FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN, MENENTUKAN JENIS

TITIK EKSTRIM FUNGSI, MENGGAMBAR GRAFIK

FUNGSI, APLIKASI MASALAH

A. Definisi Fungsi Naik dan Turun

Suatu fungsi f(x) dikatakan naik di titik x = x0 , jika dapat ditunjukkan

bilangan pos kecil h sedemikian, sehingga untuk setiap titik tertentu x1 < x2

yang terletak dalam interval (x0-h , x0+h) berlaku : f(x1) < f(x2) .

Suatu fungsi f(x) dikatakan turun di titik x = x0 , jika dapat ditunjukkan

bilangan pos kecil h sedemikian, sehingga untuk setiap titik tertentu x1 > x2

yang terletak dalam interval (x0-h , x0+h) berlaku : f(x1) > f(x2) .

Untuk mempermudah pemahaman diberikan skema pada gambar 3.1.

B. Skema :

x0-h x1 x0 x2 x0+h

x0-h x1 x0 x2 x0+h

Gambar 3.1. Skema Fungsi Naik dan Fungsi Turun

fs turun

fs naik

C. Dalil

Fungsi naik jika f'( x ) > 0.

Fungsi turun jika f'( x ) < 0.

Nilai stasioner jika f'( x ) = 0.

Contoh :

f ( x )=2 x4−4 x2+3Tentukan semua ekstrim relatif dari fungsi f

Jawab : f (x) = 2x4 – 4x2 + 3

f’ (x) = 8x3 – 8x

= 8x (x2 – 1)

f” (x) = 24x2 – 8

Titik stasioner tercapai jika f’’(x) = 0

f’ (x) = 8x (x2 – 1) = 0

= 8x (x+1) (x-1) = 0

x1 = 0 ; x2 = 1 ; x3 = -1

f(0) = 3 ; f(1) = 1 ; f(-1) = 1

-1 0 1

f” (0) = -8 < 0 maka (0, 3) titik maksimum

f” (1) = 16 > 0 maka (1, 1) titik minimum

f” (-1) = 16 > 0 maka (-1, 1) titik minimum

- + - +

2. Diketahui f(x) = 3x5 – 5x3, tentukan :

interval dimana f(x) naik

interval dimana f(x) turun

itik stasioner dan jenisnya

Jawab:

f(x) = 3x5 – 5x3

f '( x ) = 15x4 – 15x2

Fungsi naik f '( x ) > 0

15x4 – 15x2 > 0

Pembuat nol : 15x4 – 15x2 = 0

15x2(x2 – 1) = 0

15x2(x – 1)(x + 1) = 0

x = 0 x = 1 x = -1

Titik uji:

+ - - +

-1 0 1

Untuk x < -1, misal x = -2 f'(-2) = 15(-2)2(-2 – 1)(-2 + 1) > 0

Untuk -1 < x < 0, misal x = −1

2 f'(−1

2 ) = 15(−1

2 )2(−1

2 – 1)( −1

2 + 1) < 0

Untuk 0 < x < 1, misal x =

12 f

'(

12 ) = 15(

12 )2(

12 – 1)(

12 + 1) < 0

Untuk x > 1, misal x = 2 f'(2) = 15(2)2(2 – 1)(2 + 1) > 0

Jadi fungsi naik pada interval x < -1 atau x > 1.

Fungsi turun f '( x ) < 0

Fungsi turun pada interval -1 < x < 0 atau 0 < x < 1.

Syarat stasioner f '( x ) = 0

Diperoleh pembuat nol : x = -1, x = 0, x = 1

Untuk x = -1 f(-1) = 3(-1)5 – 5(-1)3 = -3 + 5 = 2 (-1, 2) titik maksimum

Untuk x = 0 f(0) = 3(0)5 – 5(0)3 = 0 (0, 0) titik belok

Untuk x = 1 f(1) = 3(1)5 – 5(1)3 = 3 - 5 = 2 (1, -2) titik minimum

TITIK EKSTRIMDefinisi Titik Ekstrim

Misalkan f terdefinisi pada selang I yang memuat c.

f(c) merupakan nilai minimum f pada I jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x dalam I

f(c) merupakan nilai maksimum f pada I jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x dalam I.

Nilai minimum dan maksimum suatu fungsi pada selang tertentu disebut sebagai nilai

ekstrim suatu fungsi pada selang tersebut. Nilai minimum dan maksimum suatu fungsi pada

selang tertentu juga disebut sebagai nilai minimum mutlak dan nilai maksimum

mutlak pada selang tersebut. Nilai ekstrim suatu fungsi dapat terjadi pada ujung selang. Nilai

ekstrim yang terjadi pada ujung selang disebut nilai ekstrim ujung.

Jika turunan pertama fungsi adalah nol f'(x) = 0,

maka y = f(x) berada di titik ekstrim.

Turunan pertama dari fungsi parabolik y = f(x) berguna untuk menentukan letak titik

ekstrimnya.

Untuk menentukan apakah titik ekstrim tersebut merupakan titik maksimum atau

minimum, maka diperlukan uji tanda terhadap f'(a) = 0.

Jika f'(x) > 0 untuk x < a dan f'(x) < 0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya adalah titik

maksimum.

Jika f'(x) < 0 untuk x < a dan f'(x) > 0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya adalah titik

minimum.

Sedangkan turunan kedua berguna untuk mengetahui jenis titik ekstrim yang

bersangkutan.

Perhatikan fungsi parabolik berikut dan turunan-turunannya, serta hubungan secara

grafik.

y = f(x) = x2 - 8x + 12 ………….fungsi parabolik

y’ = f’(x) = dy/dx = 2x – 8 …….fungsi linear

y” = f”(x) = d2y/dx2 = 2 ……….konstanta

Parabola y = f(x) = x2 - 8x + 12 , mencapai titik ekstrim – dalam hal ini titik minimum

yaitu (4, -4)

y’ = 0, nilai variabel bebas x = 4.

x = 4 dimasukkan ke dalam persamaan Parabola didapat nilai y = -4

Parabola y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’ = 0

Jika y” < 0 : bentuk parabolanya terbuka ke bawah, titik ekstrimnya adalah titik

maksimum.

Jika y” > 0 : bentuk parabolanya terbuka ke atas, titik ekstrimnya adalah titik

minimum.

42 6-4

-8

2

12

(4,-4)

y” = 2x

y

y’= 2x - 8

y = x2 – 8x + 12

0

MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI

Langkah-langkah untuk memggambar grafik fungsi:

Langkah I

1. tentukan koordinat-koordinat titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat, jika

koordinat-koordinat itu mudah ditentukan.

Titik potong dengan sumbu X diperoleh dari syarat y = 0

Titik potong dengan sumbu Y diperoleh dari syarat x = 0

2. tentukan turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi f ( x ) , yaitu f ' ( x ) dan

f ''( x ) . Dari turunan pertama f ' ( x ), dapat ditentukan:

interval-interval dimana f ( x )naik dan f ( x ) turun

titik ekstrim fungsi f ( x ) serta jenis-jenisnya.

Dari turunan kedua f ''( x )dapat ditentukan:

Interval-interval dimana f ( x ) cekung ke atas dan f ( x )cekung ke bawah,

Titik belok fungsi f ( x ) .

3. jika fungsi f ( x )didefinisikan dalam interval tertutup, tentukan nilai fungsi f ( x )

pada ujung-ujung interval.

4. jika diperlukan, tentuakan beberapa titik tertentu.

Langkah II

Titik-titik yang diperoleh pada langkah I digambarkan pada bidang cartesius.

Langkah III

Selanjutnya titik-titik yang telah disajikan dalam bidang Cartesius pada langkah II

dihubungkan dengan mempertimbangkan naik atau turunnya fungsi dan kecekunga fungsi

pada interval-interval yang telah ditentukan.

APLIKASI MASALAH

1. Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi berikut

f(x) = x2– 6 + 9 ; [0,5]

Penyelesaian:

f(x) = x2 – 6 + 9

f’(x) = 2x – 6

Nilai Stationer f’(x)=0

f’(x) = 2x – 6

0 = 2x – 6

2x = 6

x=3

Diperoleh himpunan titik kritis : {0,1,2,3,4,5}

f(0)=02 – 6.0 + 9=9

f(1)=12 – 6.1 + 9=4

f(2)=22 – 6.2 + 9=1

f(3)=32 – 6.3 + 9=0

f(4)=42 – 6.4 + 9=1

f(5)=52 – 6.5 + 9=4

Jadi, nilai maksimum f adalah f(0)=9 dan nilai minimum f adalah f(3)=0

2. Tentukan interval- interval dimana fungsi f yang ditentukan oleh f(x)=x3 – 9x2 +15x +7

a. Naik

b. Turun

Penyelesaian: f’(x)=3x2– 18x +15

=3(x2 – 6x + 5)

=3(x – 1)(x – 5)

a. Fungsi f naik, jika f’(x)>0

3x2 – 18x + 15>0

x2 – 6x + 5>0

(x – 1)(x – 5)>0

Jadi, fungsi naik pada interval x<1 atau x>2

b. Fungsi f turun, jika f’(x)<0

3x2 – 18x + 15<0

x2 – 6x + 5<0

(x – 1)(x – 5)<0

Jadi, fungsi naik pada interval 1<x<5

3. Tentukan maksimum dan minimum lokal fungsi berikut

f(x)=(x – 1)2 ; [-1,2]

Penyelesaian:

f(x) =(x – 1)2

f(x) =x2 – 2x + 1

f’(x) =2x – 2

Nilai stationer f’(x) = 0

2x – 2 = 0

2x=2

x=1

Didapat himpunan titik kritis : {-1,0,1,2}

f(-1)=(-1)2 – 2(-1) + 1=4

f(0)=(0)2 – 2(0) + 1=1

f(1)=(1)2 – 2(1) + 1=0

f(2)=(2)2 – 2(2) + 1=1

Jadi, nilai maksimum lokal f adalah f(-1)=4 dan nilai minimum lokal adalah f(1)=0

4. Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x) = x2 + 2x

Jawab : f(x) = x2 + 2x

             f’(x) = 2x + 2

                     = 2(x + 1)

Nilai stasioner didapat dari f’(x) = 0

             2(x + 1) = 0

                       x  = -1                                 

f(-1) = (-1)2 + 2(-1) = -1

Jadi diperoleh titik stasioner (-1,-1)

5. Diketahui biaya produksi barang sebuah perusahaan dinyatakan dalam fungsi f(x) =

8x² – 120x. Kemudian harga jual tiap barang dinyatakan dalam f(x) = 1/3 x² – 10x +

200. x menyatakan jumlah barang. Maka, untuk mencapai keuntungan maksimum,

jumlah barang yang harus diproduksi adalah sebanyak…

Penyelesaian:

Biaya Produksi = 8x² – 120x

Harga Jual tiap barang = 1/3 x² – 10x + 200

Keuntungan = Harga Jual semua Barang  – Biaya Produksi

= (Jumlah Barang dikali Harga Jual tiap Barang) – Biaya Produksi

= x.(1/3 x² – 10x + 200) – (8x² – 120x)

= (1/3 x³ – 10x² + 200x) – (8x² – 120x)

= 1/3 x³ – 18x² + 320x

Untuk mencapai keuntungan maksimum, maka nilai stationernya = 0

f ‘ (x) = 0

x² -36x + 320 = 0

(x -16)(x – 20) = 0

x = 16 atau x = 20.

Jadi, jumlah barang yang harus dijual adalah 16 atau 20 buah.

6. Biaya proyek sebuah perusahaan per harinya dinyatakan oleh fungsi f(x) = 3x +

1200/x – 60 (dalam juta rupiah). Tentukan total biaya produksi selama x hari agar

diperoleh biaya minimum?

Penyelesaian:

Biaya Proyek per hari = 3x + 1200/x – 60

Biaya Proyek per x hari = (3x + 1200/x – 60)/x

= 3 + 1200/x² – 60/x

= 3x² – 60x + 1200

Agar biaya minimum, maka nilai stationer = 0 atau f ‘ (x) = 0.

f ‘ (x) = 0

6x – 60 = 0

6x = 60

x = 10 hari.

Biaya minimum per hari

= 3x + 1200/x – 60

= 3(10) + 1200/10 -60

= 30 + 120 – 60

= 90 juta rupiah

Maka total biaya minimum proyek selama 10 hari adalah

= 90 juta rupiah x 10 hari

= 900 juta rupiah.

7. Periksa naik atau turunnya fungsi-fungsi berikut.

f(x) = –x2 pada selang (0,1)

f(x) = 10x – x2 pada selang (0,10)

Pembahasan :

f(x) = – x2 maka f '(x) = –2x.

Misalkan, p anggota (0, 1) sehingga 0 < p < 1.

f '(p) = –2p < 0 untuk p > 0 sehingga f(x) = x2 pada selang (0, 1) merupakan fungsi

turun.

f(x) = 10x – x2 maka f '(x) = 10 – 2x.

Misalkan, p anggota (0, 10) sehingga 0 < p < 10.

f '(p) = 10 – 2p > 0 untuk p < 5 dan f '(p) = 10 – 2p < 0 untuk p > 5.

Dengan demikian, f(x) = 10x – x2 pada selang (0, 10) merupakan fungsi naik dan

fungsi turun.