HITUNG HITUNG DIFERENSIALDIFERENSIAL

Widita Kurniasari, SE, MEWidita Kurniasari, SE, ME

ALJABAR KALKULUSKonsep matematika yg mempelajari

tk perubahan dr suatu fungsi

DIFERENSIAL•Mempelajari tk. perubahan rata-rata/seketika dr suatu fungsi•Mencari turunan dr suatu fungsi

INTEGRAL•Mencari fungsi asal jika diketahui nilai perubahannya•Menentukan luas bidang

APLIKASI•Menghitung nilai optimal•Analisis marginal

APLIKASI•Surplus konsumen dan surplus produsen

PENGERTIAN LIMIT• Konsep dasar diferensial• Adalah harga batas tertentu, L, yang

dicapai oleh suatu fungsi, f(x), jika variabelnya mendekati harga tertentu, a.

• Kegunaan Limit :– Perhitungan bentuk-bentuk tak tentu– Menentukan kontinuitas/diskontinuitas

suatu fungsi– Perhitungan hasil bagi diferensial/turunan

fungsi

Lxfax

)(lim

PERHITUNGAN BENTUK TAK TENTU

• Bentuk tak tentu : 0/0, ~/~, 1~, ~ - ~ • Contoh :

629lim.1

2

3

XX

x

xfxf

XXxfDik

x

)2()2(lim

3)(:.2

0

2

1871042lim.3 2

2

XXXX

x

1871042lim.4 2

23

XXXXX

x

PERHITUNGAN BENTUK TAK TENTU

XXXx

10lim.8 2

x

x XXX

2

2

2

5222lim.7

x

x X

6

311lim.6

XXXXX

x 1871042lim.5 23

2

Bentuk tak tentu : 0/0, ~/~, 1~, ~ - ~ Contoh :

KONTINUITAS FUNGSI• Suatu fungsi Y = f(x) dikatakan kontinyu

untuk x = a dari suatu interval tertentu jika memenuhi 3 syarat:– Y = f(a) terdefinisi– mempunyai harga tertentu,

misal = L– L = f(a)

)(lim xfax

Jika salah satu syarat tidak dipenuhi, fungsi f(x) untuk x = a, tidak kontinyu atau disebut diskontinyu

Contoh1. Y = f(x) = 4x + 1 tidak kontinyu untuk x = 2

2. hanya ada kalau x ≥ 3

2x – 1 untuk x < 23. Y = 5 – x untuk 2 ≤ x < 4

x²- 10 untuk x ≥ 4karena pada saat x = 4 harga y = 4²-10 = 6 dan

, sehingga grafik fungsi kedua dan ketiga tidak bersambungan

(tidak kontinyu)

X – 2 124 Xy

145lim4

x

PERHITUNGAN HASIL BAGI DIFERENSIAL

• Menunjukkan perubahan rata-rata Y terhadap X

• Jika perubahan X (X) cukup kecil sehingga mendekati nol, maka :

– Limit dari hasil bagi diferensial = DERIVATIVE PERTAMA =

xxfxxf

XY

)()(

xxfxxf

XY

xx

)()(limlim00

'' )( YxfXY

TURUNAN PERTAMA FUNGSI IMPLISIT• Y = c Y’ = 0• Y = aX + b Y’ = a• Y = Xn Y’ = n Xn-1

• Y = Un Y’ = n Un-1 . U’• Y = U ± V Y’ = U’ ± V’• Y = U/V Y’ = (U’V – V’U)/V2

• Y = ex Y’ = ex

• Y = eu Y’ = u’.eu

• Y = ln X Y’ = 1/X• Y = ln U Y’ = U’/U• Y = ax Y’ = ax ln a

Latihan Soal1. Y = 4x1. Y = 4x33+3x+3x22–5x+7–5x+7x-10x-102. Y = ln(6x2. Y = ln(6x22+x)-e+x)-e3x-23x-2

3. Y = (4x3. Y = (4x22-1)/(2x+3)-1)/(2x+3)4. Y = 3x4. Y = 3x22ee-2x-2x

5. Y = ln((4x+5)/(2x-1))5. Y = ln((4x+5)/(2x-1))6. Y = (3x–7)6. Y = (3x–7)66

7. Y = 2t7. Y = 2t22-4t dan X = 3t+1-4t dan X = 3t+1

APLIKASI TURUNAN PERTAMA• Menentukan gradien/slope garis singgung

Y – Y1 = m (X – X1) m = Y’• Menentukan koordinat titik stasioner

– Titik stasioner terjadi ketika garis singgung sejajar dengan sumbu X atau gradien = 0 f’(x) = 0

– Jika f’(x) = 0 tidak mempunyai akar riil (D<0), maka fungsi tsb tidak mempunyai titik stasioner.

Contoh• Y = x³-3x²+6x+2 • Y’ = 3x²-6x+6 tidak mempunyai titik stationer

sebab tidak memiliki akar-akar nyata (D < 0)

• Y = x³-3x²-9x+10 stationer pada y’ = 0• Y’ = 3x²-6x-9 = 0 atau 3(x²-2x-3) = 3(x-3)(x+1) = 0• X1 = 3 dan x2 = -1 yakni absis titik-titik stationer• Untuk x1 = 3 y1= (3)³-3(3)²-9(3)+10 = -17• Untuk x2 = -1 y2= (-1)³-3(-1)²-9(-1)+10 = 15 •

Jadi titik stationer fungsi y = x³-3x²-9x+10 adalah titik : A (3,-17) dan B (-1,15)

• Menentukan bagian kurva yang monoton naik/turun– Monoton naik : X > 0 Y > 0– Monoton turun : X > 0 Y < 0• Contoh:• Y = x²- 4x Y’ = 2x – 4• Untuk menentukan di bagian mana kurva Y = x²-

4x monoton naik maka harus ditentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan Y’ > 0 atau 2x-4 > 0 sehingga himpunan penyelesaiannya adalah A = {x/x > 2}. Jadi untuk interval x > 2 fungsi tersebut akan monoton naik.

APLIKASI TURUNAN PERTAMA

APLIKASI TURUNAN KEDUA

• Menentukan bentuk kurva– Cekung ke atas (concave upward) :

• Harga Y” = f”(x) selalu positif untuk setiap hrg X

• Titik minimum : Y’ = 0, Y” > 0– Cekung ke bawah (concave downward) :

• Harga Y” = f”(x) selalu negatif untuk setiap hrg X

• Titik maksimum : Y’ = 0, Y” < 0

• Menentukan titik belok dan titik sadel– Batas antara bag kurva yg cekung ke atas

dan cekung ke bwh atau sebaliknya– Syarat : Y” = f”(x) = 0– Titik Belok : untuk X = 0 Y’ ≠ 0, Y” = 0– Titik Sadel : untuk X = 0 Y’ = 0, Y” = 0

APLIKASI TURUNAN KEDUA

CONTOH SOAL• Diketahui fungsi Y = X3 – 3X2 – 9X +

22, tentukan :1. Persamaan garis singgung di titik

dengan absis 22. Koordinat titik esktrim (maks/min)3. Koordinat titik belok/titik sadel

APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI

• Analisis marginal – Laju pertumbuhan– Menghitung Marginal Revenue (MR) dan

Marginal Cost (MC)MR = TR’MC = TC’

APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI

• Harga Ekstrim– Total Revenue (TR) maksimum : TR’ = 0– Laba maksimum (rugi minimum),

= TR – TC’ = 0 MR = MC

– Output optimum• Terjadi ketika Average Cost (AC) minimum• AC minimum AC’ = 0 AC = MC

APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI

• Elastisitas – Mengukur perubahan suatu variabel akibat

perubahan variabel lain– Jenis elastisitas :permintaan/harga (Ed),

penawaran (Es), dll– Perhitungan elastisitas :

•Elastisitas Titik (Point Elasticity)

•Elastisitas Busur (Arc Elasticity)QPx

PQE

12

12

12

12

PPPPx

QQQQE

CONTOH SOAL• Diketahui D : Q = 500 – 0,5P dan

TC = Q2 + 790Q + 1.8001. Hitung TR, MR, AR, TC, MC, dan AC

ketika Q = 102. Hitung TR maksimum 3. Hitung laba maksimum/rugi minimum4. Hitung output optimum5. Hitung elastisitas permintaan ketika Q

= 100