UJI KONVERGENSI

Tim Dosen Kalkulus 2 – TPB – ITKJanuari 2018

Uji Integral

Teorema 3

Jika 𝑘=1+∞ 𝑢𝑘 adalah deret dengan suku-suku tak

negatif, dan jika ada suatu konstanta 𝑀 sedemikian

hingga

𝑠𝑛 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + ⋯+ 𝑢𝑛 ≤ 𝑀

untuk setiap 𝑛, maka deret konvergen, dan jumlahan

𝑆 memenuhi 𝑆 ≤ 𝑀. Jika 𝑀 seperti di atas tidak ada,

maka deret divergen.

Uji Integral

Contoh 3

a. Gunakan uji integral untuk menentukan apakah deret berikut ini konvergenatau divergen.

𝑘=1

∞1

2𝑘 − 1

Solusi

Jika 𝑘 diganti dengan 𝑥 pada suku umum1

2𝑘−1, didapatkan 𝑓 𝑥 =

1

2𝑥−1.

Fungsi tersebut turun dan kontinu pada interval [1, +∞).

1

+∞1

2𝑥 − 1𝑑𝑥 = lim

𝑙→+∞

1

𝑙1

2𝑥 − 1𝑑𝑥 = lim

𝑙→+∞

1

2ln(2𝑥 − 1)

𝑥=1

𝑙

= +∞

Integral tersebut divergen. Hal ini mengakibatkan bahwa deret 𝑘=1∞ 1

2𝑘−1juga divergen.

Uji Integral

b. Gunakan uji integral untuk menentukan apakah deret berikut inikonvergen atau divergen.

𝑘=1

∞1

𝑘2

Solusi

Penggantian 𝑘 dengan 𝑥 pada suku umum1

𝑘2, didapatkan 𝑓 𝑥 =1

𝑥2.

Fungsi tersebut turun dan kontinu pada interval [1,+∞).

1

+∞1

𝑥2𝑑𝑥 = lim

𝑙→+∞

1

𝑙1

𝑥2𝑑𝑥 = lim

𝑙→+∞−

1

𝑥 𝑥=1

𝑙

= lim𝑙→+∞

1 −1

𝑙= 1

Integral tersebut konvergen. Hal ini mengakibatkan bahwa deret

𝑘=1∞ 1

𝑘2 juga konvergen.

Uji Integral

Sebelum dibahas mengenai uji integral untuk melihat

apakah suatu barisan konvergen atau tidak,

diberikan dua ekspresi berikut ini:

𝑘=1+∞ 1

𝑘2 dan 1+∞ 1

𝑥2 𝑑𝑥

Kedua ekspresi tersebut saling berhubungan karena

integran dari integral tak wajar diperoleh dari suku

umum deret tersebut dengan mengganti 𝑘 dengan 𝑥dan batas jumlahan dalam deret diganti dengan

batas integrasi yang bersesuaian.

Uji Integral

Teorema 2 (Hubungan konvergensi deret dan

integral)

Misalkan 𝑘=1+∞ 𝑢𝑘 adalah deret dengan suku-suku

positif, dan 𝑓(𝑥) adalah fungsi yang dihasilkan jika 𝑘diganti dengan 𝑥 dalam rumus 𝑢𝑘 . Jika 𝑓 adalah

deret turun dan kontinu pada interval [𝑎, +∞), maka

𝑘→+∞𝑢𝑘 dan 𝑎+∞

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

keduanya konvergen atau keduanya divergen.

Deret-p

Teorema 4

Deret-𝒑 atau Deret Hyperharmonik

𝑘=1

+∞1

𝑘𝑝 = 1 +1

2𝑝 +1

3𝑝 + ⋯+1

𝑘𝑝 + ⋯

konvergen jika 𝑝 > 1 dan divergen jika 0 < 𝑝 ≤ 1.

Deret-p

Contoh 4

Diberikan contoh Deret-𝑝 berikut.

a. Deret

𝑘=1

+∞1

𝑘3= 1 +

1

23+

1

33+ ⋯+

1

𝑘3+ ⋯

konvergen karena 𝑝 = 3 > 1

b. Deret

𝑘=1

+∞1

3𝑘2

= 1 +1

322

+1

332

+ ⋯+1

3𝑘2

+ ⋯

divergen karena 𝑝 =2

3< 1.

Latihan

1. Gunakan Uji Integral untuk menentukan konvergensi atau divergensi masing-masing deret berikut:

a. 𝑘=0+∞ 1

𝑘+3

b. 𝑘=0+∞ 𝑘

𝑘2+3

c. 𝑘=1+∞ −2

𝑘+2

d. 𝑘=1+∞ 𝑘2

𝑒𝑘

e. 𝑘=5+∞ 1000

𝑘 ln 𝑘 2

Uji Rasio

Teorema 1 (Uji rasio)

Jika diberikan deret dengan suku-suku positif, 𝑘=1+∞ 𝑢𝑘 ,

dan diasumsikan bahwa

𝜌 = lim𝑘→+∞

𝑢𝑘+1

𝑢𝑘

maka:

a. Jika 𝜌 < 1, maka deret konvergen.

b. Jika 𝜌 > 1 atau 𝜌 = +∞, maka deret divergen.

c. Jika 𝜌 = 1 , maka deret mungkin konvergen ataudivergen, sehingga diperlukan uji yang lain.

Uji Rasio

Contoh 1

a. Gunakan uji rasio untuk menentukan apakah deret berikut konvergenatau tidak.

𝑘=1

+∞3𝑘

𝑘!

Solusi

Rasio dari deret ini adalah

𝜌 = lim𝑘→+∞

𝑢𝑘+1

𝑢𝑘= lim

𝑘→+∞

3𝑘+1/(𝑘 + 1)!

3𝑘/𝑘!= lim

𝑘→+∞

3𝑘+1 𝑘!

𝑘 + 1 ! 3𝑘

= lim𝑘→+∞

3 3𝑘 𝑘!

𝑘 + 1 𝑘! 3𝑘= lim

𝑘→+∞

3

𝑘 + 1= 3 lim

𝑘→+∞

1

𝑘 + 1= 0 < 1

Karena 𝜌 < 1, maka deret ini konvergen.

Uji Rasio

b. Gunakan uji rasio untuk menentukan apakah deret berikut konvergen atautidak

𝑘=1

+∞𝑘

𝑘2 + 1

Solusi

Rasio dari deret ini adalah

𝜌 = lim𝑘→+∞

𝑢𝑘+1

𝑢𝑘= lim

𝑘→+∞

𝑘 + 1 / (𝑘 + 1)2+1

𝑘/ 𝑘2 + 1= lim

𝑘→+∞

𝑘 + 1 𝑘2 + 1

(𝑘 + 1)2+1 𝑘

= lim𝑘→+∞

𝑘3 + 𝑘2 + 𝑘 + 1

𝑘2 + 2𝑘 + 2 𝑘= lim

𝑘→+∞

𝑘3 + 𝑘2 + 𝑘 + 1

𝑘3 + 2𝑘2 + 2𝑘= lim

𝑘→+∞

𝑘3

𝑘3= 1

Karena 𝜌 = 1, maka deret ini mungkin konvergen atau divergen. sehinggadiperlukan uji konvergensi yang lain.

Uji Rasio

Contoh 2

Tentukan apakah deret berikut ini konvergen atau divergen.

1 +1

3+

1

5+

1

7+ ⋯+

1

2𝑘 − 1+ ⋯

Solusi

Deret ini memiliki rasio

𝜌 = lim𝑘→+∞

𝑢𝑘+1

𝑢𝑘= lim

𝑘→+∞

1/(2 𝑘 + 1 − 1)

1/(2𝑘 − 1)

= lim𝑘→+∞

2𝑘 − 1

2𝑘 + 1= lim

𝑘→+∞

2𝑘

2𝑘= lim

𝑘→+∞1 = 1

Karena 𝜌 = 1, maka deret ini mungkin konvergen ataudivergen, sehingga diperlukan uji konvergensi lainnya.

Uji Perbandingan Limit

Teorema 5

Diberikan deret dengan suku-suku positif 𝑘=1+∞ 𝑢𝑘 dan

𝑘=1+∞ 𝑦𝑘 , diasumsikan bahwa

𝑝 = lim𝑘→+∞

𝑢𝑘

𝑦𝑘

Jika 𝑝 terbatas dan 𝑝 > 0, maka kedua deret

tersebut konvergen atau

Uji Perbandingan Limit

Contoh 5

a. Gunakan uji perbandingan limit untuk menentukan apakah deret berikutkonvergen atau divergen.

𝑘=1

∞4𝑘2 − 2𝑘 + 6

8𝑘7 + 𝑘 − 8

Solusi

a. Deret yang diberikan memiliki kemiripan dengan deret-𝑝 berikut

𝑘=1

∞4𝑘2

8𝑘7=

𝑘=1

∞1

2𝑘5

Sehingga, dipilih

𝑘=1

+∞

𝑦𝑘 =

𝑘=1

∞1

2𝑘5

yang konvergen.

Uji Perbandingan Limit

Berdasarkan uji perbandingan limit, diperoleh

𝑝 = lim𝑘→+∞

𝑢𝑘

𝑦𝑘= lim

𝑘→+∞

4𝑘2 − 2𝑘 + 68𝑘7 + 𝑘 − 8

12𝑘5

= lim𝑘→+∞

8𝑘7 − 4𝑘6 + 12𝑘5

8𝑘7 + 𝑘 − 8= lim

𝑘→+∞

8𝑘7

8𝑘7 =1

Karena 𝑝 terbatas dan 𝑝 > 0, berdasarkan Teorema

5, maka deret ini konvergen karena 𝑘=1+∞ 𝑦𝑘

konvergen.

Uji Perbandingan Limit

b. Gunakan uji perbandingan limit untuk menentukan apakah deret berikut konvergenatau divergen.

𝑘=1

∞1

𝑘 + 6

Solusi

Deret yang diberikan memiliki kemiripan dengan deret harmonik berikut

𝑘=1

∞1

𝑘

Sehingga, dipilih 𝑘=1+∞ 𝑦𝑘 = 𝑘=1

∞ 1

𝑘

yang telah diketahui bersifat divergen. Berdasarkan uji perbandingan limit, diperoleh

𝑝 = lim𝑘→+∞

𝑢𝑘

𝑦𝑘= lim

𝑘→+∞

1𝑘 + 6

1𝑘

= lim𝑘→+∞

𝑘

𝑘 + 6= lim

𝑘→+∞

𝑘

𝑘=1

Karena 𝑝 terbatas dan 𝑝 > 0, berdasarkan Teorema 5, maka deret ini divergenkarena 𝑘=1

+∞ 𝑦𝑘 divergen.

Latihan

1. Gunakan Uji Rasio untuk menentukan konvergensi atau divergensi

a. 𝑛=1∞ 8𝑛

𝑛!b. 𝑛=1

∞ 𝑛!

𝑛100

c. 𝑛=1∞ 5𝑛

𝑛5 d. 𝑛=1∞ 𝑛

1

3

2

2. Gunakan uji perbandingan limit untuk menentukan konvergensi atau divergensi

a. 𝑛=1∞ 𝑛

𝑛2+2𝑛+3b. 𝑛=1

∞ 3𝑛+1

𝑛3−4

c. 𝑛=1∞ 1

𝑛 𝑛+1b. 𝑛=1

∞ 2𝑛+1

𝑛2

Deret Berganti Tanda

Pada subbab ini, dibahas mengenai deret dengan

suku-suku positif maupun negatif. Deret yang memiliki

suku-suku positif dan negatif bergantian disebut Deret

Berganti Tanda. Secara umum, suatu deret berganti

tanda mempunyai salah satu dari dua bentuk berikut:

1. 𝑘=1∞ (−1)𝑘+1𝑎𝑘 = 𝑎1 − 𝑎2 + 𝑎3 − 𝑎4 + ⋯

2. 𝑘=1∞ (−1)𝑘𝑎𝑘 = −𝑎1 + 𝑎2 − 𝑎3 + 𝑎4 − ⋯

Deret Berganti Tanda

Teorema 6 (Konvergensi deret berganti tanda)

Suatu deret berganti tanda konvergen jika dua

kondisi berikut terpenuhi:

1. 𝑎1 > 𝑎2 > 𝑎3 > ⋯ > 𝑎𝑘 > ⋯

2. lim𝑘→+∞

𝑎𝑘 = 0

Deret Berganti Tanda

Contoh 6

a. Gunakan uji deret berganti tanda untuk menunjukkan bahwa deretberikut konvergen.

−1 +1

2!−

1

3!+

1

4!− ⋯+ −1 𝑘

1

𝑘!+ ⋯

Solusi

Dari deret tersebut, diketahui bahwa

𝑎𝑘 =1

𝑘!>

1

𝑘 + 1 != 𝑎𝑘+1

dan

lim𝑘→+∞

𝑎𝑘 = lim𝑘→+∞

1

𝑘!= 0

Jadi, deret tersebut konvergen.

Deret Berganti Tanda

b. Gunakan uji deret berganti tanda untuk menunjukkan bahwa deret berikutkonvergen.

𝑘=1

∞

−1 𝑘+1𝑘 + 3

𝑘(𝑘 + 1)

Solusi

Deret ini konvergen karena dua kondisi berikut terpenuhi.

𝑎𝑘+1

𝑎𝑘=

𝑘 + 4

𝑘 + 1 𝑘 + 2∙𝑘 𝑘 + 1

𝑘 + 3=

𝑘2 + 4𝑘

𝑘2 + 5𝑘 + 6=

𝑘2 + 4𝑘

(𝑘2+4𝑘) + (𝑘 + 6)< 1

sehingga 𝑎𝑘 > 𝑎𝑘+1 dan

lim𝑘→+∞

𝑎𝑘 = lim𝑘→+∞

𝑘 + 3

𝑘(𝑘 + 1)= lim

𝑘→+∞

1𝑘

+3𝑘2

1 +1𝑘

=0

Uji Rasio Mutlak

Teorema (Uji Rasio Mutlak)

Misalkan 𝑢𝑛 adalah deret yang suku-sukunya bukan nol dan andaikan bahwa

lim𝑛→∞

𝑢𝑛+1

𝑢𝑛= 𝜌

maka:

a. Jika 𝜌 < 1 , maka deret konvergen secara mutlak(karenanya konvergen).

b. Jika 𝜌 > 1, maka deret divergen.

c. Jika 𝜌 = 1 , pengujian ini tidak dapat memberikankepastian.

Uji Rasio Mutlak

Contoh:

Perlihatkan bahwa 𝑛=1∞ −1 𝑛+1 3𝑛

𝑛!konvergen secara

mutlak.

Solusi

𝜌 = lim𝑛→∞

𝑢𝑛+1

𝑢𝑛= lim

𝑛→∞

3𝑛+1

𝑛 + 1 !3𝑛

𝑛!

= lim𝑛→∞

3

𝑛 + 1= 0

Kita simpulkan dari uji rasio mutlak bahwa deret ini konvergen secara mutlak (dan karenanya konvergen)

Deret Pangkat

Deret pangkat dalam x berbentuk

𝑛=0

∞

𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥

2 + ⋯

Himpunan tempat suatu deret pangkat konvergen disebut himpunan konvergensi

Teorema

Himpunan konvergensi untuk deret pangkat 𝑎𝑛𝑥𝑛 selalu berupa

salah satu interval dari ketiga jenis berikut.

a. Titik tunggal 𝑥 = 0

b. Interval (−𝑅, 𝑅), mungkin ditambah salah satu atau kedua titik ujungnya.

c. Keseluruhan garis bilangan real

Dalam a, b, dan c, deret dikatakan memiliki jari-jari konvergensi masing-masing 0, 𝑅, dan ∞

Deret Pangkat

Contoh

Apakah himpunan konvergensi untuk

𝑛=0

∞𝑥𝑛

𝑛 + 1 2𝑛= 1 +

1

2

𝑥

2+

1

3

𝑥2

22+

1

4

𝑥3

23+ ⋯

Solusi

Perhatikan bahwa beberapa suku mungkin negatif (jika 𝑥 negatif). Kita uji menggunakan uji rasio mutlak untuk konvergensi mutlak

𝜌 = lim𝑛→∞

𝑥𝑛+1

𝑛 + 2 2𝑛+1

𝑥𝑛

𝑛 + 1 2𝑛

= lim𝑛→∞

𝑥

2.𝑛 + 1

𝑛 + 2=

𝑥

2

Deret konvergen secara mutlak (oleh karenanya konvergen) apabila 𝜌 = 𝑥 2 < 1 dan divergen apabila 𝜌 = 𝑥 2 > 1. Akibatnya, deret konvergen

ketika 𝑥 < 2 dan divergen ketika 𝑥 > 2

Latihan

1. Perlihatkan bahwa masing-masing deret berganti tanda berikut konvergen

a. 𝑛=1∞ −1 𝑛+1 2

3𝑛+1b. 𝑛=1

∞ −1 𝑛+1 1

𝑛

2. Perlihatkan bahwa deret-deret berikut konvergen secara mutlak

a. 𝑛=1∞ −1 𝑛+1 𝑛

2𝑛 b. 𝑛=1∞ −1 𝑛+1 2𝑛

𝑛!3. Carilah himpunan konvergensi untuk deret pangkat yang diberikan. Petunjuk: pertama carilah rumus untuk suku ke-n; kemudian gunakan Uji Rasio mutlak

a. 𝑥

1.2−

𝑥2

2.3+

𝑥3

3.4−

𝑥4

4.5+

𝑥5

5.6− ⋯

b. 1 + 𝑥 +𝑥2

2!+

𝑥3

3!+

𝑥4

4!+ ⋯

Deret Taylor dan Maclaurin

Diketahui suatu fungsi 𝑓 (misalnya, sin 𝑥 atau ln cos2 𝑥 ), dapatkah kita menyatakan 𝑓 sebagai suatu deret pangkat dalam 𝑥 atau, secara lebih umum, dalam 𝑥 − 𝑎? Secara lebih presisi, dapatkan kita mencari bilangan-bilangan 𝑐0, 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, … sedemikian rupa sehingga

𝑓 𝑥 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 − 𝑎 + 𝑐2 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑐3 𝑥 − 𝑎 3 + ⋯

Untuk 𝑥 yang termasuk pada suatu interval di sekitar 𝑎?

Andaikan pernyataan yang demikian ada. Maka menurut teorema pada diferensiasi deret,

𝑓′ 𝑥 = 𝑐1 + 2𝑐2 𝑥 − 𝑎 + 3𝑐3 𝑥 − 𝑎 2 + 4𝑐4 𝑥 − 𝑎 3 + ⋯𝑓′′ 𝑥 = 2! 𝑐2 + 3! 𝑐3 𝑥 − 𝑎 + 4.3𝑐4 𝑥 − 𝑎 2 + ⋯𝑓′′′ 𝑥 = 3! 𝑐3 + 4! 𝑐4 𝑥 − 𝑎 + 5.4.3𝑐5 𝑥 − 𝑎 2 + ⋯

⋮

Deret Taylor dan Maclaurin

Ketika kita substitusikan 𝑥 = 𝑎 dan menyelesakan untuk 𝑐𝑛, kita peroleh

𝑐0 = 𝑓 𝑎𝑐1 = 𝑓′ 𝑎

𝑐2 =𝑓′′ 𝑎

2!

𝑐3 =𝑓′′′ 𝑎

3!Dan, secara lebih umum,

𝑐𝑛 =𝑓 𝑛 𝑎

𝑛!Dengan 𝑓 0 𝑎 = 𝑓 𝑎 dan 0! = 1

Deret Taylor dan Maclaurin

Teorema (Teorema ketunggalan)

Andaikan 𝑓 memenuhi

𝑓 𝑥 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 − 𝑎 + 𝑐2 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑐3 𝑥 − 𝑎 3 + ⋯

Untuk semua 𝑥 dalam suatu interval di sekitar 𝑎. Maka,

𝑐𝑛 =𝑓 𝑛 𝑎

𝑛!

Koefisien-koefisien 𝑐𝑛 ditentukan oleh fungsi 𝑓. Jadi,

sebuah fungsi tidak dapat dinyatakan oleh lebih dari satu

deret pangkat dalam 𝑥 − 𝑎. Pernyataan deret pangkat

suatu fungsi dalam 𝑥 − 𝑎 disebut Deret Taylor. Jika 𝑎 =0, deret yang berpadanan disebut Deret Maclaurin.

Deret Taylor dan Maclaurin

Teorema (Rumus Taylor dengan Sisa)

Misalkan 𝑓 fungsi yang turunan ke- 𝑛 + 1 , 𝑓 𝑛+1 𝑥 ada untuk masing-masing 𝑥 dalam interval terbuka 𝐼 yang mengandung 𝑎. Maka untuk masing-masing 𝑥 dalam 𝐼,

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 + 𝑓′ 𝑎 𝑥 − 𝑎 +𝑓′′ 𝑎

2!𝑥 − 𝑎 2 + ⋯

+𝑓 𝑛 𝑎

𝑛!𝑥 − 𝑎 𝑛 + 𝑅𝑛 𝑥

Dengan sisa atau galat 𝑅𝑛 𝑥 diberikan oleh rumus

𝑅𝑛 𝑥 =𝑓 𝑛+1 𝑎

𝑛 + 1 !𝑥 − 𝑎 𝑛+1

Dan 𝑐 suatu titik diantara 𝑥 dan 𝑎

Deret Taylor dan Maclaurin

Contoh:

carilah deret MacLaurin untuk sin 𝑥, cos 𝑥, sinh 𝑥, cosh 𝑥

Solusi

sin 𝑥 = 𝑥 −𝑥3

3!+

𝑥5

5!−

𝑥7

7!+ ⋯

cos 𝑥 = 1 −𝑥2

2!+

𝑥4

4!−

𝑥6

6!+ ⋯

sinh 𝑥 = 𝑥 +𝑥3

3!+

𝑥5

5!+

𝑥7

7!+ ⋯

cosh 𝑥 = 1 +𝑥2

2!+

𝑥4

4!+

𝑥6

6!+ ⋯

Deret Binomial

Teorema

Untuk sebarang bilangan real 𝑝 dan untuk 𝑥 < 1,

1 + 𝑥 𝑝 = 1 +𝑝1

𝑥 +𝑝2

𝑥2 +𝑝3

𝑥3 + ⋯

Contoh:

Nyatakan 1 − 𝑥 −2 dalam deret MacLaurin untuk −1 < 𝑥 < 1.

Solusi

1 + 𝑥 −2 = 1 + −2 𝑥 +−2 −3

2!𝑥2 +

−2 −3 −4

3!𝑥3 + ⋯

= 1 − 2𝑥 + 3𝑥2 − 4𝑥3 + ⋯

Jadi,

1 − 𝑥 −2 = 1 + 2𝑥 + 3𝑥2 + 4𝑥3 + ⋯

Deret MacLaurin yang Penting

Latihan

1. Carilah deret Taylor dalam 𝑥 − 𝑎 hingga suku 𝑥 − 𝑎 3

a. 𝑒𝑥, 𝑎 = 1

b. cos 𝑥 , 𝑎 =𝜋

3

c. 1 + 𝑥2 + 𝑥3, 𝑎 = 12. Carilah suku-suku hingga 𝑥5 dalam deret MacLaurin untuk 𝑓 𝑥a.𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥

b.𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥c. 𝑓 𝑥 = sin3 𝑥

d. 𝑓 𝑥 =1

1+𝑥+𝑥2