Kalkulus diferensial dan integral

Dwi Prananto

January 13, 2015

Fenomena di dunia fisis seringkali berurusan dengan sesuatu yang berubahterhadap waktu atau variabel bebas lainnya, disebut juga perubahan secara kontinu.Kalkulus adalah tool yang dapat digunakan untuk berurusan dengan hal-hal yangberhubungan dengan perubahan kontinu.

Kalkulus berhubungan dengan limit. Untuk memahami ide tentang limit, kitadapat membayangkan urutan bilangan l1, l2, l3, ... yang nilainya semakin lama se-makin dekat dengan sebuah nilai L. Sebagai contoh: 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999,.....Dapat dikatakan bahwa limit dari urutan ini adalah sama dengan 1. Tidak adasatu pun dari angka-angka tersebut yang sama dengan 1, akan tetapi semakinlama semakin mendekati nilai 1. Jika ide ini digunakan pada fungsi yang berubahsejalan dengan waktu f(t), maka L adalah limit dari fungsi ketika t mendekatinilai tertentu, misalnya a

limt→a

f(t) = L. (1)

1 Kalkulus Diferensial

Kalkulus diferensial berhubungan dengan laju perubahan fungsi ∆f terhadap pe-rubahan waktu ∆t. Laju perubahan didefinisikan sebagai rasio dari perubahanfungsi ∆f terhadap perubahan waktu ∆t. Sepanjang interval ∆t, fungsi berubahdari f(t) menjadi f(t+ ∆t), sehingga

∆f = f(t+ ∆t)− f(t). (2)

Untuk dapat mendefinisikan laju perubahan pada satu waktu t secara lebihakurat, kita harus menyusutkan ∆t pada Gambar 1 sampai nol. Tentu saja jikakita menyusutkan ∆t hingga nol maka ∆f juga akan menjadi nol. Akan tetapi, jikakita membagi ∆f dengan ∆t maka rasio/perbandingan tersebut akancenderungmenuju sebuah limit. Limit tersebut adalah turunan/derivatif dari fungsi f(t)terhadap waktu t.

df

dt= lim

∆t→0

∆f

∆t= lim

∆t→0

f(t+ ∆t)− f(t)

∆t. (3)

Sebagai contoh kita hitung turunan dari fungsi f(t) = t2. Kita gunakan per-samaan (3) untuk menghitungnya, dimulai dari :

f(t+ ∆t) = (t+ ∆t)2 = t2 + 2t∆t+ ∆t2

1

Gambar 1: Grafik fungsi yang berubah terhadap waktu, ∆f menunjukkan pe-rubahan dalam fungsi sedangkan ∆t menunjukkan perubahan dalam waktu

kemudian kurangkan dengan f(t)

f(t+ ∆t)− f(t) = t2 + 2t∆t+ ∆t2 − t2

= 2t∆t+ ∆t2.

Dengan membaginya dengan ∆t, kita dapatkan:

f(t+ ∆t)− f(t)

∆t=

2t∆t+ ∆t2

∆t= 2t+ ∆t.

Pembagian ini akan menghasilkan limit jika ∆t→ 0:

lim∆t→0

f(t+ ∆t)− f(t)

∆t= lim

∆t→02t+ ∆t

= 2t.

Jadi, turunan dari t2 adalahd(t2)

dt= 2t.

Selanjutnya untuk fungsi dengan perpangkatan secara umum f(t) = tn, turunan-nya dapat dihitung dengan memanfaatkan teorema binomial

(a+b)n = an+nan−1b+n(n− 1)

2an−2b

2+n(n− 1)(n− 2)

3an−3b3+...+bn. (4)

Dengan menggunakan teorema binomial ini kita dapat menghitung f(t+ ∆t),

f(t+ ∆t) = (t+ ∆t)n

= tn + ntn−1∆t+ ...

2

Pengurangannya dengan f(t) akan menghasilkan

∆f = f(t+ ∆t)− f(t)

= tn + ntn−1∆t+n(n− 1)

2tn− 2∆t2 + ...− tn

= ntn−1∆t+n(n− 1)

2tn−2∆t2 + ...

Kemudian membaginya dengan ∆t akan menghasilkan

∆f

∆t= ntn−1 +

n(n− 1)

2tn−2∆t+ ...

Dengan ∆t→ 0 maka semua bagian yang mengandung ∆t akan menyusut menjadinol dan menghasilkan sebuah limit

d(tn)

dt= ntn−1, (5)

yang merupakan rumusan umum praktis untuk menyelesaikan turunan fungsi per-pangkatan. n di sini tidak terbatas pada bilangan bulat, tetapi juga untuk bilanganreal apapun atau bahkan bilangan kompleks.

Beberapa aturan dalam turunan antara lain:

1. Turunan dari sebuah konstanta (konstanta adalah angka apapun, baik bi-langan bulat maupun bilangan real) adalah sama dengan nol. Hal ini benarmenurut pengertian turunan, yaitu bahwa turunan adalah laju perubahan,dan sebuah konstanta tidak akan berubah:

dc

dt= 0

2. Turunan dari sebuah konstanta dikalikan dengan sebuah fungsi adalah kon-stanta tersebut dikalukan turunan dari fungsi:

(cf)

dt= c

df

dt

3. Penjumlahan dari dua fungsi f(t) dan g(t) adalah juga berupa fungsi danturunannya diberikan oleh:

d(f + g)

dt=d(f)

dt+d(g)

dt.

Aturan ini disebut dengan aturan penambahan atau sum rule.

4. Hasil kali dari dua fungsi adalah juga berupa fungsi dan turunannya adalah:

d(fg)

dt= f(t)

d(g)

dt+ g(t)

d(f)

dt.

Aturan ini disebut aturan hasil kali.

3

5. Jika kita memiliki dua fungsi, dimana g(t) adalah sebuah fungsi dari t danf(g) adalah fungsi dari g, yang membuat f secara tidak langsung merupakanfungsi dari t. Maka untuk menurunkan fungsi semacam ini pertama kitaharus turunkan terlebih dahulu fungsi g(t) untuk kemudian barulah menu-runkan f(g):

df

dt=df

dg

dg

dt

Aturan ini disebut dengan aturan rantai. Hal yang penting dalam aturanrantai adalah bahwa kita harus menemukan fungsi perantara g(t) untuk da-pat menyederhanakan f(t) dan membuatnya menjadi f(g). Sebagai contoh,kita ambil fungsi f(t) = ln t3. Dalam fungsi ini t3 bisa menjadi sebuahmasalah. Kita ambil t3 di dalam logaritma sebagai fungsi perantara, g = t3.Sehingga sekarang kita memiliki f(g) = ln g. Turunan kedua fungsi adalah:

df

dt=

1

g, dan

dg

dt= 3t2.

Dengan menggunakan aturan rantai, kita dapatkan:

df

dt=df

dg

dg

dt

=3t2

g.

Substitusi g = t3 menghasilkan turunan dari fungsi f(t) terhadap waktu t

df

dt=

3t2

t3=

3

t

2 Kalkulus Integral

Jika kalkulus diferensial berhubungan dengan laju perubahan. kalkulus integralberhubungan dengan jumlahan dari banyak bagian-bagian kecil. Masalah utamadalam kalkulus integral adalah menghitung luasan dibawah kurva yang didefinisikanoleh sebuah fungsi f(t).

Misalkan kita ingin menghitung luasan di bawah kurva fungsi f(t) denganbatasan dari a sampai b. Maka sebagai pendekatan kita dapat pecah-pecah luasantersebut ke dalam bagian-bagian kecil berbentuk persegi panjang dengan masing-masing memiliki ukuran lebar yang sama ∆t, seperti terlihat pada Gambar 2.Lebar dari persegi panjang ini adalah ∆t dan tingginya merupakan nilai lokal darifungsi f(t). Luasan dari sebuah persegi panjang tersebut adalah:

δA = f(t)∆t.

Sekarang kita jumlahkan tiap-tiap persegi panjang ini sehingga mendekati lu-asan di bawah kurva dari a ke b.

A =N∑i

f(ti)∆t,

4

Gambar 2: Grafik fungsi yang berubah terhadap waktu, Luasan di bawah kurvafungsi f(t) dibagi-bagi kedalam banyak sub-luasan lebih kecil berbentuk persegipanjang

N di sini adalah banyaknya bagian-bagian persegi panjang. Untuk memperolehhasil yang tepat dari luasan di bawah kurva ini, maka kita susutkan ∆t hinggamendekati nol dan jumlah dari persegi panjang menjadi tak berhingga. Integraltertentu antara t = a dan t = b dituliskan sebagai

A =

∫ b

a

f(t)dt = lim∆t→0

∑i

f(ti)∆t.

Tanda integral∫

, disebut summa, menggantikan tanda penjumlahan sigma, dan∆t digantikan oleh dt. Fungsi f(t) disebut sebagai integrand.

Jika kita ganti batasan b dengan nilai variabel T sehingga integrasi menjaditak tentu ∫ T

a

f(t)dt.

Integral ini direpresentasikan dalam fungsi F (T ). Fungsi F (T ) mendefinisikanintegral tak tentu dari fungsi f(t), biasa ditulis dengan

F (T ) =

∫f(t)dt. (6)

Hubungan antara integral dan turunan bersifat resiprokal, yang berarti bahwaturunan dari integral adalah integrand itu sendiri

dF

dt= f(t).

Hal ini dapat dibuktikan dengan menambahkan perubahan bagian kecil persegipanjang pada T dari T sampai T + ∆t, sehinggga kita memiliki integral baru

F (T + ∆t) =

∫ T+∆t

a

f(t)dt.

5

Dengan penambahan sebuah persegi panjang Perbedaan F (T + ∆t) − F (T ) taklain hanyalah luasan dari persegi panjang tambahan itu sendiri

F (T + ∆t)− F (T ) = f(T )∆t.

Pembagian dengan ∆t menghasilkan

F (T + ∆t)− F (T )

∆t= f(T ).

Jika kita ambil limit dimana ∆t→ 0,

dF

dT= lim

∆t→0

F (T + ∆t)− F (T )

∆t= f(T ).

Kita dapat menyederhanakan ini dengan mengabaikan perbedaan antara t dan T ,

dF

dt= f(t).

Untuk lebih memahaminya kita coba menemukan integral dari fungsi per-pangkatan f(t) = tn

F (t) =

∫f(t)dt =

∫tndt.

Dari hubungan antara F dan f

f(t) =dF (t)

dt

atau

tn =dF (t)

dt.

Hal yang harus kita lakukan adalah menemukan fungsi F yang turunannya adalahtn.

Dari sub-bab sebelumnya tentang kalkulus diferensial, kita menemukan bahwauntuk apapun nilai m,

d(tm)

dt= mtm−1

. Jika kita substitusikan m = n+ 1, maka akan menjadi

d(tn+1)

dt= (n+ 1)tn

atau, dengan membagi dengan n+ 1,

d( tn+1

n+1)

dt= tn.

Sehingga kita menemukan bahwa tn adalah turunan dari tn+1

n+1. Dapat dituliskan

sebagai

F (t) =

∫tndt =

tn+1

n+ 1.

6

Secara umum teorema dasar dari kalkulus dapat dituliskan sebagai∫ b

a

f(t)dt = F (t)|ba = F (b)− F (a). (7)

Beberapa rumus integrasi antara lain:

•∫cdt = ct

•∫cf(t)dt = c

∫f(t)dt

•∫tdt = t2

2+ c

•∫t2dt = t3

3+ c

•∫tndt = tn+1

n+1+ c

•∫

sin tdt = − cos t+ c

•∫

cos tdt = sin t+ c

•∫etdt = et

•∫

dtt

= ln t+ c

•∫

[f(t)± g(t)]dt =∫f(t)dt±

∫g(t)dt.

2.1 Integrasi parsial

Integrasi parsial adalah salah satu tool untuk menyelesaiakn perhitungan integralyang rumit. Integral parsial merupakan balikan dari aturan hasil kali dari turunan.Kembali kita tinjau aturan hasil kali

d[f(x)g(x)]

dx= f(x)

dg(x)

dx+ g(x)

df(x)

dx.

Mengintegralkan kedua sisi dari presamaan dari a sampai b menghasilkan∫ b

a

d[f(x)g(x)]

dx=

∫ b

a

f(x)dg(x)

dx+

∫ b

a

g(x)f(x)

dx(8)

f(x)g(x)|ba −∫ b

a

f(x)dg(x)

dx=

∫ b

a

g(x)df(x)

dx. (9)

Jika f(x) direpresentasikan dengan u dan g(x) dengan v, sehingga df(x)/dx =du dan dg(x)/dx = dv, maka substitusi pada persamaan (9) menghasilkan

uv −∫udv =

∫vdu, (10)

yang merupakan rumusan praktis dari integrasi parsial.

7

Sebagai contoh, kita hitung integral dari x cosx dari 0 sampai π/2∫ π/2

0

x cosxdx,

dengan menggunakan persamaan (10) ambil x sebagai v dan cosxdx sebagai du

v = x, dv = dx

du = cosxdx, u = sinx.

Substitusi ke persamaan (10) menghasilkan∫ π/2

0

x cosxdx = x sinx|π/20 −∫ π/2

0

sinxdx

=π

2sin

π

2+ cos

π

2∫ π/2

0

x cosxdx =π

2.

Referensi

[1] L. Susskind, G. Hrabovsky, The Theoretical Minimum, (Basic Book, New York,2013)

8