ANALISIS GALAT (Error)Pertemuan 2

Matakuliah : METODE NUMERIK ITahun : 2008

Bina Nusantara

Galat atau ralat atau kesalahan (error) adalah selisih antara nilai sejati (sebenarnya) dengan nilai hampirannya

Dalam metoda numerik, galat berarti selisih antara nilai hasil perhitungan analitik (nilai sejati = a) dengan nilai hasil Perhitungan numerik (nilai hampiran = â)

Galat relatifer = (em/ â) x 100 %

Galat mutlakem= |a - â|

Bina Nusantara

Contoh: Misalkan nilai sejati (a) = 10,45 dan nilai hampiran (â) = 10,5, maka galat mutlaknya adalah: em = |a - â| = |10,45 – 10,5|= 0,01

Dengan galat mutlak kita tidak mengetahui seberapa dekat (teliti) hasil hampiran yang kita peroleh terhadap nilai sejatinya

Contoh:Perhitungan -1 em1 = |100,5 – 99,8| = 0,7

Perhitungan -2 em2 = |10,5 – 9,8| = 0,7

Dari dua perhitungan tsb, perhitungan mana yang lebih teliti?

Bina Nusantara

Jawaban:er1 = (0,7/99,8) x 100 % = 0, 7014 % ketelitian

99,2986 %er2 = (0,7/9,8) x 100 % = 7,14286 % ketelitian

92,8571 %Perhitungan -1 lebih teliti.

Bina Nusantara

Sumber Error/Galat numerik1. Galat pemotongan (trancation error)2. Galat pembulatan (round-off error)Galat pemotongan timbul akibat penggunaan

rumus hampiran sebagai pengganti rumus eksakMisalnya Deret Taylor

f(x) = f(x0) + f(’)(x0) (x-x0) + ½! f(”)(x0) (x-x0)2 + 1/3! f(3)(x0) (x-x0)3 + … + 1/n! f(n)(x0) (x-x0)n + Rn(x)

Rn(x) = {1/(n+1)!} f(n+1)() x(n+1), x0 < < x

Rn(x) adalah galat pemotongan

Bina Nusantara

Contoh

Cos x = 1 – 1/2! x2 + 1/4! x4 + … 1/(2n)! X(2n) + Rn(x) = 1 – ½! x2 +R1(x) = 1 – ½! x2 + ¼! x4 + R2(x) = 1 – ½! x2 + ¼! x4 – 1/6! x6 + R3(x) = 1 – ½! x2 + ¼! x4 – 1/6! x6 + ¼! x8 + R4(x)

R1(x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -1 R2 (x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -2 R3 (x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -3 R4 (x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -4

Bina Nusantara

Galat pembulatan timbul akibat penggunaan alat hitung (misalnya, kalkulator, komputer) yang kemampuannya terbatas

Contoh:1. Kalkulator/komputer dalam menyajikan bilangan 1/3 =

0.3333… yang tidak pernah tepat 1/3. Untuk perhitungan tiga desimal, 1/3 = 0.333 Terdapat galat pembulatan = 0.000333… Untuk perhitungan 6 desimal, 1/3 = 0.333333 Terdapat galat pembulatan = 0.000000333…2. Dalam sistim bilangan biner, (0.1)10 = (0.0001100110011001100110011…) 2

(0.1)10

Bina Nusantara

Penyajian bilanganDalam komputasi numerik, pada umumnya bilangan riil disajikan dalam format “floating point” atau disebut “titik kambang” yang dinormalkan.

Format floating point ternormalisasi:x = m . p

tanda; m mantisa; bilangan pokok; p eksponen m = 0.d1d2d3…dk -1 m <1Untuk sistim bilangan desimal, maka = 10 0.1 m <1; 1 d1 < 9; 0 dk < 9Untuk sistim bilangan biner, maka = 20.5 m <1; d1=1 ; 0 dk 1

Bina Nusantara

Contoh:1. Sistim bilangan desimal

0.7392.104 sering juga ditulis 0.7392 E+04 (= 7392)

- 0.3246.102 sering juga ditulis - 0.3246 E+02 (= - 32.46)

0.1627.10-3 sering juga ditulis 0.1627 E-03 (= 0.0001627)

Bina Nusantara

2. Sistim bilangan biner Untuk komputer 32 bit word, 1 bit untuk tanda, 7 bit untuk eksponen bertanda dan 24 bit untuk mantisa

0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1

Pangkat bertanda

Tanda 0 = + 1 = -

Mantisa

X = 0.100000000000001000110011.2-13

= 0.5000335574.10-7

Bina Nusantara

Contoh:1. a = 3,141592; â = 3,142

2

100001299,0

142,3

142,3141592,3 3

re

â mendekati a teliti sampai tiga desimal

Bina Nusantara

Bilangan â disebut mendekati a sampai pada d digit-digit yang signifikan bila d adalah bilangan positif terbesar yang memenuhi:

2

10ˆ

ˆ d

r a

aae

Batas Penghampiran

Bina Nusantara

Error Measures

• True value = Approximate value + Error

xx ~

xx ~

= Error = True value - Approximate value

r = relative error x

xx

xr ~

~

~

• d = significant digits

dr x

xx

102

1~

~

Bina Nusantara

Example

• Pi ~ 3.1416 • Better approximation x = 3.1415927. • Find the error, relative error and the number of significant digits in

the approximation.

0000073.0

1416.31415927.3

~

xx

0000023237.0

1415927.3

0000073.0

r

5.3329

)10ln(

)0000023237.0*2ln(

)10ln(

)2ln(

ed

Bina Nusantara

Error Perkiraan

A is the approximate error between the current approximate value and our previous approximate value

kkA xx ~~ 1

1

1

1 ~

~~

~

k

kk

kA

Ar x

xx

x

Bina Nusantara

Contoh

• Estimate exp(x) for x = 0.5 by adding more and more terms to the sequence and computing the errors after adding each new term. Add terms until the estimate is valid to three significant digits.

• From a calculators x = 1.648721271

!4!3!2

1432 xxx

xex

005.0102

1~2

x

xxr

Bina Nusantara

Contoh

Gunakan hanya termin I dari barisanGunakan termin I, II dan seterusnya dari barisan

# Termin Hasil

1 1 0.393

2 1.5 0.09

3 1.625 0.014

4 1.645833333 0.0017

5 1.648437500 0.00017

6 1.648697917 0.000014

1xe5.15.011 xex

%909.0648721271.1

5.1648721271.1~

x

xx

!4!3!2

1432 xxx

xex

Bina Nusantara

Deret Taylor Deret Taylor dapat digunakan untuk memperkirakan nilai

suatu fungsi pada satu titik dalam bentuk nilai fungsi dan turunannya pada titik lainnya.

Setiap fungsi kontinu dapat didekati dengan suatu polinomial.

Teorema: Suatu fungsi yang mempunyai turunan sampai orde (n+1)

dan kontinu dalam selang [a,b] dan memuat X0, maka f dapat diperluas (diekspansikan) dalam deret Taylor, yaitu:

f(x) = f(x0) + f(’)(x0) (x-x0) + ½! f(”)(x0) (x-x0)2 + 1/3! f(3)(x0) (x-x0)3 + … + 1/n! f(n)(x0) (x-x0)n + Rn

Rn =truncated error

Bina Nusantara

Secara geometris, deret Taylor mempunyai arti: apabila harga suatu fungsi diketahui di x = x0, maka harga fungsi tersebut dapat dihitung disekitar x0Contoh:1 = 1; Tentukan 1,01=?

Jawban:f(x) = x = (x)1/2, dengan x = 1,01 dan x0 = 1 dan x – x0 = 0,01 f(‘)(x) = ½ x-1/2, f(‘)(1) = ½ = 0,5f(“)(x) = -1/4 x-3/2, f(“)(1) = - ¼ = - 0,25f(3)(x) = 3/8 x-5/2 , f(3)(1) = 3/8 = 0,375f(4)(x) = -15/16 x-7/2 , f(4)(1) = -15/16 = - 0,9375

Bina Nusantara

n 0 1 2 3 4

f(n)(1) 1 0,5 -0,25 0,375 - 0,9375

f(x) = f(x0) + f(’)(x0) (x-x0) + ½! f(”)(x0) (x-x0)2 + 1/3! f(3)(x0) (x-x0)3 + … + 1/n! f(n)(x0) (x-x0)n + … = 1 + (0,5)(0,01) + (0,5)(-0,25)(0,01)2 + (0,16667)(0,375)(0,01)3 + (0,04167)(-0,9375)(0,01)4 + … = 1,0049875 (perhitungan tujuh desimal)

Selanjutnya

Bina Nusantara

Misalkan dua buah bilangan a1 dan a2 dengan nilai hampirannya masing-masing â1 dan â2

Maka: a1= â1 e1 er1= e1/ â1

a2 = â2 e2 er2 = e2/ â2Perambatan galat dari a1 dan a2 pada:

1. PenjumlahanA = a1 a2 = (â1 e1) (â2 e2)

= (â1 â2) (e1 + e2) = (â1 â2) eA

eA = e1 + e2 , yaitu galat absolut dari penjumlahan ()

PerambatanGalat

Bina Nusantara

2. Perkalian

B = a1 . a2 = (â1 e1).(â2 e2)

= (â1. â2) (â1 e2 + â2 e1 + e1 e2)

= (â1. â2) eB

eB = (â1 e2 + â2 e1 + e1 e2) erB = er1+er2

3. Pembagian

222

1

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

2

2

22

11

22

11

2

1

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ1

ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆ

)ˆ(

)ˆ(

ˆ

ˆe

a

a

a

e

a

a

a

e

a

e

a

a

a

ax

ea

ea

ea

ea

a

aP

P= (â1/ â2) eP eP =

22

2

1

2

1

ˆ

ˆ

ˆe

a

a

a

e

Bina Nusantara

Soal Latihan1. Diketahui b= 1.648721271, Bila b dinyatakan dalam 4 desimal, berapakah relatif errornya?

2. π=3,14159265358…, bila π dinyatakan dalam 6 desimal, hitunglah error relatif jika:

a. dilakukan pemotongan tanpa pembulatan? b. dilakukan pemotongan dengan pembulatan?

3. Diketahui p=2,25 dan q=100 (nyatakan batas mutlak desimal sebagai error)

a. Tentukan error mutlak dari p.q b. Tentukan error relatif dari p+q

Catatan: Misalnya 10,2 adalah bilangan 1 desimal maka batas mutlaknya (0,1)/2 =0,05