13,25)

III.2 Algoritma & Pemograman

1. Setelah dilakukan proses diskritisasi, didapatkan matriks berukuran 43 x 49 (Sesuai aturan matriks, baris x kolom);

2. Inisialisasi awal sesuai batasan masalah , yaitu tegangan diluar batas-batas adalah 0;

3. Inisialisasi titik pusat (13,25)

4. Proses Iterasi sebanyak 3000 x dimulai ; Inisialisasi letak penghantar di titik baris ke 33 , kolom 1-49

5. Perhitungan Iterasi distribusi tegangan dilakukan sebanyak 3000 x

6. Menghitung Q sebagai batas - batas telur bagian luar

Berdasarkan persamaan elips

dengan (X0,Y0) = Titik pusat telur ; a = jari-jari terpendek ; b = jari-jari terpanjang

8

7. Menghitung L sebagai batas-batas telur bagian dalam (kuning telur)

Berdasarkan persamaan lingkaran

8. Menghitung E (Kuat medan listrik) berdasarkan nilai epsilon masing-masing bagian

- Epsilon Kulit telur = 3

- Epsilon Putih telur = 5

- Epsilon Kuning telur = 8

- Epsilon Udara = 1

Perhitungan dilakukan berdasarkan rumus :

9. Didapatkan nilai matriks V , E , dan nilai mutlak E

10. Ditampilkan contour dari V dan E

Berikut adalah script MATLAB-nya :

clear;

clc;

Vn=0; %Inisialisasi tegangan luar sebelah atas

Vw=0; %Inisialisasi tegangan luar sebelah kiri

Ve=0; %Inisialisasi tegangan luar sebelah kanan

Vs=0; %Inisialisasi tegangan luar sebelah bawah

n=43; % dimensi matriks (baris)

m=49; % dimensi matriks (kolom)

V=0; % Inisialisasi seluruh tegangan awal = 0

x0=25; % Titik Pusat Koordinat telur (kolom)

y0=13; % Titik Pusat Koordinat telur (baris)

for z=1:3000 %Iterasi sebanyak 3000 x

for i=2:n-1

9

for k=2:m-1

V(1,k)=Vn;

V(n,k)=Vs;

V(i,1)=Vw;

V(i,m)=Ve;

for p=1:49 %Letak Penghantar bertegangan (kolom)

V(33,p)=220; %Letak Penghantar berteganngan (baris)

end

Q(i,k)=((i-y0)^2)/25 + ((k-x0)^2)/100 -1; %Batas kulit telur

V(i,k)=1/4*(V(i,k-1)+V(i-1,k)+V(i,k+1)+V(i+1,k));

L(i,k) = (i-y0)^2+(k-x0)^2-1.5625; %Batas kuning telur

end

end

end

V; %Nilai matriks V (Distribusi tegangan)

Q; %Nilai matriks Q (batas kulit telur)

L; %Nilai matriks L (batas kuning telur)

d=1; %jarak antar titik

Eps1 = 1; %Nilai Epsilon udara

Eps2 = 5; %Nilai Epsilon putih telur

Eps3 = 8; %Nilai Epsilon kuning telur

for i=2:n-1

for k=2:m-1

if (Q(i,k))<=0.75

%Nilai matriks medan listrik untuk di kulit telur

E(i,k)= (Eps1/Eps2)*((V(i,k-1)-V(i,k+1))/(2*d))+((V(i+1,k)-V(i-1,k))/(2*d));

if (L(i,k))<=0.0025

%Nilai matriks medan listrik untuk di kuning telur

E(i,k)= (Eps1/Eps2)*((V(i,k-1)-V(i,k+1))/(2*d))+((V(i+1,k)-V(i-1,k))/(2*d));

end

else

E(i,k)=((V(i,k-1)-V(i,k+1))/(2*d))+((V(i+1,k)-V(i-1,k))/(2*d));

end

end

end

O=abs(E); % Nilai mutlak E

[C,h]=contour(V,2000); % Contour V (Distribusi tegangan)

[C,h]=contour(E,2000); % Contour E (Medan listrik)

[C,h]=contour(O,2000); % Contour O (Nilai mutlak medan listrik)

10

III.3 Hasil Simulasi

III.3.1 Potensial V (distribusi tegangan) :

Cuplikan matriks potensial (tegangan) (43 x 49)

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0.3141 0.6263 0.9349 1.2381 1.5341 1.8215 2.0988 2.3646 2.6179 2.8576 3.08290 0.63 1.2564 1.8753 2.4833 3.0769 3.6531 4.2089 4.7418 5.2493 5.7296 6.18090 0.9497 1.8938 2.8266 3.7427 4.6372 5.5051 6.3421 7.1442 7.9081 8.6306 9.30930 1.2751 2.5424 3.7945 5.024 6.224 7.3879 8.51 9.585 10.6081 11.5754 12.48360 1.6081 3.2064 4.785 6.3348 7.8467 9.3127 10.7252 12.0775 13.364 14.5794 15.71990 1.9511 3.8899 5.8045 7.6833 9.5155 11.2909 13.0005 14.6361 16.1907 17.6585 19.03450 2.3062 4.5976 6.8597 9.0785 11.241 13.335 15.3497 17.2756 19.1044 20.8293 22.44480 2.6762 5.3347 7.9582 10.5301 13.0349 15.4583 17.7878 20.0121 22.122 24.1096 25.96880 3.0639 6.1068 9.1083 12.0488 14.9101 17.6757 20.3309 22.8632 25.2618 27.5183 29.6260 3.4725 6.9203 10.3193 13.6466 16.8811 20.0035 22.9971 25.8478 28.5437 31.0757 33.43680 3.9059 7.7826 11.6021 15.3374 18.964 22.46 25.8063 28.9871 31.9896 34.804 37.4233

Gambar 4 Contour Distribusi Potensial (V)

Analisis : Dari matriks dan contour distribusi potensial (tegangan) diatas, didapatkan bahwa semakin

jauh dari sumber tegangan, distribusi tegangan makin kecil. Hal ini sesuai dengan teori yang

menyebutkan bahwa besar potensial berbanding terbalik dengan jarak.

11

III.3.2 Medan listrik / E

Cuplikan matriks medan listrik (43 baris x 49 kolom)

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0.0018 0.3178 0.6318 0.942 1.2467 1.5442 1.8329 2.1113 2.3782 2.6323 2.87270 -0.3104 0.0111 0.3324 0.6515 0.9666 1.2758 1.5773 1.8696 2.1512 2.4207 2.67710 -0.6244 -0.2954 0.0351 0.3651 0.6924 1.015 1.331 1.6386 1.9362 2.2223 2.49560 -0.942 -0.6034 -0.2616 0.0813 0.4228 0.7608 1.093 1.4176 1.7327 2.0367 2.3280 -1.2652 -0.9147 -0.5592 -0.2012 0.1568 0.5122 0.8628 1.2062 1.5404 1.8636 2.17420 -1.5959 -1.2311 -0.8594 -0.4836 -0.1067 0.2686 0.6397 1.0039 1.359 1.7031 2.03430 -1.9362 -1.5543 -1.1636 -0.7672 -0.3685 0.0293 0.4234 0.8107 1.1888 1.5554 1.90860 -2.2885 -1.8864 -1.4734 -1.0532 -0.6295 -0.2061 0.2137 0.6267 1.03 1.421 1.79790 -2.6552 -2.2294 -1.7904 -1.3426 -0.8904 -0.4378 0.011 0.4524 0.8833 1.3009 1.70310 -3.0392 -2.5855 -2.1163 -1.6366 -1.1515 -0.6659 -0.1845 0.2887 0.75 1.1964 1.62550 -3.4434 -2.9571 -2.4526 -1.9359 -1.413 -0.8898 -0.3716 0.1368 0.6315 1.109 4.0360 -3.8716 -3.3469 -2.8011 -2.2413 -1.6749 -1.1087 -0.549 -0.0012 0.5301 1.0413 4.24370 -4.3279 -3.7579 -3.1635 -2.5535 -1.9366 -1.3211 -0.7144 -0.1227 0.4488 0.9963 4.47860 -4.817 -4.1934 -3.5415 -2.8725 -2.1969 -1.5248 -0.8648 -0.2242 0.3914 0.978 1.53290 -5.3447 -4.657 -3.9368 -3.198 -2.4538 -1.7162 -0.9957 -0.3006 0.3631 0.9913 1.5815

Gambar 5 Contour Medan Listrik (E)

Analisis : Dari matriks dan contour medan listrik diatas, didapatkan bahwa medan listrik adalah

gradient dari distribusi potensial. Medan listrik yang menembus telur dipengaruhi oleh

permitivitas dari telur tersebut. Semakin besar permitivitas telur, semakin kecil medan listrik

yang menembus.

12

; dengan U adalah Potensial (V)

; dengan adalah permitivitas bahan

IV. KESIMPULAN

1. Besar distribusi potensial berbanding terbalik dengan jarak dari muatan penghantar

2. Besar medan listrik berbanding lurus dengan gradient potensial dan berbanding

terbalik dengan permitivitas bahan yang ditembus

3. Dibutuhkan semakin banyak iterasi untuk membuat contour dan perhitungan

matriks menjadi lebih baik

4. Dalam perhitungan nyata, dibutuhkan syarat-syarat batas yang lebih besar dan

jelas agar perhitungannya mendekati nilai yang sebenarnya.

13

DAFTAR PUSTAKA

Silaban, Pantur, “Elemen-Elemen Elektromagnetika Teknik, jilid 2, edisi ke-5”, Penerbit Erlangga, 2001

Schwab, Adolf J, “Field Theory Concepts”, Springer-Verlag, Berlin, 1988

http://www.mathworks.com

Zhou, Pei-bai, “Numerical Analysis of Electromagnetic Fields”, Springer-Verlag, Berlin, 1993

14