galat dalam komputasi

8/11/2019 Galat Dalam Komputasi

1/31

1 GALAT DALAMKOMPUTASINUMERIK

i dalam praktek sehari-hari, misalnya dalam bidang teknik danbisnis, sering terdapat kasus gagalnya pencarian penyelesaian ek-sak suatu masalah matematika. Hal ini utamanya bukan dise-

babkan oleh cara mencari penyelesaian yang tidak diketahui, namunkarena adanya kenyataan bahwa penyelesaian yang diinginkan tidak da-pat dinyatakan secara elementer atau adanya fungsi-fungsi lain yang su-dah diketahui. Oleh karena itu komputasi numerik menjadi sangat pen-ting, khususnya dalam kaitannya dengan meningkatnya peranan metode-metode matematika dalam berbagai bidang sains dan teknologi sertahadirnya teknologi pendukung berupa komputer berkemampuan tinggi.

Komputasi numerik merupakan suatu pendekatan penyelesaian Pengertian komputasinumerik dan metode

numerikmasalah matematika dengan menggunakan beberapa metode numerik.Metode numerik adalah suatu metode untuk menyelesaikan masalah-masalah matematika dengan menggunakan sekumpulan operasi aritme-tika sederhana dan operasi logika pada sekumpulan bilangan atau datanumerik yang diberikan. Operasi-operasi tersebut biasanya merupakanoperasi-operasi yang dapat dilakukan oleh komputer. Metode kom-putasi yang digunakan disebut algoritma. Tergantung pada kekom-plekan masalah yang harus diselesaikan, tingkat keakuratan yang di-inginkan, metode yang dipakai, dan seterusnya, proses penyelesaianmungkin memerlukan beberapa puluh sampai jutaan operasi. Apabila

banyaknya operasi hitung yang diperlukan hanya beberapa puluh, maka

seseorang dapat menyelesaikan masalahnya secara manual atau menggu-nakan kalkulator. Akan tetapi jika penyelesaian suatu masalah memer-lukan jutaan operasi hitung, maka pemakaian komputer berkecepatantinggi merupakan kebutuhan yang tidak dapat dihindari. Di sinilahkemajuan teknologi komputer memegang peranan penting dalam kom-putasi numerik. Meskipun demikian, pemilihan metode yang efisien(memerlukan sesedikit mungkin operasi hitung) merupakan aspek lainyang menjadi perhatian dalam komputasi numerik. Hal ini akan se-

1


2/31

2 Bab 1. Galat dalam Komputasi Numerik

makin terasa di dalam menyelesaikan masalah-masalah berskala besar,yang melibatkan ribuan variabel misalnya.

CONTOH1.1.

Hitunglah

sampai empat angka desimal.

Penyelesaian:

Terdapat lebih daripada satu algoritma, yang hanya menggunakan empat operasiaritmetika dasar (penjumlahan/pengurangan dan perkalian/pembagian). Salahsatunya, yang cukup populer, adalahSuatu algoritma untuk

menghitung

dengan hanyamenggunakan operasiperkalian, pembagian

dan penjumlahan

untuk

Dengan menggunakan algoritma di atas kita peroleh, untuk

,

atau, dalam bentuk pecahan desimal

Jadi, hampiran sampai empat angka desimal untuk

adalah 1.4142.

Berikut adalah contoh pemakaian komputer (dalam hal ini denganmenggunakan program MATLAB) untuk menyelesaikan masalah di atas.Anda dapat mengubah batas nilai

untuk mendapatkan tingkat keaku-ratan yang diinginkan.Program MATLAB

untuk menghitunghampiran

>>x=1;e=1;

>>while e>0.00001,y=x;x=(y+2/y)/2

e=abs(x-y);

end

x =

1.5

x =

1.4166667

Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)


3/31


rapa parameter masukan. Efek galat data awal dapat diestimasikan de-ngan menggunakan cara-cara sederhana, misalnya dengan menggunakanvariasi data awal dalam batas-batas galatnya dan dengan menetapkan pe-nyelesaiannya. Apabila terdapat beberapa data awal yang memiliki galatyang sifatnya alami, maka pemakaian metode statistika akan bermanfaat.Dalam beberapa kasus, galat bawaan dapat dianggap sebagai galat suatufungsi yang diakibatkan oleh galat argumen (masukannya).

Dalam kebanyakan kasus, metode-metode numerik merupakanhampiran, sehingga sekalipun data awalnya tidak mengandung galat

dan semua operasi aritmetika dilakukan secara ideal, metode-metodetersebut menghasilkan penyelesaian masalah semula yang memuat be-

berapa galat yang disebut galat metode (yang dipakai). Hal ini dise-babkan karena suatu metode numerik biasanya digunakan untuk menye-lesaikan beberapa masalah lain, yang lebih sederhana, sebagai hampiranmasalah asli. Dalam sejumlah kasus, metode numerik yang dipilih disu-sun berdasarkan pada proses tak berhingga, yang limitnya menuju pe-nyelesaian yang diinginkan.1 Akan tetapi, dalam kenyataannya tidakmungkin melakukan semua proses tersebut, sehingga prosesnya harus di-hentikan pada langkah tertentu dan hasilnya adalah suatu hampiran pe-nyelesaian.

Suatu metode numerik biasanya tergantung pada beberapa para-meter yang dapat dikendalikan. Beberapa contoh parameter demikianadalah banyaknya iterasi di dalam menyelesaikan sistem persamaan dan

banyaknya suku yang harus dihitung di dalam menjumlahkan suatuderet, dan lebar interval yang digunakan untuk menghitung hampiransuatu integral tentu. Galat suatu metode numerik atau estimasinya bi-asanya tergantung pada parameter yang sesuai. Estimasi galat yangdiperoleh mungkin dinyatakan dalam kuantintas-kuantitas yang dike-tahui. Dengan estimasi galat ini, nilai-nilai parameter yang menentukangalat metode tersebut berada dalam batas-batas yang diinginkan dapatditentukan. Akan tetapi, dalam kebanyakan kasus estimasi galat memuat

pengali-pengali konstanta yang tidak diketahui nilainya, dan parametermetode berbentuk suatu fungsi pangkat atau fungsi eksponensial. De-ngan estimasi galat demikian laju penurunan galat dapat diatur denganmengubah parameter metode. Laju penurunan galat merupakan karak-

1Sebagai contoh adalah perhitungan nilai suatu fungsi dengan menggunakan beberapa

suku pertama deret tak berhingga, seperti

, hanya dihitung suku pertama, sisanya diabaikan.



4/31

1.1 Sumber-sumber Galat 5

teristik penting suatu metode numerik.Galat yang paling rumit di dalam komputasi numerik adalah galat

pembulatan (round-off errors), yang diperoleh selama pemakaian operasi-operasi aritmetika. Apabila banyaknya operasi yang dilakukan tidak

besar, maka galat-galat pembulatan dalam kalkulasi manual dapat di-hitung dengan rumus-rumus perambatan galat yang akan dibahas di

belakang. Terdapat dua situasi yang mungkin terjadi dalam penyele-saian suatu masalah numerik dengan komputer. Pertama, jika banyaknyaoperasi aritmetika yang dilakukan sedikit, maka galat-galat pembulatan

mungkin dapat diabaikan, karena komputer menggunakan sepuluh ataulebih angka desimal signifikan, sementara hasil akhir biasanya diambilsampai lima angka signifikan. Kedua, jika masalah yang harus disele-saikan cukup rumit (misalnya masalah persamaan diferensial parsial),dan proses perhitungan hampiran penyelesaian yang diinginkan memer-lukan, katakan

operasi aritmetika, maka tidaklah realistik dalam halini untuk menghitung efek galat pembulatan pada setiap operasi. Dalamkasus seperti ini galat pembulatan dapat dikatakan bersifat acak. Na-mun, bagaimanapun juga galat pembulatan tidak dapat diabaikan dalammenyelesaikan masalah-masalah numerik yang rumit.

Suatu masalah numerik mungkin dapat diselesaikan dengan bebe-

rapa metode hampiran yang berbeda. Sensitivitas galat pembulatan padadasarnya tergantung pada metode numerik yang dipilih. Suatu metodenumerik dianggap berhasil jika galat yang diberikan merupakan pecahandari galat bawaan, dan galat karena pembulatan, disebut galat kom-putasi, lebih kecil daripada galat metode. Apabila tidak ada galat bawaan,maka galat metode haruslah kurang daripada tingkat keakuratan yangdiberikan.

Selain persyaratan tingkat keakuratan, metode numerik yang dipi-lih juga harus memenuhi sejumlah persyaratan lain. Utamanya, metodetersebut menggunakan seminimum mungkin operasi, memerlukan lebihsedikit unit penyimpanan (memori) pada komputer, dan akhirnya, se-

cara logika lebih sederhana, sehingga lebih cepat dijalankan oleh kom-puter. Sejumlah syarat yang diberikan mungkin saling menjadi kendala,sehingga pemilihan metode numerik boleh jadi memerlukan suatu kom-promi. Suatu algoritma yang menghasilkan galat kumulatif yang ter-

batas, sehingga hampiran yang diperoleh memenuhi tingkat keakuratantertentu, disebut algoritma stabil. Algoritma yang menghasilkan galat ku-mulatif yang merusak hampiran penyelesaian yang diperoleh, sehingga



5/31

1.2 Penyajian Bilangan 7

Dalam sistem biner, basis perpangkatan adalah 2, sebagai pengganti basis10 dalam sistem desimal. Jadi, bilangan 1454 dalam sistem biner dinyata-kan sebagai

Catatan:

Indeks dua atau 2 digunakan untuk membedakan denganpenulisan sistem desimal, sehingga 110 berarti seratus sepuluh, se-dangkan

dan

berarti enam.

Fungsi MATLAB dec2bin dapat digunakan untuk mendapatkanrepresentasi dalam sistem biner suatu bilangan bulat positif

.

>>dec2bin(1454)

ans =

10110101110

>>dec2bin(1563)

ans =

11000011011

Secara umum, jika

bilangan bulat positif yang dapat dinyatakandalam ekspansi berbasis pangkat dua sebagai Nilai tempat dalam

sistem biner

dengan

, maka dalam sistem biner

dapat dinyatakan sebagai

Jika diketahui bilangan bulat positif

(dalam bentuk desimal), makabentuk binernya dapat dicari dengan menggunakan algoritma sebagai



6/31


berikut

...

(

=0)

(1.1)

dengan

. Selanjutnya, dalam sistem biner

dapat dinyatakanAlgoritma untukmengubah bilangandesimal ke bilangan

binersebagai

CONTOH1.2.

Dengan menggunakan algoritma 1.1, diterapkan pada , didapatkan

sehingga

, seperti contoh sebelumnya.

1.2.2 Sistem Heksadesimal

Dalam sistem heksadesimal digunakan basis perpangkatan 16 dan semuabilangan dinyatakan dengan menggunakan maksimum 16 digit yang ber-beda, yang biasanya dinyatakan sebagai

dengan

,

,

,

,

, dan

.Sebagai contoh,

Algoritma untuk mengubah bilangan desimal ke bilangan heksade-simal analog dengan algoritma untuk mengubah bilangan desimal ke bi-langan biner. Dalam hal ini digunakan pembagi 16.

Sistem heksadesimal memiliki hubungan erat dengan sistem biner.Konversi bilangan biner ke bilangan heksadesimal dan sebaliknya dapat



7/31


dilakukan secara mudah. Untuk mengkonversi bilangan heksadesimal kebilangan biner, ganti setiap digit dengan representasi binernya. Sebagaicontoh,

karena

Sebaliknya, untuk mengubah bilangan biner ke bilangan heksadesi-

mal, kelompokkan setiap empat bit dari kanan ke kiri, dan ganti setiapempat bit tersebut dengan nilai heksadesimalnya. Sebagai contoh,

karena

1.2.3 Bilangan Pecahan dan Deret

Dalam komputasi numerik, nilai-nilai pecahan dinyatakan dalam bentukdesimal. Setiap bilangan pecahan rasional

,

, dinyatakan sebagaipecahan desimal yang terdiri atas berhingga digit atau tak berhingga digit

berulang. Berikut adalah beberapa contoh

Ekspansi desimal pecahan

memuat tak berhingga digit 3 secara

berulang, sedangkan ekspansi desimal pecahan memuat beberapadigit yang diulang tak berhingga kali, yakni 142857. Apabila ekspansidesimal ditulis hanya sampai beberapa digit berhingga, maka digit-digitterakhir yang berulang diberi garis atas. Dalam contoh ekspansi

di atas

artinya digit 3 berulang tak berhingga kali, sedangkan pada

,

artinya 142857 berulang tak berhingga kali. Notasi tersebutberlaku juga untuk ekspansi pecahan biner (akan dijelaskan nanti).

Dalam praktek kita hanya mengambil beberapa digit untuk meng-



8/31


1. Perhatikan bahwa

.

Oleh karena itu, dalam sistem biner

.

2. Perhatikan deret geometri yang konvergen ke nilai :

Jadi, dalam sistem biner

dinyatakan sebagai

Dari contoh di atas, ternyata pecahan biner juga dapat memuat takberhingga digit berulang. Cara menyingkat digit-digit yang berulangsama dengan cara penulisan pada sistem desimal, yakni dengan memberigaris di atas digit-digit yang berulang.

Algoritma berikut dapat digunakan untuk mencari penyajian binersuatu pecahan

. Algoritma untukmengubah pecahandesimal ke pecahan

biner

... ...

...

......

...

(1.2)

dengan

adalah bagian bulat

dan

adalah bagian pecahan . Proses tersebut mungkin berhenti setelah langkah ke- (jika didapat-kan

), mungkin berlanjut terus. Selanjutnya, representasi biner

adalah

CONTOH1.4.Nyatakan pecahan

dalam bentuk pecahan biner!



9/31


biner dengan perpangkatan 2 akan menggeser titik (koma) pemisahbagian bulat dan bagian pecahan. Misalnya,

Aturan pergeseran titik tersebut benar, karena memang

.(Silakan diperiksa!)

1.2.5 Notasi Ilmiah (Scientific Notation)

Cara baku untuk menyajikan bilangan riil, disebut notasi ilmiah(scientificnotation), dapat dinyatakan dalam bentuk Notasi Ilmiah

(Scientific Notation)

dengan

. Bilangan

disebutmantisdan disebuteksponen.Berikut adalah contoh-contoh penyajian bilangan dengan notasi ilmiah.

1.

2.

3.

4.

(bilangan Avogadro dalam kimia)

5.

(pengertian kilo dalam ilmu komputer)

6.

(konstanta dielektrik)

7.

(permiabilitas).

1.2.6 Titik-Mengambang Normal (Normalized Floating-Point)

Misalkan

adalah suatu bilangan desimal bukan nol. Kita dapat menya-takan

dalam bentuk

(1.3)

dengan

atau

, dan

. Besaran

,

, dan

berturut-turut disebut tanda,mantis, daneksponenatau pangkat. Seba-gai contoh,



10/31


bit pangkat, bernilai

, dan sebuah bit tanda. Skemapenyajian titik-mengambang ini dijelaskan pada Gambar 1.1.

pangkat (

)

mantis (

)

Gambar 1.1: Alokasi bit tanda (

), mantis (

) dan pangkat (

) pada komputerCDC dengan 60-bit titik-mengambang

2. Komputer DEC VAX menggunakan penyajian titik-mengambang 32-bit,seperti skema pada Gambar 1.2. Mantis terdiri atas 24 bit (bernilai

), pangkat terdiri atas 8 bit (bernilai

), dan satu bittanda. Oleh karena

, maka

Bit pertama 1 tidak disimpan secara eksplisit di dalam memori, hanya bit

,

, ..., dan

yang disimpan di dalam memori. Bit pertama 1 selaludisisipkan ke dalam penyajian tersebut setiap kali dilakukan operasi hitung

yang melibatkan .

pangkat (

)

mantis (

)

Gambar 1.2: Alokasi bit tanda ( ), mantis ( ) dan pangkat ( ) pada komputerDEC VAX dengan 32-bit titik-mengambang

3. Pada koprosesor aritmetika yang digunakan pada komputer-komputer

mikro, misalnya keluarga Intel 80X87 dan Motorola 6888X, digunakanAritmetika Titik-Mengambang IEEE Baku. Dalam standard ini, yangmerupakan notasi IEEE baku presisi tunggal, mantis dinormalkan se-hingga memenuhi

, menggunakan 24 bit, sebuah bit disem-

bunyikan seperti pada DEC VAX. Pangkat

memiliki nilai-nilai

. Dalam sistem ini terdapat penyajian untuk

, misal-

nya untuk menyatakan 1/0, dannan, yang berartibukan bilangan(nota number), misalnya untuk menyatakan 0/0.



11/31


but adalah

, yakni bilangan yang memiliki mantis terbe-sar (

) dan eksponen terbesar (=+7). Jadi bilangan tersebutadalah

=

=

. Bilangan-

bilangan yang lebih besar daripada nilai tersebut tidak dapat disajikandengan notasi di atas, dan disebut nilaioverflow.

CONTOH1.8.Misalkan digunakan mantis

pada (1.4) yang memuat 32 bit. Dalam hal ini,

dapat dituliskan sebagai

. Nilai pecahan

oleh komputer tersebut disimpan sebagai hampiran

Galat hampiran tersebut sebesar

Jika komputer harus menghitung

hasilnya bukan 10000, melainkanhampirannya yang memiliki galatlebih besardaripada

. Silakan Anda coba sendiri dengan kalkulator 10digit untuk mendapatkan berapa besar galat yang sesungguhnya!

CONTOH1.9.

Perhatikan rumus untuk menghitung nilai

Jika dan cukup besar, maka mungkin menyebabkan overflow, sekalipun

nilai

berada dalam jangkauan titik-mengambang. Untuk menghindari hal inidapat digunakan rumus alternatif

Di sini, nilai di dalam tanda akar berbentuk

dengan

. Perhitungan



12/31


bilangan-bilangan biner

Gunakan fungsi MATLAB dec2bin untuk mengecek hasil perhi-tungan Anda!

6. Konversikan pecahan-pecahan desimal di bawah ini ke dalampecahan-pecahan biner berbentuk

Cobalah Anda gunakan fungsi MATLAB dec2bin untuk mengu-bah pecahan-pecahan desimal tersebut ke dalam pecahan-pecahanbiner!

7. Gunakan algoritma yang dijelaskan pada persamaan (1.2) untuk me-nunjukkan bahwa

Tuliskan fungsi MATLAB dec2binp, yang mengimplementasikan al-goritma yang dijelaskan pada persamaan (1.2), untuk mengubah pe-cahan desimal ke pecahan biner. Gunakan fungsi tersebut untukmengerjakan soal-soal di atas!

8. Dengan mengubah pecahan biner ke dalam pecahan desimal, hi-tunglah galat hampiran-hampiran di bawah ini.

9. Misalkan

,

, ditulis dalam bentuk biner,

Jelaskan makna geometris koefisien-koefisien

,

,

, ...!

10. Samakah bilangan-bilangan biner

dan

? Je-laskan!



13/31

1.3 Galat Hampiran 21

Galat relatif pada nilai hampiran 1.414 untuk nilai

sekitar

sedangkan hampiran yang lebih kasar 1.41 mempunyai galat relatif 0.003.Hampiran lain yang cukup terkenal adalah

. Nilai

, sehingga

CONTOH1.11.

Tentukan galat dan galat relatif pada nilai-nilai hampiran di bawah ini jika nilaieksaknya diketahui:

1. Hampiran

untuk nilai eksak

.

2. Hampiran

untuk nilai eksak

.

3. Hampiran untuk nilai eksak .

Jawab:

1.

dan

.

2.

dan

.

3.

dan

.

Pada nomor 1, selisih

dan

tidak terlalu besar, sehingga masing-masing dapatdigunakan untuk menentukan tingkat keakuratan

. Pada nomor 2, nilai

cukupbesar. Sekalipun

relatif besar tetapi

kecil, sehingga

dapat dikatakan sebagaihampiran yang cukup baik untuk

. Pada nomor 3, nilai

terkecil dibandingdengan dan , meskipun galat

kecil, tetapi galat relatif

cukup besar, yakni25%. Jadi merupakan hampiran yang jelek untuk .

Perhatikan, dari ketiga contoh terakhir, jika

nilainya semakin jauhdari 1, baik semakin besar atau semakin kecil, galat relatif

merupakanindikator keakuratan hampiran

daripada galat

. Galat relatif lebihbanyak dipakai pada penyajian bilangan riil dengan titik-mengambang(floating-point representation), karena galat relatif berkaitan langsung de-ngan nilai mantis.



14/31


DEFINISI1.2 (ANGKA SIGNIFIKAN).Pengertian angka

signifikan

1. Misalkan suatu hampiran bilangan

dinyatakan sebagai

Jika

dan

untuk , maka digit-digit

,

dikatakan angka signifikan.

2. Suatu digit

dikatakanbenarjika

.

3. Misalkan

adalah nilai eksak. Hampiran

untuk

dikatakan mengham-piri

sampai

angka signifikan jika

adalah bilangan bulat positif terbesaryang memenuhi

CONTOH1.12.

1. Bilangan 25.047 memiliki 5 angka siginitkan.

2. Bilangan -0.00250 memiliki 3 angka signifikan, yakni 2, 5, 0.

3. Bilangan 0.000068 memiliki 2 angka signifikan, yakni 6 dan 8.

4. Bilangan 0.100068 memiliki 6 angka signifikan.

5. Jika dan , maka

.Jadi

menghampiri

sampai 3 angka signifikan.

6. Jika

dihampiri oleh

, maka

=

. Jadi, menghampiri sampai lima angka signifikan.

7. Jika

dihampiri oleh

, maka

=

. Jadi hampiran tidak memiliki angka signifikan.

Jika suatu nilai hampiran ditulis tanpa menyebutkan galat mut-laknya, maka hanya digit-digit yang benar yang ditulis. Dalam hal ini,digit nol di sebelah kanan tidak dihilangkan. Sebagai contoh, bilangan0.0344 dan 0.034400 adalah dua hampiran yang berbeda. Bilangan 0.0344memiliki galat mutlak tidak melebihi 0.0001, sedangkan bilangan 0.034400memiliki galat mutlak tidak lebih daripada

.



15/31


Jika bagian bulat suatu bilangan hampiran memiliki lebih banyakangka signifikan daripada cacah digit benar, maka seyogyanya digu-nakan notasi normal, misalnya

. Dari notasi ini jelasbahwa

memiliki tiga angka signifikan. Dalam hal ini, notasi

tidak disarankan. Bilangan-bilangan hampiran sebelumnya ditulis seba-gai

dan

.Notasi yang sering digunakan untuk menuliskan suatu hampiran

adalah

yang berarti nilai

memenuhi ketidaksamaan

Di sini besaran

ditulis dengan cacah digit signifikan yang kurangdaripada cacah digit signifikan pada

. Sebagai contoh,

.

Perlu dibedakan antara cacah digit signifikan benar dan cacah digitbenar di sebelah kanan titik pecahan pada suatu nilai hampiran. Misal-

kan, hampiran

memiliki lima digit signifikan dan tiga digitbenar di sebelah kanan titik pecahan, sedangkan hampiran

memiliki tiga digit signifikan benar dan lima digit benar di sebelah kanantitik pecahan.

Jadi, galat mutlak suatu nilai hampiran seutuhnya ditentukan olehcacah digit benar di sebelah kanan titik pecahan, sedangkan galat relatif-nya ditentukan oleh cacah digit signifikan.

1.3.1 Galat Pembulatan (Rounding Off Error)

Pembulatan bilangan sering dilakukan di dalam proses komputasi. Pem-

bulatan artinya mengurangi cacah digit pada suatu nilai hampiran de-ngan cara membuang beberapa digit terakhir. Cara melakukan pembu-latan suatu nilai hampiran menggunakan aturan sebagai berikut. Aturan Pembulatan

Jika digit pertama yang dibuang kurang daripada 5, digit di depan-nya tidak berubah.

Jika digit pertama yang dibuang lebih atau sama dengan 5, makadigit di depannya ditambah 1 nilainya.



16/31


dibulatkan sampai enam angka desimal

Galat hampiran tersebut sebesar

dan galat rela-tifnya senilai

. Jadi nilai hampiraan tersebut benarsampai 1 angka signifikan.

1.3.3 Pemangkasan dan Pembulatan

Perhatikan bahwa setiap bilangan riil

dapat dinyatakan dalam bentukdesimal normal:

dengan

untuk

(1.9)

Misalkan

adalah maksimum banyaknya digit desimal yang dipergu-

nakan oleh komputer untuk melakukan komputasi titik-mengambang.Dalam hal ini, bilangan

disajikan sebagai

, yang didefinisikansebagai penyajian

titik-mengambangterpangkas(chopped

floating-pointrepresentation)

dengan

untuk

(1.10)

Bentuk (1.10) disebut penyajian titik-mengambang terpangkas (choppedfloating-point representation)

. Dalam hal ini, digit ke-

pada

sama dengan digit ke-

pada

. Cara lain penyajian digit ke-

adalah seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, yakni penyajian titik-mengambang pembulatan(rounded floating-point), ditulis

, yangdidefinisikan sebagai titik mengambang

pembulatan(rounded

floating-point)

(1.11)

dengan

,

, untuk

dan digit

diperolehdari pembulatan

ke bilangan bulat terdekat, sebagaimanadijelaskan sebelumnya, pada aturan pembulatan.

Misalnya, bilangan riil

memiliki



17/31


penyajian enam digit dalam bentuk terpangkas

sedangkan pembulatannya adalah

Secara umum kita biasanya menuliskan keduanya sebagai 3.14285 dan3.14286.

CONTOH1.15.

Misalkan nilai

disajikan dengan menggunakan notasi titik-mengambangbiner normaldengan mantis yang disajikan dalam

bit sebagai

. Berapakahbatas-batas galat mutlak dan galat relatif

jika

1. digunakan pemangkasan mantis pada bit ke-(

), yakni bit ke-(

)dan di belakangnya dibuang?

2. digunakan pembulatan mantis sampai bit ke-

?

Jawab:

1. Pemangkasan mantis pada bit ke-( ) menghasilkan galat mutlak kurangatau sama dengan nilai tempat digit ke-

. Jadi,

Untuk menghitung galat relatif, kita ingat bahwa normalisasi mantis ber-arti nilai mantis tidak kurang dari

. Jadi,

Jika dimisalkan

, maka

, sehingga diperolehhubungan

dengan

. Hubungan di atas dapat dituliskan sebagai



18/31


dengan

.

2. Galat pembulatan sampai

digit signifikan tidak lebih daripada nilai tem-pat digit satuan ke-

, atau separuh nilai tempat digit satuan ke-

.Jadi,

Galat relatifnya adalah

Jika dimisalkan

, maka diperoleh hubungan

dengan

.

Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa, pada penyajian titik-mengambang biner normal yang menggunakan mantis

-bit untuk bi-langan

, ditulis

, memenuhi Hubungan antara galatrelatif dan penyajian

titik-mengambang

dengan

pada pemangkasan

pada pembulatan.(1.12)

Oleh karena

kecil, maka hubungan (1.12) menyatakan bahwa

merupakanpertubasi(perubahan) kecil nilai

.Hubungan (1.12) dapat diperumum untuk sebarang sistem bilangan

basis

. Jika

adalah penyajian bilangan

dalam bentuk titik-mengambang basis

(

adalah suatu bilangan bulat genap) yang meng-gunakan

digit mantis, maka

dengan

pada pemangkasan

pada pembulatan.

(1.13)Penyajian bilangan titik-mengambang yang sudah dijelaskan se-

belumnya biasanya dikenal sebagai bilangan dengan presisi tunggal.Dalam beberapa bahasa pemrograman, misalnya Pascal dan FORTRAN,

bilangan-bilangan tersebut dikenal sebagai jenis REAL. Dalam melakukanbanyak perhitungan aritmetika dengan bilangan-bilangan berpresisi tung-



19/31


buah bilangan yang nilainya hampir sama akan menyebabkan pengu-rangan angka signifikan. Fenomena ini disebutkehilangan signifikansi(loss of significance) atau pembatalan pengurangan (substractive cancella-tion). Di sinilah perlunya kehati-hatian di dalam komputasi numerik yang Pengurangan dua buah

bilangan yang hampirsama nilainya dapat

menyebabkanhilangnya beberapa

angka signifikan.

melibatkan pengurangan.

CONTOH1.17.Fungsi

dan

secara matema-tis sama. (Buktikan!). Hitunglah

dan

dengan menggunakan enam

digit dan pembulatan. Bandingkan hasilnya!Jawab:

Untuk fungsi

kita hitung

Untuk fungsi

kita hitung

Perhitungan dengan fungsi menghasilnya nilai yang lebih mendekati nilai sebe-

narnya, dan sama dengan hasil pembulatan sampai enam digit nilai yang sebe-narnya, yakni 11.174755300747198... . Mengapa terjadi demikian?

CONTOH1.18.Fungsi

, untuk

, dapat dideretkan ke dalam deretTaylor di sekitar

(Tunjukkan!)

Misalkan polinomial

digunakan sebagai hampiran fungsi

. Hitunglah

dan

dengan menggunakan enam digit dan pembu-latan. Bandingkan hasilnya!

Jawab:

Dengan menggunakan fungsi

:



20/31


dengan

dan

adalah konstanta-konstanta positif. Jelaskanperbedaan model ini dengan model sebelumnya, dengan melihatperilaku

untuk

cukup besar. Berikan makna fisik konstanta

.

3. Hitunglah galat

dan galat relatif

dan banyaknya angka sig-nifikan pada masing-masing nilai hampiran.

(a) Nilai

dihampiri dengan

.(b) Nilai

dihampiri dengan

.

(c) Nilai

dihampiri dengan

.

(d) Nilai

dihampiri dengan

.

(e) Nilai

dihampiri dengan

.

4. Hitunglah hampiran integral

.Sebutkan jenis-jenis galat yang ada pada hampiran tersebut!Bandingkan hampiran yang Anda peroleh dengan nilai yang sebe-

narnya .

5. (a) Diberikan data

dan

, yang masing-masingmempunyai empat angka signifikan. Dengan menggunakanempat angka signifikan, hitunglah

dan

.

(b) Diberikan data

dan

, yang masing-masing memiliki lima angka signifikan. Hitunglah jumlah

dan hasil kali

dengan menggunakan lima angkasiginifikan.

6. Lengkapilah perhitungan-perhitungan di bawah ini dan sebutkanjenis-jenis galat yang ada.

(a)

.



21/31

1.4 Perambatan Galat 33

dan

adalah nilai-nilai eksak (yang tidak diketahui) dan

dan

berturut-turut adalah hampiran untuk

dan

sedemikian hingga

dan

. Galat

(1.14)

dengan

menyatakan salah satu operasi aritmetika +, -,

, atau

, disebutgalat rambatan. Galat rambatan suatu

operasi aritmetikaDalam praktek komputasi, nilai-nilai

dan

mungkin tidak dike-tahui. Hanya hampiran-hampirannya, yakni

dan

yang diketahui, se-hingga besar galat (1.14) tidak dapat diketahui secara eksak. Dalam hal iniperlu diketahui batas-batas galat

. Teknik untuk menentukan batas-batas

dikenal sebagaiaritmetika interval. Jika batas-batas dan

diketahui, maka dapat ditentukan sebuah interval yang memuat

.

CONTOH1.19.

Misalkan diberikan hampiran-hampiran

dan

yang memilikiangka signifikan sebagaimana ditunjukkan. Maka

,

, atau , .Untuk penjumlahan diperoleh , ,sehingga

, atau

.

Untuk pembagian diperoleh

sehingga

,atau

.

Cobalah Anda lanjutkan contoh di atas dengan menghitung interval-

interval yang memuat dan .Teknikaritmetika interval tersebut sangat berguna dan telah diim-

plementasikan pada beberapa komputer, baik secara hardware maupunsoftware. Akan tetapi, untuk perhitungan yang lebih luas, aritmetika in-terval harus diterapkan secara hati-hati karena jika tidak, dapat meng-hasilkan perkiraan galat yang jauh di luar galat sesungguhnya. Karenaalasan inilah, pada saat ini teknik tersebut belum digunakan secara luasdalam komputasi-komputasi praktis (Atkinson, 1993:49).



22/31


1.4.1 Galat Penjumlahan dan Pengurangan

Dari hubungan antara nilai eksak, hampiran dan galat di atas,

Jadi, galat penjumlahan sama dengan jumlah galat suku-suku yang di-jumlahkan, atau dapat dituliskan

(1.17)

Galat relatif penjumlahan adalah

(1.18)

Untuk pengurangan,

Jadi, analog dengan penjumlahan, galat pengurangan sama dengan selisihgalat, atau dapat dituliskan

(1.19)

Galat relatif pengurangan adalah

(1.20)

Dari (1.20) dapat dipahami bahwa, apabila

maka galat relatifpengurangan kedua hampiran akan semakin besar. (Mengapa?) Akibat-nya adalah hilangnya beberapa angka signifikan pada hasil pengurangan.Hal ini persis seperti yang sudah dibahas sebelumnya.

CONTOH1.20.Misalkan nilai-nilai

digunakan sebagai hampiran untuk

dengan maksimum galat yang mungkin untuk masing-masinghampiran adalah

. Dengan kata lain,

untuk



23/31


Jadi galat yang sesungguhnya adalah sekitar 0.017, lebih kecil daripada maksi-mum galatnya, 0.5.

Catatan:

Pemakaian MATLAB yang lebih cerdas/baik adalah tanpaloop, yakni

>> format long g

>> barisan=1:100;s1=sum(round(100*sqrt(barisan)))/100,

s2=sum(sqrt(barisan))s1 =

671.48

s2 =

671.462947103148

CONTOH1.22.

Hitunglah

dengan menggunakan tiga angka signifikan padamasing-masing akar. Bandingkan hasilnya dengan perhitungan menggunakanrumus kesamaan

Jawab:

Dengan perhitungan langsung,

Dengan menggunakan rumus ekivalennya,

Hasil kedua memberikan galat yang lebih kecil, karena nilai yang sesungguhnya(dengan menggunakan lebih banyak angka signifikan), adalah 0.0644603.

Bagaimanakah batas galat penjumlahan dua buah bilangan titik-mengambang biner normal? Misalkan

dan

dengan

. Untuk menjumlahkan

dan

, bit-bit mantis

harusdigeser

tempat ke kanan (untuk meratakan titik pecahan biner).

Kedua mantis kemudian dijumlahkan dan dibulatkan. Terdapat dua ke-mungkinan hasil penjumlahan tersebut.



24/31


latan pengurangan dua buah bilangan titik-mengambang biner normal.

1.4.2 Galat Perkalian dan Pembagian

Perambatan galat pada perkalian dan pembagian lebih rumit daripadayang terjadi pada penjumlahan dan pengurangan. Hasil kali

dan

adalah

Jadi, galat hasil kali

dan

adalah

(1.22)

Apabila harga mutlak

dan

lebih besar daripada satu, maka suku-suku

dan

menunjukkan adanya kemungkinan peningkatan galataslinya,

dan

. Galat relatif hasil kali tersebut dapat dihitung sebagaiberikut. Jika

dan

, maka

(1.23)

Selanjutnya, jika galat hampiran

dan

cukup kecil dibandingkan nilai-nilai hampiran tersebut, maka

,

dan

.Akibatnya, galat relatif (1.23) menjadi

(1.24)

Jadi, galat relatif hasil kali dua buah hampiran mendekati jumlah galatrelatif masing-masing hampiran.

Seringkali suatu galat awal akan merambat selama suatu proses yangterdiri atas serangkaian kalkulasi dalam sebuah algoritma. Dalam hal inidiinginkan agar algoritma yang dipakai memberikan hasil akhir dengan

galat kumulatif kecil apabila galat awalnya kecil. Algoritma demikiandisebut algoritma stabildan algoritma sebaliknya disebut algoritma tidakstabil. Apabila mungkin, komputasi numerik dilakukan dengan menggu-nakan algoritma stabil.

DEFINISI1.3.

Misalkan adalah galat awal dan menyatakan galat yang terjadi setelah



25/31


langkah. Jika

, maka algoritma tersebut dikatakan memiliki pe-rambatan galat linier. Jika

, maka algoritma tersebut dikatakanmemiliki perambatan galateksponensial. Jika

, galat eksponensial tum-buh semakin besar tak terbatas jika

semakin besar, dan jika

, galateksponensial akan semakin mengecil jika semakin besar.

Untuk menghitung batas galat perkalian dua buah bilangan titik-mengambang biner normal, misalkan

dan

.Selanjutnya,

dengan

, karena

. Dengan tetap memperhatikan normalisasi, maka

jika

jika

jika

jika

dengan

.

CONTOH1.23.

Tunjukkan bahwa ketiga algoritma di bawah ini dapat digunakan untuk meng-hasilkan barisan

secara eksak.

untuk (1.25a)

untuk

(1.25b)

untuk (1.25c)

Penyelesaian:

Barisan yang dimaksud adalah

. Rumus (1.25a)

jelas menghasilkan barisan tersebut. Pada rumus (1.25b) persamaan selisih

memiliki penyelesaian umum

. Hal



26/31


Galat awal

pada(1.26a)adalah 0.00004, dan galat awal

dan

pada(1.26b)dan (1.26c) adalah 0.000013333. Kode MATLAB berikut menghasilkan ketigahampiran barisan tersebut sampai suku ke-

(

).

>>a=[];

>>a0=0.99996;a1=a0/3;b0=1;b1=0.33332;c0=1;c1=0.33332;

>>a=[a0 b0 c0; a1 b1 c1]; idx=[0;1];

>>for n=2:25,

an=a1/3;a1=an;bn=4/3*b1-b0/3;b0=b1;b1=bn;

cn=10/3*c1-c0;c0=c1;c1=cn;a=[a;an bn cn]; idx=[idx;n];

end

>>[idx a]

ans =

0. 0.99996 1. 1.

1. 0.33332 0.33332 0.33332

2. 0.1111067 0.1110933 0.1110667

3. 0.0370356 0.0370178 0.0369022

4. 0.0123452 0.0123259 0.0119407

5. 0.0041151 0.0040953 0.0029002

6. 0.0013717 0.0013518 - 0.00227337. 0.0004572 0.0004373 - 0.0104778

8. 0.0001524 0.0001324 - 0.0326526

9. 0.0000508 0.0000308 - 0.0983642

10. 0.0000169 - 0.0000031 - 0.2952281

11. 0.0000056 - 0.0000144 - 0.8857294

12. 0.0000019 - 0.0000181 - 2.6572031

13. 6.272E-07 - 0.0000194 - 7.9716144

14. 2.091E-07 - 0.0000198 - 23.914845

15. 6.969E-08 - 0.0000199 - 71.744535

16. 2.323E-08 - 0.0000200 - 215.2336

17. 7.743E-09 - 0.0000200 - 645.7008118. 2.581E-09 - 0.0000200 - 1937.1024

19. 0. - 0.0000200 - 5811.3073

20. 0. - 0.0000200 - 17433.922

21. 0. - 0.0000200 - 52301.766

22. 0. - 0.0000200 - 156905.3

23. 0. - 0.0000200 - 470715.89

24. 0. - 0.0000200 - 1412147.7



27/31


25. 0. - 0.0000200 - 4236443.

Seperti terlihat pada hasil keluaran MATLAB di atas, matriksa merupakanketiga hampiran 26 suku pertama barisan

. Kolom pertama matriks di

atas adalah indeks (nilai-nilai

). Kolom kedua, ketiga, dan keempat berturut-turut adalah

,

, dan

. Terlihat bahwa barisan

bersifat menurun se-

cara eksponensial. Barisan

bersifat menurun secara eksponensial sampai

suku ke-10 dan setelah suku ke-16 suku-sukunya hampir konstan dan kehilan-gan angka signifikan. Barisan

tidak stabil dan mulai suku ke-15 naik secara

eksponensial, sehingga jauh dari barisan yang hendak dihampiri.Galat ketiga hampiran tersebut dapat dihasilkan dengan kode MATLAB se-

bagai berikut. Tampak bahwa galat hampiran

semakin mengecil secara eks-

ponen, galat hampiran

semakin konstan, sedangkan galat hampiran

cukup besar dibandingkan nilai-nilai yang dihampiri. Jadi dapat disimpulkanbahwa barisan

memberikan hampiran terbaik.

>>x=[1];

>>for k=1:25, x=[x;1/3^k];end

>>e_a=[x x x]-a;

>>[idx e_a]

ans =

0. 0.00004 0. 0.1. 0.0000133 0.0000133 0.0000133

2. 0.0000044 0.0000178 0.0000444

3. 0.0000015 0.0000193 0.0001348

4. 4.938E-07 0.0000198 0.0004049

5. 1.646E-07 0.0000199 0.0012150

6. 5.487E-08 0.0000200 0.0036450

7. 1.829E-08 0.0000200 0.0109350

8. 6.097E-09 0.0000200 0.0328050

9. 2.032E-09 0.0000200 0.098415

10. 0. 0.0000200 0.295245

11. 0. 0.0000200 0.88573512. 0. 0.0000200 2.657205

13. 0. 0.0000200 7.971615

14. 0. 0.0000200 23.914845

15. 0. 0.0000200 71.744535

16. 0. 0.00002 215.23361

17. 0. 0.00002 645.70082

18. 0. 0.00002 1937.1024



28/31


Sistem Biner Jika bilangan bulat positif yang dapat dinyatakan dalamekspansi berbasis pangkat dua sebagaiNilai tempat dalam

sistem biner

dengan

, maka dalam sistem biner

dapat dinyatakansebagai

Konversi Desimal ke Biner Jika diketahui bilangan bulat positif

Algoritma untukmengubah bilangandesimal ke bilangan

biner

(dalam bentuk desimal), maka bentuk binernya dapat dicari denganmenggunakan algoritma sebagai berikut.

...

(

=0)

dengan

. Selanjutnya, dalam sistem biner

dapat dinya-

takan sebagai

Sistem Heksadesimal Dalam sistem heksadesimal digunakan basis per-pangkatan 16 dan semua bilangan dinyatakan dengan menggu-nakan maksimum 16 digit, yang biasanya dinyatakan sebagai

dengan

,

,

,

,

, dan

.

Pecahan Biner Jika adalah bilangan riil dan

sedemikian hingga

maka dalam sistem biner pecahan tersebut dinyatakan sebagai



29/31


komputer akan disimpan sebagai hampirannya, yakniTitik-MengambangNormal (Normalized

Floating-Point)

dengan

disebut tanda, disebut mantis bernilai

, yang dinyatakan sebagai pecahan biner, dan

disebuteksponenatau pangkat.

Galat Hampiran Misalkan

adalah suatu nilai hampiran numerik untuknilai numerik eksak

, yang tidak diketahui. Nilai

disebutgalat,

disebutgalat mutlak, dan nilai

asalkan

, disebutgalat relatif.Nilai-nilai

dan

, yang sudah diketahui, dan memenuhi

dan

disebut berturut-turut batas galat mutlak dan batas galat relatif,dan jika

, hubungan keduanya didefinisikan sebagai

Angka Signifikan Pengertian angka signifikan dapat dijelaskan sebagaiberikut.

1. Misalkan suatu hampiran bilangan

dinyatakan sebagai

Jika

dan

untuk

, maka digit-digit

, dikatakan angka signifikan.

2. Suatu digit

dikatakanbenarjika

.

3. Misalkan

adalah nilai eksak. Hampiran

untuk

dikatakan



30/31

1.5 Rangkuman 49

menghampiri

sampai

angka signifikan jika

adalah bi-langan bulat positif terbesar yang memenuhi

Aturan Pembulatan Cara melakukan pembulatan suatu nilai hampiranmenggunakan aturan sebagai berikut.

Jika digit pertama yang dibuang kurang daripada 5, digit didepannya tidak berubah.

Jika digit pertama yang dibuang lebih atau sama dengan 5,maka digit di depannya ditambah 1 nilainya.

Pembulatan dan Pemotongan Mantis Misalkan bilangan riil dapat di-nyatakan dalam bentukdesimal normal:

dengan

untuk

Misalkan

adalah maksimum banyaknya digit desimal yang

dipergunakan oleh komputer untuk melakukan komputasi titik-mengambang. Penyajian

dalam bentuk titik-mengambang ter-pangkas(chopped floating-point representation), ditulis

, dide-finisikan sebagai

dengan

untuk

Dalam hal ini, digit ke-

pada

sama dengan digit ke-

pada

. Cara lain penyajian digit ke-

adalah seperti yang sudah di-jelaskan sebelumnya, yakni penyajian titik-mengambang pembu-

latan (rounded floating-point), ditulis

, yang didefinisikansebagai

dengan

,

, untuk

dan digit

diperoleh dari pembulatan

ke bilangan bulat terdekat.

Titik-Mengambang Sebarang Basis Jika adalah penyajian bilangan

dalam bentuk titik-mengambang basis

(

adalah suatu bilangan



31/31


bulat genap) yang menggunakan

digit mantis, maka

dgn

pada pemangkasan

pada pembulatan.

Perambatan Galat Misalkan

dan

adalah nilai-nilai eksak (yang tidakdiketahui) dan

dan

berturut-turut adalah hampiran untuk

dan

sedemikian hingga

dan

. Jika

menyatakansalah satu operasi aritmetika +, -,

, atau

, maka galat

rambatandidefinisikan sebagai

1. Galat Penjumlahan dan Pengurangan

(a)

(b)

(c) Jika

dan

adalah bilangan-bilangan dalam bentuk titik-mengambang biner normal dengan mantis yang terdiriatas

bit, maka

dengan

.2. Galat Perkalian

(a)

(b) Jika

dan

, maka

.

(c) Jika galat hampiran

dan

cukup kecil dibandingkannilai-nilai hampiran tersebut, maka

,

dan

, sehingga

.

(d) Jika

dan

adalah bilangan-bilangan dalam bentuk titik-mengambang biner normal dengan mantis yang terdiriatas

bit, maka

, dengan

.


galat dalam komputasi

Documents