keandalan struktur

SOAL 1

Balok beton tertumpu sederhana dengan bentang 5 m memiliki dimensi penampang 30 x 40

cm, tebal selimut balok 5 cm. Beban pada balok terdiri dari beban mati dan beban hidup,

berat sendiri balok diperhitungkan dan dianggap deterministik. Memon lentur balok tidak

boleh melebihi kapasitas lentur balok dan diperhitungkan sebagai kondisi batas. Variabel

random berupa mutu beton (fy), mutu baja (f’c), luas tulangan (As), beban hidup (L) dan

beban mati (D). Parameter distribusi dan parameter desain tercantum pada tabel 1. Hitung

indeks keamanan Hasofer-Lind dengan metode iterasi. Gunakan simultaneous equation

procedure dan matrix procedure kemudian bandingkan hasilnya.

Tabel 1. Parameter untuk Soal 1

Variabel NominalFaktor Bias

Koefisien Variasi

fy (MPa) 300 1.100 0.090

As (mm2) 1160 1.020 0.020f’c (MPa) 30 1.050 0.120D (kN/m) 15 1.015 0.080

L (kN/m) 5 1.400 0.105

JAWAB

a. Indeks keamanan Hasofer-Lind

Parameter variable random:

Variabel Nominal λ V

fy (MPa) 300 1.100 330.00 0.090 29.70

As (mm2) 1160 1.0201183.2

0 0.020 23.66f’c (MPa) 30 1.050 31.50 0.120 3.78D (kN/m) 15 1.015 15.23 0.080 1.22L (kN/m) 5 1.400 7.00 0.105 0.74

Simultaneous Equation Procedure

Kondisi batas (limit state) yang diperhitungkan adalah saat kapasitas lentur balok

terlampaui. Momen kapasitas lentur balok:

M=0.8 A s f y (d−0.5a)

M=0.8 A s f y [d−0.5 A s f y

0.85 f c' b ]=0.8 A s f y [d− A s f y

1.70 f c' b ]

M=0.8 A s f y d−0.47(A ¿¿ s f y )

2

f c' b

¿

Diketahui:

b = 300 mm

h = 400 mm

d = 400 – 50 = 350 mm

Bentang balok (S) = 5 m = 5000 mm

Berat sendiri balok (W) = 0.3 x 0.4 x 2400 = 288 kg/m = 2.88 N/mm

Fungsi kondisi batas:

g (A s , f y , f c' ,D , L )=0.8 A s f yd−0.47

(A ¿¿ s f y)2

f c' b

−W S2

8− DS2

8−LS2

8¿

g (A s , f y , f c' ,D , L )=280 A s f y−0.0016

(A¿¿ s f y)2

f c' −9.0 x106−3.125 x106D−3.125x 106 L¿

g=0

280 A s f y f c' −0.0016 (A¿¿ s f y)

2−9.0x 106 f c' −3.125x 106D f c

' −3.125 x106L f c' =0¿

Variabel tereduksi:

Z1=f y−μ f y

σ f y

→f y=Z1σ f y+μf y

Z2=A s−μA s

σ As

→ A s=Z2σ A s+μA s

Z3=f c' −μ f c

'

σ f c'

→f c' =Z3σ f c

'+μ f c'

Z4=D−μD

σ D

→D=Z4σ D+μD

Z5=L−μL

σ L

→L=Z5σ L+μL

Subtitusikan ke fungsi g, maka didapat:

−774.83Z12Z2

2−17218.54 Z1Z22−77483.46Z1

2Z2−95658.59Z22−1937086.57 Z1

2+743865.53 Z1Z2Z3+4477024.72Z1Z2+8265172.60Z2Z3+37193276.73Z1Z3−14387625 Z3 Z4−8682187.50 Z3Z5+266897604.44Z1+59310578.76 Z2+116705817.90 Z3−119896875Z4−72351562.5Z5+733401991.62=0

Formulasikan fungsi g dengan β dan α i:

z1¿=β α i

−774.83 β4α12α 2

2−17218.54 β3α 1α22−77483.46 β3α1

2α2−95658.59 β2α 2

2−1937086.57 β2α 12+743865.53 β3α1α2α 3+4477024.72 β

2α 1α 2+8265172.60 β2α 2α3+37193276.73 β

2α 1α3−14387625 β2α3α 4−8682187.50 β

2α3α 5+266897604.44 βα1+59310578.76 βα 2+116705817.90 βα 3−119896875 β α 4−72351562.5 βα 5+733401991.62=0

β (−774.83 β3α12α2

2−17218.54 β2α1α 22−77483.46 β2α 1

2α 2−95658.59 βα22−1937086.57 βα 1

2+743865.53 β2α1α 2α 3+4477024.72 β α1α2+8265172.60 β α2α 3+37193276.73 β α 1α 3−14387625 β α3α 4−8682187.50 β α3α 5+266897604.44α 1+59310578.76 α2+116705817.90 α3−119896875 α 4−72351562.5α 5)=−733401991.62

Maka didapat,

β [g (βα i) ]=−733401991.62

β=−733401991.62g(β αi)

Menghitung α i (i = 1, 2, 3, 4, 5):

α i=

−∂g∂Z i

√[ ∂g∂ Z1 ]

2

+[ ∂ g∂Z2 ]

2

+[ ∂g∂Z3 ]

2

+[ ∂g∂Z4 ]

2

+[ ∂g∂Z5 ]

2

Dimana,

∂g∂Z1

=−1549.66Z1Z22−17218.54 Z2

2−154966.92Z1Z2−3874173.15Z1+743865.53Z2Z3+4477024.72 Z2+37193276.73 Z3+266897604.44

∂g∂Z1

=−1549.66 β3α 1α22−17218.54 β2α2

2−154966.92 β2α1α2−3874173.15βα 1+743865.53β2α2α 3+4477024.72 βα2+37193276.73 βα3+266897604.44

∂g∂Z2

=−1549.66Z2Z12−34437.09 Z1Z2−77483.46 Z1

2−191317.19Z2+743865.53Z1Z3+4477024.72 Z1+8265172.60 Z3+59310578.76

∂g∂Z2

=−1549.66 β3α 2α12−34437.09 β2α1α2−77483.46 β

2α12−191317.19 βα 2+743865.53β

2α1α 3+4477024.72 βα1+8265172.60 βα3+59310578.76

∂g∂Z3

=743865.53Z1Z2+8265172.60Z2+37193276.73Z1−14387625 Z4−8682187.50Z5+116705817.90

∂g∂Z3

=743865.53 β2α 1α 2+8265172.60 βα2+37193276.73 βα1−14387625βα 4−8682187.50 βα5+116705817.90

∂ g∂Z4

=−14387625 Z3−119896875

∂ g∂Z4

=−14387625 βα 3−119896875

∂g∂Z5

=−8682187.50 Z3−72351562.5

∂g∂Z5

=−8682187.50 βα3−72351562.5

Menentukan perkiraan awal untuk α i:

∑i=1

n

¿¿

(α 1)2+(α2)

2+(α3)2+(α 4)

2+(α 5)2=1

Misalkan semua nilai α i sama maka,

5(αi)2=1 α i=(0.2 )0.5=0.4472

Digunakan tanda negatif (-) untuk resistance dan tanda positif (+) untuk beban.

Tabel perhitungan:

Perkiraan Nomor Iterasi

Awal 1 2 3 4 5 6

2.0000 2.86601 2.42103 2.37275 2.36915 2.36903 2.36903

α1 -0.4472 -0.84902 -0.87806 -0.87737 -0.87642 -0.87630 -0.87629

α2 -0.4472 -0.17664 -0.15395 -0.15885 -0.15947 -0.15955 -0.15955

α3 -0.4472 -0.20360 -0.00365 -0.05372 -0.06145 -0.06224 -0.06229

α4 0.4472 0.38908 0.38793 0.38490 0.38545 0.38554 0.38555

α5 0.4472 0.23479 0.23409 0.23227 0.23260 0.23265 0.23266

Didapat nilai indeks keamanan Hasofer-Lind β=2.36903

Matrix Procedure


g (A s , f y , f c' ,D , L )=0.8 A s f yd−0.47

(A ¿¿ s f y)2

f c' b

−W S2

8− DS2

8−LS2

8¿

g (A s , f y , f c' ,D , L )=280 A s f y−0.0016

(A¿¿ s f y)2

f c' −9.0 x106−3.125 x106D−3.125x 106 L¿

g (A s , f y , f c' ,D , L )=280 A s f y f c

' −0.0016(A ¿¿ s f y )2−9.0 x106 f c

' −3.125 x106D f c' −3.125x 106 L f c

' ¿

Bila f y=X1 ; A s=X2 ; f ' c=X3 ; D=X4 ; L=X5

g (X1 , X2 , X3 , X 4 , X5 )=280 X 1X2 X3−0.0016 X12 X2

2−9.0 x106 X 3−3.125 x106 X3 X4−3.125 x10

6 X3 X5

Untuk iterasi pertama, diasumsikan nilai x i¿ sama dengan nilai rata-rata dari X i, maka:

x1¿=330.0

x2¿=1183.2

x3¿=31.5

x4¿=15.2

g=0

280 x1¿x2

¿ x3¿−0.0016 x1

¿2 x2¿2−9.0x 106 x3

¿−3.125 x106 x3¿ x4

¿−3.125 x106 x3¿x5

¿=0

x5¿=14.4504

Variabel tereduksi:

z1¿=

x1¿−μX 1

σ X1

→z1¿=0

z2¿=

x2¿−μX 2

σ X2

→z2¿=0

z3¿=

x3¿−μX 3

σ X 3

→z3¿=0

z4¿=

x4¿−μX 4

σ X4

→z4¿=0

z5¿=

x5¿−μX 5

σ X 5

→z5¿=10.1366

Menghitung vektor {G }:

G1=−∂ g∂ X1

σ X 1=−(280 x2¿ x3¿−(2 )0.0016 x1

¿ x2¿2 )σ X 1

=−266897604.44

G2=−∂ g∂ X2

σ X2=−(280 x1¿ x3¿−(2 )0.0016 x2

¿ x1¿2 )σ X 2

=−59310578.76

G3=−∂ g∂ X3

σ X3=−(280 x1¿x2¿−9.0 x106−3.125 x106 x4¿−3.125 x106 x5¿)σ X 3

=−28697578.90

G4=−∂g∂ X 4

σ X 4=−(−3.125 x106 x3¿)σ X 4

=119896875

G5=−∂ g∂ X5

σ X5=−(−3.125 x106 x3¿) σ X5

=72351562.5

Indeks keamanan:

β={G }T {z¿ }

√ {G }T {G }=2.37714

Menghitung {α } :

{α }={G }

√ {G }T {G }={

−0.8650−0.1924−0.09300.38810.2345

}Iterasi kedua, menentukan nilai z*:

z i¿=αi β

z1¿=−2.0564

z2¿=−0.4569

z3¿=−0.2211

z4¿=0.9238

x1¿=z1

¿σ X 1+μX1

→x1¿=268.9238

x2¿=z2

¿σ X 2+μX 2

→x2¿=1172.3858

x3¿=z3

¿σ X3+μX 3

→x3¿=30.6641

x4¿=z4

¿σ X 4+μX 4

→x4¿=16.3501

g=0

280 x1¿x2

¿ x3¿−0.0016 x1

¿2 x2¿2−9.0x 106 x3

¿−3.125 x106 x3¿ x4

¿−3.125 x106 x3¿x5

¿=0

x5¿=7.3919

z5¿=

x5¿−μX 5

σ X 5

=0.53324


G1=−∂ g∂ X1

σ X 1=−(280 x2¿ x3¿−(2 )0.0016 x1

¿ x2¿2 )σ X 1

=−264521312.81

G2=−∂ g∂ X2

σ X2=−(280 x1¿ x3¿−(2 )0.0016 x2

¿ x1¿2 )σ X 2

=−48344946.51

G3=−∂ g∂ X3

σ X3=−(280 x1¿x2¿−9.0 x106−3.125 x106 x4¿−3.125 x106 x5¿)σ X 3

=−19221171.64

G4=−∂g∂ X 4

σ X 4=−(−3.125 x106 x3¿)σ X 4

=116715571.99

G5=−∂ g∂ X5

σ X5=−(−3.125 x106 x3¿) σ X5

=70431810.68

Indeks keamanan:

β={G }T {z¿ }

√ {G }T {G }=2.36910

Menghitung {α } :

{α }={G }

√ {G }T {G }={

−0.8573−0.1566−0.06230.37830.2282

}Iterasi selanjutnya tercantum dalam tabel perhitungan.

Tabel perhitungan:

Nomor Iterasi

1 2 3 4 5 6

x1* 330.00 268.92 269.67 268.99 268.97 268.96

x2* 1183.20

1172.39

1174.42

1174.31

1174.33

1174.32

x3* 31.50 30.66 30.94 30.94 30.95 30.95

x4* 15.23 16.35 16.32 16.33 16.33 16.33

x5* 14.45 7.39 7.55 7.48 7.48 7.48

2.37715

2.36910

2.36904

2.36903

2.36903

2.36903

Didapat nilai indeks keamanan Hasofer-Lind β=2.36903.

Nilai indeks kemanan yang didapat dari dua prosedur iterasi, yaitu simultaneous equation

dan matriks, adalah sama. Jumlah iterasi yang diperlukan hingga dicapai konvergensi juga

sama, yaitu 6 iterasi.

SOAL 2

Sebuah struktur balok baja seperti terlihat pada gambar 1 diasumsikan kompak. Modulus

plastis dan kuat leleh baja berupa variabel random dengan parameter tercantum pada tabel

2. Beban pada balok terdiri dari beban hidup terpusat P dan beban mati merata q, dengan

nilai momen akibat q tiga kali momen akibat P. Momen akibat beban total berdistribusi

normal dengan koefisien variasi 10%. Apabila diketahui indeks keamanan Hasofer-Lind

sebesar 3, berapakah nilai nominal P dan q yang dapat ditahan oleh struktur tersebut?

Gambar 1. Struktur untuk Soal 2

Tabel 2. Parameter untuk Soal 2

Parameter NominalKoefisien

variasi (%)

Faktor Bias

fy (MPa) 450 9% 1.10

Z (cm3) 1146 5% 1.00

P Ditanyakan 1.25q Ditanyakan 1.05

JAWAB

Parameter variabel random:

Variabel Nominal λ V

fy (kN/mm2) 0.45 1.10 0.495 0.09 0.0445Z (mm3) 1146000 1.00 1146000 0.05 57300

M (kNmm) ? 0.10 ?

Kondisi batas yaitu saat momen lentur melebihi kapasitas lentur balok.


g (f y , Z , M )=f y Z−M

Bila f y=X1 ; Z=X2 ; M=X3

g (X1 , X2 , X3 )=X 1X2−X3

Iterasi pertama, diasumsikan nilai x i¿ sama dengan nilai rata-rata dari X i, maka:

x1¿=0.495

x2¿=1146000

g=0

x1¿ x2

¿−x3¿=0

x3¿=567270

Variabel tereduksi:

z1¿=

x1¿−μX 1

σ X1

→z1¿=0

z2¿=

x2¿−μX 2

σ X2

→z2¿=0

z3¿=

x3¿−μX 3

σ X 3

→z3¿=567270−μX 3

V X 3μ X3

=567270−μX 3

0.10 μX 3

=5672700μX 3

−10


G1=−∂ g∂ X1

σ X 1=−( x2¿ )σ X 1

=−51054.3

G2=−∂ g∂ X2

σ X2=− (x1¿ )σ X 2

=−28363.5

G3=−∂ g∂ X3

σ X3=−(−1 )σ X3

=0.10μ X3

β={G }T {z¿ }√ {G }T {G }

=

{−51054.3 −28363.5 0.10 μX3 }{ 00

5672700μX 3

−10}√ {−51054.3 −28363.5 0.10 μX 3

}{−51054.3−28363.50.10μ X3

}3=

0.10 μX 3[ 5672700μX 3

−10]√3411029680.74+0.10 μX3

(0.10μ X3)=

567270−μX3

√3411029680.74+0.01 μX3

2

9=(567270−μX 3

)2

3411029680.74+0.01μX 3

2

0=0.91μX 3

2−1134540 μX 3+2.91 x1011

μX 3(1 )=885497

μX 3(2 )=361249

Perkiraan kasar kapasitas lentur balok Mn=μf yμZ=0.495x 1146000=567270kNmm

Maka digunakan μX 3=361249kNmm

{α }={G }

√ {G }T {G }={−0.74343−0.41301

0.52603 }Iterasi kedua, menentukan nilai z*:

z i¿=αi β

z1¿=−2.2303

z2¿=−1.2390

x1¿=z1

¿σ X 1+μX1

→x1¿=0.3956

x2¿=z2

¿σ X 2+μX 2

→x2¿=1075001.88

g=0

x1¿ x2

¿−x3¿=0

x3¿=425313.54

z3¿=

x3¿−μX 3

σ X 3

→z3¿=425313.54−μX 3

V X 3μX 3

=425313.54−μX3

0.10μX 3

=4253135.4μ X3

−10

G1=−∂ g∂ X1

σ X 1=−( x2¿ )σ X 1

=−47891

G2=−∂ g∂ X2

σ X2=− (x1¿ )σ X 2

=−22670

G3=−∂ g∂ X3

σ X3=−(−1 )σ X3

=0.10μ X3

β={G }T {z¿ }√ {G }T {G }

=

{−47891 −22670 0.10 μX 3 }{ −2.2303−1.2390

4253135.4μX3

−10}√ {−47891 −22670 0.10 μX3 }{−47891−22670

0.10μX 3

}3=

134902.07+0.10μX 3[ 4253135.4μX 3

−10 ]√2807516061+0.10 μX 3

(0.10 μX3)

=134902.07+425313 .54−μX 3

√2807516061+0.01μX 3

2

9=(134902.07+425313.54−μX3

)2

2807516061+0.01μX 3

2

0=0.91μX 3

2−1120431 μX 3+2.89 x1011

μX 3(1 )=864369

μX 3(2 )=366873→digunakan

Iterasi selanjutnya tercantum dalam tabel perhitungan.

Tabel perhitungan:

Nomor Iterasi

1 2 3 4 5

x1¿

0.50 0.40 0.40 0.40 0.40

x2¿ 1146000.0

01075001.8

81085532.1

31085852.2

11085919.5

7x3

¿567270.00 425313.54 429527.49 429186.24 429184.27

μX 3361249.65 366873.22 366871.68 366871.54 366871.54

Maka didapat nilai rata-rata momen sebesar 366871.54 kNmm = 366.87 kNm

Menghitung nilai nominal P dan q:

μM=366.87kNm

Rerata momen akibat beban terpusat:

μM P=0.25 μPL=0,25 (5 )μP=1.25 μP

Rerata momen akibat beban merata:

μM q=3 μMP

=3.75μP

Total rerata momen:

μM=μMP+μM q

366.87=1.25μP+3.75 μP

μP=73.37kN

Maka nilai nominal beban terpusat P:

P=μP

λP

=73.371.25

=58.70kN

μM q=3 μMP

=3.75μP=275.15kNm

μM q=1/8 μq L

2

275.15=3.125μq

μq=88.05kN /m

Maka nilai nominal beban merata q:

q=μq

λq

=88.051.05

=83.86kN /m

Maka beban nominal yang dapat ditahan oleh struktur adalah:

P = 58.70kN

q = 83.86kN /m

keandalan struktur

Documents