Download - Integral Riemann Stieljes
INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES
Makalah Ini Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata
Kuliah Analisis Real
Disusun Oleh:
MARIA SRI SUBEKTI
3136149168
PROGRAM PASCASARJANA PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA
2014
BAB I
PENDAHULUAN
Integral adalah salah satu alat dasar dari perhitungan dalam mate-
matika. Intergal mempunyai banyak kegunaan dalam berhitung seperti meng-
hitung luas area atau volume sebuah benda atau perhitungan yang lainnya.
Ada beberapa macam integral yang dapat digunakan, tetapi pada
penulisan ini kita berbicara mengenai integral Riemann - Stieljles. Integral
Riemann - Stiltjes adalah gabungan dari dua integral yang diambil dari nama
penemunya yaitu Bernard Riemann dan Thomas Joannes Stiltjes.
Integral Riemann sangat berguna dalam teori kemungkinan. Contoh-
nya kalau kita mau menulis nilai harapan suatu variable acak, kadang seseo-
rang harus meluangkan waktu untuk menjelaskan perbedaan antara discreate
dan variable kontinu dengan memberi formula - formula yang berbeda. ka-
dang mereka mengabaikan samasekali variable acak juga discreate atau yang
bersambungan dalam rangka memberikan rumusan atau formula yang banyak
atau lebih. Dengan Integral Riemann - Stieltjes semua itu dirangkum atau
dikemas dalam satu formula atau rumus.
Integral Stochastic sesungguhnya adalah generilisasi dari integral Ri-
emann - Stieljes, integral ini sangat berguna untuk memecahkan Stochastic
defferential equations, partial differential equation dan yang lainnya.
1
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Riemann Integral
∫ b
a
f(x)dx =n−1∑i=0
f(ti)(xi+1 − xi); ti ∈ [xi, xi+1]
nilai harapan
E[x] =
∫Ω
xdP =
∫ ∞−∞
xdF (x) =
∫ ∞−∞
xp(x)dx (2.1)
Dimana P adalah peluang densiti dari x dan F adalah distribusi Komulative
fungsi dari x, Integral kedua (2.1) adalah Integral lebesque. integral keempat
(2.1) adalah Integral Reamann.
Dasar asumsi : fungsi -fungsi f, g, α, β adalah anggota fungsi didalam [a, b]
Bila P := x1, x2, ..., xn adalah bagian dari [a, b] dan tk ∈ [xk−1, xk] untuk
k = 1, 2, ..., n
1. Jumlah Dari Formasi
S(P, f, α) =n∑
k=1
f(tk)(α(xk)− α(k − 1))
Disebut Riemann-Stieltjes jumlah dari∫
harga ke α
2. sebuah fungsi f adalah Riemann-Stieltjes integral dengan harga α di
[a, b] kita menulis
f ∈ R(α) di [a, b], jika ada A ∈ R maka
2
S(P, f, α)→ A sebagai max [xk − xk−1]→ 0
Jika A ada didefinisi E(2), dapat ditulis:∫ b
a
fdα atau
∫ b
a
f(x)dα(x)
kita dapat katakan Riemann-Stieltjes integral∫ b
a
fdα ada,
Contoh: bila f(x) = xdandx = x+ |x|temukan∫ 10
0f(x)dα(x)
Jawab: bila P = 0, 1n, 2n, ..., 10n
n maka
S(P, f, α) =∑10n
k=1 f(tk)(α( kn)− α(k−1
n))
=∑10n
k=1 tk(( kn
+ [ kn])− (k−1
n+ [k−1
n]))
=∑10n
k=1 tk( 1n
+ ([ kn]− [k−1
n]))
=∑10n
k=1tkn
+∑10n
k=1 tk([ kn]− [k−1
n])
bila10n∑k=1
tkn→∫ 10
0
xdx =x2
2
∣∣∣10
x=0= 50
maka10n∑k=1
tk
([k
n
]−[k − 1
n
])9∑0
t(i = 1)n((i+ 1)− i)→ 55
jika n→∞ maka ∫ 10
0
f(x)dα(x) = 50 + 55 = 105
3
2.2 Properties
Bila c1, c2 adalah konstan di R
1. jika f, g ∈ R(α) di [a, b] maka c1f + c2g ∈ R(α) di [a, b] dan∫ b
a
c1f + c2g dα = c1
∫ b
a
f dα + c2
∫ b
a
g dα
2. jika f ∈ R(α) dan f ∈ R(β) di [a, b] maka f ∈ R(c1α + c2β) dan∫ b
a
f d(c1α + c2β) = c1
∫ b
a
f dα + c2
∫ b
a
f dβ
3. jika c ∈ [a, b] maka ∫ b
a
f dα =
∫ c
a
f dα +
∫ b
c
f dα
jika a < b, kita rumuskan∫ b
a
f dα = −∫ a
b
f dα
jika f ∈ R(α) dan α adalah derivatif kontinu di [a, b] maka
Riemann Integral
∫ b
a
f(x)α(x) dx ada dan
∫ b
a
f(x) dα(x) =
∫ b
a
f(x)α(x) dx
2.3 Tehnik dari Integrasi
2.3.1 Integrasi dengan Bagian
Jika f ∈ R(α) di [a, b], maka α ∈ R(f) di [a, b] dan∫ b
a
f(x) dα(x) = f(b)α(b)− f(a)α(a)−∫ b
a
α(x) df(x)
4
Contoh : f(x) = x dan α(x) = x+ |x| maka
∫ 10
0f(x) dα(x) = f(10)α(10)− f(0)α(0)−
∫ 10
0α(x) df(x)
= 10.20− 0.0−∫ 10
0(x+ |x|)dx
= 200− 50−∫ 10
0[x]dx
= 150− 45
= 105
2.3.2 Perubahan Variabel
Bila f ∈ R(α) di [a, b] dan g adalah hanya fungsi kontinu yang menaik di [c, d]
dengan a = g(c), b = g(d).
jika h = gof , β = αog maka h ∈ R(β) di [c, d] dan∫ b
a
f(x)dα(x) =
∫ d
c
f(g(t))dα(g(t))
=
∫ d
c
h(t)dβ(t)
Contoh bila y =√x, maka
=
∫ 4
0
(|√x|+ x2)d
√x
=
∫ 2
0
(|y|+ y4)dy
=
∫ 2
0
|y|dy +
∫ 2
0
y4dy
= 1 +1
5y5∣∣∣2y=0
=37
5
5
BAB III
PENUTUP
Berdasarkan pembahasan yang penulis pernah uraikan, maka dapat
diambil kesimpulan Integral Riemann-Stieltjes merupakan perluasan Integral
Riemann. sifat U (P , f , α) dan L(P , f α) pada Integral Riemann-Stieltjes seru-
pa dengan U (P , f ) dan L(P , f , ) Integral Riemann. Sedangkan konsep Integral
Riemann-Stieltjes sendiri terbentuk dari dua fungsi yaitu fungsi terbatas f dan
fungsi monoton naik α yang masing-masing didefinisikan pada selang [a, b]
Integrl Riemann mencakup beberapa teorema teorema di atas men-
jadi satu kesatuaan. Sehingga penyelesaian soalan matematika menjadi lebih
cepat dan mudah.
6