INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES

Makalah Ini Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata

Kuliah Analisis Real

Disusun Oleh:

MARIA SRI SUBEKTI

3136149168

PROGRAM PASCASARJANA PENDIDIKAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA

2014

BAB I

PENDAHULUAN

Integral adalah salah satu alat dasar dari perhitungan dalam mate-

matika. Intergal mempunyai banyak kegunaan dalam berhitung seperti meng-

hitung luas area atau volume sebuah benda atau perhitungan yang lainnya.

Ada beberapa macam integral yang dapat digunakan, tetapi pada

penulisan ini kita berbicara mengenai integral Riemann - Stieljles. Integral

Riemann - Stiltjes adalah gabungan dari dua integral yang diambil dari nama

penemunya yaitu Bernard Riemann dan Thomas Joannes Stiltjes.

Integral Riemann sangat berguna dalam teori kemungkinan. Contoh-

nya kalau kita mau menulis nilai harapan suatu variable acak, kadang seseo-

rang harus meluangkan waktu untuk menjelaskan perbedaan antara discreate

dan variable kontinu dengan memberi formula - formula yang berbeda. ka-

dang mereka mengabaikan samasekali variable acak juga discreate atau yang

bersambungan dalam rangka memberikan rumusan atau formula yang banyak

atau lebih. Dengan Integral Riemann - Stieltjes semua itu dirangkum atau

dikemas dalam satu formula atau rumus.

Integral Stochastic sesungguhnya adalah generilisasi dari integral Ri-

emann - Stieljes, integral ini sangat berguna untuk memecahkan Stochastic

defferential equations, partial differential equation dan yang lainnya.

1

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Riemann Integral

∫ b

a

f(x)dx =n−1∑i=0

f(ti)(xi+1 − xi); ti ∈ [xi, xi+1]

nilai harapan

E[x] =

∫Ω

xdP =

∫ ∞−∞

xdF (x) =

∫ ∞−∞

xp(x)dx (2.1)

Dimana P adalah peluang densiti dari x dan F adalah distribusi Komulative

fungsi dari x, Integral kedua (2.1) adalah Integral lebesque. integral keempat

(2.1) adalah Integral Reamann.

Dasar asumsi : fungsi -fungsi f, g, α, β adalah anggota fungsi didalam [a, b]

Bila P := x1, x2, ..., xn adalah bagian dari [a, b] dan tk ∈ [xk−1, xk] untuk

k = 1, 2, ..., n

1. Jumlah Dari Formasi

S(P, f, α) =n∑

k=1

f(tk)(α(xk)− α(k − 1))

Disebut Riemann-Stieltjes jumlah dari∫

harga ke α

2. sebuah fungsi f adalah Riemann-Stieltjes integral dengan harga α di

[a, b] kita menulis

f ∈ R(α) di [a, b], jika ada A ∈ R maka

2

S(P, f, α)→ A sebagai max [xk − xk−1]→ 0

Jika A ada didefinisi E(2), dapat ditulis:∫ b

a

fdα atau

∫ b

a

f(x)dα(x)

kita dapat katakan Riemann-Stieltjes integral∫ b

a

fdα ada,

Contoh: bila f(x) = xdandx = x+ |x|temukan∫ 10

0f(x)dα(x)

Jawab: bila P = 0, 1n, 2n, ..., 10n

n maka

S(P, f, α) =∑10n

k=1 f(tk)(α( kn)− α(k−1

n))

=∑10n

k=1 tk(( kn

+ [ kn])− (k−1

n+ [k−1

n]))

=∑10n

k=1 tk( 1n

+ ([ kn]− [k−1

n]))

=∑10n

k=1tkn

+∑10n

k=1 tk([ kn]− [k−1

n])

bila10n∑k=1

tkn→∫ 10

0

xdx =x2

2

∣∣∣10

x=0= 50

maka10n∑k=1

tk

([k

n

]−[k − 1

n

])9∑0

t(i = 1)n((i+ 1)− i)→ 55

jika n→∞ maka ∫ 10

0

f(x)dα(x) = 50 + 55 = 105

3

2.2 Properties

Bila c1, c2 adalah konstan di R

1. jika f, g ∈ R(α) di [a, b] maka c1f + c2g ∈ R(α) di [a, b] dan∫ b

a

c1f + c2g dα = c1

∫ b

a

f dα + c2

∫ b

a

g dα

2. jika f ∈ R(α) dan f ∈ R(β) di [a, b] maka f ∈ R(c1α + c2β) dan∫ b

a

f d(c1α + c2β) = c1

∫ b

a

f dα + c2

∫ b

a

f dβ

3. jika c ∈ [a, b] maka ∫ b

a

f dα =

∫ c

a

f dα +

∫ b

c

f dα

jika a < b, kita rumuskan∫ b

a

f dα = −∫ a

b

f dα

jika f ∈ R(α) dan α adalah derivatif kontinu di [a, b] maka

Riemann Integral

∫ b

a

f(x)α(x) dx ada dan

∫ b

a

f(x) dα(x) =

∫ b

a

f(x)α(x) dx

2.3 Tehnik dari Integrasi

2.3.1 Integrasi dengan Bagian

Jika f ∈ R(α) di [a, b], maka α ∈ R(f) di [a, b] dan∫ b

a

f(x) dα(x) = f(b)α(b)− f(a)α(a)−∫ b

a

α(x) df(x)

4

Contoh : f(x) = x dan α(x) = x+ |x| maka

∫ 10

0f(x) dα(x) = f(10)α(10)− f(0)α(0)−

∫ 10

0α(x) df(x)

= 10.20− 0.0−∫ 10

0(x+ |x|)dx

= 200− 50−∫ 10

0[x]dx

= 150− 45

= 105

2.3.2 Perubahan Variabel

Bila f ∈ R(α) di [a, b] dan g adalah hanya fungsi kontinu yang menaik di [c, d]

dengan a = g(c), b = g(d).

jika h = gof , β = αog maka h ∈ R(β) di [c, d] dan∫ b

a

f(x)dα(x) =

∫ d

c

f(g(t))dα(g(t))

=

∫ d

c

h(t)dβ(t)

Contoh bila y =√x, maka

=

∫ 4

0

(|√x|+ x2)d

√x

=

∫ 2

0

(|y|+ y4)dy

=

∫ 2

0

|y|dy +

∫ 2

0

y4dy

= 1 +1

5y5∣∣∣2y=0

=37

5

5

BAB III

PENUTUP

Berdasarkan pembahasan yang penulis pernah uraikan, maka dapat

diambil kesimpulan Integral Riemann-Stieltjes merupakan perluasan Integral

Riemann. sifat U (P , f , α) dan L(P , f α) pada Integral Riemann-Stieltjes seru-

pa dengan U (P , f ) dan L(P , f , ) Integral Riemann. Sedangkan konsep Integral

Riemann-Stieltjes sendiri terbentuk dari dua fungsi yaitu fungsi terbatas f dan

fungsi monoton naik α yang masing-masing didefinisikan pada selang [a, b]

Integrl Riemann mencakup beberapa teorema teorema di atas men-

jadi satu kesatuaan. Sehingga penyelesaian soalan matematika menjadi lebih

cepat dan mudah.

6