DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2014

RISA SAWITRI

PENGGUNAAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI PADA

PENYELESAIAN PERSAMAAN ALIRAN BUSA CAIR

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penggunaan Metode

Perturbasi Homotopi pada Penyelesaian Persamaan Aliran Busa Cair adalah benar

karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam

bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang

berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari

penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di

bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.

Bogor, Februari 2014

Risa Sawitri

NIM G54090062

ABSTRAK

RISA SAWITRI. Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi pada Penyelesaian

Persamaan Aliran Busa Cair. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan ALI

KUSNANTO.

Aliran busa cair yang terjadi di dalam batas Plateau memengaruhi struktur

dari busa. Busa menjadi mudah pecah ketika busa mengering akibat berkurangnya

cairan yang mengalir di dalam batas Plateau. Distribusi aliran cairan di dalam

batas Plateau yang memengaruhi struktur dari busa dapat dideskripsikan secara

matematis dalam bentuk persamaan aliran busa cair. Dalam tulisan ini, persamaan

aliran busa cair diselesaikan dengan metode perturbasi homotopi. Dalam metode

perturbasi homotopi, penyelesaian persamaan ini dinyatakan dalam bentuk deret

pangkat. Dengan memberikan pendekatan awal yang tepat, penyelesaian

persamaan ini dapat mendekati penyelesaian eksak dengan tingkat kesalahan yang

kecil.

Kata kunci: batas Plateau, metode perturbasi homotopi, persamaan aliran busa cair

ABSTRACT

RISA SAWITRI. The Use of Homotopy Perturbation Method in Solving the

Aqueous Foam Drainage Equation. Supervised by JAHARUDDIN and ALI

KUSNANTO.

Aqueous foam drainage inside Plateau border affects the structure of foam.

Foam becomes fragile when it dries due to reduction of liquid flow. The

distribution of liquid flows inside Plateau border which affects the structure of

foam can be described mathematically in form of aqueous foam drainage

equation. In this paper, aqueous foam drainage equation is solved by homotopy

perturbation method. In homotopy perturbation method, the solution of this

equation assumed in the form of power series. By giving the exact initial

approach, the solution of this equation using homotopy perturbation method can

estimate the exact solution with a small error rate.

Keywords: Plateau border, homotopy perturbation method, aqueous foam

drainage equation

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

PENGGUNAAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI PADA

PENYELESAIAN PERSAMAAN ALIRAN BUSA CAIR

RISA SAWITRI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2014

Judul Skripsi : Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi pada Penyelesaian

Persamaan Aliran Busa Cair

Nama : Risa Sawitri

NIM : G54090062

Disetujui oleh

Dr Jaharuddin, MS

Pembimbing I

Drs Ali Kusnanto, MSi

Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc

Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-

Nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Penggunaan Metode Perturbasi

Homotopi pada Penyelesaian Persamaan Aliran Busa Cair ini berhasil

diselesaikan.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Jaharuddin, MS dan Bapak

Drs Ali Kusnanto, MSi selaku dosen pembimbing serta Bapak Drs Siswandi, MSi

selaku dosen penguji yang telah memberikan saran dan bantuannya selama

penulisan karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada

Bapak dan Ibu penulis yaitu, Manuriyanto dan Pudji Rahayu, kakak-kakak

tercinta Wissa Harry Pamudji dan Yeria Rayanti serta mbah dan bude Tris yang

selalu memberikan dukungan, doa dan kasih sayangnya. Terima kasih juga

disampaikan kepada dosen dan staf penunjang Departemen Matematika atas

semua ilmu dan bantuannya, teman-teman Matematika 46 atas bantuan dan

kebersamaannya, teman-teman Ginastri atas kebersamaannya dan Hafiyyan

Naufal atas dukungan dan bantuannya.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat.

Bogor, Februari 2014

Risa Sawitri

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL ix

DAFTAR GAMBAR ix

DAFTAR LAMPIRAN ix

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Tujuan Penelitian 2

TINJAUAN PUSTAKA 3

Persamaan Aliran Stokes 3

Persamaan Aliran Busa 6

Metode Homotopi Perturbasi 9

HASIL DAN PEMBAHASAN 11

Analisis Metode 11

Aplikasi Metode 12

SIMPULAN 16

DAFTAR PUSTAKA 16

LAMPIRAN 18

RIWAYAT HIDUP 24

DAFTAR TABEL

1. Galat antara metode perturbasi homotopi dengan penyelesaian eksak

persamaan (23) untuk 11 2. Galat antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dengan

penyelesaian eksaknya untuk dan 15 3. Galat antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dengan

penyelesaian eksaknya untuk dan 15

DAFTAR GAMBAR

1 Massa yang masuk dan massa yang keluar (dalam arah sumbu x) dalam aliran fluida 3

2 Batas Plateau, node, dan film pada busa cair 7 3 Grafik perbandingan antara penyelesaian menggunakan metode

perturbasi homotopi dengan penyelesaian eksak untuk 14 4 Grafik penyelesaian persamaan aliran busa cair pada saat 15

DAFTAR LAMPIRAN

1 Penyelesaian Persamaan Aliran Busa Cair 18 2 Penurunan Persamaan (36)-(38) 19 3 Penyelesaian Persamaan (36)-(38) 22

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Busa adalah suatu zat yang terbentuk dari gabungan gas dengan material

lain, seperti air dan logam. Busa dapat ditemukan dalam kegiatan sehari-hari baik

dalam makanan, minuman, kebersihan maupun dalam kegiatan industri. Dalam

bidang industri sering kali keberadaan busa tidak diinginkan karena menjadi

penghambat dalam proses produksi dan juga dapat menurunkan kualitas produk,

seperti dalam industri bir. Beberapa contoh penggunaan busa yaitu untuk

memadamkan api yang bercampur dengan minyak, untuk memudahkan

pemisahan biji hidrofobik (seng, timah, emas) dari batu hidrofilik, dan untuk

dekontaminasi bahan bakar nuklir.

Terdapat berbagai macam jenis busa, di antaranya adalah busa cair, busa

polimer, dan busa logam. Busa cair merupakan busa yang sering ditemukan

dalam kehidupan sehari-hari seperti dalam kebersihan dan makanan. Busa polimer

diaplikasikan pada bantal duduk dan pengemasan (contohnya stereofoam). Dalam

beberapa tahun terakhir, peneliti menaruh minat pada pencairan logam untuk

menghasilkan busa. Busa logam ini berguna dalam aplikasi mekanis, karena

struktur yang stabil dan beratnya yang sangat ringan. Busa logam juga telah

diaplikasikan dalam industri otomotif dan penggunaan pada pesawat luar angkasa

(Koehler et al. 2000).

Penelitian mengenai busa pertama kali dilakukan oleh seorang fisikawan

dari Belgia, Joseph Plateau pada abad ke-19. Plateau memformulasikan hukum

Plateau yang menjelaskan tentang struktur yang dibentuk pada busa. Dalam hal

ini, film merupakan lapisan tipis di antara gelembung busa yang terbuat dari

permukaan yang halus, rata-rata kelengkungan film konstan untuk semua film

pada setiap titik, pertemuan secara simetris dari tiga film dengan sudut 1200

membentuk saluran yang diberi nama batas Plateau, dan empat batas

Plateaubertemu disuatu titik pada sudut 109.470dan membentuk node (Hutzler et

al. 2005).

Sebagai ilustrasi, pada saat menuang minuman bersoda ke dalam gelas

terlihat gelembung-gelembung busa memenuhi bagian atas gelas. Namun,

gelembung-gelembung busa tersebut akan menghilang dari gelas. Hal ini dapat

dijelaskan dengan tiga topik dalam penelitian mengenai busa yaitu, pengaliran

(drainage), coarsening dan rheology. Coarsening adalah pengkasaran yang terjadi

pada gelembung busa akibat berkurangnya kandungan cairan di dalam busa.

Rheology adalah perubahan bentuk yang terjadi pada gelembung busa akibat

adanya coarsening dan pengaliran di dalam busa. Pada saat Coarsening, terjadi

penyebaran gas di dalam gelembung busa sehingga busa mulai kering dan mudah

pecah. Ketika pecah busa berubah bentuk (Rheology) menjadi cairan. Karya

ilmiah ini memfokuskan pada proses pengaliran dalam busa.

Aliran pada busa cair terjadi melewati tiga saluran, yaitu batas Plateau, film,

dan node antara gelembung. Aliran di dalam busa sangat mempengaruhi

kestabilan busa agar tidak berubah bentuk. Ketika busa mengering strukturnya

menjadi sangat rapuh, area film di antara gelembung menjadi tipis dan dapat

2

pecah sehingga mengakibatkan pecahnya batas Plateau dan node. Pecahnya film,

batas Plateau, dan node akan mengakibatkan hancurnya busa.

Aliran di dalam batas Plateau memiliki 2 tipe utama, yaitu aliran bebas dan

aliran paksa. Pada penelitian mengenai aliran pada busa, tipe aliran yang sering

digunakan adalah aliran paksa.

Dari busa yang baru terbentuk terdapat aliran yang mengalir melalui busa.

Aliran ini dinamakan aliran bebas. Dinamakan aliran bebas karena aliran di dalam

busa ini mengalir hanya dipengaruhi oleh gaya gravitasi. Pada aliran yang

mendekati bagian bawah busa, terbentuk gelembung-gelembung busa dengan

rasio volume cairan untuk tipe busa yang menyebar dalam satu arah

(monodisperse) mendekati 26%. Semakin mendekati bagian bawah busa, fraksi

volume cairan semakin mendekati 0% (Koehler et al. 1998). Hal ini menandakan

bahwa semakin ke bawah semakin berkurang volume fluida yang terdapat di

dalam busa. Sehingga hanya akan terdapat fluida tanpa gelembung-gelembung

busa.

Penelitian mengenai aliran paksa pertama kali dijelaskan oleh Leonard dan

Lemlich pada tahun 1965 (Hutzler et al. 2005). Penelitian ini menggambarkan

penyebaran gelombang aliran yang melalui busa. Cairan surfaktan ditambahkan

secara konstan dan terus menerus ke atas busa yang sudah mulai mengering. Salah

satu contoh cairan surfaktan yang digunakan adalah SDS (sodium dodecyl

sulfate). Cairan SDS yang masuk ke dalam busa kemudian menyebar kontinu dari

atas ke bawah sepanjang ketinggian busa membentuk gelombang soliter dengan

kecepatan dan mempengaruhi busa yang sudah mulai mengering. Aliran paksa terjadi ketika cairan ditambahkan di atas busa. Verbist dan

Weaire mengembangkan sebuah model persamaan aliran busa cair yang

merepresentasikan distribusi cairan di dalam batas Plateau dari waktu ke waktu.

Sejumlah penelitian mengenai aliran busa telah banyak dilakukan dalam sepuluh

tahun terakhir. Penyelesaian persamaan aliran busa cair dengan pendekatan

metode dekomposisi adomian (Helal dan Mehanna 2007) dan menggunakan

metode iterasi variasi (Dahmani dan Anber 2010). Dalam karya ilmiah ini akan

digunakan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan persamaan aliran

busa.

Metode perturbasi homotopi merupakan suatu metode pendekatan analitik

untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear. Dalam metode ini, didefinisikan

suatu operator taklinear yang didasarkan pada bentuk taklinear dari masalah

taklinear tersebut. Penyelesaian masalah taklinear dengan menggunakan metode

perturbasi homotopi dimisalkan dalam bentuk deret dari suatu parameter. Metode

ini telah banyak digunakan untuk menangani berbagai macam aplikasi di bidang

sains dan teknik. Penggunaan metode perturbasi homotopi untuk beberapa kasus

lebih akurat dibandingkan dengan penggunaan metode iterasi variasi dan metode

dekomposisi adomian (Fereidoon et al. 2011).

Tujuan Penelitian

Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan penelitian ini adalah

a. menyelesaikan persamaan aliran busa cair dengan menggunakan metode perturbasi homotopi,

3

b. membandingkan penyelesaian yang diperoleh dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dan penyelesaian eksaknya.

TINJAUAN PUSTAKA

Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang digunakan dalam menyusun

karya ilmiah ini. Teori-teori tersebut meliputi persamaan aliran Stokes yang

disarikan dari (Munson et al. 2002), penurunan persamaan aliran busa yang

disarikan dari (Koehler et al. 1998) dan konsep dasar metode perturbasi homotopi

yang disarikan dari (He 2000).

Persamaan Aliran Stokes

Gerak partikel fluida dikendalikan oleh dua hukum, yaitu hukum kekekalan

massa dan hukum kekekalan momentum. Dalam hal ini diasumsikan sifat fisis

dari gerak partikel fluida dalam tiga dimensi, sehingga untuk setiap partikelnya

posisi x, y, dan z yang merupakan fungsi dari waktu t. Aliran fluida ini

dideskripsikan sebagai suatu titik di bidang yang bergerak seperti partikel fluida

sepanjang waktu t. Peubah u, v, dan w masing-masing menyatakan komponen

kecepatan partikel dalam arah x, y, dan z. Sedangkan merupakan rapat massa

fluida.

Gambar 1 Massa yang masuk dan massa yang keluar (dalam arah sumbu x) dalam

aliran fluida

Hukum kekekalan massa menyatakan bahwa laju perubahan massa adalah

selisih antara massa yang masuk dengan massa yang keluar seperti pada

Gambar 1. Laju perubahan massa pada arah sumbu x adalah:

* ( )

+ *

( )

+

( )

pada arah sumbu y adalah:

* ( )

+ *

( )

+

( )

dan pada arah sumbu z adalah:

* ( )

+ *

( )

+

( )

4

Sehingga laju perubahan massa fluida adalah:

*

( )

( )

( )

+

Jika setiap ruas pada persamaan di atas dibagi dengan , maka diperoleh persamaan kontinuitas atau persamaan kekekalan massa sebagai berikut:

( )

( )

( )

Dalam notasi vektor dapat ditulis sebagai:

(1)

Jika diasumsikan fluida tak mampat,dengan kerapatan fluida konstan di seluruh

medan aliran, maka persamaan (1) memberikan persamaan berikut:

atau

(2)

Persamaan momentum dalam bentuk differensial dapat dinyatakan dalam

bentuk berikut:

(3)

dengan F adalah gaya resultan yang bekerja pada massa fluida, m adalah massa

yang diperlakukan sebagai sebuah konstanta dimana

dan a adalah percepatan sebuah partikel fluida. Secara umum terdapat dua gaya

yang dipertimbangkan dalam gerak fluida, yaitu gaya badan dan gaya permukaan.

Gaya badan yang menjadi perhatian adalah berat dari elemen yang dapat

dinyatakan sebagai:

atau dalam arah sumbu x, sumbu y, dan sumbu z masing-masing adalah:

,

,

dengan menyatakan vektor dari percepatan gravitasi. Gaya permukaan digambarkan dengan tegangan normal yang dinotasikan dengan dan tegangan

geser yang dinotasikan dengan .

Untuk memperoleh gaya, tegangan-tegangan dikalikan dengan luas

permukaan dimana gaya-gaya tersebut bekerja. Dengan menjumlahkan seluruh

gaya yang terjadi dalam arah x, diperoleh

[

]

Untuk arah y, diperoleh

[

]

5

Untuk arah z, diperoleh

[

]

Gaya permukaan resultan berkombinasi dengan gaya badan, menghasilkan gaya

resultan untuk arah x sebagai berikut:

*

+ (4)

gaya resultan untuk arah y sebagai berikut:

*

+ (5)

dan gaya resultan untuk arah z sebagai berikut:

*

+ (6)

Persamaan-persamaan (4), (5), dan (6) disubstitusikan ke dalam persamaan (3)

diperoleh

*

+

*

+

*

+

*

+

*

+

*

+

Jika setiap ruas pada persamaan di atas dibagi dengan , maka diperoleh persamaan gerak sebagai berikut:

*

+

*

+

*

+

(7)

Untuk fluida Newtonian tak mampat, tegangan normal dapat dinyatakan

sebagai berikut:

6

dan tegangan geser dinyatakan sebagai:

(

)

(

)

(

)

dimana p adalah tekanan. Dengan mensubstitusikan tegangan-tegangan tersebut

ke dalam persamaan (7) dan disederhanakan menggunakan persamaan (2)

diperoleh persamaan untuk arah x

(

)

(

)

untuk arah y

(

)

(

)

dan untuk arah z

(

)

(

)

Dalam notasi vektor dapat ditulis sebagai:

(

) (8)

Persamaan (8) disebut sebagai persamaan Navier-Stokes.

Aliran Stokes adalah tipe aliran fluida dimana pergerakan gaya inersia lebih

kecil dibandingkan gaya viskositas. Situasi ini menggambarkan kecepatan fluida

sangat lambat dan tingkat kekentalan fluida yang sangat tinggi. Untuk tipe aliran

ini diasumsikan gaya inersia diabaikan sehingga

Persamaan Navier-Stokes pada persamaan (8) menjadi

(9)

Persamaan (9) disebut persamaan Stokes.

Persamaan Aliran Busa

Busa merupakan material yang tidak beraturan. Busa dapat mengembang

untuk menampung cairan dan dapat menipis ketika cairan mengalir keluar. Pada

saat mengembang terjadi perbedaan tekanan yang mempengaruhi aliran di dalam

busa. Aliran pada busa terjadi di tiga bagian yang sangat rapuh. Ketiga bagian ini

7

antara lain, batas Plateau yaitu area pertemuan tiga gelembung, node dimana

empat batas Plateau bertemu dan film berupa lapisan tipis dimana dua gelembung

bertemu. Ketiga bagian tersebut dapat dilihat pada Gambar 2.

Gambar 2 Batas Plateau, node, dan film pada busa cair

(sumber: www.ipc.uni-stuttgart.de)

Dinding pembatas antara ketiga bagian ini sulit untuk dibedakan. Film

memiliki perbedaan dengan node dan batas Plateau, karena film hanya terjadi

ketika busa dalam kondisi yang sangat basah. Aliran pada node sulit didefinisikan.

Oleh karena itu, teori pemodelan aliran pada busa lebih sering difokuskan pada

aliran di batas Plateau.

Pada batas Plateau, area penampang digunakan untuk mempermudah dalam

memodelkan aliran pada busa. Didefinisikan ( ) adalah area perpotongan pada penampang batas Plateau dimana dan masing-masing menyatakan posisi dan waktu. Untuk mempermudah memodelkan, aliran batas Plateau ditinjau hanya

dalam arah vertikal, ( ). Didefinisikan sebagai laju aliran fluida pada batas Plateau. Fluida memiliki beberapa asumsi dasar, salah satunya fluida

memiliki sifat yang mengacu pada hukum kekekalan massa sehingga digunakan

persamaan kekekalan massa

(10)

Laju aliran dapat juga didefinisikan sebagai perkalian antara kecepatan

dengan luas area. Karena busa adalah material yang tidak beraturan dan batas

Plateau memiliki fisik yang panjang dan tipis sehingga untuk laju aliran fluida di

dalam batas Plateau digunakan kecepatan rata-rata sehingga persamaan (10) menjadi

( ) (11)

Cairan yang mengalir di dalam batas Plateau memiliki tipe aliran Stokes,

dengan demikian persamaan yang digunakan adalah persamaan Stokes yang

didefinisikan pada persamaan (9)

Pergerakan cairan di batas Plateau dipengaruhi oleh kapilaritas, gaya

gravitasi dan kekentalan (viscosity). Efek dari kapilaritas mengakibatkan

terjadinya perbedaan tekanan di batas Plateau. Tekanan cairan di dalam batas

8

Plateau lebih rendah dibandingkan tekanan di luar, dengan perbedaan berdasarkan

Hukum Laplace Young sebagai berikut:

Persamaan Stokes menjadi

(

) (12)

Selanjutnya, diasumsikan busa memiliki sifat monodisperse dan kering

sehingga area penampang batas Plateau konstan, dengan adalah

konstanta,

dan adalah jari-jari kelengkungan batas Plateau.

Sehingga persamaan (12) menjadi

(13)

Jika viskositas yang terjadi di fluida sebesar , maka persamaan (13) menjadi

(14)

atau

(15)

Jika persamaan (15) disubstitusikan ke dalam persamaan (11), maka

diperoleh

(

) (16)

Misalkan didefinisikan variabel

( )

kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan (16) dan dibagi dengan

( ) ,

maka diperoleh

(

) (17)

Persamaan (17) merupakan persamaan aliran busa cair yang akan

diselesaikan dengan metode perturbasi homotopi. Penyelesaian eksak dari

persamaan aliran busa cair pada persamaan (17) adalah

( ) , ( ( ))

dengan adalah kecepatan gelombang, dan masing-masing menggambarkan koordinat posisi dan waktu.

9

Penurunan penyelesaian eksak persamaan aliran busa cair dapat dilihat pada

lampiran 1.

Metode Homotopi Perturbasi

Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar metode perturbasi homotopi

berdasarkan pada (He 2000). Misalkan secara umum diberikan suatu persamaan

diferensial taklinear sebagai berikut:

( ) ( ) (18)

dengan A merupakan suatu operator turunan taklinear, merupakan fungsi yang akan ditentukan dan ( )merupakan fungsi yang diketahui. Didefinisikan suatu operator linear L yang memenuhi:

( ) bila (19)

Secara umum operator A dapat dibagi menjadi dua, yaitu operator linear L

dan operator taklinear N. Persamaan (18) dapat ditulis:

( ) ( ) ( ) .

Misalkan u0(r) pendekatan awal yang memenuhi persamaan (18) dan [ ] suatu parameter. Didefinisikan fungsi real ( ) [ ] dan suatu fungsi homotopi sebagai berikut:

( ) ( )[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] . (20)

Berdasarkan persamaan (20), maka untuk p = 0 memberikan persamaan

( ) ( ) ( ) dan untuk p = 1 memberikan persamaan

( ) ( ) ( )

Sehingga menurut persamaan (18) dan persamaan (19) diperoleh

( ) ( )

dan

( ) ( )

Dalam metode perturbasi homotopi, diasumsikan penyelesaian fungsi ( ) dinyatakan dalam bentuk deret terhadap p sebagai berikut:

( ) ( ) ( )

(21)

Berdasarkan persamaan (21) untuk p = 1 diperoleh

( ) ( ) ( )

Karena ( ) ( ), maka diperoleh

( ) ( ) ( )

(22)

Hasil ini menunjukkan hubungan antara penyelesaian eksak dari persamaan

(18) dengan pendekatan awal ( ) dan ( ), i = 1,2,... yang akan ditentukan

10

dengan menggunakan metode perturbasi. Persamaan (21) disubstitusikan ke dalam

persamaan (20), sehingga diperoleh dengan menyamakan koefisien perpangkatan p.

Untuk lebih memahami metode perturbasi homotopi yang telah dibahas,

misalkan diberikan suatu masalah nilai awal yang dinyatakan oleh persamaan

diferensial berikut:

(23)

dengan syarat awal

( ) (24)

Penyelesaian eksak masalah nilai awal (23) dan (24) adalah

( ) Berikut ini akan digunakan metode perturbasi homotopi untuk

menyelesaikan masalah nilai awal persamaan (23) dan (24). Didefinisikan

operator linear sebagai berikut:

[ ]

dan operator sebagai berikut:

[ ]

Sehingga berdasarkan persamaan (20), diperoleh persamaan berikut:

( ) [

] [

] (25)

Diasumsikan penyelesaian dari persamaan (25) dinyatakan dalam persamaan

( ) ( ) ( ) ( )

( ) (26)

Jika persamaan (26) disubstitusikan ke dalam persamaan (25), kemudian

dipisahkan berdasarkan derajat kepangkatan , maka memberikan persamaan berikut:

(27)

Dengan memilih pendekatan awal ( ) ( ) , maka diperoleh penyelesaian persamaan (27) sebagai berikut:

,

,

,

11

Jadi penyelesaian masalah nilai awal persamaan (23) dan (24) dengan metode

perturbasi homotopi diperoleh sebagai berikut:

( )

Dengan membandingkan penyelesaian eksak dengan penyelesaian menggunakan

metode perturbasi homotopi diperoleh galat yang ditunjukan pada Tabel 1.

Tabel 1 Galat antara metode perturbasi homotopi dengan penyelesaian eksak

persamaan (23) untuk

x |ueksak-umph|

0 0

0.1 5.34031 x 10-11

0.2 1.3653 x 10-8

0.3 3.49134 x 10-7

0.4 3.4766 x 10-6

0.5 2.06397 x 10-5

0.6 8.83161 x 10-5

0.7 3.01386 x 10-4

0.8 8.71343 x 10-4

0.9 2.21905 x 10-3

1 5.11226 x 10-3

Berdasarkan Tabel 1 diperoleh galat yang sangat kecil. Hasil ini

menunjukkan bahwa metode perturbasi homotopi dinilai akurat untuk

menyelesaikan persamaan (23) dan (24).

HASIL DAN PEMBAHASAN

Dalam karya ilmiah ini akan dibahas penggunaan metode perturbasi

homotopi untuk menyelesaikan persamaan aliran busa. Hasil yang diperoleh

menggunakan metode ini akan dibandingkan dengan penyelesaian eksak.

Analisis Metode

Berikut ini akan dibahas perluasan dari konsep dasar metode perturbasi

homotopi yang telah diuraikan pada tinjauan pustaka. Untuk itu diperlukan fungsi

( ) yang tidak hanya bergantung pada , tetapi juga bergantung pada parameter . Misalkan fungsi dinyatakan sebagai berikut:

( ( ) ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ( )) ( )]

(28)

12

Selanjutnya misalkan fungsi ( ) merupakan penyelesaian dari persamaan berikut:

( ( ) )) atau

( ) [ ( ) ( )] [ ( ( )) ( )] (29)

Berdasarkan persamaan (29), maka untuk diperoleh

( ( ) ) [ ( ) ( )]

dan untuk diperoleh

( ( ) ) [ ( ( )) ( )]

Berdasarkan persamaan (18) dan persamaan (19), maka penyelesaian dari

persamaan ( ( ) ) dan ( ( ) ) masing-masing adalah

( ) ( )

dan

( ) ( )

Misalkan operator A dibagi menjadi dua, yaitu operator L dan operator taklinear

N sehingga persamaan (29) menjadi

( ) [ ( ) ( )] [ ( ( )) ( ( )) ( )] atau

( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] (30)

Dalam metode perturbasi homotopi, dimisalkan penyelesaian persamaan (30)

dinyatakan dalam bentuk deret berikut:

( ) ( ) ( )

(31)

Karena ( ) ( ), maka

( ) ( ) ( )

Hasil ini menunjukkan hubungan antara penyelesaian eksak dari persamaan

(18) dengan pendekatan awal ( ) dan ( ), yang akan ditentukan. Persamaan untuk menentukan ( ), diperoleh dengan menggunakan metode perturbasi, dimana persamaan (31) disubstitusikan ke dalam

persamaan (30). Dengan menyamakan koefisien dari derajat kepangkatan , maka diperoleh penyelesaian dari persamaan (29) sebagai berikut

( )

Aplikasi Metode

Pada bagian ini akan digunakan metode perturbasi homotopi untuk

menyelesaikan persamaan aliran busa berikut:

13

(

) (32)

Misalkan

( ) ( ) maka persamaan (32) menjadi

(

)

(33)

Didefinisikan operator linear sebagai berikut:

[ ]

dan operator taklinear sebagai berikut:

[ ]

(

)

Berdasarkan persamaan (28) dan persamaan (33) diperoleh

(

(

)

) (34)

dengan [ ] suatu parameter dan ( ) merupakan pendekatan awal. Misalkan penyelesaian dari persamaan (34) dinyatakan dalam deret berikut:

( )

. (35)

Jika persamaan (35) beserta turunan-turunannya disubstitusikan ke dalam

persamaan (34) dan dengan menyamakan koefisien dari derajat kepangkatan dari

p, maka koefisien memberikan persamaan sebagai berikut:

(36)

Koefisien memberikan persamaan

(

)

(37)

Koefisien memberikan persamaan

(38)

Penurunan persamaan (36)-(38) dapat dilihat pada lampiran 2.

Misalkan pendekatan awal diberikan sebagai berikut:

( ) ( ) maka diperoleh penyelesaian persamaan (36), (37), dan (38) sebagai berikut:

14

( )

( )

( )

( )

Penyelesaian persamaan (36)-(38) dapat dilihat pada lampiran 3.

Berdasarkan persamaan (35), maka penyelesaian dari masalah nilai awal

pada persamaan (33) dapat ditulis :

( ) ( )

( )

( )

( ) (39)

Dengan mentransformasikan kembali ( ) ( ) diperoleh

( ) ( ( )

( )

( )

( ) )

(40)

Gambar 3 Grafik perbandingan antara penyelesaian menggunakan metode

perturbasi homotopi dengan penyelesaian eksak untuk

Gambar 3 merupakan grafik terhadap yang menunjukkan perbandingan antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dan penyelesaian eksak

untuk dan . Penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi menggunakan garis kontinu dan penyelesaian eksak menggunakan garis putus-

putus. Berdasarkan Gambar 3 diperoleh bahwa hasil penyelesaian dengan

menggunakan metode perturbasi homotopi mendekati penyelesaian eksak. Berikut

ini akan diberikan Tabel 2 dan 3 yang menjelaskan galat antara penyelesaian

eksak dengan penyelesaian menggunakan metode perturbasi homotopi untuk

.

15

Tabel 2 Galat antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dengan

penyelesaian eksaknya untuk dan

Tabel 3 Galat antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dengan

penyelesaian eksaknya untuk dan

|eksak( )-mph( )|

-10 1.68621 x 10-11

-8 5.38703 x 10-10

-6 1.72154 x 10-8

-4 5.55211 x 10-7

-2 0.0000229632

0 1.71743 x 10-11

Tabel 2 dan Tabel 3 menunjukkan keakuratan penyelesaian menggunakan

metode perturbasi homotopi. Perolehan galat lebih baik ketika bernilai lebih

besar. Berikut akan diberikan Gambar 4 yang merupakan grafik penyelesaian

persamaan aliran busa untuk .

Gambar 4 Grafik penyelesaian persamaan aliran busa pada saat

|eksak( )-mph( )|

10 6.66134 x 10-15

8 6.18883 x 10-12

6 6.31637 x 10-9

4 6.44681 x 10-6

2 0.00652784

0 0.00142588

16

Gambar 4 menunjukkan pergerakan area penampang batas Plateau terhadap

waktu dan koordinat posisi yang ditinjau pada posisi vertikal. Ketika mendekati nol, area penampang batas Plateau mengecil. Ketika bernilai nol area penampang batas Plateau sudah hancur. Hal ini menggambarkan sudah tidak ada

lagi distribusi aliran didalam batas Plateau sehingga busa menjadi kering dan

akhirnya pecah.

SIMPULAN

Aliran pada busa cair terjadi melewati tiga saluran, yaitu batas Plateau, film,

dan node antara gelembung. Fluida yang mengalir di dalam batas Plateau

memiliki dua tipe utama yaitu aliran bebas dan aliran paksa. Aliran bebas adalah

aliran yang mengalir mengikuti arah gaya gravitasi. Pada tipe aliran paksa cairan

SDS ditambahkan ke atas busa dan mengalir mengikuti gravitasi sepanjang

ketinggian busa. Penambahan cairan mengakibatkan terbentuknya gelombang.

Persamaan aliran busa cair menjelaskan tentang distribusi aliran di dalam

batas Plateau dari waktu ke waktu yang ditinjau dari area penampang batas

Plateau.Area penampang batas Plateau mengalami pergerakan yang dipengaruhi

oleh koordinat posisi dan waktu.Aliran di dalam batas Plateau ditinjau pada arah

vertikal. Batas Plateau bergerak memendek ke arah atas yang diikuti dengan

pengecilan area penampang batas Plateau. Hal ini menjelaskan terdapat

pengurangan cairan yang mengalir di dalam batas Plateau. Pengurangan distribusi

cairan yang mengalir mengakibatkan busa menjadi lebih kering. Semakin lama

batas Plateau semakin memendek dan area penampang batas Plateau semakin

kecil hingga akhirnya hancur. Kehancuran area penampang batas Plateau ini

menjelaskan bahwa sudah tidak ada lagi distribusi cairan didalam batas Plateau.

Sehingga busa menjadi kering dan akhirnya pecah.

Persamaan aliran busa cair diselesaikan dengan menggunakan metode

perturbasi homotopi. Galat yang diperoleh dari penyelesaian eksak dengan

penyelesaian menggunakan metode perturbasi homotopi sangat kecil. Penggunaan

metode perturbasi homotopi dinilai akurat dalam menyelesaikan persamaan aliran

busa cair.

DAFTAR PUSTAKA

Dahmani Z, Anber A. 2010. The variational iteration method for solving the

fractional foam drainage equation. International Journal of Nonlinear Science.

10(1):39-45. doi: IJNS.2010.08.15/384.

Fereidoon A, Yaghoobi H, Davoudabadi M. 2011. Application of the homotopy

perturbation method for solving the foam drainage equation. International

Journal of Differential Equation.11:13. doi:10.1155/2011/864023.

17

He JH. 2000. A coupling method of homotopy technique and perturbation

technique for nonlinear problems. International Journal of Nonlinear

Mechanic. 1:37-43. doi: pii/S0020746298000857

Helal MA, Mehanna MS. 2007. The tanh method and adomian decomposition

method for solving the foam drainage equation. Applied Mathematics and

Computation. 190(1):599-609. doi:10.1016/j.amc.2007.01.055.

Hutzler S, Weaire D, Saugey A, Cox S, Peron N. 2005. The physics of foam

drainage.Sepawa Kongress Mit European Detergents Conference.Germany

Koehler SA, Stone HA, Brenner MP, Eggers J. 1998. Dynamics of foam

drainage. Physical Review E. 58(2):2097-2106. doi:47.55.Mh, 02.30.Jr,

83.70.Hq, 82.70.Rr

Koehler SA, Hilgenfeldt S, Stone HA. 2000. A generalized view of foam

drainage: experiment and theory. Langmuir. 16(15):6327-6341.

doi:10.1021/la9913147.

Munson BR, Young DF, Okiishi TH. 2002. Mekanika Fluida. Harinaldi,

Budiarso, penerjemah; Hardani W, editor. Jakarta(ID): Penerbit Erlangga.

Terjemahan dari: Fundamentals of Fluid Mechanic. Ed ke-4.

18

Lampiran 1 Penyelesaian Persamaan Aliran Busa Cair

Berikut ini akan diselesaikan persamaan aliran busa yang dinyatakan oleh:

(

) (L.1)

Untuk itu, penyelesaian dinyatakan dalam bentuk gelombang berjalan dengan

( ) dengan

( ) dengan dan masing-masing merupakan kecepatan gelombang, koordinat posisi dan koordinat waktu. Jika diturunkan masing-masing terhadap dan , maka diperoleh

(L.2)

Jika persamaan (L.2) disubstitusikan ke dalam persamaan (L.1), maka diperoleh

(

)

atau

(L.3)

Persamaan (L.3) dikalikan dengan

diperoleh

(L.4)

Jika kedua ruas persamaan (L.4) diintegralkan, maka diperoleh

(

)

atau

( ) ( ) atau

( ) ( ( ))

19

Lampiran 2 Penurunan persamaan (36)-(38)

Berdasarkan persamaan (30), diperoleh

( )( ( ) ) * ( )

+ (L.5)

Misalkan penyelesaian persamaan (34) dinyatakan dalam bentuk berikut

( )

(L.6)

Jika persamaan (L.6) diturunkan terhadap , maka diperoleh

( )

( )

( )

( )

( )

Jika persamaan (L.6) diturunkan terhadap , maka diperoleh

( )

( )

( )

( )

( )

Jika persamaan (L.6) diturunkan untuk yang kedua kalinya terhadap , maka diperoleh

( )

( )

( )

( )

( )

Dengan mensubstitusikan persamaan (L.6) dan turunan-turunannya ke dalam

persamaan (L.5), maka diperoleh

( )

(

) (

)

(

)(

)

20

( )

( )

(

) (

( )

)

(

)

(

( )

) (

)

Koefisien memberikan persamaan

(L.7)

Koefisien memberikan persamaan

(

)

(L.8)

Koefisien memberikan persamaan

(L.9)

Koefisien memberikan persamaan

21

( )

(L.10)

Koefisien memberikan persamaan

(L.11)

Koefisien memberikan persamaan

( )

(L.12)

22

Lampiran 3 Penyelesaian Persamaan (36)-(38)

Misalkan dipilih ( ), maka diperoleh

( ) (L.13)

Jika persamaan (L.13) diturunkan terhadap , maka diperoleh

( )

Jika persamaan (L.13) diturunkan kedua kalinya terhadap , maka diperoleh

( )

( )

Dengan mensubstitusikan beserta turunan-turunannya ke dalam persamaan (L.8) dan kemudian diintegralkan terhadap akan diperoleh

( ) (L.14)

Jika persamaan (L.14) diturunkan terhadap , maka diperoleh

( )

( )

Jika persamaan (L.14) diturunkan kedua kalinya terhadap , maka diperoleh

( )

( )

( )

Dengan mensubstitusikan beserta turunan-turunannya ke dalam persamaan (L.9) dan kemudian diintegralkan terhadap akan diperoleh

( )

( ) (L.15)

Jika persamaan (L.15) diturunkan terhadap , maka diperoleh

( )

( )

( )

Jika persamaan (L.15) diturunkan kedua kalinya terhadap , maka diperoleh

( )

( )

( )

( )

Dengan mensubstitusikan beserta turunan-turunannya ke dalam persamaan (L.10) dan kemudian diintegralkan terhadap akan diperoleh

( )

( )

( ) (L.16)

Jika persamaan (L.16) diturunkan terhadap , maka diperoleh

( )

( )

( )

( )

Jika persamaan (L.16) diturunkan kedua kalinya terhadap , maka diperoleh

23

( )

( ) ( )

( )

Dengan mensubstitusikan beserta turunan-turunannya ke dalam persamaan (L.11) dan kemudian diintegralkan terhadap akan diperoleh

( )

( )

( )

( ) (L.17)

Jika persamaan (L.17) diturunkan terhadap , maka diperoleh

( )

( )

( )

( )

( )

Jika persamaan (L.17) diturunkan kedua kalinya terhadap , maka diperoleh

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Dengan mensubstitusikan beserta turunan-turunannya ke dalam persamaan (L.12) dan kemudian diintegralkan terhadap akan diperoleh

( )

( )

( )

( )

( )

Jadi, penyelesaian dari persamaan aliran busa dengan syarat awal

( ) hingga orde kelima dapat ditulis

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Dengan mentransformasi kembali ( ) ( ) diperoleh

( ) ( ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) )

24

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 21 November 1991 sebagai anak

ketiga dari tiga bersaudara dari pasangan Manuriyanto dan Pudji Rahayu.

Pendidikan formal yang telah ditempuh penulis yaitu TK Tiara Midita lulus

pada tahun 1997, SD Negeri Gunung 01 Pagi lulus pada tahun 2003, SMP Negeri

19 Jakarta lulus pada tahun 2006, SMA Negeri 3 Jakarta lulus pada tahun 2009

dan pada tahun yang sama penulis diterima di Institut Pertanian Bogor melalui

jalur USMI di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam.

Selama menuntut ilmu di IPB, penulis aktif di organisasi kemahasiswaan

Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) sebagai sekretaris divisi

Pengembangan Sumber Daya Manusia (PSDM) pada tahun 2011 dan sebagai staf

divisi Math Event pada tahun 2012. Berbagai kegiatan kepanitiaan penulis ikuti

selama menjadi mahasiswi matematika.Selain itu, penulis pernah menjadi asisten

dosen untuk mata kuliah Kalkulus III pada semester ganjil tahun 2012