penyelesaian model mangsa pemangsa tiga … · 1 galat metode homotopi orde ke sepuluh masalah...
TRANSCRIPT
PENYELESAIAN MODEL MANGSA PEMANGSA TIGA
SPESIES DENGAN METODE HOMOTOPI
YULI RAHMAWATI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penyelesaian Model
Mangsa Pemangsa Tiga Spesies dengan Metode Homotopi adalah benar karya
saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk
apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau
dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2014
Yuli Rahmawati
NIM G54100071
ABSTRAK
YULI RAHMAWATI. Penyelesaian Model Mangsa Pemangsa Tiga Spesies
dengan Metode Homotopi. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan SISWANDI.
Dalam karya ilmiah ini, digunakan metode homotopi untuk menyelesaikan
masalah taklinear dari model mangsa pemangsa tiga spesies dengan adanya
mangsa, pemangsa, dan pesaing yang didasarkan pada Paparao et al. (2013).
Dalam metode ini, didefinisikan fungsi homotopi dengan penambahan beberapa
parameter, salah satunya parameter yang digunakan untuk menentukan selang
kekonvergenan. Penyelesaian dari masalah tersebut dituliskan dalam bentuk deret
hingga order kelima. Hasil yang diperoleh dengan metode homotopi selanjutnya
dibandingkan dengan penyelesaian secara numerik. Nilai merupakan
nilai dengan galat yang paling kecil.
Kata kunci: mangsa, pemangsa, pesaing, parameter , dan metode homotopi.
ABSTRACT
YULI RAHMAWATI. Solution of Three Species Predator Prey Models by
Homotopy Method. Supervised by JAHARUDDIN and SISWANDI.
In this manuscript, a homotopy method was used to solve nonlinear problem
of three species predator prey model with a prey, a predator, and a competitor
which is based on Paparao et al. (2013). In this method, a homotopy function is
defined by adding of several parameters, one of them is parameter which is used
to determine the interval of convergence. Solution of the problem is written in the
form of series up to fifth order. The results obtained using the homotopy method
were compared with the numerical solution. It is found that of is the
value with the smallest error.
Keywords: prey, predator, competitor, parameter , and homotopy method.
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
PENYELESAIAN MODEL MANGSA PEMANGSA TIGA
SPESIES DENGAN METODE HOMOTOPI
YULI RAHMAWATI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Penyelesaian Model Mangsa Pemangsa Tiga Spesies dengan
Metode Homotopi
Nama : Yuli Rahmawati
NIM : G54100071
Disetujui oleh
Dr Jaharuddin, MS
Pembimbing I
Drs Siswandi, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Topik yang
dipilih dalam penulisan karya ilmiah ini adalah penggunaan metode homotopi
untuk kasus model mangsa pemangsa tiga spesies, dengan judul Penyelesaian
Model Mangsa Pemangsa Tiga Spesies dengan Metode Homotopi.
Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh
karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah
membantu dalam proses penyusunan karya ilmiah ini antara lain:
1. Effendi Abdul Kohar (Ayah) dan Linda Buchori (Ibu) selaku orangtua,
Elva Gustini (kakak), Imam Riski Abdullah (adik) atas semua do’a,
dukungan, semangat, pengorbanan, nasihat, perhatian, dan kasih sayang
sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini.
2. Dr Jaharuddin, MS selaku dosen pembimbing pertama dan Drs Siswandi,
MSi selaku dosen pembimbing kedua atas semua ilmu, motivasi, dan
bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini.
3. Drs Ali Kusnanto, MSi selaku dosen penguji atas saran dan kritik untuk
perbaikan karya ilmiah ini.
4. Seluruh dosen Departemen Matematika yang telah memberikan ilmu
kepada penulis.
5. Seluruh staf Departemen Matematika yang telah membantu dalam
menyelesaikan karya ilmiah ini.
6. Keluarga besar paguyuban Bidik Misi atas dukungan dan bantuan selama
penulis kuliah di IPB.
7. Sahabat terbaik Sabrina, Siwi, Sekar, dan Devi atas motivasi dan
semangat yang selalu diberikan kepada penulis.
8. Teman-teman Math 47: Bilyan, Leny, Mira, Novia, Vina, dan semuanya.
9. Kakak-kakak Math 46: kak Dita, kak Windi, kak Risa atas ilmu, nasihat,
motivasi, dan bantuan selama penulis kuliah di Departemen Matematika.
10. Serta teman-teman di Asrama Putri Dramaga.
Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini memiliki kekurangan sehingga
perlu saran dan kritik. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat dan menjadi
inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, Juli 2014
Yuli Rahmawati
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL vi
DAFTAR GAMBAR vi
DAFTAR LAMPIRAN vi
PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Tujuan Karya Ilmiah 2
TINJAUAN PUSTAKA 2
Model Persamaan Mangsa Pemangsa Tiga Spesies 2
Metode Homotopi 3
HASIL DAN PEMBAHASAN 8
Analisis Metode 8
Aplikasi Metode 12
SIMPULAN 17
Simpulan 17
DAFTAR PUSTAKA 18
LAMPIRAN 19
RIWAYAT HIDUP 27
DAFTAR TABEL
1 Galat metode homotopi orde ke sepuluh masalah nilai awal (12) 8
2 Nilai parameter-parameter dari persamaan (1) 13
3 Galat metode homotopi orde ke lima dari persamaan (1) 15
DAFTAR GAMBAR
1 Kurva dari penyelesaian masalah nilai awal (12) dengan metode
homotopi orde ke sepuluh 7
2 Kurva dari penyelesaian persamaan (1) dengan metode homotopi orde
ke sepuluh 14
3 Penyelesaian persamaan (1) dengan metode numerik 16
DAFTAR LAMPIRAN
1 Penurunan persamaan (10) 19 2 Penurunan persamaan (32) 22 3 Tabel selisih antara penyelesaian metode homotopi dan metode
numerik dari masalah mangsa pemangsa tiga spesies 26
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Semua makhluk hidup bergantung pada makhluk hidup lain. Di samping
itu, setiap individu berinteraksi dengan individu lain dalam satu spesies maupun
antarspesies atau individu dalam satu populasi maupun antarpopulasi. Adanya
interaksi menyebabkan hubungan makan dan dimakan yang terjadi pada spesies
tertentu, sehingga timbul persaingan di antara spesies tersebut.
Persaingan adalah interaksi antara dua spesies atau lebih yang berusaha
untuk mendapatkan sumber daya yang sama seperti mangsa. Dalam hal ini,
interaksi antara pemangsa dan pesaing mengakibatkan persaingan dalam
memperebutkan sumber daya sejenis seperti mangsa yang keberadaannya terbatas,
sehingga terjadi persaingan interspesifik (antara dua atau lebih spesies) ataupun
intraspesifik (antara anggota spesies yang sama). Contoh persaingan antara
populasi kambing (pemangsa) dan populasi sapi (pesaing) di padang rumput
(mangsa) dan populasi harimau (pemangsa) dengan populasi singa (pesaing)
memperebutkan rusa (mangsa). Berkebalikan dengan itu, sumber daya seperti
oksigen jarang mengalami kelangkaan, sehingga jarang terjadi persaingan
memperebutkan oksigen.
Di lingkungan yang sama, interaksi antara pemangsa dan pesaing yang
terlibat secara langsung dalam kompetisi, dapat bersaing untuk mendapatkan
mangsa. Jika salah satu dari mereka mampu bersaing dalam mendapatkan mangsa,
maka spesies tersebut akan bertahan hidup, sedangkan yang tidak dapat bersaing
dalam mendapatkan mangsa, spesies tersebut akan punah (Campbell et al. 2008).
Hal ini mengakibatkan interaksi tiga spesies dengan adanya populasi pesaing
(competitor) dapat memengaruhi populasi mangsa (prey) dan populasi pemangsa
(predator). Dengan demikian interaksi ini dapat diilustrasikan dalam model yang
disebut model mangsa pemangsa tiga spesies. Model persamaan untuk
menjelaskan interaksi tersebut dibentuk dalam persamaan diferensial taklinear.
Sistem persamaan diferensial ini seringkali sulit diselesaikan secara analitik.
Pada karya ilmiah ini, akan digunakan metode homotopi untuk
menyelesaikan permasalahan mangsa pemangsa tiga spesies yang didasarkan pada
(Paparao et al. 2013). Sebelum menyelesaikan masalah mangsa pemangsa tiga
spesies, metode homotopi telah banyak digunakan peneliti untuk menyelesaikan
masalah taklinear dalam bidang sains dan teknologi. Diantaranya, (Jaharuddin
2014) menggunakan metode homotopi untuk menyelesaikan masalah infeksi
virus pada populasi spesies tunggal di lingkungan yang kotor, serta (Biazar dan
Dezhpasand 2011) menggunakan metode homotopi untuk menyelesaikan masalah
mangsa pemangsa secara analitik.
Metode homotopi (Liao 2004) adalah metode analitik yang memiliki
kemampuan dalam menyelesaikan masalah persamaan diferensial baik linear
maupun taklinear. Dalam metode ini, didefinisikan suatu operator yang didasarkan
pada bentuk persamaan diferensial dari masalah mangsa pemangsa tiga spesies.
Selain itu, didefinisikan fungsi homotopi dengan penambahan beberapa parameter,
salah satunya parameter yang merupakan paremeter bantu untuk menentukan
selang kekonvergenan dari penyelesaian masalah tersebut. Penyelesaian masalah
2
mangsa pemangsa tiga spesies dengan menggunakan metode homotopi dimisalkan
dalam bentuk deret. Hasil-hasil yang diperoleh dengan metode homotopi akan
dibandingkan dengan hampiran penyelesaian secara numerik.
Tujuan Karya Ilmiah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan penelitian ini adalah
a. Menggunakan metode homotopi untuk menyelesaikan masalah mangsa
pemangsa tiga spesies dan membandingkan penyelesaian metode tersebut
dengan hampiran penyelesaian numerik.
b. Menggambarkan grafik hampiran penyelesaian numerik dari model
mangsa pemangsa tiga spesies, kemudian memberikan tafsiran terhadap
grafik tersebut.
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang digunakan dalam menyusun
karya ilmiah ini. Teori-teori tersebut meliputi kajian model mangsa pemangsa tiga
spesies dengan mangsa (prey), pemangsa (predator), dan pesaing (competitor)
serta konsep dasar metode homotopi.
Model Persamaan Mangsa Pemangsa Tiga Spesies
Model mangsa pemangsa tiga spesies merupakan model mangsa pemangsa
dengan adanya pesaing yang dikelompokkan menjadi tiga populasi di antaranya,
populasi mangsa , populasi pemangsa ( , dan populasi pesaing ( . Pada
kasus ini, populasi mangsa, pemangsa, dan pesaing merupakan populasi hewan
mamalia yang hidup di lingkungan yang sama. Selain itu, diasumsikan populasi
pesaing mengalami penurunan yang disebabkan interaksi dengan mangsa.
Berikut model mangsa pemangsa tiga spesies dalam bentuk persamaan
diferensial taklinear yang didasarkan pada (Paparao et al. 2013).
(1)
dan
Pada persamaan (1), banyaknya populasi mangsa ( ) dipengaruhi oleh
laju pertumbuhan mangsa secara alami dalam ekor per satuan waktu ( ) yang
3
dihambat dengan koefisien interaksi antarspesies mangsa ( , koefisien
interaksi antara mangsa dan pemangsa ( ), serta koefisien interaksi antara
mangsa dan pesaing ( . Di samping itu, banyaknya populasi pemangsa ( )
dipengaruhi oleh laju pertumbuhan pemangsa secara alami dalam ekor per satuan
waktu ( ) yang didukung karena adanya koefisien keberhasilan pemangsa dalam
memangsa ( ), tetapi dihambat oleh koefisien interaksi antarspesies pemangsa
( ) dan koefisien interaksi antara pemangsa dan pesaing ( ). Selanjutnya,
banyaknya populasi pesaing ( ) dipengaruhi pula oleh laju pertumbuhan pesaing
secara alami dalam ekor per satuan waktu ( ) yang dihambat dengan koefisien
interaksi antara pesaing dan mangsa ( ), koefisien interaksi antara pesaing dan
pemangsa ( ), serta koefisien interaksi antarspesies pesaing ( ).
Metode Homotopi
Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar metode homotopi didasarkan
pada (Liao 2004). Misalkan diberikan persamaan diferensial taklinear
[ ] (2)
dengan operator taklinear dan fungsi yang akan ditentukan dan bergantung
pada .
Misalkan merupakan pendekatan awal dari penyelesaian persamaan
(2). Selanjutnya, didefinisikan pula suatu operator linear yang memenuhi
[ ] bila (3)
Dengan menggunakan [ ] sebagai sebuah parameter, kemudian sebagai
parameter bantu taknol dan fungsi bantu taknol, maka didefinisikan suatu
fungsi homotopi sebagai berikut:
[ ] [ ]. (4)
Selanjutnya, fungsi homotopi pada persamaan (4) dibuat menjadi sama
dengan nol yaitu:
,
sehingga perluasan metode homotopi lebih lanjut dapat dituliskan dalam bentuk
persamaan deformasi orde nol sebagai berikut:
[ ] [ ] , (5)
dengan adalah fungsi penyelesaian yang bergantung pada dan parameter
[ ]. Pada saat , persamaan (5) memberikan
[ ] ,
kemudian berdasarkan persamaan (3) diperoleh
, (6)
dan pada saat , persamaan (5) memberikan
[ ] ,
sehingga berdasarkan persamaan (2) diperoleh
. (7)
Berdasarkan persamaan (6) dan (7), peningkatan nilai dari 0 sampai 1
menyatakan perubahan secara kontinu dari pendekatan awal ke
solusi eksak dari persamaan (2).
Selanjutnya, konsep deret Taylor untuk fungsi terhadap parameter
yang bernilai dari sampai 1 dapat diuraikan menjadi
4
∑
dengan
|
Kemudian berdasarkan persamaan (7) dan (8), fungsi konvergen saat
sehingga diperoleh penyelesaian metode homotopi sebagai berikut:
∑
dengan diperoleh sebagai berikut, jika persamaan (5) diturunkan terhadap
hingga kali serta mengevaluasi pada dan dibagi dengan maka
diperoleh persamaan (10) yaitu persamaan order ke- .
[ ] ( ) (10)
dengan
( )
[ ]
|
dan
{
(11)
Penurunan persamaan (10) dapat dilihat pada Lampiran 1.
Untuk lebih memahami metode homotopi yang telah dibahas, diberikan
contoh sederhana masalah taklinear yang diperoleh dari (Rostamy et al. 2011)
sebagai berikut:
(12)
dengan syarat awal dan dan parameter , , , bernilai
0.1. Selanjutnya, akan diselesaikan masalah taklinear (12) dengan menggunakan
metode homotopi.
Misalkan didefinisikan operator linear sebagai berikut:
[ ]
[ ]
dan operator taklinear
[ ]
(13)
[ ]
dengan [ ] merupakan suatu parameter, dan adalah suatu
fungsi yang bergantung pada dan . Didefinisikan suatu fungsi homotopi
dan dengan fungsi bantu dan sebagai berikut:
5
( )
[ ] [ ], (14)
( )
[ ] [ ],
dengan dan merupakan parameter bantu taknol.
Selanjutnya, misalkan fungsi dan adalah penyelesaian
dari persamaan berikut:
( ) ,
(15)
dan
( ) .
.
Berdasarkan persamaan (14), persamaan (15) dapat tuliskan sebagai berikut:
[ ] [ ] , (16)
[ ] [ ].
Dari persamaan (16), saat diperoleh persamaan sebagai berikut:
[ ] dan [ ]
sehingga berdasarkan persamaan (3) diperoleh
dan . (17)
Ketika , berdasarkan persamaan (16) diperoleh persamaan berikut:
[ ] dan [ ] ,
sehingga berdasarkan persamaan (2) diperoleh
dan . (18)
Selanjutnya, konsep deret Taylor untuk fungsi dan terhadap parameter yang bernilai dari sampai 1 dapat diuraikan menjadi
∑
dan (19)
∑
dengan
|
|
Pada persamaan (19) fungsi dan diasumsikan konvergen
saat sehingga diperoleh penyelesaian metode homotopi sebagai berikut:
∑
6
∑
Untuk menentukan persamaan dan dibutuhkan persamaan (16) yang
diturunkan terhadap hingga kali dan dievaluasi pada kemudian dibagi
, sehingga diperoleh
[ ] ( ) (17)
[ ] ( ) dengan
( )
[ ]
|
(18)
dan
( )
[ ]
|
Fungsi diberikan pada persamaan (11). Berdasarkan persamaan (18) dan (13)
diperoleh
( )
∑
(19)
dan
( )
∑
Untuk penyederhanaan dipilih . Selanjutnya, persamaan (19)
disubtitusikan ke persamaan (17) dan kedua ruas diintegralkan terhadap
sehingga diperoleh
∫ ( )
dan (20)
∫ ( )
Karena penyelesaian pendekatan awal dan nilai parameter telah diberikan,
maka untuk berdasarkan persamaan (20) diperoleh
,
dan
. Untuk diperoleh
,
dan
Jika proses dilanjutkan, maka diperoleh penyelesaian
, ,…,
7
, ,…,
sehingga hampiran penyelesaian masalah nilai awal (12) dengan menggunakan
metode homotopi adalah
, dan
. Hampiran penyelesaian dengan metode homotopi dari masalah nilai awal
(12) mengandung parameter bantu . Menurut (Jaharuddin 2014) dengan
menggunakan kurva , dapat ditentukan selang nilai yang sesuai untuk parameter
bantu . Berdasarkan plot dari Gambar 1, dapat ditentukan selang untuk nilai
yang sesuai, yakni ketika ruas-ruas garis melintang sejajar di sumbu horizontal.
Gambar 1 menggambarkan kurva untuk dan . Dari Gambar 1,
jelas bahwa nilai dapat dipilih pada selang sampai 1 untuk mendapatkan
suatu penyelasaian dengan selang kekonvergenan yang lebih luas.
Gambar 1 Kurva dari penyelesaian masalah nilai awal (12) dengan metode
homotopi orde ke sepuluh
Perbandingan penggunaan metode homotopi dan metode numerik
diberikan pada Tabel 1. Dalam hal ini, metode Runge-Kutta digunakan untuk
menentukan penyelesaian dengan metode numerik dari dan . Berikut
ini diberikan Tabel 1 yaitu selisih antara hampiran penyelesaian dengan metode
homotopi , dan serta hampiran penyelesaian metode numerik
dan saat , , dan .
8
Tabel 1 Galat metode homotopi orde ke sepuluh masalah nilai awal (12)
| | | |
0 0 0 0 0 0 0
0.1 3.87 x 10-6
2.67 x 10-5
3.90 x 10-4
4.35 x 10-6
5.44 x 10-5
2.60 x 10-3
0.2 1.75 x 10-5
7.82 x 10-4
1.10 x 10-2
1.44 x 10-5
3.87 x 10-5
1.21 x 10-2
0.3 6.35 x 10-5
4.40 x 10-3
7.91 x 10-2
5.17 x 10-5
1.34 x 10-3
9.96 x 10-3
0.4 1.71 x 10-4
1.42 x 10-2
2.78 x 10-1
1.57 x 10-4
6.95 x 10-3
5.41 x 10-2
0.5 3.60 x 10-4
3.41 x 10-2
7.05 x 10-1
3.90 x 10-4
2.12 x 10-2
2.64 x 10-1
0.6 6.29 x 10-4
6.81 x 10-2
1.47 x 100
8.22 x 10-4
5.03 x 10-2
7.39 x 10-1
0.7 9.32 x 10-4
1.19 x 10-1
2.67 x 100
1.53 x 10-3
1.01 x 10-1
1.63 x 100
0.8 1.16 x 10-3
1.88 x 10-1
4.41 x 100
2.58 x 10-3
1.83 x 10-1
3.11 x 100
0.9 1.12 x 10-3
2.74 x 10-1
6.74 x 100
4.01 x 10-3
3.03 x 10-1
5.38 x 100
1.0 4.89 x 10-4
3.70 x 10-1
9.67 x 100
5.83 x 10-3
4.70 x 10-1
8.66 x 100
Berdasarkan Tabel 1, rata-rata galat yang dihasilkan oleh saat sebesar 4.5 x 10-4
, 9.76 x 10-2 saat , dan 2.37 x 100
ketika .
Di samping itu rata-rata galat yang diperoleh ketika , , dan
berturut-turut adalah 1.4 x 10-3, 1.03 x 10-1, dan 1.80 x 100
. Hal ini
memperlihatkan bahwa parameter bantu lebih bagus dibandingkan
dengan dan , karena hampiran penyelesaian dengan metode
homotopi yang dihasilkan mendekati hampiran penyelesaian dengan metode
numerik. Dengan menggunakan nilai parameter bantu , penyelesaian
dengan metode homotopi pada masalah nilai awal (12) menghampiri penyelesaian
numeriknya. Oleh sebab itu, galat yang sangat kecil menunjukkan bahwa metode
homotopi dapat menyelesaikan sistem persamaan diferensial dengan nilai awal
yang diberikan.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dibahas penggunaan metode homotopi untuk
menyelesaikan model mangsa pemangsa tiga spesies. Hasil penyelesaian tersebut
akan dibandingkan dengan penyelesaian secara numerik.
Analisis Metode
Selanjutnya akan dibahas perluasan dari konsep metode homotopi yang
telah diuraikan di bagian tinjauan pustaka untuk menyelesaikan model mangsa
pemangsa tiga spesies. Didefinisikan operator linear dari masalah nilai awal (1)
sebagai berikut:
9
[ ]
[ ]
(21)
[ ]
dan operator taklinear
[ ]
[ ]
, (22)
[ ]
[ ]
, dan
[ ]
[ ]
,
dengan [ ] merupakan suatu parameter serta dan
adalah fungsi yang bergantung pada dan .
Didefinisikan suatu fungsi homotopi , , dan sebagai berikut:
[ ]
[ ] [ ] (23)
[ ]
[ ] [ ] dan
[ ]
[ ] [ ]
dengan , , merupakan parameter bantu taknol dan ), , merupakan fungsi bantu taknol.
Misalkan fungsi , , dan masing-masing adalah
penyelesaian dari persamaan berikut:
[ ] ,
(24)
[ ] ,
dan
[ ] .
Berdasarkan persamaan (23), persamaan (24) dapat dituliskan sebagai berikut:
[ ] [ ], (25)
[ ] [ ], dan
[ ] [ ]. Berdasarkan persamaan (25), untuk diperoleh
10
, , dan , (26)
yang masing-masing merupakan pendekatan awal dari , , dan .
Selanjutnya, ketika diperoleh
, , dan . (27)
Berikut ini diberikan deret Taylor untuk fungsi , dan
terhadap parameter yang bernilai dari sampai 1.
∑
(28)
∑
dan
∑
dengan
|
|
dan
|
Berdasarkan persamaan (27), , , dan diasumsikan
konvergen pada sehingga penyelesaiannya sebagai berikut:
∑
(29)
∑
dan
∑
Hasil ini menunjukkan adanya hubungan antara penyelesaian eksak dari masalah
nilai awal (1) dan pendekatan awal , , serta ,
, untuk yang akan ditentukan.
Bentuk , , dan ditentukan sebagai berikut. Jika
persamaan (25) diturunkan terhadap hingga kali, kemudian dievaluasi pada
dan dibagi , maka diperoleh persamaan orde ke- sebagai berikut:
[ ] ( )
11
[ ] ( ) (30)
dan
[ ] ( ) dengan
( )
[ ]
|
(31)
( )
[ ]
|
dan
( )
[ ]
|
Jika persamaan (22) disubstitusikan ke persamaan (31), maka diperoleh bentuk
, , dan sebagai berikut:
( )
∑
∑
∑
(32)
( )
∑
∑
∑
dan
( )
∑
∑
∑
Penurunan persamaan (32) diberikan pada lampiran 2, sedangkan fungsi
diberikan pada persamaan (11).
Misalkan penyelesaian pendekatan awal , , dan
dengan , , dan merupakan suatu konstanta bernilai positif.
Jika persamaan (32) disubstitusikan ke persamaan (30) dengan
[ ], [ ], dan [ ] pada persamaan (21), dengan kedua
ruas pada persamaan (30) diintegralkan terhadap , serta memilih parameter bantu
, dan fungsi bantu , maka untuk
diperoleh
12
[ ∫ ( )
∫
∫
∫
]
(33)
[ ∫ ( )
∫
∫
∫
]
dan
[ ∫ ( )
∫
∫
∫
]
dengan
∑
∑
dan
∑
untuk setiap 1, 2, dan 3.
Jadi, hampiran penyelesaian masalah nilai awal (1) dengan metode
homotopi hingga orde ke lima dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut:
,
, dan
.
Aplikasi Metode
Pada bagian ini, metode homotopi akan diaplikasikan dengan memasukkan
nilai awal untuk populasi mangsa, pemangsa, dan pesaing serta nilai parameter-
parameter yang terdapat pada model mangsa pemangsa tiga spesies. Berikut
diberikan Tabel 2 yang memuat nilai parameter-parameter tersebut.
13
Tabel 2 Nilai parameter-parameter dari persamaan (1)
Parameter Keterangan Nilai
Laju pertumbuhan mangsa secara alami (ekor per satuan
waktu)
1.00
Laju pertumbuhan pemangsa secara alami (ekor per satuan
waktu)
1.00
Laju pertumbuhan pesaing secara alami (ekor per satuan
waktu)
0.667
Koefisien interaksi antarspesies mangsa 0.02
Koefisien interaksi antara mangsa dengan pemangsa 0.01
Koefisien interaksi antara mangsa dengan pesaing 0.01
Koefisien keberhasilan pemangsa dalam memangsa 0.01
Koefisien interaksi antarspesies pemangsa 0.02
Koefisien interaksi antara pemangsa dengan pesaing 0.01
Koefisien interaksi antara pesaing dengan mangsa 0.01
Koefisien interaksi antara pesaing dengan pemangsa 0.02
Koefisien interaksi antarspesies pesaing 0.02
Banyaknya populasi mangsa, pemangsa, dan pesaing saat yang
diperoleh dari (Biazar dan Dezhpasand 2011) berturut-turut adalah 20, 15, dan 10
dalam satuan ratus ekor. Data tersebut dapat ditulis dengan notasi sebagai berikut:
dan .
Berdasarkan persamaan (33), untuk diperoleh
,
,
dan
.
Untuk , diperoleh
,
,
dan
.
Untuk , diperoleh
,
,
dan
.
14
Jadi, berdasarkan metode homotopi diperoleh hampiran penyelesaian model
mangsa pemangsa tiga spesies sampai orde ke lima sebagai berikut:
,
,
dan
.
Karena parameter bantu masih terdapat di penyelesaian metode
homotopi dari masalah mangsa pemangsa tiga spesies, maka berdasarkan Gambar
2 selang nilai untuk parameter bantu ditentukan dari ruas-ruas garis turunan
kedua hampiran penyelesaian metode homotopi orde ke sepuluh untuk ,
, dan saat . Ruas-ruas garis tersebut melintang sejajar di sumbu
horizontal. Sehingga, nilai untuk parameter bantu dapat dipilih pada selang
sampai 1.
Gambar 2 Kurva dari penyelesaian persamaan (1) dengan metode
homotopi orde ke sepuluh
Untuk membandingkan hasil yang diperoleh dengan hampiran
penyelesaian numerik, berikut ini diberikan Tabel 3 yaitu selisih antara hampiran
penyelesaian metode homotopi untuk populasi mangsa , populasi
pemangsa , serta populasi pesaing dan hampiran penyelesaian
metode numerik untuk populasi mangsa , populasi pemangsa ,
serta populasi pesaing ) saat dan .
15
Tabel 3 Galat metode homotopi orde ke lima dari persamaan (1)
| | | | | |
0 0 0 0 0 0 0
0.1 6.90 x 10-3
5.20 x 10-3
1.28 x 10-2
2.29 x 10-2
6.25 x 10-4
1.29 x 10-2
0.2 1.33 x 10-2
1.28 x 10-2
2.57 x 10-2
3.80 x 10-2
1.64 x 10-3
4.15 x 10-2
0.3 1.94 x 10-2
1.06 x 10-1
3.70 x 10-2
4.15 x 10-2
2.67 x 10-3
6.64 x 10-2
0.4 2.55 x 10-2
3.26 x 10-1
4.54 x 10-2
3.07 x 10-1
3.23 x 10-3
6.32 x 10-2
0.5 3.16 x 10-2
7.26 x 10-1
4.95 x 10-2
8.54 x 10-1
2.74 x 10-3
3.76 x 10-3
0.6 3.78 x 10-2
1.35 x 100
4.84 x 10-2
1.77 x 10-0
6.08 x 10-4
1.44 x 10-1
0.7 4.41 x 10-2
2.26 x 100
4.23 x 10-2
3.14 x 100
3.73 x 10-3
4.15 x 10-1
0.8 5.03 x 10-2
3.48 x 100
3.22 x 10-2
5.05 x 100
1.07 x 10-2
8.48 x 10-1
0.9 5.57 x 10-2
5.06 x 100
2.10 x 10-2
7.56 x 100
2.07 x 10-2
1.48 x 100
1.0 5.93 x 10-2
7.03 x 100
1.36 x 10-2
10.71 x 100
3.37 x 10-2
2.35 x 100
Berdasarkan Tabel 3, rata-rata galat yang dihasilkan dengan menggunakan
metode homotopi untuk populasi mangsa, pemangsa, dan pesaing masing-masing
saat sebesar 3.13 X 10-2, 2.98 X 10-2
, dan 7.32 X 10-3, serta saat
sebesar 1.85 X 100, 2.68 X 100
, dan 4.93 X 10-1.
Tabel 3 memperlihatkan bahwa metode homotopi memiliki penyelesaian
yang menghampiri penyelesaian numeriknya. Selisih galat yang dihasilkan oleh
metode homotopi pada beberapa selang cukup kecil. Galat yang dihasilkan oleh
metode homotopi ketika lebih kecil dibandingkan dengan , serta
lebih kecil di antara selang nilai lainnya. Hal tersebut dapat dilihat pada
lampiran 3. Oleh sebab itu, nilai parameter bantu yang dipilih dalam karya
ilmiah ini adalah . Dengan nilai galat yang kecil, hal ini berarti metode
homotopi dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah mangsa pemangsa tiga
spesies.
Berikut ini diberikan Gambar 3 merupakan hampiran penyelesaian dengan
metode numerik dari persamaan (1). Gambar 3 menggambarkan grafik
penyelesaian untuk , , dan .
16
Gambar 3 Penyelesaian dari persamaan (1) dengan metode numerik
Berdasarkan Gambar 3, diperoleh bahwa semakin besar nilai pada selang
0 sampai 1 dalam satuan waktu, populasi mangsa dan pemangsa semakin
meningkat. Berbanding terbalik dengan populasi pesaing yang terus menurun dari
awal waktu. Selain itu, populasi mangsa mengalami penurunan pada selang 1
sampai 5 dalam satuan waktu. Hal demikian disebabkan interaksi antara mangsa
dengan pemangsa yang tidak terkontrol dan pertumbuhan mangsa yang cukup
lambat.
Gambar 3 memperlihatkan bahwa ketiga populasi memiliki waktu
kestabilan yang sama yaitu dimulai ketika . Populasi mangsa stabil untuk
waktu yang sangat lama saat banyaknya populasi pemangsa mendekati 2.000 ekor,
sedangkan populasi pemangsa stabil untuk waktu yang sangat lama saat
banyaknya populasi tersebut mendekati 6.000 ekor. Disamping itu, berdasarkan
Gambar 3 populasi pesaing stabil untuk waktu yang sangat lama saat populasi
tersebut mengalami kepunahan. Dengan demikian, banyaknya populasi pemangsa
lebih besar dibandingkan dengan populasi mangsa bahkan jika dibandingkan
dengan populasi pesaing, banyaknya populasi pemangsa jauh lebih besar. Hal ini
menunjukkan bahwa pemangsa berhasil dalam menghadapi suatu persaingan
dalam memperebutkan mangsa, sehingga dapat mempertahankan kelangsungan
hidupnya dan mengalami peningkatan jumlah populasi yang sangat pesat.
Berkebalikan dengan itu, populasi pesaing tidak mampu bersaing dengan populasi
pemangsa dalam memperebutkan mangsa. Hal ini mengakibatkan untuk waktu
yang sangat lama populasi pesaing menjadi punah. Dengan demikian, fenomena
tersebut membuktikan bahwa dua spesies atau lebih yang memiliki kemampuan
untuk memperebutkan mangsa yang sama, tidak dapat berada di lingkungan yang
sama pula.
17
SIMPULAN
Simpulan
Model mangsa pemangsa tiga spesies dengan adanya pesaing ( ) bagi
mangsa ( ) dan pemangsa ( ) merupakan model yang membentuk persamaan
diferensial taklinear. Dalam penelitian ini, metode homotopi digunakan untuk
menyelesaikan masalah mangsa pemangsa tiga spesies.
Metode homotopi adalah suatu metode pendekatan analitik untuk
menyelesaikan masalah linear maupun taklinear. Berdasarkan nilai parameter
bantu dan nilai awal yang diberikan, metode homotopi memiliki penyelesaian
yang menghampiri penyelesaian numeriknya. Pada fungsi homotopi, parameter
bantu ditentukan berdasarkan himpitan grafik turunan kedua dari penyelesaian
metode homotopi hingga orde ke sepuluh saat , hal ini bertujuan agar fungsi
homotopi menuju suatu titik penyelesaian. Oleh sebab itu, penulis memilih
untuk menyelesaikan permasalahan dalam karya ilmiah ini. Selisih
galat yang dihasilkan antara penyelesaian metode homotopi orde ke lima, dan
penyelesaian metode numerik saat pada beberapa selang waktu cukup
kecil. Berbanding terbalik dengan selisih galat yang dihasilkan antara
penyelesaian metode homotopi orde ke lima, dan penyelesaian metode numerik
saat yang cukup besar. Berdasarkan penelitian tersebut, penulis memilih
nilai parameter bantu untuk mengontrol titik penyelesaian dari masalah
mangsa pemangsa tiga spesies.
Pada grafik penyelesaian numerik masalah mangsa pemangsa tiga spesies,
populasi pemangsa lebih mendominasi dibandingkan dengan populasi mangsa dan
populasi pesaing untuk waktu yang cukup lama. Hal ini disebabkan pemangsa
memiliki keunggulan dalam persaingan memperebutkan mangsa. Disamping itu,
ketidakmampuan populasi pesaing dalam bersaing memperebutkan mangsa,
mengakibatkan populasi tersebut mengalami kepunahan.
18
DAFTAR PUSTAKA
Biazar J, Dezhpasand S E. 2011. HAM for Solution of the Prey and Predator
Problem. International Journal of Nonlinear Science. 11(1):68-73.
Campbell N A, Reece J B, Urry L A, Cain M L, Wasserman S A, Minorsky P V,
Jackson R B. 2008. Biologi. Edisi Kedelapan. Jilid 3. Wulandari D T,
penerjemah. Hardani W, Adhika P, editor. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Terjemahan dari: Biology. Eighth Edition.
Jaharuddin. 2014. A Single Species Population Model in Polluted Environment
Solved by Homotopy Analysis Method. Applied Mathematical Sciences.
8(20):951-961.
Liao, S.J. 2004. Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis
Method. Boca Raton, New York.
Paparao A.V, Lakshmi N.K, Shahnaz B. 2013. Computation of Three Species
Ecological Model By Homotopy Analysis Method. International Journal of
Advanced Research in Computer Science and Software Engineering.
2(6):333-339.
Rostamy D, Zabihi F, Karimi K. 2011. The Application of Homotopy Analysis
Method for Solving the Prey and Predator Problem. Applied Mathematical
Sciences. 5(13):639-650.
19
Lampiran 1 Penurunan persamaan (10)
Tinjau persamaan deformasi order nol sebagai berikut:
[ ] [ ]
atau
[ ] [ ] [ ]
Selanjutnya, persamaan tersebut diturunkan terhadap hingga kali.
Turunan pertama
{ [ ] [ ]}
{ [ ]}
{ [ ]}
{ [ ]}
{ [ ]}
{ [ ]} [ ]
{ [ ]}
[ ]
{ [ ]}
[
] [ ] [
]
[ ] [ ]
[
] [ ] [
]
[ ] [ ]
sehingga diperoleh
[
] [ ] [
]
[ ] [ ]
Turunan ke-dua
{ [
] [ ] [
]}
{ [ ]
[ ]
}
20
{ [
]}
{ [ ]}
{ [
]}
{ [ ]}
{
[ ]
}
[
] [
[ ]
] [
[ ]
] [
]
[ ]
[ ]
[ ]
sehingga diperoleh
[
] [
[ ]
] [
]
[ ]
[ ]
Turunan ke-tiga
{ [
] [
[ ]
] [
]}
{
[ ]
}
{
[ ]
}
[
] [
] [
] [
]
[ ]
[ ]
[ ]
sehingga diperoleh
[
] [
] [
]
[ ]
[ ]
Dengan langkah yang sama, turunan ke pada saat adalah
[
] [
] [
]
[ ]
[ ]
21
Jika kedua ruas dari persamaan di atas dibagi dengan pada saat adalah
[
]|
[
]|
[
[ ]
]|
[
]|
[
]|
[
[ ]
]|
[
]|
[
[ ]
]|
atau
[ ]
dengan
( )
[ ]
|
{
22
Lampiran 2 Penurunan persamaan (32)
Lihat persamaan (10) yang telah diperluas berikut:
[ ] ( )
[ ] ( )
[ ] ( )
dengan
( )
[ ]
|
( )
[ ]
|
( )
[ ]
|
dan
{
Diberikan operator taklinear sebagai berikut:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Untuk
( ) [ ]|
[ ]
23
( ) [ ]|
[ ]
( ) [ ]|
[ ]
Untuk
( )
[ ]|
[
[ ]
]|
( )
[ ]|
[
[ ]
]|
( )
[ ]|
[
[ ]
]|
24
Untuk
( )
[ ]
|
[
[ ]
]|
( )
[ ]
|
[
[ ]
]|
[ ]
( )
[ ]
|
[
[ ]
]|
[ ]
sehingga dapat dibentuk penyederhanaan nilai ( )
( ), dan ( ) Akibatnya
25
( )
∑
∑
∑
( )
∑
∑
∑
( )
∑
∑
∑
26
Lampiran 3 Tabel selisih antara penyelesaian metode homotopi dan metode
numerik dari masalah mangsa pemangsa tiga spesies
Untuk
| | | | | |
0 0 0 0
0.1 2.088 x 10-2
3.957 x 10-2
1.975 x 10-3
0.2 3.922 x 10-2
8.256 x 10-2
5.727 x 10-3
0.3 5.430 x 10-2
1.276 x 10-1
1.099 x 10-2
0.4 6.556 x 10-2
1.729 x 10-1
1.739 x 10-2
0.5 7.264 x 10-2
2.164 x 10-1
2.437 x 10-2
0.6 7.538 x 10-2
2.558 x 10-1
3.129 x 10-2
0.7 7.383 x 10-2
2.887 x 10-1
3.745 x 10-2
0.8 6.818 x 10-2
3.126 x 10-1
4.208 x 10-2
0.9 5.881 x 10-2
3.258 x 10-1
4.447 x 10-2
1 4.615 x 10-2
3.266 x 10-1
4.397 x 10-2
Rata-rata:
5.227 x 10-2
1.953 x 10-1
2.361 x 10-2
Untuk
| | | | | |
0 0 0 0
0.1 5.779 x 10-4
8.770 x 10-4
8.080 x 10-4
0.2 7.610 x 10-3
6.998 x 10-3
1.294 x 10-3
0.3 2.983 x 10-2
3.905 x 10-2
2.182 x 10-3
0.4 7.586 x 10-2
1.108 x 10-1
1.413 x 10-2
0.5 1.537 x 10-1
2.371 x 10-1
3.977 x 10-2
0.6 2.707 x 10-1
4.301 x 10-1
8.483 x 10-2
0.7 4.327 x 10-1
6.989 x 10-1
1.553 x 10-1
0.8 6.437 x 10-1
1.047 x 10-0
2.574 x 10-1
0.9 9.059 x 10-1
1.474 x 10-0
3.972 x 10-1
1 1.218 x 100
1.971 x 100
5.803 x 10-1
Rata-rata:
3.399 x 10-1
5.470 x 10-1
1.394 x 10-1
27
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bekasi pada tanggal 3 Juli 1992 sebagai anak kedua
dari tiga bersaudara, anak dari pasangan Effendi Abdul Kohar dan Linda Buchori.
Tahun 2007 penulis lulus dari Sekolah Menengah Pertama di SMP Negeri 4
Bekasi. Pada tahun 2010 penulis lulus dari SMA Negeri 4 Bekasi dan pada tahun
yang sama penulis lulus masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB
(USMI).
Selama mengikuti perkuliahan, pada tahun 2012 penulis menjadi sekretaris
di Departemen Sosial dan Lingkungan dalam himpunan profesi Gugus Mahasiswa
Matematika (GUMATIKA). Selain itu, penulis aktif dalam kegiatan kepanitiaan
di dalam departemen maupun di luar departemen. Pada tahun 2012 penulis
mengikuti masa perkenalan penghuni Asrama Putri Dramaga, dan pada tahun
2013 penulis aktif dalam kepengurusan di asrama sebagai anggota dari divisi
perlengkapan. Selain itu, di acara IPB Goes to Field Pekalongan 2013 penulis
menjadi peserta dengan program Budidaya Perikanan dan Hasil Pengolahan.