kalkulus 2 integral

26
TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUKABUMI 2009

Upload: ig-fandy-jayanto

Post on 02-Jun-2015

18.976 views

Category:

Documents


26 download

TRANSCRIPT

Page 1: Kalkulus 2 integral

TEKNIK INFORMATIKAUNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUKABUMI

2009

Page 2: Kalkulus 2 integral

Satuan Acara Perkuliahan Mata Kuliah Kalkulus 2 Integrasi (Pengertian Integral, rumus – rumus dasar

integral, integral tak tentu, integral tertentu)Metode Integrasi (Integral dengan substitusi,

Integral Parsial, Integral fungsi trigonometri, integral fungsi rasional, substitusi khusus, rumus – rumus reduksi)

Fungsi Transenden (Logaritma dan Eksponen, Invers fungsi trigonometri)

Luas dan integral tertentu (luas, integral tertentu, sifat – sifat integral tertentu)

Volume benda putar Luas permukaan benda putar Integral tak wajar dan integral lipat duaDifferensial parsial orde tinggiKalkulus dan geometri

Untuk sumber materi silakan

gunakan buku2 kalkulus yang

mendukung/ dari internet

Page 3: Kalkulus 2 integral

Kesepatakan Perkuliahan

Prosentase NilaiAbsensi = 20%Tugas = 20 %Quiz = 20 %UTS = 20 %UAS = 20 %

Nilai MutuNilai Mutu

Range Nilai

A

B

C

D

E

Silakan disepakati…80-100 -> A…. oK?!

Page 4: Kalkulus 2 integral

Integral adalah lawan diferensiasi. Penulisan simbol integral:

Rumus – rumus dasar integrasi

( ) ( )f x dx F x C

1

, 11

nn ax

ax dx C nn

Page 5: Kalkulus 2 integral

Nah…. ini contoh2 nya bu…. pa…..

1.

2.

3.

4.

5.

1 1 226 6

6 31 1 2

x xxdx x

3 1 43 412 12

12 33 1 4

x xx dx x

1 311 32 2

2 26 6

6 6 41 31

2 2

x xxdx x dx x

1 1 0 122 3

(2 3) 31 1 0 1

x xx dx x x

1 5 17 12 2 12 2 2 2 2

2 2( ) ( 2 ) 2 4

7x x dx x x x dx x x dx x x

x

Page 6: Kalkulus 2 integral

Silakan dicoba Tugas 1 nya,,, saya yakin ibu-ibu dan bapa-bapa pasti bisa…..

Tentukanlah nilai integral dari:1. dx2. dx 3.4.5.

29x2(3 4 )x x1 12 2(3 2 )x x dx

1 22 ( 3)x x dx

2( 3)x

dxx

6.

7.

2(1 2 )xdx

x

21( 1)x dxx

Dikumpulkan hari Selasa tanggal 12 Mei 2009 ya……… ^^

Page 7: Kalkulus 2 integral

Integral Tertentu

Integral tertentu biasa digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva y=f(x) dan sumbu x, dengan batas tertentu

Sifat – sifat integral tertentu1.

2.

( ) ( )b b

aa

f x dx Fb FaF x

( ) ( )b b

a a

kf x dx k f x dx

( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

Page 8: Kalkulus 2 integral

Sifat – sifat integral tertentu (Lanjutan…)

3.

4.

5.

6.

( ) ( ) ( ) ,b c c

a b a

f x dx f x dx f x dx a b c

( ) ( )b a

a b

f x dx f x dx

( ) 0a

a

f x dx

( ) ( )b b

a a

f x dx f t dt

Kira – kira perlu

contoh2nya ga????

Page 9: Kalkulus 2 integral

Luas daerah yang dibatasi kurva y=f(x) dan sumbu xDengan batas x1=a dan x2=b

( )b

a

L f x dx

( )b

a

L f x dx

Page 10: Kalkulus 2 integral

Luas Daerah Antara Dua Kurva

Untuk interval [a,b] dengan f(x)>=g(x), maka:

( ) ( )b

a

L f x g x dx

Page 11: Kalkulus 2 integral

Metode IntegrasiIntegral dengan Substitusi

contoh:

Diusahakan menjadi bentukSubstitusi u=2x-3Cari turunan dari u =Cari nilai dx:

2 3 ?x dx nu du

2du

dx

2

dudx

Page 12: Kalkulus 2 integral

Maka:

Hasil akhir, dikembalikan ke nilai awal u = 2x-3, yaitu:

12 3 .

2x dx u du

312 2

1 1 2.

2 2 3u du u C

32

12 3 (2 3)

3x dx x C

32

1

3u C

Page 13: Kalkulus 2 integral

Integral Parsial

Bila bertemu dengan integran yang pengintegralannya tidak dapat dibawa ke bentuk dasar. Salah satu cara penyelesaiannya dengan metode integral parsial.Dengan pemisalan: u = f(x) dan v = g(x). Metode integral parsial memiliki bentuk:udv uv vdu Keterangan:

u = f(x) - du = turunan dari uv = g(x) - dv = turunan v

Page 14: Kalkulus 2 integral

Contoh:

Jawab:Jadikan bentukPemisalan:u = dv =Cari du dan vdu = 2x dx v =

v =

Masukan ke bentuk

2 3x x dxudv

2x 3x dx

3x dx31

2 22

( 3) ( 3)3

x x

udv uv vdu

Page 15: Kalkulus 2 integral

3 32 2 2 22 2

3 . ( 3) ( 3) .23 3

x x dx x x x xdx

udv uv vdu

3 32 2 22 4

( 3) ( 3)3 3x x x x dx

Integral Parsial Tahap 2:

32( 3)x x

Page 16: Kalkulus 2 integral

VOLUME BENDA PUTARBenda putar yang sederhana dapat kita

ambil contoh adalah tabung dengan besar volume adalah hasilkali luas alas ( luas lingkaran ) dan tinggi tabung. Volume dari benda putar secara umum dapat dihitung dari hasilkali antara luas alas dan tinggi.

Bila luas alas kita nyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar adalah panjang selang [ a,b ], maka volume benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut :

Page 17: Kalkulus 2 integral

Lanjutan……Untuk mendapatkan volume benda putar yang

terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua buah metode yaitu metode cakram dan kulit tabung.

Metode CakramMisal daerah dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x = a dan x = b diputar dengan sumbu putar sumbu X. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang [a,b].

Page 18: Kalkulus 2 integral

Lanjutan………

Misal pusat cakram dan jari-jari r = f(xo). Maka luas cakram dinyatakan :

Oleh karena itu, volume benda putar :

Dapat juga ditulis

f(x) = y

2b

a

V y dx

Page 19: Kalkulus 2 integral

Lanjutan……..

Sedangkan bila grafik fungsi dinyatakan dengan x = w(y), x=0, y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar :

Dapat juga ditulis:

w(y) = x

2d

c

V x dy

Page 20: Kalkulus 2 integral

VOLUME BENDA PUTAR ANTARA DUA KURVA

Jika suatu daerah dibatasi oleh kurva y=f(x), y = g(x), x=a dan x=b diputar sekeliling sumbu X sejauh 360 derajat, maka isi benda putar yang terjadi adalah:

2 2[( ( )) ( ( )) ]b

a

V f x g x dx Dimana f(x)> g(x)

Page 21: Kalkulus 2 integral

Contoh Soal:

1. Tentukan isi benda putar yang terjadi jika suatu daerah tersebut dibatasi oleh kurva

, sumbu y, y=0 dan y=2!2. Daerah yang dibatasi kurva dan

sumbu x, diputar sekeliling sumbu x sejauh 360 derajat. Tentukan isi benda putar yang terjadi!

3. Daerah yang dibatasi oleh kurva y=x+3, y=3 dan y=7 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360 derajat. Tentukan isi benda putar yang terjadi!

4. Buktikan bahwa isi kerucut: 5. Buktikan bahwa isi bola:

2 1y x

2 2y x x

21

3V r t

34

3V r

Page 22: Kalkulus 2 integral

INTEGRAL TAK WAJARBentuk integral disebut

Integral Tak Wajar , jika:a. Paling sedikit satu batas integrasinya tak berhingga, ataub. Integran f(x) mempunyai titik tak kontinu pada [ a , b ]

• Paling sedikit satu batas integrasinya tak hingga

( )b

a

f x dx

Page 23: Kalkulus 2 integral

Bila limit pada ruas kanan ada dan bernilai hingga, maka integralnya disebut Konvergen ke nilai limit tersebut. Sedang bila limit tidak ada atau nilainya menuju tak hingga maka disebut Divergen

Page 24: Kalkulus 2 integral

Integran mempunyai titik diskontinu pada [ a ,b ]

Page 25: Kalkulus 2 integral
Page 26: Kalkulus 2 integral