bab ii - · pdf filepengggukuran selang waktu 2,3 detik : ... pengertian galat pemotongan...

BAB IIBAB II

Galat & Analisisnya

FTI-Universitas Yarsi

Galat - errorGalat error

Penyelesaian secara numerik dari suatu• Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematis hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang b ) d i l i litibenar) dari penyelesaian analitis.

• Penyelesaian numerik akan memberikan kesalahan terhadap nilai eksakkesalahan terhadap nilai eksak

• Ada 3 macam kesalahan dasar;1 Galat bawaan1.Galat bawaan2.Galat pemotongan3 Galat pembulatan


3.Galat pembulatan

Galat Relatif dan AbsolutGalat Relatif dan Absolut

• Galat absolut suatu bilangan adalah selisih antara• Galat absolut suatu bilangan adalah selisih antara nilai sebenarnya (dengan anggapan telah diketahui) dgn suatu pendekatan pada nilai sebenarnya.

• Hubungan antara nilai eksak (nilai sebenarnya), nilai perkiraan dan kesalahan diberikan dalam bentuk :exx +=dimana :x = nilai eksak

d k d il i bx

= pendekatan pd nilai sebenarnyae = kesalahan

FTI-Universitas Yarsi3

e kesalahan absolut

Kesalahan absolut tidak menunjukkan besarnya tingkat

xxe −=

j y gkesalahan.Contoh :Kesalahan 1 cm pd pengukuran pensil akan sangat terasa dibandingKesalahan 1 cm pd. pengukuran pensil akan sangat terasa dibanding dengan kesalahan yg sama pd pengukuran panjang jembatan.

Kesalahan relatifkesalahan absolut dibagi nilai pendekatangalat absolut dibagi nilai sebenarnya

%100xee =ε

• Nilai eksak bila diselesaikan secara analitis

%100xxeε


• Metode numerik nilai eksak tidak diketahui• Kesalahan diberikan (berdasar pd nilai terbaik dari nilai eksak)

%100xε=ε

• nilai perkiraan terbaik

%100x xa =ε

x p• Dalam metode numerik pendekatan iteratif• Perkiraan sekarang dibuat berdasar perkiraan

b l hisebelumnya, sehingga :

%100xxx1n

n1n

a +

+ −=ε

• dimana :• = nilai perkiraan pada iterasi ke n

x 1na +

nx nilai perkiraan pada iterasi ke n• = nilai perkiraan pada iterasi ke n+1

1nx +


Contoh-2 :Hasil pengukuran sebuah jembatan = 9.999 cmHasil pengukuran sebuah paku = 9 cmJika nilai sebenarnya berturut-turut adalah 10.000 cm dan 10 cm, HitungKesalahan dan Kesalahan relatif persen dari kedua hasil pengukuranKesalahan dan Kesalahan relatif persen dari kedua hasil pengukuran

diatas.

Kesalahan:J b t E 10 000 9 999 1Jembatan : Et = 10.000 – 9.999= 1 cmPaku : Et = 10 – 9 = 1 cm

Kesalahan relatif:Kesalahan relatif:Jembatan : et = 1/10.000 * 100%= 0,01%Paku : et = 1/10 * 100% = 10%

FTI-Universitas YarsiKesimpulan :“Hasil Pengukuran Jembatan lebih baik dari hasil pengukuran paku”

Kesalahan Relatif Persen Aproksimasi (ea)p ( a)

ea = (Kesalahan Aproksimasi / Aproksimasi ) * 100 %= (Aproksimasi sekarang - Aproksimasi sebelumnya) /

A k i i k * 100 %Aproksimasi sekarang * 100 %

Pada proses iterasi, iterasi dihentikan jika telah memenuhi kondisi

|ea| < es

Dimana es = tingkat kesalahan yang masih dapat diterima

Hubungan es dengan angka signifikan

e = (0 5 * 102-n) %


es = (0,5 102 n) %

Contoh : (Taksiran Kesalahan Metode Iterasi):

Dalam matematika fungsi-fungsi dapat dinyatakan dalam deret tak hingga. Jadi, jika lebih banyak suku ditambahkan kedalam deret maka aproksimasi menjadi taksiran yang jauh lebih baik. Misal ingin menaksir nilai ex, dengan x=0,5 mengunakan pendekatan deret menggunakan 3 angka signifikan (e0 5 = 1 648721271)pendekatan deret, menggunakan 3 angka signifikan (e0,5 = 1.648721271)

...!4!3!2

1432

+++++=xxxxex

Taksiran ke 1Taksiran ke-1

1=xe

15,0 =e %3,39%100*648721271,1

1648721271,1=

−=te ,

Taksiran ke-2

xe x += 1


5,15,015,0 =+=e %02,9%100*648721271,1

5,1648721271,1=

−=te

Galat bawaan (Inheren)Galat bawaan (Inheren)

Galat dalam nilai data

• Terjadi akibat kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data yang diukur.hukum hukum fisik dari data yang diukur.

Contoh :Pengukuran selang waktu 2,3 detik :g g

Terdapat beberapa galat karena hanya dg suatu kebetulan selang waktu akan diukur tepat 2,3 detik.Beberapa batas yg mungkin pada galat inheren diketahui :

2 3± 0 1 d tik2,3± 0,1 detikBerhub dg galat pd data yg dioperasikan oleh suatu komputer dg beberapa prosedur numerik.


Galat Pemotongan (Truncation Error)

Pengertian galat pemotongan biasanya merujuk pada galat yang disebabkan oleh penggantian ekspresit tik it d l bih d h I til h i i b l d i k bimatematika yang rumit dengan rumus yang lebih sederhana. Istilah ini berawal dari kebiasaan

mengganti suatu fungsi rumit dengan deret Taylor terpotong (hanya diambil berhingga suku).

CONTOH

Kita tahu bahwa deret konvergen ke nilai 1. Jika hanya diambil 10 suku pertama, maka diperoleh hampiran Dalam hal ini terdapat galat pemotongan sebesar

Dari kalkulus kita ketahui bahwa

Misalkan diketahui Cos1,5 = 0,070737 . Jika nilai ini dihampiri dengan mengambil empat suku pertama deret tersebut, maka diperoleh hampiran yang senilai

Dibulatkan sampai enam angka desimal. Galat hampiran tersebut sebesar 0,000550 = 0,550x10-3


dan galat relatifnya senilai 0,007753 < 0,5x10-1 . Jadi nilai hampiran tersebut benar sampai satu angka signifikan.

Galat PembulatanGalat Pembulatan

• Akibat pembulatan angka• Akibat pembulatan angka

• Terjadi pada komputer yg disediakan beberapa angka tertentu misal; 5 angka :angka tertentu misal; 5 angka :

• Penjumlahan 9,2654 + 7,1625hasilnya 16,4279y ,

Ini terdiri 6 angka sehingga tidak dapat disimpan dalam komputer kita dan akan dibulatkan

j di 16 428menjadi 16,428


Galat Pemotongan (Truncation Error)Galat Pemotongan (Truncation Error)

• Berhubungan dg cara pelaksanaan prosedur numerikBerhubungan dg cara pelaksanaan prosedur numerik• Contoh pada deret Taylor tak berhingga :

........!9

x!7

x!5

x!3

xxxsin9753

−+−+−=

• Dapat dipakai untuk menghitung sinus sebarang sudut x dalamradian

• Jelas kita tdktdk dapatdapat memakai semua suku dalam deret, karenaderetnya tak berhingga

• Kita berhenti pada suku tertentu misal x9

• Suku yg dihilangkan menghasilkan suatu galat• Dalam perhitungan numerik galat ini sangat penting


Dalam perhitungan numerik galat ini sangat penting

Deret TaylorDeret Taylor

• Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah d l t d ik t t l idalam metode numerik, terutama penyelesaian persamaan diferensial.

• Jika fungsi f(x) diketahui di titik xi• Semua turunan dari f terhadap x diketahui pada titik tersebut.• Dengan deret Taylor dapat dinyatakan nilai f pada titik xi+1 yg

terletak pada jarak ∆x dari titik xi. n32p j i

n

n

i

3

i

2

iii1i R!n

x)x(fn.....!3

x)x("'f!2

x)x("f!1x)x('f)x(f)x(f +

∆++

∆+

∆+

∆+=+

)x(f idimana := fungsi di titik x= fungsi di titik x i + 1

)x(f i)x(f 1i+

n


g i + 1

= turunan pertama, kedua, …. ke n dari fungsinf..... ,"f ,'f

= jarak antara xi dan xi + 1= kesalahan pemotongan

x∆nR

! = operator faktorial, misal 2! = 1 x 2

Kesalahan pemotongan Rn :p g

.....)!2n(

x)x(f)!1n(

x)x(fR2n

i2n

1n

i1n

n ++

∆+

+∆

=+

++

+

1. Order nol (Memperhitungkan satu suku pertama)

)()(

)x(f)x(f i1i ≈+Perkiraan akan benar bila fungsi yg diperkirakan adalah konstan2. Order 1 (Memperhitungkan dua suku pertama)

x)('f)(f)(f ∆+

FTI-Universitas Yarsi14Berupa garis lurus ( naik/turun )

!1)x('f)x(f)x(f ii1i +=+

3. Order 2 (Memperhitungkan tiga suku pertama)2

!2x)x("f

!1x)x('f)x(f)x(f

2

iii1i∆

+∆

+=+

f(x)Order 2

Order 1

Order 0y

xxi+1i


Gb. Perkiraan suatu fungsi dgn deret Taylor.

Kesalahan Pemotongan pada Deret Taylor

)x(OR 1n+∆Indek n deret yg diperhitungkan sampai suku ke nIndek n +1 kesalahan pemotongan mempunyai order n+1

)x(OR n ∆=

de esa a a pe o o ga e pu ya o deKesalahan pemotongan akan kecil bila :1. Interval ∆ x adalah kecil2 Memperhitungkan lebih banyak suku deret Taylor2. Memperhitungkan lebih banyak suku deret Taylor

Pada perkiraan order 1 besar kesalahan pemotongan :

.....!3

x)x("'f!2

x)x("f)x(O3

i

2

i2 +

∆+

∆=∆


bab ii - · pdf filepengggukuran selang waktu 2,3 detik : ... pengertian galat pemotongan...

Documents