pdf w10 & 11 kalkulus diferensial

KALKULUS DIFERENSIALWeek 10 & 11

Prepared by Rofi & Anna | www.slideshare.net/natriumz | [email protected]

TINGKAT PERUBAHAN RATA-RATA

JAKARTA

Km 0

Km 140

BANDUNG

2 jam

www.slideshare.net/natriumz2

Kecepatan rata-rata = 70Km/jam=2jam

140Km=

∆t

∆s

TINGKAT PERUBAHAN RATA-RATA

Seseorang mengendarai mobil dengan jarak tempuh (s) yang dapat diestimasi sebagai

fungsi dari waktu (t) berikut :

s = f(t) = 8t2 + 8t

Kecepatan (tingkat perubahan jarak) rata-rata selama dua jam pertama adalah :

jamKmff

t

s/24

2

048

02

)0()2(=

−=

−

−=

∆

∆


KONSEP DIFERENSIASI

Bentuk ∆y/∆x disebut difference quotient yang mencerminkan tingkat perubahanrata-rata variabel terikat y terhadap variabel bebas x.

xfxxfy −∆+∆ )()(

Apabila dalam pembagian tersebut perubahan variabel bebas x sangat kecil ataumendekati nol maka pembagian tersebut dinamakan turunan atau derivatif

(derivative)

x

xfxxf

x

y

∆

−∆+=

∆

∆ )()(

')()(

0

lim

0

limy

dx

dy

x

xfxxf

xx

y

x=≡

∆

−∆+

→∆=

∆

∆

→∆


Kalkulus diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsisehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yangbersangkutan.

'00

ydxxxxx

=≡∆→∆

=∆→∆

MENENTUKAN TURUNAN FUNGSI

Turunan dari y = f(x) = x2 adalah :

xfxxfy −∆+=

∆ )()(

x

xfxxf

x

y

∆

−∆+=

∆

∆ )()(

x

xxxxx

x

xxx

∆

−∆+∆+=

∆

−∆+=

222222)(

( )x

xxx

x

xxx

∆

∆∆+=

∆

∆+∆=

222

xx ∆+= 2


xx ∆∆

xxxdx

dyy

x2)2(

lim'

0=∆+==

→∆

KAIDAH-KAIDAH DIFERENSIASI

ATURAN 1 : FUNGSI KONSTANTA

Jika f(x) = k, di mana k adalah sembarang konstanta

f’(x) = 0

ATURAN 2 : FUNGSI PANGKAT

Jika f(x) = xn, di mana n adalah bilangan real,

f’(x) = nxn-1

ATURAN 3 : PERKALIAN KONSTANTA DENGAN FUNGSI

www.slideshare.net/natriumz

ATURAN 3 : PERKALIAN KONSTANTA DENGAN FUNGSI

Jika f(x) = c · g(x), di mana c adalah konstanta dan g(x) adalah fungsi yang dapat

diturunkan

f’(x) = c · g’(x)

6

ATURAN 4 : PENJUMLAHAN/PENGURANGAN FUNGSI

Jika f(x) = u(x) ± v(x), di mana u dan v dapat diturunkan

f’(x) = u’(x) ± v’(x)

ATURAN 5 : PERKALIAN FUNGSI

Jika f(x) = u(x) · v(x), di mana u dan v dapat diturunkan

f’(x) = u’(x)v(x) + v’(x)u(x)

ATURAN 6 : PEMBAGIAN FUNGSI


ATURAN 6 : PEMBAGIAN FUNGSI

Jika f(x) = u(x)/v(x), di mana u dan v dapat diturunkan dan v(x) ≠ 0

f’(x) = [ ]2

)(

)()(')()('

xv

xuxvuvxu •−•

ATURAN 7 : PANGKAT DARI SUATU FUNGSI

Jika f(x) = [u(x)]n, di mana u dapat diturunkan dan n adalah bilangan real

f’(x) = n · [u(x)]n-1· u’(x)

ATURAN 8 : FUNGSI EKSPONENSIAL

Jika f(x) = eu(x), di mana u dapat diturunkan

f’(x) = u’(x)eu(x)

ATURAN 9 : FUNGSI LOG NATURAL


ATURAN 9 : FUNGSI LOG NATURAL

Jika f(x) = ln u(x), di mana u dapat diturunkan

f’(x) = )(

)('

xu

xu

LATIHAN

Tentukan dari fungsi-fungsi di bawah ini

1. y = f(x) = 2x3 – 4x2 + 7x – 5

dx

dy

1. y = f(x) = 2x3 – 4x2 + 7x – 5

2. y = f(x) = (x2 – 4)(2x – 6)

3. y = f(x) =

4. y = f(x) = (5x + 12 – 2x-1)3

5. y = f(x) = (x2 - 2)(2x - 4)3

62

42

−

−

x

x

422 −x


6. y = f(x) =5

422 −x

DERIVATIF ORDE KE DUA ATAU LEBIH

Turunan kedua dari suatu fungsi adalah turunan dari turunan pertama fungsi

tersebut. Turunan kedua dari suatu fungsi dengan variabel bebas x dapat dituliskan

sebagai :sebagai :

Turunan ke-n dari suatu fungsi dinotasikan dengan f(n), dapat dihitung dengan

mendiferensiasikan fungsi tersebut sebanyak n kali.

2

2

)(''dx

ydxf =


mendiferensiasikan fungsi tersebut sebanyak n kali.

INTERPRETASI DERIVATIF

Seseorang mengendarai mobil dengan jarak tempuh (s) yang dapat diestimasi

sebagai fungsi dari waktu (t) berikut :

s = f(t) = 8t2 + 8ts = f(t) = 8t2 + 8t

Kecepatan (tingkat perubahan) sesaat pada jam kedua adalah :

= f’(2) = 16t + 8 = 16(2) + 8 = 40 km/jam

2=xdt

ds



Download : www.slideshare.net/natriumz

INTERPRETASI DERVATIF

f(x)

f’(x) = 0B

f”(x) < 0 f”(x) > 0

f’(x) < 0

f’(x) > 0

f’(x) = 0

f’(x) < 0f’(x) > 0

A

B

C E


x

f’(x) < 0

f’(x) = 0

D

PENENTUAN TITIK MAKSIMUM/MINIMUM RELATIF

TEST DERIVATIF I

1. Tentukan semua titik kritis x* , syarat f’(x*) = 01. Tentukan semua titik kritis x* , syarat f’(x*) = 0

2. Untuk setiap nilai x*, tentukan nilai f’(x) di sebelah kiri (xl) dan kanan (xr) dari x*

a. Jika f’(xl) > 0 dan f’(xr) < 0 maka titik [(x*, f(x*)] adalah titik maksimum relatif

b. Jika f’(xl) < 0 dan f’(xr) > 0 maka titik [x*, f(x*)] adalah titik minimum relatif

c. Jika f’(xl) dan f’(xr) bertanda sama maka titik [(x*, f(x*)] adalah titik belok

Contoh :1006)(

23

+−−= xxx

xf


Contoh :

14

100623

)( +−−= xxx

xf

PENENTUAN TITIK MAKSIMUM/MINIMUM RELATIF

TEST DERIVATIF II

1. Tentukan semua titik kritis x*, syarat f’(x*) = 01. Tentukan semua titik kritis x*, syarat f’(x*) = 0

2. Untuk setiap nilai x*, tentukan nilai f”(x*)

a. Jika f”(x*) > 0 fungsi menghadap ke atas dan titik [(x*, f(x*)] adalah titik

minimum relatif

b. Jika f”(x*) < 0 fungsi menghadap ke bawah dan titik [(x*, f(x*)] adalah titik

maksimum relatif

c. Jika f”(x*) = 0 tidak dapat ditarik kesimpulan fungsi menghadap ke mana,

untuk itu diperlukan test derivatif I untuk menguji sifat titik tersebut


Contoh :

15

100623

)(23

+−−= xxx

xf

LATIHAN

Carilah titik-titik kritis dan sifatnya dari fungsi-fungsi berikut:

1. f(x) = -3x2 + 6x -201. f(x) = -3x + 6x -20

2. f(x) = -x5


SKETSA KURVA SUATU FUNGSI

FAKTOR-FAKTOR PENTING

1. Titik-titik maksimum dan minimum relatif

Syarat, f ’(x) = 0

2. Titik belok

Syarat f ”(x) = 0

3. Titik potong y dan x (optional)

Dengan memisalkan x atau y adalah nol

4. Arah akhir

Dengan menganalogikan pada fungsi linier atau fungsi kuadrat


Contoh :

17

100623

)(23

+−−= xxx

xf

LATIHAN

Sketsalah fungsi berikut :

2

3

++−=x

51243

)(2

3

++−= xxx

xf


TITIK MAKSIMUM/MINIMUM ABSOLUT

PROSEDUR PENENTUAN TITIK MAKSIMUM DAN MINIMUM ABSOLUT PADA INTERVAL

a ≤ x ≤ b

1. Tentukan semua titik kritis [xi,f(xi)]yang berada dalam interval a ≤ x ≤ b

2. Hitung nilai f(x) pada kedua ujung interval [f(a) dan f(b)]

3. Bandingkan semua nilai f(x) yang diperoleh dari langkah I dan II, nilai terbesar

merupakan nilai maksimum absolut sedangkan nilai terkecil merupakan nilai

minimum absolut

Contoh :x

xxxf 30

2

7

3)(

23

−−=


Tentukan titik maksimum & minimum absolut untuk interval

-6 ≤ x ≤ 17

19

23

REVENUE

Jumlah permintaan terhadap produk suatu perusahaan bergantung pada harga yang

ditawarkan. Suatu perusahaan memperkirakan pendapatan total / total revenue (dalam

$1.000) sebagai fungsi dari harga (dalam dollar).$1.000) sebagai fungsi dari harga (dalam dollar).

R = f(p) = -50p2 + 500p

a) Tentukanlah harga produk yang harus diberlakukan agar diperoleh pendapatan total

maksimum

b) Berapakah pendapatan total maksimum yang dapat diperoleh?


COST

Besarnya total biaya untuk memproduksi barang sejumlah q digambarkan melalui fungsi :

C = 100.000 + 1.500q + 0.2q2

Jika C adalah total biaya dalam dollar, tentukanlah jumlah barang yang harus diproduksi

agar biaya rata-rata per unit minimum.


PROFIT

Suatu perusahaan meluncurkan produk Lemari Pendingin baru. Melalui riset pemasaran

yang sudah dilakukan diketahui bahwa jumlah permintaan terhadap produk baru tersebut

dipengaruhi oleh harga jual yang ditetapkan sesuai fungsi:dipengaruhi oleh harga jual yang ditetapkan sesuai fungsi:

q = 100.000 – 200p

Dengan q adalah jumlah permintaan per tahun dan p adalah harga jual produk dalam

dollar. Dari penelitian teknis diperkirakan biaya total untuk memproduksi produk tersebut

adalah:

C = 150.000 + 100q + 0.003q2


Tentukanlah jumlah barang yang harus diproduksi agar diperoleh profit maksimum,

berapa harga jual yang harus dikenakan dan berapa besarnya profit maksimum yang

dapat dicapai.

22

ELASTISITAS TITIK

Elastisitas permintaan = persentase perubahan jumlah permintaan

persentase perubahan harga

∆q

= =

Elastisitas titik Kategori elastisitas

Elastis

p∆pq

∆q

∆p∆q

•qp

1>η


Elastis

Inelastis

Elastis uniter

23

(p)f'•q

p=η

1>η

1<η

1=η

ELASTISITAS TITIK

Tentukan elastisitas titik fungsi permintaan q = f(p) = 500 – 25p

pada harga $15, $10 dan $5

Untuk $15

Untuk $10

3=)25(125

15=η

1=)25(250

10=η


Untuk $5

24

3/1=)25(375

5=η

BILL COLLECTION

Sebuah bank memperkirakan prosentase pinjaman nasabah yang dapat ditagih

merupakan fungsi dari waktu, t dalam bulan sesuai fungsi :

Jika pada suatu waktu total jumlah pinjaman yang diberikan adalah $100 juta dan Bank

tersebut memperkirakan bahwa untuk setiap $100 juta pinjaman yang diberikan

diperlukan biaya $1 juta per bulan untuk menagihnya.

Tentukan berapa lama sebaiknya waktu penagihan pinjaman dihitung semenjak pinjaman

tersebut diberikan agar tagihan bersih (pinjaman tertagih – biaya penagihan) maksimum.

)1(95.07.0 t

eP−−=


tersebut diberikan agar tagihan bersih (pinjaman tertagih – biaya penagihan) maksimum.

25

COMPENSATION PLANNING

Suatu perusahaan transportasi hasil laut membuat struktur upah untuk setiap satu kali

pemindahan barang bagi para sopir angkutannya dengan ketentuan sebagai berikut :

1) Sopir dibayar $10 per jam hingga maksimum 20 jam1) Sopir dibayar $10 per jam hingga maksimum 20 jam

2) Jika waktu pemindahan barang lebih dari 20 jam, sopir hanya dibayar untuk 20 jam

saja

3) Jika waktu pemindahan barang kurang dari 20 jam, setiap jam lebih cepat dari 20

jam, upah perjam akan dinaikkan $1

Pertanyaan

a. Tentukan fungsi upah per jam dengan waktu pemindahan barang sebagai variabel bebasnya

b. Berapa lama sebaiknya waktu pengantaran barang jika diinginkan upah total maksimum?


b. Berapa lama sebaiknya waktu pengantaran barang jika diinginkan upah total maksimum?

c. Berapa upah per jam pada kondisi tersebut?

d. Berapa upah total maksimum yang dapat diperoleh sopir untuk setiap kali mengantarkan barang?

26


Download : www.slideshare.net/natriumz

27

pdf w10 & 11 kalkulus diferensial

Business