Isnaini Nurisusilawati

Variabel acak/random adalah suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real .

Variabel acak biasa diberi lambang X dan nilainya biasanya diberi lambang x.

Distribusi adalah sebaran variabel acak X dalam ruang sampel dengan rentang yangmempunyai karakteristik unik (parameter atau statistik) dalam interval tertentu(finite/infinite) dengan fungsi probabilitas yang spesifik.

Fungsi probabilitas menunjukkan tingkat frekuensi relatif variabel acak X bernilai diskritatau luasan frekuensi relatif dari interval variabel acak bernilai kontinu.

Misal,

Ada sebuah ruang sampel dari 3 suku cadang elektronik,

T = {BBB, BBC, BCB, CBB, BCC, CBC, CCB, CCC}

B menyatakan “baik” dan C menyatakan “cacat”.

Kita ingin mengetahui berapa banyaknya cacat yang terjadi (X = jumlah cacat)

Jadi, di setiap titik di ruang sampel akan dikaitkan dengan suatu bilangan 0, 1, 2, atau3.

Untuk

X = 0 -> E = {BBB}

X = 1 -> E = {BBC, BCB, CBB}

Dua buah bola diambil satu demi satu tanpa dikembalikan dari suatu kantong berisi4 bola merah dan 3 bola hitam. Bila Y menyatakan jumlah bola merah yang diambilmaka nilai y yang mungkin dari variabel acak Y adalah?

T = {MM, MH, HM, HH}

Y = jumlah bola merah yang diambil

y = {2, 1, 1, 0}

Ruang sampel y

MM 2

MH 1

HM 1

HH 0

Tiga orang petani: Pak Ali, Badu, Cokro menitipkan pecinya di pagi hari padaseorang anak. Sore harinya, si anak mengembalikan peci tersebut secara acak padaketiga petani. Bila Pak Ali, Badu, dan Cokro dalam urutan seperti itu menerima pecidari si anak, maka tuliskanlah titik sampel untuk semua urutan yang mungkinmendapatkan peci tersebut dan kemudian cari nilai c dari variabel acak C yangmenyatakan jumlah urutan yang cocok!

T = {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}

C = jumlah urutan yang cocok

c = {3, 1, 1, 0, 0, 1}

Ruang sampel c

ABC 3

ACB 1

BAC 1

BCA 0

CAB 0

CBA 1

Hasil suatu percobaan statistik mungkin saja tak berhingga atau tak terhitung.

Misal, kita ingin mencatat lamanya waktu yang diperlukan oleh suatu reaksi kimia,maka sekali lagi selang waktu yang dapat dibuat untuk ruang sampel banyaknya takberhingga dan tak terhitung.

Maka, ruang sampel tak selalu diskrit.

Jika suatu ruang sampel mengandung titik sampel yang tak berhingga banyaknyadan banyaknya sebanyak titik pada sepotong garis, maka ruang sampel itu disebut

ruang sampel kontinu.

Jika suatu ruang sampel mengandung titik-titik yang berhingga banyaknya atausederetan anggota yang banyaknya sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel itu

disebut ruang sampel diskrit.

Suatu variabel acak diskrit mendapat nilainya dengan peluang tertentu.

Misal,

c 0 1 3

P(C=c) 2/6 3/6 1/6

Ruang sampel c

ABC 3

ACB 1

BAC 1

BCA 0

CAB 0

CBA 1

Jika semua variabel acak X dimasukkan ke dalam sebuah rumus, dapat ditulis

f(x) = P(X=x)

f(3) = P(X=3)

Himpunan pasangan terurut (x, f(x)) disebut fungsi peluang atau distribusipeluang variabel acak diskrit X.

Himpunan pasangan terurut (x, f(x)) merupakan suatu fungsi peluang, fungsi masa peluang atau distribusi peluang (probability mass function/pmf) variabel diskrit

X bila, untuk setiap kemungkinan hasil x

1. P(X = x) = f(x)

2. f(x) ≥ 0

3. 𝑥 𝑓 𝑥 = 1

Suatu pengiriman 8 komputer pc yang sama ke suatu toko mengandung 3 yangcacat. Bila suatu sekolah membeli 2 komputer ini secara acak, cari distribusipeluang banyaknya yang cacat!

Misal Y peubah acak dengan nilai x kemungkinan banyaknya komputer yang cacatyang dibeli sekolah tersebut, maka x dapat memperoleh nilai 0, 1, dan 2.

𝑓 0 = 𝑃 𝑋 = 0 =

30

52

82

=10

28

𝑓 1 = 𝑃 𝑋 = 1 =31

51

82

=15

28

𝑓 2 = 𝑃 𝑋 = 2 =

32

50

82

=3

28

x 0 1 2

f(x) 10/28 15/28 3/28

Bila 50% mobil yang dijual oleh suatu agen bermesin diesel, cari rumus distribusipeluang banyaknya mobil bermesin diesel bagi 4 mobil berikutnya yang dijualoleh agen tersebut!

Peluang menjual mobil bermesin diesel atau bensin = 0,5

Jumlah titik sampel = 24

Kejadian menjual x mobil bermesin diesel dan 4-x bermesin bensin dapat terjadi

dalam4𝑥

cara, x bernilai 0, 1, 2, 3, atau 4. Jadi, distribusi peluang f(x)= P(X=x)

𝑓 𝑥 =4𝑥16

untuk x=0, 1, 2, 3, 4

Distribusi kumulatif F(x) suatu variabel acak diskrit X dengan distribusi peluang f(x) dinyatakan oleh

F(x) = P(X ≤ x) = 𝑡≤𝑥 𝑓(𝑡) untuk −∞ < x < ∞

Contoh

Hitunglah distribusi kumulatif variabel acak X dari 𝑓 𝑥 =4𝑥16

untuk x=0, 1, 2, 3, 4.

Dengan menggunakan F(x), perlihatkan bahwa f(2) = 3/8!

f(0) = 1/16 F(0) = F(0) = 1/16 0 bila x<0

f(1) = 1/4 F(1) = F(0) + F(1) = 5/16 1/16 bila 0≤x<1

f(2) = 3/8 F(2) = F(0) + F(1) + F(2) = 11/16 5/16 bila 1≤x<2

f(3) = 1/4 F(3) = F(0) + F(1) + F(2) + F(3) = 15/16 11/16 bila 2≤x<3

f(4) = 1/16 F(4) = F(0) + F(1) + F(2) + F(3) + F(4) = 1 15/16 bila 2≤x<3

1 bila x≥4

f(x) =

https://www.slideshare.net/anderzendawuy/ptp-2-34267785

Distribusi peluang variabel acak kontinu tidak dapat disajikan dalam bentuk tabel,tapi dapat disajikan dalam bentuk sebuah fungsi yang disebut fungsi padatpeluang/fungsi densitas.

Fungsi tersebut dinyatakan sedemikian hingga luas daerah di bawah kurva, diatassumbu X ≈ 1

𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1

Fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang (probability density function/pdf) peubahacak kontinu X, yang didefinisikan di atas himpunan semua bilangan real R, bila

1. f(x) ≥ 0 untuk semua x anggota R

2. −∞

∞𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1

3. 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝑎

𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1

Misalkan bahwa galat suhu reaksi, dalam 0C, pada percobaan laboratorium yang dikontrol merupakan variabel acak yang mempunyai fungsi padat peluang

𝑥2

3, -1 < x < 2

0, untuk x lainnya

a. Tunjukkan bahwa syarat 2 dipenuhi

b. Hitung P(0 < x ≤ 1)

Jawab

a. −∞

∞𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = −1

2 𝑥2

3𝑑𝑥 =

𝑥3

9

2−1

=8

9+

1

9= 1

b. P(0 < x ≤ 1) = 0

1 𝑥2

3𝑑𝑥 =

𝑥3

9

10

=1

9

f(x) =

Distribusi kumulatif F(x) suatu peubah acak kontinu X dengan fungsi padat f(x) diberikan oleh

𝐹 𝑥 = 𝑃(𝑥 ≤ 𝑥) = −∞

𝑥𝑓 𝑡 𝑑𝑡 untuk −∞ < x < ∞

Sebagai akibat langsung dari definisi diatas, dapat ditulis kedua hasil berikut:

P(a < x < b) = F(b) – F(a)

Dan

𝑓 𝑥 =𝑑𝐹(𝑥)

𝑑𝑥

Carilah F(x) dari fungsi padat di bawah ini lalu hitunglah P(0 < x ≤1)

𝑥2

3, -1 < x < 2

0, untuk x lainnya

Jawab

Untuk -1 < x < 2.

F(x) = −∞

𝑥𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = −1

𝑥 𝑡2

3𝑑𝑡 =

𝑡3

9

𝑥−1

=𝑥3+1

9

Jadi,

𝐹 𝑥 =

0, 𝑥 < 0

𝑥3 + 1

9, −1 ≤ 𝑥 < 2

1, 𝑥 ≥ 2

P(0 < x ≤1) = F(1) – F(0) = 2/9 – 1/9 =1/9

f(x) =

Dari 5 mobil yang dikirim dari pabrik, 2 tiba terkena goresan. Bila suatu tokomenerima 3 mobil ini secara acak, tuliskan unsur ruang sampel T menggunakanhuruf G dan B untuk masing-masing yang kena “goresan” dan yang “baik”,kemudian pada setiap titik sampel beri nilai x dari peubah acak X yangmenyatakan banyaknya mobil yang dibeli toko tadi yang kena goresan.

Misalkan W peubah acak yang menyatakan banyaknya muncul muka dikurangibanyaknya muncul belakang dalam 3 kali lemparan sebuah uang logam. Tuliskanunsur-unsur ruang sampel T untuk ketiga lemparan uang dan pada setiap titiksampel kaitkan suatu nilai w dari W.

Tentukan nilai c sehingga tiap fungsi berikut dapat merupakan distribusi peluangvariabel acak diskrit X.

f(x) = c(x2 + 4) untuk x=0, 1, 2, 3

f(x) = c23

33−𝑥

untuk x=0, 1, 2